FREE CHUYÊN ĐỀ 3 ĐƯỜNG CONIC

Chuyên đề 11: Ba đường Conic Dang Thanh Nam Auditing 51a, National economics University, Ha Noi, Viet Nam Email : dangnamneu@gmail.com Yahoo: changtraipkt Mobile: 0976266202 CHUYÊN ĐỀ 11: BA ĐƯỜNG CONIC 678 Dang Thanh Nam Auditing 51a, National economics University, Ha Noi, Viet Nam Chuyên đề 11: Ba đường Conic 679 Dang Thanh Nam Auditing 51a, National economics University, Ha Noi, Viet Nam BA ĐƯỜNG CÔNIC Dang Thanh Nam Auditing 51a, National economics University, Ha Noi, Viet Nam Email : dangnamneu@gmail.com Yahoo: changtraipkt Mobile: 0976266202 Đề thi năm chủ yếu đề cập đến Elip; hyperbol parabol A KIẾN THỨC CẦN NHỚ x2 y Elip có dạng tắc ( E ) :   (a, b  0) a b + Độ dài trục lớn 2a; độ dài trục nhỏ 2b (a  b  c ) + Tiêu cự 2c + Tọa độ tiêu điểm F1 ( c;0); F2 (c;0) + Tọa độ đỉnh A1 ( a; 0); A2 ( a; 0); B1 (0; b); B2 (0; b) Hình chữ nhật sở A1 B1 A2 B2 có cạnh 2a cạnh 2b c + Tâm sai e  a a2 + Đường chuẩn x   c c c + Với điểm M ( x; y )  ( E )  MF1  a  x; MF2  a  x a a B BÀI TẬP MẪU x2 y   Tìm tọa độ điểm A B thuộc ( E) , có hồnh độ dương cho tam giác OAB cân O có diện tích lớn Lời giải: + Giả sử A( x A ; y A ); B ( xB ; yB ) Từ giả thiết ta có x A  xB ; yB   y A Do 1 + S ABC  AB.d (O; AB)  y A x A  y A x A 2 + Áp dụng bất đẳng thức Cauchy cho số dương A thuộc ( E) ta có: Bài Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho elip ( E ) : S ABC  y A xA  xA y A x A y A     S ABC  4 680 Dang Thanh Nam Auditing 51a, National economics University, Ha Noi, Viet Nam BA ĐƯỜNG CÔNIC + Dấu xảy A( 2; xA  2; y A   1 1  A( 2; ), B( 2; ) 2 1 ), B( 2; ) 2 Vậy điểm cần tìm A( 2; 1 1 ), B( 2; ); A( 2; ), B ( 2; ) 2 2 x2 y   điểm A(3;0); I (1;0) Tìm tọa độ điểm B,C thuộc ( E) cho I tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC Lời giải: + Ta có IA   Đường trịn ngoại tiếp tam giác ABC có phương trình: (C ) : ( x  1)  y   B, C giao điểm (C ) & ( E ) Bài Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho elip ( E ) : ( x  1)  y   + Tọa độ điểm B,C nghiệm hệ phương trình  x y 1   9 ( x  1)2  y  2 ( x  1)  y     3 5 x  18 x    x  3; x   x    y   B Với C trùng A(loại) 3 3 3  y  B( ;  ), C ( ;  ) 5 5 5 Bài Trong mặt phẳng tọa độ với hệ đề vng góc Oxy , viết phương trình tắc Với x  elip ( E) biết ( E) có tâm sai hình chữ nhật sở ( E) có chu vi 20 Lời giải: + Giả sử elip ( E ) : x2 y   (a, b  0) , theo giả thiết ta có: a b2 c a  b2   (1) a a + Chu vi hình chữ nhật sở 4(a  b)  20 (2) a  x2 y2 (1) & (2)    (E ) :  1 b  Bài Lập phương trình tắc elip ( E) có tâm O, tiêu điểm trục hoành qua điểm + Tâm sai e  M ( 3;1) , biết khoảng cách đường chuẩn Lời giải: 681 Dang Thanh Nam Auditing 51a, National economics University, Ha Noi, Viet Nam BA ĐƯỜNG CÔNIC x2 y   (a, b  0) a b2 Điểm M (  3;1)  ( E )    (1) a b a2 a2 a2 a2 + Khoảng cách đường chuẩn  ( )     (2) c c c a  b2 a  Từ (1) (2)   b  + Giả sử elip ( E ) : x2 y 1 Vậy elip cần tìm ( E ) :  Bài Trong mặt phẳng tọa độ với hệ đề vng góc Oxy , cho điểm C(2;0) elip x2 y (E ) :   Tìm tọa độ điểm A, B thuộc ( E) , biết A, B đối xứng với qua trục hoành ABC tam giác Lời giải: x2 y2 + Giả sử A( x0 ; y0 ), B( x0 ;  y0 )  ( E )    1(1) Do C đỉnh ( E) nằm trục hoành, nên tam giác ABC cân C  Tam giác ABC d (C ; AB)  3 AB   x0  y0 (2) 2   x0  Từ (1) (2)   y    4 4 Vậy A( ; ), B ( ; ) A( ; ), B ( ; ) 7 7 7 7 x2 y  điểm M (2;1) Gọi d đường thẳng qua M, cắt ( E) hai Bài Cho elip ( E ) :  25 16 điểm A, B cho M trung điểm AB Hãy viết phương trình đường thẳng d Lời giải: + Xét đường thẳng qua M, có hệ số góc k Phương trình d là: y  k ( x  2)  Khi tọa độ A, B nghiệm hệ  y  k ( x  2)   y  k ( x  2)      x ( k ( x  2)  1) x y2 1  1(1)     16  25 16  25 + x A ; xB nghiệm (1) Ta có 682 Dang Thanh Nam Auditing 51a, National economics University, Ha Noi, Viet Nam BA ĐƯỜNG CÔNIC (1)  (16  25k ) x  (100k  50k ) x  100k  100k  375  Vì M trung điểm AB nên x A  xB  xM Theo định lí Vi – ét ta có 100k  50k 32 4k  Vậy phương trình d 16  25k 25 32 y ( x  2)  hay 32 x  25 y  64  25 x2 y Bài Cho elip ( E ) :   đường thẳng  : 3x  y  30  Tìm điểm M thuộc ( E) 25 25 cho khoảng cách từ M đến  lớn nhất, nhỏ Lời giải: x2 y2 + Giả sử M ( x0 ; y0 )  ( E )    (1) Khoảng cách từ M đến  25 25 3x  y0  30 d ( M ; )  32  42 1 (1)  25  x02  y02  (32  22 )( x02  y02 )  (3 x0  y0 ) 13 13  (3 x0  y0 )  25.13  5 13  x0  y0  13  5 13  30  3x0  y0  30  13  30 3x0  y0  30  d (M ; )   13 x2 y  1, F1 (3;0); F2 (3;0) tiêu điểm ( E) Xác định tọa độ Bài Cho elip ( E ) :  25 16 điểm M  ( E) , biết 2MF1  MF2   13  Lời giải: x0 y0   1(1) 25 16 c Elip ( E) có tâm sai e   , ta có MF1  a  ex0 ; MF2  a  ex0 a  MF2  2MF1  a  ex0  2( a  ex0 ) + Gọi M ( x0 ; y0 )  ( E )  25 4 56  a 5 25 56 25 56 ; )    y0    M( ; ) M ( 9 3e 3 9 9 Bài Lập phương trình hypebol ( H ) có tiêu cự Ox , tâm O độ dài tiêu cự 10 đường tiệm cận có phương trình d : 3x  y   x0  Lời giải: 683 Dang Thanh Nam Auditing 51a, National economics University, Ha Noi, Viet Nam BA ĐƯỜNG CÔNIC + Giả sử hypebol ( H ) : x2 y2   (a, b  0) a b2 Độ dài tiêu cự 2c  a  b  10  a  b  25 (1) b b + Đường chuẩn y   x Từ x  y   y  x   (2) a a (1) & (2)  a  16; b  Vậy ( H ) : x2 y  1 16 x2 y   đường thẳng (d ) : x  y  m  Đường thẳng ( d ) cắt ( H ) điểm phân biệt A, B( x A  xB ) , biết BF2  AF1 , F1 (3;0), F2 (3; 0) tiêu điểm ( H ) Viết phương trình đường thẳng ( d ) Lời giải: Tạo độ A, B nghiệm hệ Bài 10 Cho hypebol ( H ) :  x2 y2  x (2 x  m) 1  (1)     1 8 1 2 x  y  m  2 x  y  m    Ta có (1)  x  4mx  m   , phương trình ln có nghiệm phân biệt m2   Do ( H ) cắt ( d ) điểm phân biệt c c  BF2  AF1  a  xB  a  xA (2) , A, B thuộc nhánh khác ( H )( x A  xB ) , a a c c c nên x A   a; xB  a;  Và từ(2) suy xB  a  2(  a  x A )  x A  3xB   0(3) a a a Do x A , xB nghiệm (1), nên theo định lí Vi – ét ta có  x A  xB  m   m  (4)  x A xB    6  16 (3), (4)  m  21 x2 x2 y  Viết phương trình đường trịn qua Bài 11 Cho elip ( E1 ) :  y  1;( E2 ) :  16 giao điểm ( E1 ), ( E2 ) Lời giải: Tọa độ giao điểm nghiệm hệ 684 Dang Thanh Nam Auditing 51a, National economics University, Ha Noi, Viet Nam BA ĐƯỜNG CÔNIC  x2  432 2 16  y   x  55  x `16 y  16(1) 92 2    x  y     2 11  x  y   x  y  36(2)  y  28   55  92 Do ( E1 ) cắt ( E2 ) điểm phân biệt, thỏa mãn x  y  Vậy phương trình đường trịn 11 qua giao điểm ( E1 ) & ( E2 ) 92 (C ) : x  y  11 Bài 12 Trong mặt phẳng tọa độ vng góc Oxy cho parabol ( P ) : y  16 x điểm A(1;4) Hai điểm phân biệt B, C ( B , C khác A) di động ( P) cho góc BAC  900 Chứng minh đường thẳng BC qua điểm cố định Lời giải: 1 + Giả sử B ( b ; b), C ( c ; c )  ( P ), (b, c  4, b  c) 16 16   1 Ta có AB  ( b  1; b  4), AC  ( c  1; c  4) 16 16    1 BAC  900  AB AC   ( b2  1)( c2  1)  (b  4)(c  4)  16 16  (b  4)(c  4)((b  4)(c  4)  16 )   (b  4)(c  4)  256  4(b  c)  bc  272  bc  272  4(b  c )(1)  c  b2   BC  ( ; c  b)  (c  b)u; u  (b  c;16) 16 16 Vậy phương trình đường thẳng BC 16( x  b )  (b  c )( y  b)  , hay 16 x  (b  c) y  bc , 16 thay bc (1) vào ta phương trình BC BC :16 x  272  (b  c)( y  4)  , b, c; M (17; 4)  BC  dpcm Bài 13 Cho parabol ( P ) : y  x điểm A(0; 4), B(6;4) - Tìm ( P) điểm C cho tam giác ABC vng A - Tìm ( P) điểm C cho tam giác ABC có diện tích nhỏ Lời giải: c2 + Gọi C ( ; c)  ( P) 685 Dang Thanh Nam Auditing 51a, National economics University, Ha Noi, Viet Nam BA ĐƯỜNG CƠNIC   c a) Ta có AB  (6;8), AC  ( ; c  4) , tam giác ABC vuông A c    c2 16 8 AB AC   6  8(c  4)    8  C (16;8); C ( ; ) c  3  b) Phương trình đường thẳng AB : x  y  12  , diện tích tam giác ABC nhỏ khoảng cách từ C đến AB nhỏ c2  3c  12 39 39 d (C; AB)   (c  )2   5 20 3 3 Dấu xảy c   C( ; ) 16 C BÀI TẬP ĐỀ NGHỊ x2 y   1, F1 ; F2 tiêu điểm trái phải ( E) Tìm điểm M thuôc ( E) cho MF1  MF2  Bài Trong mặt phẳng tọa độ Oxy , lập phương trình tắc elip ( E) có độ dài trục lớn Bài Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho elip ( E ) : , đỉnh trục nhỏ tiêu điểm nằm đường tròn Bài Trong mặt phẳng tọa độ với hệ đề vng góc Oxy , cho điểm A(3;0) elip x2 y (E ) :   Xác định tọa độ điểm B , C thuộc ( E) cho tam giác ABC x2 y  đường thẳng (d ) : x  15 y  10  Chứng minh Bài Cho elip ( E ) :  25 đường thẳng ( d ) cắt ( E) điểm phân biệt A, B Xác định tọa độ điểm C thuộc ( E) cho tam giác ABC cân x2 y Bài Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho elip ( E ) :   Hai điểm A B di động ( E) cho OA  OB Chứng minh đường thẳng AB tiếp xúc với đường tròn cố định x2 y  Viết phương trình đường thẳng Bài Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho elip ( E ) :  qua M (1;1) cắt ( E) điểm phân biệt A B cho a) MA  MB b) AB  686 Dang Thanh Nam Auditing 51a, National economics University, Ha Noi, Viet Nam BA ĐƯỜNG CÔNIC x2 y   Điểm M N di động ( E) cho OM  ON Xác định tọa độ điểm M N , biết điểm M có tổng tọa độ nhỏ x2 y  Xác định tọa độ điểm M thuộc ( E) Bài Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho elip ( E ) :  , biết M nhìn tiêu điểm góc a) 900 b) 1200 Bài Trong mặt phẳng tọa độ với hệ đề vuông góc Oxy cho điểm A(2; 3) elip Bài Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho elip ( E ) : x2 y (E ) :   Gọi F1 ; F2 tiêu điểm ( E) ( F1 có hồnh độ âm) M giao điểm có tung độ dương đường thẳng AF1 với ( E) , N điểm đối xứng F2 qua M Viết phương trình đường tròn ngoại tiếp tam giác ANF2 Bài 10 Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho elip ( E ) : x2 y   đường thẳng (d ) : x  y   a) Chứng minh ( d ) cắt ( E) điểm phân biệt A B Tính độ dài đoạn thẳng AB b) Tìm tọa độ điểm C ( E) cho tam giác ABC có diện tích lớn x2 y 2   điểm M ( ; ) nằm ( E) Đường thẳng d qua M 3 cắt ( E) M , M thỏa mãn điều kiện MM  MM Viết phương trình đường thẳng d Bài 11 Cho elip ( E ) : x2 y  Xét điểm M chuyển động Bài 12 Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho elip ( E ) :  16 tia Ox , N chuyển động tia Oy cho đường thẳng MN tiếp xúc với ( E) Xác định tọa độ điểm M , N cho MN có độ dài nhỏ Tính giá trị nhỏ x2 y   1; ABCD hình vng có tất cạnh tiếp xúc với ( E) 24 12 Viết phương trình cạnh hình vng x2 Bài 14 Cho elip ( E ) :  y  1; F1 , F2 tiêu điểm Điểm M di động ( E) Phân giác  góc F 1MF2 cắt F1 F2 N, H hình chiếu N MF1 Chứng minh độ dài MH không đổi x2 Bài 15 Cho elip ( E ) :  y  1; F1 , F2 tiêu điểm Điểm M di động ( E) Chứng minh tâm I đường tròn nội tiếp tam giác F1 MF2 chạy elip Viết phương trình elip Bài 13 Cho elip ( E ) : 687 Dang Thanh Nam Auditing 51a, National economics University, Ha Noi, Viet Nam BA ĐƯỜNG CÔNIC x2 y   , có đỉnh trục hồnh A1 (2;0), A2 (2; 0) Chứng minh trực tâm tam giác MA1 A2 chạy elip Viết phương trình tắc elip Bài 16 Cho elip ( E ) : x2 y   ,hai điểm A, B chuyển động ( E) cho góc  AOB  900 Gọi H hình chiếu O AB Chứng minh H nằm đường tròn cố định Viết phương trình đường trịn x2 y  đường thẳng (d ) : x  my  0; (d ') : mx  y  (m Bài 18 Cho elip ( E ) :  tham số) Gọi M, N giao điểm ( E) ( d ) P,Q giao điểm ( E) (d ') Viết phương trình đường thẳng (d ),(d ') , biết tứ giác MPNQ có diện tích lớn nhất, nhỏ Bài 17 Cho elip ( E ) : x2 y   có hai tiêu điểm F1 , F2 ( F1 , F2 tiêu điểm trái, tiêu điểm phải  E  ) Tìm điểm M thuộc  E  cho MF12  MF2 đạt giá trị nhỏ Bài 19 Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho elip  E  : D MỘT SỐ BÀI TOÁN VỀ HYPEBOL VÀ PARABOL 5 Bài Cho hypebol ( H ) : xy  điểm A( ; ) Tìm điểm M thuộc ( H ) cho MA nhỏ 2 Lời giải: 1 + Giả sử M ( x0 ; y0 )  ( H )  y0   M ( x0 ; ) x0 x0 5 1 25 + Ta có MA2  ( x0  )  (  )  x0   5( x0  )  x0 x0 x0 1 21 17 17  ( x0  )2  5( x0  )   ( x0   )2   x0 x0 x0 4 + Đẳng thức xảy x0    x0   x0  x0 2 1 Vậy M (2; ) M ( ; 2) 2 Bài Cho parabol ( P ) : y  x đường thẳng (d ) : x  y  12  Tìm ( P) điểm M cho khoảng cách từ M đến ( P) nhỏ Tính khoảng cách Bài Cho parabol ( P ) : y  x đường thẳng (d ) : x  y  m  cắt ( P) điểm phân biệt A B Viết Phương trình đường thẳng ( d ) , biết OA  OB Bài Cho parabol ( P ) : y  x đường thẳng (d ) : x  y  12  Tìm ( P) điểm M N, biết khoảng cách từ M đến ( P) nhỏ OM  ON 688 Dang Thanh Nam Auditing 51a, National economics University, Ha Noi, Viet Nam BA ĐƯỜNG CÔNIC Bài Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho parabol ( P ) : y  x điểm I (0; 2) Xác định tọa độ   điểm M , N  ( P) cho IM  IN x2 x2 y2  Viết phương trình đường trịn qua giao Bài Cho elip ( E ) :  y  1;( H ) :  điểm ( E ),( H ) x2 y   điểm M (2;1) Viết phương trình đường thẳng qua M cắt ( H ) điểm A,B cho M trung điểm AB Bài Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho parabol ( P ) : y  x đường thẳng (d m ) : 2my  x   Chứng minh với m (d m ) qua tiêu điểm F ( P) cắt ( P) điểm phân biệt A, B Tìm quỹ tích trung điểm I AB m thay đổi Bài Cho tam giác ABC có ba đỉnh thuộc hypebol ( H ) : xy  Chứng minh trực tâm tam giác ABC thuộc ( H ) Bài 10 Cho hypebol ( H ) : xy  đường thẳng (d ) : 5x  y   Xác định tọa độ điểm M thuộc ( H ) cho khoảng cách từ M đến ( d ) nhỏ Bài 11 Cho hypebol ( H ) : xy  Tìm điểm A,B thuộc nhánh ( H ) cho độ dài AB nhỏ Bài 12 Cho đường tròn (C ) : ( x  2)  y  36 điểm A(2;0) Tìm quỹ tích tâm đường trịn qua A tiếp xúc với (C) Bài 13 Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho parabol  P  : y  x Viết phương trình đường thẳng Bài Cho hypebol ( H ) : d qua tiêu điểm  P  cắt  P  hai điểm phân biệt A, B có AB  689 Dang Thanh Nam Auditing 51a, National economics University, Ha Noi, Viet Nam