Đang tải... (xem toàn văn)
Chứng minh: d luôn cắt (H) tại hai ñiểm phân biệt P,Q.. Tính diện tích tam giác MAB theo y. Tìm y ñể diện tích tam giác MAB nhỏ nhất. a) Biết ñường thẳng AB có hệ số góc không ñổi là k k[r]
(1)Chuyên ñề: Ba ñường conic A Lý thuyết bản:
I Elip
1 Phương trình tắc:
2
2
x y
a + b = , (a>b>0) 2 Các yếu tố: c2 =a2 −b2, c>0
Tiêu cự: F1F2=2c; ðộ dài trục lớn A1A2=2a ðộ dài trục bé B1B2=2b Hai tiêu ñiểm F1(−c; ,) F c2( );
Bốn ñỉnh: ñỉnh trục lớn A1(−a; ,) A a2( ); , ñỉnh trục bé B1(0;−b), B2( )0;b
Bán kính qua tiêu điểm: MF1 = = +r1 a exM; MF2 =r2 = −a exM Tâm sai: e c
a = < ðường chuẩn: x a
e = ±
Khoảng cách hai ñường chuẩn: d 2a e
=
3 ðiều kiện ñể ñường thẳng Ax+By+C=0 tiếp xúc với elip là: A2a2+B2b2=C2 II Hyperbol
1 Phương trình tắc:
2
2
x y
a −b = , (a>0, b>0) 2 Các yếu tố: c2 =a2 +b2, c>0
Tiêu cự: F1F2=2c; ðộ dài trục thực A1A2=2a ðộ dài trục ảo B1B2=2b Hai tiêu ñiểm F1(−c; ,) F c2( );
Hai ñỉnh: ñỉnh trục thực A1(−a; ,) A a2( ); , Hai ñường tiệm cận: y bx
a = ± Tâm sai:e c
a = > ðường chuẩn: x a
e = ±
Khoảng cách hai ñường chuẩn: d 2a e =
3 ðiều kiện ñể ñường thẳng Ax+By+C=0 tiếp xúc với hypebol là: A2a2−B2b2=C2
x y
F
2
F
1
B
2
B
1
A
2
A
1
O
M
y= b ax
y=-b ax
B1 B2
A2 F2 A1
F1
O y
(2)III Parabol
1 Phương trình tắc: y2 =2px, (p>0 gọi tham số tiêu) 2 Các yếu tố:
Một tiêu ñiểm ; p F
, ñường chuẩn p x= −
B Các dạng tập
Chủ đề 1: Lập phương trình đường conic xác định yếu tố Bài: (KA-08) Trong mp Oxy viết phương trình tắc Elip (E) biết (E) có tâm sai
3 hình chữ nhật sở có chu vi 20
Bài: (KD-05) Trong mặt phẳng Oxy cho C(2;0) elip
2
( ) :
4
x y
E + = Tìm tọa độ điểm A,B thuộc E, biết hai ñiểm A, B ñối xứng với qua Ox tam giác ABC tam giác
Bài: Lập phương trình tắc Elip biết elip có tâm O, tiêu điểm Ox , qua M(− 3;1) khoảng cách hai ñường chuẩn
Bài: Cho elip có phương trình
2
1 25 16
x y
+ = Tìm điểm M (E) cho MF2 =2MF1, ñây F1, F2
là tiêu ñiểm trái tiêu ñiểm phải (E)
Bài: Lập phương trình hypebol (H), biết tiêu ñiểm Ox, ñộ dài tiêu cự 10 đường tiệm cận có phương trình 3x-4y=0
Bài: Cho hypebol
2
( ) :
16 x y H − =
a) Tìm M thuộc (H) cho M nhìn hai tiêu điểm góc 60o
b) Tìm M thuộc (H) cho bán kính qua tiêu ñiểm hai lần bán kính qua tiêu ñiểm Bài 7:
a) Cho (C) ñường cong có phương trình y2+4y−4x=0 Bằng phép tịnh tiến trục tọa ñộ, chứng minh (C) Parabol Xác ñịnh tiêu ñiểm ñường chuẩn parabol
b) Cùng câu hỏi với (C):
6
x + x− + =y Bài 8: Cho parabol
4
y = x hai điểm A(0;4), B(-6;4)
a) Tìm (P) ñiểm C cho ABC tam giác vuông A b) Tìm (P) điểm C cho tam giác ABC có diện tích bé
Chủ đề 2: Bài toán tương giao conic với ñường khác Bài 1: Cho (H):
2
1
1
x y
− = ñường thẳng d: 2x− + =y m
a) Chứng minh với m, (H) d cắt A, B thuộc hai nhánh khác (H) ( giả sử xA <xB)
b) Tìm M cho BF2 =2AF1, ñây F1(-3;0), F2(3;0) tiêu ñiểm (H)
Bài 2: Cho elip (E) có phương trình
2
1
25
x y
+ = ñường thẳng d: 2x+15y-10=0 Chứng minh d cắt (E) hai ñiểm phân biệt A, B A thuộc Ox Tìm độ dài ñoạn AB
B2 F2
y
(3)Bài 3: Cho elip (E) có phương trình
2
1
25
x y
+ = , ñiểm M(1;1) Viết phương trình đường thẳng qua M cắt (E) hai ñiểm phân biệt A, B cho M trung ñiểm AB
Bài 4: Cho hai elip
2 2
2
1
( ) : 1, ( ) :
16
x x y
E +y = E + = Viết phương trình đường trịn ñi qua giao ñiểm hai elip nói
Chủ đề 3: Các tốn định tính ba ñường conic
Loại 1: Các toán sử dụng ñịnh nghĩa ba ñường conic
Bài 1: Cho parabol (P): y2=2px ñường thẳng ∆ di ñộng ñi qua tiêu ñiểm F Parabol cắt (P) hai ñiểm phân biệt M,N Chứng minh đường trịn đường kính MN ln tiếp xúc với ñường thẳng cố ñịnh
Bài 2: Cho hai đường trịn (C1) có tâm F1, bán kính R1; (C2) có tâm F2, bán kính R2, R1>R2
0<F1F2<R1-R2 Gọi M tâm đường trịn (C) di ñộng cho (C) tiếp xúc với (C1) tiếp xúc
ngồi với (C2) Tìm quỹ tích M
Xét trường hợp cụ thể (C1) : (x+5)2+y2 =441,(C2) : (x−5)2+y2 =25
Bài 3: Cho đường trịn tâm F1 bán kính 2a điểm F2 ngồi đường trịn Tìm quỹ tích tâm M
đường trịn qua F2 tiếp xúc với đường trịn nói
Bài 4: Cho elip (E) có phương trình
2
1 25 16
x y
+ = , có hai tiêu ñiểm F1, F2; A B hai ñiểm (E) cho
AF1+BF2=8 Tính AF2+BF1
Loại 2: Một số tốn định tính ba ñường conic
Bài: Cho hypebol (H):
2
2
x y
a −b = , M x y( ;0 0) điểm (H) Gọi , '∆ ∆ hai tiệm cận (H) Chứng minh rằng: ñại lượng (d M, ) (∆ d M, ')∆ không phụ thuộc vào vị trí M (H)
Bài: (KD-08) Trong mp Oxy cho parabol ( ) :P y2 =16x A(1;4) Hai ñiểm phân biệt B,C ( ,B C≠ A) di ñộng (P) cho BAC=900 Chứng minh đường BC ln qua điểm cố định
BÀI TẬP TỰ GIẢI Bài tập Elip Bài: Cho elip (E):
2
1
8
x y
+ = ; F1, F2 tiêu ñiểm trái phải (E) Tìm điểm M thuộc (E)
cho MF1−MF2 =2 ðS: M( 2; 3),M(− 2;− 3)
Bài: Trên mp(Oxy), lập phương trình tắc elip (E) có độ dài trục lớn 4 2, ñỉnh trục nhỏ hai tiêu ñiểm nằm đường trịn ðS:
2
1
8
x y
+ =
Bài : Cho đường trịn (C): (x+2)2+y2 =36 điểm F2(2; 0) Xét đường trịn tâm M qua F2 tiếp xúc với (C) Tìm quỹ tích tâm M
ðS: Quỹ tích elip:
2
1
9
x y
(4)Bài: KD 05 Trong mặt phẳng Oxy cho C(2;0) elip
2
( ) :
4
x y
E + = Tìm tọa độ ñiểm A,B thuộc E, biết hai ñiểm A, B ñối xứng với qua Ox tam giác ABC tam giác ñều
Bài: TK 06 Trong mặt phẳng Oxy cho elip
2
( ) :
12
x y
E + = Viết phương trình Hypebol có hai đường tiệm cận y= ±2x có hai tiêu ñiểm hai tiêu ñiểm (E)
Bài: CðCKLK 06 Trong mp Oxy viết phương trình Elip (E) biết hai tiêu ñiểm F1(− 10; 0),F2( 10; 0)
và ñộ dài trục lớn 18
Bài: CDDTCKT 06 Trong mặt phẳng Oxy cho elip
2
( ) :
8
x y
E + = , tiêu điểm F F1, 2 (F1có hồng độ âm) Tìm M thuộc (E) cho MF1−MF2 =2
Bài: KA 08 Trong mp Oxy viết phương trình tắc Elip (E) biết (E) có tâm sai
3 hình chữ nhật sở có chu vi 20
Bài: KB 2010 –NC Trong mp Oxy cho ñiểm (2; 3)A elip
2
( ) :
3
x y
E + = Gọi F F1, 2 tiêu điểm (E) (F1có hồng độ âm); M giao điểm có tung độ dương ñường thẳng AF1 với (E); N ñiểm ñối xứng F2 qua M Viết phương trình đường trịn ngoại tiếp tam giác ANF2
Bài: KA-2011 CTNC Trong mặt phẳng tọa ñộ Oxy, cho elip (E) :
2
1
4
x y
+ = Tìm tọa độ điểm A B thuộc (E), có hồnh độ dương cho tam giác OAB cân O có diện tích lớn
Bài: Cho elip ( ) :E x2+4y2 =4 có tiêu điểm F F1, 2 M điểm (E) a) Tìm (E) điểm M cho F M1 =2F M2
b) Chứng minh: F M F M1 2 +OM2=a2+b2 Bài: Bài: Cho elip
2
( ) :
4 x
E +y = Tìm :
a) (E) điểm N có tung độ gấp đơi hồnh độ b) (E) điểm P cho F PF1 2=90o
c) Tọa độ đỉnh hình hình vng nội tiếp (E) biết hình vng có cạnh song song với Ox, Oy Bài: Cho elip ( ) : 5E x2+9y2=45 có tiêu điểm F F1, 2 M điểm (E)
a) Chứng minh: chu vi tam giác F MF1 2 không đổi Tìm M để diện tích tam giác F MF1 2
b) Tìm M cho 1 2
1
1
T F M F M
F M F M
= + + + lớn
Bài: Cho ñiểm M di ñộng ( ) : 9E x2+16y2=144 H K hình chiếu M hai trục Tìm M để diện tích tứ giác OHMK lớn
Bài: Cho elip
2
( ) :
6
x y E + =
(5)c) Tìm (E) ñiểm M cho F M1 −F M2 =
Bài: Cho hai elip (E1) :x2+8y2 =16, (E2) : 4x2+9y2=36 Viết phương trình đường trịn qua giao điểm elip
Bài: Cho M,N hai ñiểm Elip ( ) : 4E x2+9y2=36 khơng trùng với đỉnh Gọi I trung điểm MN
a) Chứng minh rằng: tích hệ số góc đường MN đường OI có giá trị khơng đổi b) Viết phương trình đường MN biết I có tọa độ (1;1)
Bài tập Hypebol Bài: Trên mp, cho hypebol (H):
2
1
2
x y
− = điểm M(2;1) Viết phương trình đường thẳng qua M cắt (H)
tại A B cho M trung ñiểm AB ðS: 3x-y-5=0
Bài: Cho hypebol (H):
2
1 64 36 x y
− =
a) Xét ñiểm M(16; 3) N(8;0) thuộc (H) Tìm giao điểm P, Q ∆ nối M, N với (H) b) Chứng minh trung ñiểm MN PQ trùng
ðS: (12 3;3 9), (12 3;3 9)P − − Q + + Bài: Trên mp, cho elip (E):
2
1
9
x y
+ = hypebol (H):
2
1
1
x y
− = Lập phương trình đường trịn (C)
qua giao ñiểm (E) (H) ðS: (C) 2
5 x +y = Bài: Cho Hypebol
2
( ) :
9
x y
H − =
a) Tìm (H) điểm M cho F MF1 2 =900 b) Tìm (H) điểm M cho F M1 =2F M2 Bài: Cho Hypebol
2
2
(H) :x y
a −b = có tiêu điểm F F1, 2, điểm M thuộc (H) Chứng minh rằng: tích khoảng cách từ M đến hai tiệm cận có giá trị khơng đổi
Bài: Cho Hypebol
2
( ) :
1
x y
H − = Một đường d có phương trình y=x+m cắt (H) M,N hai tiệm cận P,Q Chứng minh: MP=NQ
Bài: Cho Hypebol (H) : 9x2−4y2 =36
a) Xác ñịnh tiêu ñiểm, ñộ dài trục tiệm cận
b) M ñiểm tùy ý (H) Chứng minh: (F M1 +F M2 )2−4OM2 số
c) Cho ñường thẳng d thay đổi x+y+m=0 Chứng minh: d ln cắt (H) hai điểm phân biệt P,Q Tính PQ theo m
Bài: Cho Hypebol (H) có ñỉnh có tọa ñộ (1;0) tiêu ñiểm ( 5; 0) a) Viết phương trình (H)
b) ðịnh m ñể hai ñường d: mx-y=0 d’: x+my=0 ñều cắt (H)
c) Gọi M, P N,Q giao ñiểm d d’ với (H) Tứ giác MNPQ hình gì? Tính diện tích m=
Bài: Cho Hypebol (H) :x2−3y2 =12
(6)b) Tìm (H) điểm M cho F MF1 2 =1200 c) Tìm M thuộc (H) cho 1 2
2
1
T F M F M
F M F M
= − + − lớn
d) Cho điểm M thuộc (H), tính tích khoảng cách từ M ñến hai tiệm cận Bài tập Parabol
Bài: Cho parabol (P) có phương trình y2=x điểm I(0;2) Tìm tọa độ hai điểm M,N thuộc (P) cho
4
IM = IN
ðS: 1
2
(4; 2), (1;1) (36; 6), (9;3)
M N
M N
−
Bài : Trên mp, cho parabol (P) ñường thẳng d sau: (P): y2 =2x; (d): 2my−2x+ =1
a) Chứng minh với giá trị m, (d) ln qua tiêu điểm F (P) cắt (P) hai ñiểm phân biệt M,N
b) Tìm quỹ tích trung điểm I đoạn MN m thay đổi
ðS: Quỹ tích parabol: 2 y=x + Bài: Cho Parabol ( ) :P y2=4x
a) Tìm (P) điểm cách d: 3x-4y+10=0 khoảng ngắn
b) Cho A B hai điểm (P) có tung độ -2 M điểm cung AB có tung độ y 2− ≤ ≤y Tính diện tích tam giác MAB theo y Tìm y để diện tích tam giác MAB nhỏ
c) Tìm m cho ñường y=x+m cắt (P) hai ñiểm M,N FM=2FN Bài: Cho Parabol ( ) :P y2 =2px AB dây cung di ñộng (P)
a) Biết đường thẳng AB có hệ số góc khơng đổi k khác Chứng minh: trung ñiểm I AB di ñộng ñường thẳng cố ñịnh
b) Viết phương trình đường AB biết trung điểm ñoạn AB có tọa ñộ (2;4)
Bài: Cho Parabol ( ) :P y2=4x Một ñường d qua tiêu ñiểm F có hệ số góc k khác cắt (P) M,N a) Cm tích khoảng cách từ M,N đến trục Ox có giá trị khơng đổi
b) Tìm k cho FM=4FN c) Chứng minh góc MON tù Bài: Cho Parabol ( ) :P y2=8x
a) xác ñịnh tiêu ñiểm F ñường chuẩn ∆ (P)
b) Một ñường thẳng quay quanh tiêu điểm F có hệ số góc k khác cắt (P) M,N Chứng minh: tích khoảng cách từ M,N đến trục tung có giá trị khơng đổi
c) Gọi H,K hình chiếu M,N đường chuẩn Tính diện tích hình thang MNKH theo k Bài: Cho Parabol ( ) :
4 P y = x
a) Tìm tiêu ñiểm F ñường chuẩn
b) Một ñường thẳng qua F có hệ số góc m cắt (P) M,N Tìm tọa độ trung điểm I MN Suy I di ñộng parabol cố ñịnh
Bài: Cho Parabol ( ) :P y2=2x Hai đường thẳng qua O vng góc với có hệ số góc
, ( 0)
k k
k
− ≠ cắt P M,N a) Tìm tọa độ điểm M,N
(7)c) Chứng minh trung ñiểm đoạn MN ln thuộc parabol cố định
Bài: Cho Parabol ( ) :P y2=4x ñường thẳng d di động có phương trình y=m m≠0 a) xác ñịnh tiêu ñiểm F ñường chuẩn ∆
b) d cắt ñường chuẩn ∆, Oy, (P) K,H,M Tìm tọa độ điểm
c) Gọi I trung ñiểm OH Viết phương trình IM chứng tỏ đường thẳng IM cắt (P) ñiểm
d) Chứng minh MI ⊥KF Suy MI phân giác góc KMF