Đ 4. Ba đường conic 4. Ba đường conic Tiết 40: elip Đường elip là loại đường thường gặp trong thực tế, ví dụ: - Bóng của một đường tròn trên mặt đất bằng phẳng dưới ánh sáng mặt trời là một đường elip. - Ta đổ một ít nước màu vào một cốc thuỷ tinh hình trụ. Nếu ta nghiêng cốc nước đi thì mặt thoáng của nước được giới hạn bởi một đường elip elip 1) Định nghĩa: Cho F 1 , F 2 cố định, F 1 F 2 = 2c. elip (E) = M(x;y) / F 1 M + F 2 M = 2a ,(0 < c < a) + F 1 , F 2 gọi là hai tiêu điểm của elip; + Khoảng cách F 1 F 2 = 2c gọi là tiêu cự; + e = c/a gọi là tâm sai của elip. 2) Phương trình chính tắc của elip: M y 0 Với cách chọn hệ trục toạ độ như vậy, toạ độ 2 tiêu điểm F 1 , F 2 là bao nhiêu ? x F 1 F 2 . . elip 2) Ph¬ng tr×nh chÝnh t¾c cña elip: * F 1 (- c; 0), F 2 (c; 0) Cho ®iÓm M(x;y) tuú ý, TÝnh F 1 M 2 , F 2 M 2 ? 1) §Þnh nghÜa: Cho F 1 , F 2 cè ®Þnh, F 1 F 2 = 2c. elip (E) = M(x;y) / F 1 M + F 2 M = 2a ,(0 < c < a) M y 0 x F 1 F 2 . . elip 2) Ph¬ng tr×nh chÝnh t¾c cña elip: * F 1 (- c; 0), F 2 (c; 0) M(x;y) F 1 M 2 = (x + c) 2 + y 2 F 2 M 2 = (x - c) 2 + y 2 F 1 M 2 - F 2 M 2 = F 1 M 2 + F 2 M 2 = 4cx 2(x 2 + c 2 + y 2 ) Víi mäi ®iÓm M(x,y), xÐt MF 1 F 2 ta lu«n cã: F 1 M -F 2 M F1F2 (F 1 M - F 2 M) 2 - 4a 2 = 2c < 2a 0 1) §Þnh nghÜa: Cho F 1 F 2 = 2c, F 1 , F 2 cè ®Þnh elip (E) = M(x;y) / F 1 M + F 2 M = 2a ,(0 < c < a) M y 0 x F 1 F 2 . . eli p (E) = M(x;y) / F 1 M + F 2 M = 2a ,(0 < c < a) F 1 M 2 - F 2 M 2 = 4cx ; F 1 M 2 + F 2 M 2 = 2(x 2 + c 2 + y 2 ); (F 1 M F– 2 M) 2 4a– 2 0 M(x;y) (E) F 1 M + F 2 M = 2a (F 1 M + F 2 M) 2 - 4a 2 = 0 (F 1 M + F 2 M) 2 - 4a 2 (F 1 M - F 2 M) 2 - 4a 2 = 0 (F 1 M 2 - F 2 M 2 ) 2 - 8a 2 (F 1 M 2 + F 2 M 2 ) + 16a 4 = 0 16 c 2 x 2 c 2 x 2 – a 2 x 2 - a 2 c 2 - a 2 y 2 + a 4 = 0 x 2 (a 2 – c 2 ) + a 2 y 2 = a 2 (a 2 – c 2 ) x 2 b 2 + a 2 y 2 = a 2 b 2 ( víi b 2 = a 2 – c 2 ) 2 2 2 2 x y 1 a b + = – 16a 2 (x 2 + c 2 + y 2 ) + 16a 4 = 0 ( để ý rằng a > b >0 ). 2 2 2 2 x y 1 a b + = Với b 2 = a 2 c 2 (1) 2) Phương trình chính tắc của elip: x F 1 F 2 y 0 M a) Định lý: Trong mặt phẳng Oxy, cho 2 điểm F 1 (-c;0) và F 2 (c;0). Xét elip (E) = M(x;y) / F 1 M + F 2 M = 2a ,(0 < c < a) Điều kiện cần và đủ để điểm M(x;y) thuộc (E) là: b) Định nghĩa: Phương trình (1) được gọi là phương trình chính tắc của e líp (E) elip VËy ph¬ng tr×nh chÝnh t¾c cña (E) lµ 2 2 x y 1 9 4 + = VÝ dô 1: LËp ph¬ng tr×nh chÝnh t¾c cña elip (E) biÕt mét tiªu ®iÓm lµ F 1 ( ) vµ ®iÓm M ( ) n»m trªn (E). 5 ; 0 − 4 2 1; 3 Lêi gi¶i: Ph¬ng tr×nh chÝnh t¾c cña elip: víi b 2 = a 2 – c 2 2 2 2 2 x y 1 a b + = PT chÝnh t¾c cña elip cã d¹ng: 2 2 2 2 x y 1 a b + = (E) Cã mét tiªu ®iÓm F 1 ( ) c = 5 ; 0 − 5 M ( ) (E) (1) 4 2 1; 3 2 2 1 32 1 a 9b + = b 2 = a 2 – c 2 b 2 = a 2 – 5 (2) . ThÕ (2) vµo (1) ta ®îc: 2 2 1 32 1 a 9(a 5 ) + = − 9a 4 – 86a 2 + 45 = 0 2 a 9= 2 a 5 / 9 = < c 2 ( lo¹i) b 2 = 4 PT chÝnh t¾c cña elip: víi b 2 = a 2 – c 2 (1) 2 2 2 2 x y 1 a b + = 3) H×nh d¹ng cña elip: Cho elip (E) cã PT (1) vµ M(x 0 ;y 0 ) (E). Hái c¸c ®iÓm M 1 (- x 0 ;y 0 ), M 2 (x 0 ;-y 0 ), M 3 (-x 0 ;-y 0 ) cã n»m trªn (E) kh«ng? elip 3) H×nh d¹ng cña elip: a) Elip cã c¸c trôc ®èi xøng lµ Ox, Oy vµ cã t©m ®èi xøng lµ gèc O. elip PT chÝnh t¾c cña elip: víi b 2 = a 2 – c 2 2 2 2 2 x y 1 a b + = M M 1 M 2 M 3 O y x A 2 A 1 B 2 B 1 [...]...elip x2 y2 + 2 =1với b2 = a2 c2 PT chính tắc của elip: a2 b y 3) Hình dạng của elip: a) Elip có các trục đối xứng là Ox, Oy và có tâm đối xứng là gốc O B2 M1 M A1 A2 x O M3 M2 B1 (E) cắt Ox tại A1, A2; cắt Oy tại B1, B2 Các em hãy tìm toạ độ của 4 điểm này ? elip x2 y2 + 2 =1với b2 = a2 c2 PT chính tắc của elip: a2 b y 3) Hình dạng của elip: a) Elip có các trục đối xứng là Ox, Oy và có tâm... elip (E) = M(x;y) / F1M + F2M = 2a ,( a >c >0) x y 2) Phương trình chính tắc của (E): 2 + 2 =1 a b 2 với b2 = a2 - c2 , a >b >0 3) Hình dạng của elip 2 elip Bài tập về nhà 1) Vẽ các đường cong: a) x2 y2 + =1 4 1 b) x2 y2 + =1 1 4 2) Bài 1, 2, 3, 4, 5 trang 97 sách giáo khoa; 3) Một đường hầm xuyên qua núi có chiều rộng là 20m, mặt cắt thẳng của đư ờng hầm có dạng nửa elip như hình bên Biết rằng tâm sai... chính tắc của elip: a2 b y 3) Hình dạng của elip: a) Elip có các trục đối xứng là Ox, Oy và có tâm đối xứng là gốc O B2 M1 A1 b) Elip cắt Ox tại A1(-a;0), A2(a;0) cắt Oy tại B1(0;-b), B2(0;b) M A2 x O M3 M2 B1 Các điểm A1,, A2, B1, B2 gọi là các đỉnh của elip Đoạn thẳng A1A2 gọi là trục lớn và A1A2 = 2a Đoạn thẳng B1B2 gọi là trục nhỏ và B1B2 = 2b c) Mọi điểm của elip đều nằm trong hình chữ nhật kích . 0 − 5 M ( ) (E) (1) 4 2 1; 3 2 2 1 32 1 a 9b + = b 2 = a 2 – c 2 b 2 = a 2 – 5 (2) . ThÕ (2) vµo (1) ta ®îc: 2 2 1 32 1 a 9(a 5 ) + = − 9a 4 –. = M M 1 M 2 M 3 O y x A 2 A 1 B 2 B 1 x M M 1 M 2 M 3 O y A 2 A 1 B 2 B 1 PT chính tắc của elip: với b 2 = a 2 c 2 2 2 2 2 x y 1 a b + = 3) Hình dạng