bồi dưỡng học sinh giỏi môn vật lý thpt chuyên đề VA CHẠM của vật rắn

CHUYÊN ĐỀ VA CHẠM CỦA VẬT RẮN Cơ học vật rắn chuyên đề khó cho giáo viên giảng dạy học sinh ôn luyện thi HSG Trong chuyên đề học vật rắn, toán va chạm vật rắn đem lại bối rối định cho học sinh Áp dụng định luật bảo toàn toán phải đặc biệt lưu ý Trong đề tài, tóm tắt kiến thức đặc thù cần lưu ý toán số dạng khác va chạm vật rắn nhằm góp phần cung cấp kiến thức, rèn luyện kĩ vận dụng giải toán va chạm vật rắn cho học sinh chuẩn bị thi học sinh giỏi cấp đồng nghiệp tham khảo thêm việc bồi dưỡng cho học sinh Những kiến thức va chạm vật rắn: + Các định luật bảo toàn lượng, xung lượng, Mô men xung lượng va chạm chất điểm + Thời gian va chạm ngắn, lực va chạm thay đổi nên không dùng khái niệm lực mà dung khái niệm xung lực, xung mô men lực uu r τ ur uur uuu r X + Xung lực: = ∫ Fdt = Ftb ∆t = ∆P uuuur τ uuur uuur M = M dt = ∆ L0 + Xung mô men: Ox ∫ g + Trường hợp vật rắn quay quanh trục z có mô men quán tính IZ: uu r ∆LZ = I Z (ω2 − ω1 ) = M Z ( X ) + Vật rắn hình cầu nhẵn va chạm với coi va chạm hai chất điểm uu r r + Một viên đạn khối lượng m, vận tốc v va chạm mềm với vật rắn X = mv Các toán va chạm vật rắn: r Bài toán 1: Một bóng bàn khối lượng m, bán kính r bay với vận tốc tuyến tính v quay với vận tốc ω0 đập vuông góc vào chướng ngại vật thẳng đứng, nặng không chuyển động (hình vẽ) Hãy xác định phụ thuộc góc phản xạ bóng vào hệ số ma sát f r v bóng vật chướng ngại Bỏ qua biến dạng bóng vật chướng ngại theo hai chiều tiếp r tuyến pháp tuyến đến mặt vật chướng ngại Ta giả thiết thêm rằng, sau va chạm thành phần r vuông góc vận tốc đến vật chướng ngại −v va chạm xảy ngắn đến mức bỏ qua ảnh hưởng sức cản không khí lực hâp dẫn Mô men quán tính bóng bàn tính theo trục qua tâm 2 mr Giải: uu r uuur Theo đề ra, va chạm có hai lực tác dụng lên bóng N Fms Chọn hệ trục tọa độ hình vẽ Có hai trường hợp xảy ra: y *) Trường hợp 1: Quả bóng trượt suốt thời gian va chạm x u u r N Khi đó, Fms = f.N dPy   N = dx ⇒ dPx = f dPy ⇒ dVx = f dVy ⇒ vx = f 2v Ta có:  dP  F = f N = x  ms dt  vx = f v ⇒ tan θ = vx = f vy Vậy sau va chạm:   v y = v Ta tìm điều kiện ω , f để trường hợp xảy Ta có: ur uur ∑ Μ A ( F ) = ⇒ LA = const ⇒ I G (ω0 − ω ) = mvx R Để chuyển động trượt xảy Rω ≥ vx ⇒ IG (ω0 − vx ) ≥ mRvx R A uuu r Fms r v r vx vx mR ⇒ ω0 − ≥ vx R I ⇒ ω0 ≥ vx mR 2 fv fv (1 + )= (1 + ) = R I R R *) Trường hợp 2: Quả cầu ngừng trượt trược thời gian va chạm kết thúc Trường hợp xảy ⇔ ω0 < fv R uur uuuuur LA = const ⇒ I G (ω0 − ω ) = mvx R Ta có: Ta thấy cầu lăn không trượt Rω = vx ⇒ I G (ω0 − ω ) = mR 2ω ⇒ ω0 = (1 + mR 2 )ω ⇒ ω = ω0 I Sau lăn không trượt nên Rω = vx mà LA = I Gω + mRvx = ( I G + mR )ω = const ⇒ ω = const nên vận tốc sau cầu nảy lên vx 2ω0 R vx = ω R = ω0 R ⇒ tan θ = = vy 5v Kết luận: + Nếu ω0 < 2ω R fv tan θ = 5v R + Nếu ω0 ≥ fv ⇒ tan θ = f R Bài toán 2: Một cầu không đồng chất khối lượng m, uu r chuyển động với vận tốc v0 , đập vuông góc lên chướng ngại vật nặng rắn nằm ngang Tâm khối S cầu cách tâm hình học O khoảng cách D Vị trí cầu chướng ngại trước va chạm biết hình vẽ Trước va chạm O S cầu không quay Giả thiết hậu va chạm xảy nhanh, tổng lượng cầu không bị thay đổi Tính vận tốc khối tâm cầu Sau va chạm, biết cầu vật chướng ngại không xuất ma sát, bỏ qua biến dạng chúng Mô men quán tính caauftinhs qua tâm khối S I công nhận I > mv2 Giải: Gọi ω vận tốc quay quanh S sau va chạm, vS vận tốc chuyển động tịnh tiến S uu r uu r uu r ur Do ngoại lực N , P v0 vuông góc với mặt sàn nên vS vuông góc uu r với chướng ngại vật (chiều vS thực chất ngược lại) Ta chọn chiều dương hình vẽ O Do va chạm nhanh tổng lượng không đổi nên 2 mv1 = mvS + I ω 2 (1) A Do va chạm N>> P nên ta bỏ qua tác dụng ur uu r A A P mà N có giá qua A nên M ( uNur) = (bỏ qua M ( uPr ) ) Suy mô men động lượng hệ điểm A bảo toàn, đó: mv0 D = mvS D + I ω Từ (1) suy : (2) m(v0 − vS )(v0 + vS ) = I ω Từ (2) suy m(v0 − vS ) D = I ω ⇒ Iω (v0 + vS ) = I ω ⇒ v0 + vS = ω D D Iω  v + v = S  I (v0 + vS ) mD ⇒ ⇒ v0 − vS = mD  v0 + vS = ω  D ⇒ v0 (1 − I I ) = vS (1 + ) mD mD (1’) (2’) S + mD − I ⇒ vS = v0 mD + I mD I ⇒ vS = −v0 mD 1+ I 1− Như vậy, vS < nên cầu bật trở lại Do đó, vận tốc khối tâm S sau va chạm mD 1− I vS = −v0 mD 1+ I Bài toán 3: Một AB đồng chất có khối lượng M, chiều A dài 2lđược bẻ gập điểm thành hình chữ V có góc 600 Gọi điểm O, chữ V đặt mặt phẳng nằm ngang nhẵn l Một vật có khối lượng m, chuyển động tới va chạm uu r với với vận tốc ban đầu v0 nằm đường trung l O B trực đoạn OB hình vẽ Giả sử va chạm m vật m AOB tuyệt đối đàn hồi Hãy tính vận tốc khối tâm G điểm A sau va chạm với vật m Giải: Sau va chạm với vật m khung AOB vừa tham gia chuyển động tịnh tiến với vận r tốc v vừa tham gia chuyển động quay quanh G với vận tốc ω , A vật m sau va chạm có vận tốc v Mô men quán tính khung AOBđối với khối tâm G l H K M l2 M l2 Ml I = 2( + ) = 12 10 48 l G O B m Theo định luật bảo toàn động lượng, ta có: mv0 = mv + MV (1) Theo định luật bảo toàn mô men động lượng điểm G, ta có: l l l l Ml mv0 = mv + I ω ⇒ mv0 = mv + ω 8 8 48 (2) Theo định luật bảo toàn lượng, ta có: 2 1 mv0 = mv + MV + I ω 2 2 2 1 Ml 2 ⇒ mv0 = mv + MV + ω 2 2 48 (3) M V m Từ (1) suy ra: v0 − v = Từ (2) suy ra: M v − v0 = ωl m (1’) (2’) M Ml 2 Từ (3) suy : m(v0 − v)(v0 + v) = V + ω (3’) m 48m Từ (1’), (2’) (3’) ta có: m(v0 − v )(v0 + v ) = V (v0 − v ) + ⇒ v0 + v = V + ωl (4) M M  v0 − v = m V = m ωl  v + v = V + ω l  Vậy ta có hệ: ωl (v − v0 ) (5) (6) 7 ωl 31 ⇒V = ωl ⇒ v0 + v = ωl + = ωl 6 24 ⇒ 2v0 = ⇒ω = 7M 31 28 M 31m 28M + 31m ωl + ωl = ωl + = ωl m 24 24 m 24m 24m 48mv0 48mv0 ⇒ ωl = (31m + 28M )l (31m + 28M ) 56mv0 ⇒ V = ωl = (31m + 28M ) Ta có GA = GH + HA2 = ( l l) + ( ) = l + =l 16 4 Suy vận tốc VAG A G N AG = ωl uur 12 mv0 = 31m + 28M Gọi VA vận tốc điểm A mặt đất Ta có: uur uuur uur uuur ur VA = VAG + VG = VAG + V 2 2 Suy ra, VA = V + VAG + 2V VAG cosα = V + VAG + 2V VAG sinβ Mà sinβ = VA2 = ( =( l /8 = l 7/4 nên 56mv0 12 7mv0 56mv0 12 7mv0 )2 + ( ) + 31m + 28M 31m + 28M 31m + 28M 31m + 28M mv0 mv0 ) (562 + (12 7) + 2.56.12) = ( ) 3816 31m + 28M 31m + 28M ⇒ VA = 4mv0 31m + 28M 302 Vậy vận tốc khối tâm G điểm A sau va chạm là: VG = 56mv0 4mv0 302 VA = 31m + 28M 31m + 28M Bài toán 4: Một mỏng, phẳng, đồng chất, hình vuông cạnh l, khối lượng M quay tự quanh trục l, M → v0 thẳng đứng cố định ( ∆ ) trùng với cạnh Một cầu nhỏ khối lượng m, bay với vận tốc → v0 tới va chạm đàn hồi vào tâm bản, theo phương vuông góc với mặt phẳng r G m Tính mô men quán tính trục ( ∆ ) Xác định vận tốc cầu sau va chạm Chia thành mảnh dài l ,rộng dx, cách trục quay ( ∆ ) khoảng x, có khối lượng dm = M M M l.dx = dx ⇒ dI = dm x = x dx l l l l M M l Ml 2 I = ∫ dI = x dx = = l ∫0 l 3 Sau va chạm, gọi vận tốc cầu v1 , vận tốc V Xét hệ cầu có tổng mô men ngoại lực trục (Δ) 0, áp dụng định luật bảo toàn mô men động lượng: mv0 r = mv1 r + Iω ⇔ mv0 → v = v1 + M V m l l V → → → = mv1 + I l ( v1 , v ,V phương) 2 l, M (1) → v0 Áp dụng định luật bảo toàn lượng:   mv02 mv12 I mv12 I  V  = + ω = +   2 2 2 l    2 → v02 = v12 + r G M V (2) m Giải hệ phương trình (1), (2): V = 6mv M + 3m → → v1 = 3m − M v 3m + M → - Nếu 3m > 4M : v1 > → v1 hướng với v0 → → Nếu 3m < 4M : v1 < → v1 ngược hướng với v0 , sau va chạm m bị bật trở lại Bài toán 5: Một cầu đặc đồng chất có khối lượng m, bán kính R, mômen quán tính trục qua tâm m I = mR Cho quay quanh trục nằm ngang qua tâm đứng yên với vận tốc góc ω0 thả không vận tốc đầu cho rơi xuống sàn (hình 1) Độ cao điểm thấp cầu bắt đầu rơi h Quả cầu va chạm vào sàn nẩy lên tới độ cao ah tính cho điểm thấp nhất, với a hệ số dương Biến dạng cầu sàn va chạm không đáng kể Bỏ qua lực cản không khí Khoảng thời gian va chạm nhỏ xác định Cho gia tốc trọng trường g, hệ số ma sát trượt cầu sàn µ Ta xét hai trường hợp: a Quả cầu trượt suốt thời gian va chạm Hãy tính: - Giá trị cực tiểu ω0 - tan θ , θ góc nẩy lên ghi hình - Quãng đường nằm ngang d mà tâm cầu va chạm thứ thứ hai b Quả cầu không trượt trước thời gian va chạm kết thúc Tính: - tan θ - Quãng đường nằm ngang d - Vẽ đồ thị tan θ hàm ω0 bao gồm hai trường hợp Giải a) Trường hợp cầu trượt suốt thời gian va chạm – Tính giá trị cực tiểu ω0 : + Lấy chiều dương trục y hướng xuống Vận tốc tâm trước va chạm là: v0 = gh + Gọi thành phần nằm ngang thẳng đứng vận tốc tâm sau va chạm v2 x v2 y ta có: v22 y = gah + Vậy v2 y = − gah = −cv0 , c = a hệ số phục hồi, gọi t1 thời điểm ban đầu va chạm, t2 thời điểm kết thúc va chạm Gọi Hình giá trị tuyệt đối xung lực mà sàn tác dụng lên cầu thời gian N ( t ) Vì N >> mg nên bỏ qua mg Gọi lực ma sát f ( t ) + Ta có phương trình về: - Độ giảm động lượng theo phương y: t2 mv0 − mv2 y = m ( + c ) gh = ∫ N ( t ) dt = Py (1) t1 - Độ tăng động lượng theo phương x: t2 mv2 x = ∫ f ( t ) dt = Px (2) t1 - Độ giảm momen động lượng (do momen lực ma sát gây ra), với ω2 vận tốc góc sau va chạm: t2 I ( ω0 − ω2 ) = R ∫ f ( t ) dt = L (3) t1 - Áp lực cầu lên sàn thời gian trượt N nên ta có liên hệ lực ma sát N: f = µN (4) + Đưa (4) vào (2) (3) dùng (1) ta có: t2 Px = µ ∫ Ndt = µ Py = µ m ( + c ) gh = mv2 x (5) t1 t2 L = R µ ∫ Ndt = R µ m ( + c ) gh = I ( ω0 − ω2 ) (6) t1 + (5) (6) cho ta thành phần nằm ngang vận tốc vận tốc góc sau va chạm, theo kiện v2 x( 1) = µ ( + c ) gh (7) ω2 = ω0 − Rµ m ( + c ) gh I (8) lời giải vào thời điểm t2 điểm tiếp xúc vận tốc âm nghĩa là: ω2 R > v2x + Dùng (7) (8) ta tìm giá trị cực tiểu ω0 : ω0 > µ gh ( + c ) 2R - Tính tan θ : tan θ = v2 x( 1) v2 y (9)  1 = µ 1 + ÷  c (13) suy θ không phụ thuộc ω - Tính quãng đường nằm ngang d mà tâm cầu va chạm thứ thứ hai: - Tính khoảng cách tới điểm va chạm thứ hai: + Thời gian cầu nẩy lên rơi xuống lần thứ hai là: t=2 −v2 y g = 2c 2h g (14) Khoảng cách nằm ngang d I = tv2 x = 4µ ( + c ) ch không phụ thuộc vào ω0 b) Trường hợp cầu không trượt trước thời gian va chạm kết thúc - Tính tan θ : + Tới thời điểm trước thời điểm kết thúc va chạm t2 cầu trượt mà lăn không trượt Ta có mối liên hệ v2 x ( 2) ω2 : ω2 R = v2 x( ) + Đưa (15) (2) vào (3) ta có : v2 x  I  ω0 − ( )  R   ÷ = mRv2 x( 2) ÷  + Tính đại lượng cuối thời gian va chạm: v2 x( 2) = ω2 = I ω0 = ω0 R mR + I / R v2 x( 2) tgθ = = ω0 R R v2 x( 2) v2 y = 2ω0 R 7c gh với h cố định tan θ tỉ lệ với ω0 - Tính quãng đường nằm ngang d: + Thời gian nẩy lên rơi xuống (14) (16) (17) (18) (15) + Khoảng cách nằm ngang d II = tv2 x( ) = cRω0 2h , tỉ lệ với ω0 g - Vẽ đồ thị tan θ hàm ω0 bao gồm hai trường hợp: Hình đồ thị tan θ = f ( ω0 ) cho hai trường hợp Hình Bài toán 6: Một bóng siêu đàn hồi đặc, khối lượng m, bán kính R Bóng bay tới va chạm vào mặt sàn ngang với vận tốc v vận tốc góc ω Chỗ mà bóng tiếp xúc với sàn có ma sát giữ cho điểm tiếp xúc không trượt Do có ma sát nên va chạm không đàn hồi nhiên bỏ qua biến thiên thành phần pháp tuyến vy độ biến thiên động bóng a Xác định thành phần tiếp tuyến v x’ v’ ω ’ bóng sau va chạm theo vx ω trước va chạm? Biện luận? b Tính vận tốc điểm tiếp xúc A bóng trước sau va chạm? Giải thích kết quả? Giải a *) Theo định luật biến thiên momen động lượng ta có: dL = Mdt = FmsRdt = dPxR Id ω = mRdvx vx ' ω' d ω = mR I∫ ∫ dv ω vx I( ω ’- ω ) = mR(vx’- vx) (1) Ta có vy’= - vy *) Theo định luật bảo toàn động ta có: mv I ω mv '2 I ω '2 + = + 2 2 m (vx2 − v '2x ) = I (ω '2 − ω ) (2) v  1 ω ’= −  3ω + 10 x ÷ 7 R *) Thay (1) vào (2) rút vx’ = 3v x − 4ω R *) Biện luận: +) ω ’ < siêu bóng quay ngược lại với chiều quay ban đầu sau va chạm +) vx’ > vx > ω R +) vx’ = vx = ω R +) vx’ < 4 vx < ω R b Ban đầu (trước va chạm): v Ax = v x + ω R vAy = vy Sau va chạm: v’Ax = v’x+ ω ' R = - (vx+ ω R ) v’Ay = v’y = - vy uuur uuur v A' = − v A Như vậy: Vận tốc điểm A trước sau va chạm có độ lớn nhau, chiều ngược Bài toán 7: Hai vật khác có khối lượng m trượt không ma sát mặt bàn nằm ngang Thời gian đầu vật thực trượt tịnh tiến( không quay) tâm chúng có vận tốc v dọc theo hai đường thẳng song song Khoảng cách đường thẳng d Tại thời điểm định xảy va chạm đàn hồi lý tưởng vật Sau va chạm, vật thực chuyển động tịnh tiến, quay tiếp tục trượt mặt bàn, vận tốc góc vật thứ ω1 , vật thứ hai ω2 Mô men quán tính chúng tính theo trụ thẳng đứng qua khối tâm I1 I2 a Hãy mô men xung lượng vật tính theo điểm xác định mặt bàn tổng mô men xung lượng vật tính theo khối tâm b Tính khoảng cách d’ đường thẳng dọc theo khối tâm hai vật chuyển động sau va chạm v vật thứ c Thừa nhận rằng, sau va chạm giá trị vận tốc vật thứ hai không quay Hãy xét phụ thuộc d’ vào d mi Giải: a Ta cần chứng minh: uur uur uu r uu r uur uu r uu r LO = LG + (∑ mi )rG ∧ vG = LG + M rG ∧ vG Xét phần tử mi vật rắn Ta có: u r ri + u u r rG G O G uur uu r u r uu r ur LO = ∑ mi (rG + ri ) ∧ (vG + vi ) uu r uu r u r uu r uu r ur u r ur = (∑ mi )rG ∧ vG + (∑ mi ri ) ∧ vG + rG ∧ (∑ mi vi ) + ∑ mi ri ∧ vi u r r ∑ mi ri = ur r Nhận xét:  m v ∑ i i = uur uu r uur u r ur LO = (∑ mi )rG ∧ vG + ∑ mi ri ∧ vi Do uu r uu r uu r uu r (∑ mi )rG ∧ vG = M rG ∧ vG u r ur uur Mặt khác,  m r ∑ i i ∧ vi = LG nên uur uur uu r uur LO = LG + M rG ∧ vG (ĐPCM) ' b Gọi v1 vận tốc vật (của G1) sau va chạm m G1 r v Do hệ kín nên động lượng hệ bảo toàn dó đó: ur uu r uu r r r r ur ur mv1' + mv2' = mv − mv = ⇒ v1' = −v2' = −v ' Ta xét mô men động lượng hệ G Do ngoại lực nên mô men động lượng trước sau va chạm r v G2 LG2 = mvd Ta có, ban đầu : sau d' L 'G2 = mv ' d '+ I1ω1 + I 2ω2 0 >0 d I1 m III KẾT LUẬN Giải toán động lực học vật rắn chuyên đề việc bồi dưỡng Học sinh giỏi THPT Để giải yêu cầu đặt toán chuyển động vật rắn yêu cầu phải nắm vững Định luật chuyển động vật thể, đặc điểm chuyển động vật rắn, đặc điểm va chạm vật rắn Từ phân tích đặc điểm mà vận dụng định luật động lực học cách phù hợp Trong giải toán vật lý nói chung toán va chạm vật rắn nói riêng việc phân tích kĩ tượng vật lý xảy quan trọng Từ việc hiểu tượng vật lý để vận dụng nguyên lí phù hợp thông qua biểu thức động lượng Các biểu thức thể quan hệ đạt dựa vào giả thiết toán để tìm kết Trong chương trình THPT giải toán vận dụng phương trình động lực học vật rắn phương trình chuyển động vật rắn Đề nên biết điều kiện động lực học suy chuyển động ngược lại biết chuyển động để tìm đại lượng động lực học Việc giải toán va chạm vật rắn có mức độ tổng hợp cao đòi hỏi học sinh phải hiểu sâu giải tình phức tạp hơn, học sinh cần phải rèn luyện kĩ vận dụng cao Đây loại tập bổ ích cho học sinh học tập giáo viên tham khảo để công tác bồi dưỡng học sinh có hiệu cao  ... động lực học vật rắn chuyên đề việc bồi dưỡng Học sinh giỏi THPT Để giải yêu cầu đặt toán chuyển động vật rắn yêu cầu phải nắm vững Định luật chuyển động vật thể, đặc điểm chuyển động vật rắn, đặc... đặc điểm va chạm vật rắn Từ phân tích đặc điểm mà vận dụng định luật động lực học cách phù hợp Trong giải toán vật lý nói chung toán va chạm vật rắn nói riêng việc phân tích kĩ tượng vật lý xảy... động lực học vật rắn phương trình chuyển động vật rắn Đề nên biết điều kiện động lực học suy chuyển động ngược lại biết chuyển động để tìm đại lượng động lực học Việc giải toán va chạm vật rắn có