3 Đường Conic

Ba đờng cônic Trần Hải Nhân_Trờng THPT Lệ Thủy 1 Ba đờng cônic Lý thuyết I.Elíp 1)Định nghĩa:Cho hai điểm cố định F 1 , F 2 với F 1 F 2 = 2c (c > 0) và hằng số a>c. Elíp (E) là tập hợp các điểm M thỏa mãn MF 1 +MF 2 = 2a. (E) = { M: MF 1 +MF 2 = 2a} Ta gọi : F 1 , F 2 là tiêu điểm của (E). Khoảng cách F 1 F 2 = 2c là tiêu cự của (E). 2)Phơng trình chính tắc của elip: (E): 1 2 2 2 2 b y a x ( với b 2 = a 2 - c 2 ) 3)Hình dạng và tính chất của (E): *Tiêu điểm: Tiêu điểm trái F 1 (- c; 0) Tiêu điểm phải F 2 ( c; 0) *Các đỉnh : A 1 ( -a ; 0); A 2 ( a; 0); B 1 (0; - b); B 2 (0; b) *Trục lớn : A 1 A 2 = 2a, nằm trên trục Ox Trục nhỏ :B 1 B 2 = 2b, nằm trên trục Oy *Tâm sai : e = a c <1 *Bán kính qua tiêu điểm của điểm M(x M ; y M ) thuộc (E) là: Bán kính qua tiêu điểm trái: MF 1 = a + e.x M = a+ a c x M Bán kính qua tiêu điểm phải: MF 2 = a - e.x M = a- a c x M *Đờng chuẩn: x = e a *Phơng trình các cạnh của hình chữ nhật cơ sở: x = a; y = b ( Độ dài hai cạnh là 2a và 2b) *Trục đối xứng: Ox; Oy Tâm đối xứng: O 4)Tiếp tuyến của elip Định nghĩa: Cho elip (E) và đờng thẳng (d) .Đờng thẳ ng (d) gọi là tiếp tuyến của (E) nếu (d) có một điểm chung duy nhất với (H) Định lý :Cho elip (E) có phơng trình chính tắc: Ba đờng cônic Trần Hải Nhân_Trờng THPT Lệ Thủy 2 (E): 1 2 2 2 2 b y a x với b 2 = a 2 - c 2 Đờng thẳng (d): Ax+By+C=0 ( với A 2 +B 2 0) là tiếp tuyến của (E) khi và chỉ khi : A 2 a 2 +B 2 b 2 =C 2 ( gọi là điều kiện tiếp xúc) Chứng minh: Đờng thẳng (d) tiếp xúc với (E) khi và chỉ khi hệ phơng trình sau có nghiệm duy nhất 0 1 2 2 2 2 CByAx b y a x 0 1 22 C b y Bb a x Aa b y a x (I) Đặt X= a x , Y= b y ta có hệ: 0 1 22 CYBbXAa YX (II) Hệ (I) có nghiệm duy nhất khi hệ (II) có nghiệm duy nhất Đờng thẳng (d): AaX+BbY+C=0 tiếp xúc với đờng tròn (C ): X 2 +Y 2 =1 Khoảng cách từ tâm O(0;0) đến đờng thẳng (d) bằng bán kính R = 1 1 2222 bBaA C A 2 a 2 +B 2 b 2 =C 2 Hệ quả: Cho elip (E) có phơng trình chính tắc: (E): 1 2 2 2 2 b y a x với b 2 = a 2 - c 2 Nếu điểm M(x M ; y M ) thuộc (E) thì tiếp tuyến c ủa (E) tại M có phơng trình là (d): 1 22 b yy a xx MM Chứng minh Do M thuộc (E) nên có : 1 2 2 2 2 b y a x MM Hiển nhiên M thuộc (d) Ta có (d): 1 22 b yy a xx MM 01 22 b yy a xx MM Ba đờng cônic Trần Hải Nhân_Trờng THPT Lệ Thủy 3 Theo điều kiện của định lý có : 2 2 2 2 2 2 b b y a a x MM = 1 2 2 2 2 b y a x MM Vậy (d) là tiếp tuyến của (E) tại M II.Hypebol 1.Định nghĩa:Cho hai điểm cố định F 1 , F 2 với F 1 F 2 = 2c (c > 0) và hằng số a<c.Hypebol (H) là tập hợp các điểm M thỏ a mãn MF 1 -MF 2 = 2a. (H) = { M: MF 1 -MF 2 = 2a} Ta gọi : F 1 , F 2 là tiêu điểm của (E). Khoảng cách F 1 F 2 = 2c là tiêu cự của (E). 2.Phơng trình chính tắc của hypebol: (H): 1 2 2 2 2 b y a x ( với b 2 = c 2 - a 2 ) 3.Hình dạng và tính chất của (H ): *Tiêu điểm: Tiêu điểm trái F 1 (- c; 0) Tiêu điểm phải F 2 ( c; 0) *Các đỉnh : A 1 ( -a ; 0); A 2 ( a; 0) *Trục thực: A 1 A 2 = 2a, nằm trên trục Ox Trục ảo: B 1 B 2 = 2b, nằm trên trục Oy *Tâm sai : e = a c >1 *Bán kính qua tiêu điểm của điểm M(x M ; y M ) thuộc (E) là: Bán kính qua tiêu điểm trái: MF 1 = a + e.x M = a+ a c x M Bán kính qua tiêu điểm phải: MF 2 = a - e.x M = a- a c x M *Đờng chuẩn: x = e a *Phơng trình các cạnh của hình chữ nhật cơ sở: x= a; y = b ( Độ dài hai cạnh là 2a và 2b) *Phơng trình các đờng tiệm cận: y = a b x * Trục đối xứng: Ox; Oy Tâm đối xứng: O 4.Tiếp tuyến của hypebol Định nghĩa:Cho hypebol (H) và đờng thẳng (d) .Đờng thẳng (d) gọi là tiếp tuyến Ba đờng cônic Trần Hải Nhân_Trờng THPT Lệ Thủy 4 của (H) nếu (d) không song song với các đờng tiệm cận của (H) và (d) có một điểm chung duy nhất với (H) Định lý :Cho hypebol (H) có phơng trình chính tắc: (H): 1 2 2 2 2 b y a x với b 2 = c 2 - a 2 Đờng thẳng (d): Ax+By+C=0 ( với A 2 +B 2 0) là tiếp tuyến của (H) khi và chỉ khi : A 2 a 2 -B 2 b 2 =C 2 0 ( gọi là điều kiện tiếp xúc) Chứng minh: Hai đờng tiệm cận của (H) có phơng trình là: y= x a b bx ay= 0 Điều kiện để (d) không song song với hai đờn g tiệm cận là: b B a A A 2 b 2 - B 2 b 2 0 Đờng thẳng (d) tiếp xúc với (H) khi A 2 b 2 - B 2 b 2 0 (*)và hệ phơng trình sau có nghiệm duy nhất : (I) 0 1 2 2 2 2 CByAx b y a x 0 1 22 CByAx b y a x 0 1 22 x C x By A bx ay x a 0 1 22 A bx ay a Bb x a a C bx ay x a Đặt X= x a , Y= bx ay ta có hệ: 0 1 22 AY a Bb X a C YX (II) Hệ (I) có nghiệm duy nhất kh i hệ (II) có nghiệm duy nhất Đờng thẳng (d): a C X+ a Bb Y+A=0 tiếp xúc với đờng tròn (C ): X 2 +Y 2 =1 Khoảng cách từ tâm O(0;0) đến đờng thẳng (d) bằng bán kính R = 1 Ba đờng cônic Trần Hải Nhân_Trờng THPT Lệ Thủy 5 1 2 22 2 2 a bB a C A A 2 a 2 -B 2 b 2 =C 2 Kết hợp với điều kiện (*) thì (d) là tiếp tuyến của(H) khi và chỉ khi A 2 a 2 -B 2 b 2 =C 2 0 Hệ quả: Cho (H) có phơng trình chính tắc: (H): 1 2 2 2 2 b y a x với b 2 = a 2 - c 2 Nếu điểm M(x M ; y M ) thuộc (H) thì tiếp tuyến của (H ) tại M có phơng trình là (d): 1 22 b yy a xx MM Chứng minh Do M thuộc (H) nên có : 1 2 2 2 2 b y a x MM Hiển nhiên M thuộc (d) Ta có (d): 1 22 b yy a xx MM 01 22 b yy a xx MM Theo điều kiện của định lý có : 2 2 2 2 2 2 b b y a a x MM = 1 2 2 2 2 b y a x MM Vậy (d) là tiếp tuyến của (H ) tại M III. Parabol 1. Định nghĩa:Cho điểm cố định F và đờng thẳng cố định không đi qua F.Parabol (P) là tập hợp các điểm M cách đều điểm F và đờng thẳng . (P) = { M: MF= d(M; )} Ta gọi : F là tiêu điểm của (P). Đờng thẳng là đờng chuẩn của p= d(F; ) là tham số tiêu 2.Phơng trình chính tắc của parabol: (P): y 2 = 2px 3.Hình dạng và tính chất của (E): *Tiêu điểm: Tiêu điểm F( 2 p ; 0) Ba đờng cônic Trần Hải Nhân_Trờng THPT Lệ Thủy 6 *Phơng trình đờng chuẩn : x = - 2 p *Đỉnh : O(0; 0) *Bán kính qua tiêu điểm của điểm M(x M ; y M ) thuộc (P) là: MF = d(M; ) = x M + 2 p *Trục đối xứng: Ox 4.Tiếp tuyến của parabol Định nghĩa: Cho parabol (p) và đờng thẳng (d) .Đờng thẳ ng (d) gọi là tiếp tuyến của (P) nếu (d) không song song với trục đối xứng của (P) và (d) có một điểm chung duy nhất với (P) Định lý:Cho parabol (P) có phơng trình chính tắc: (P): y 2 = 2px Đờng thẳng (d): Ax+By+C=0 ( với A 2 +B 2 0) là tiếp tuyến của (P ) khi và chỉ khi : pB 2 =2AC ( gọi là điều kiện tiếp xú c) Chứng minh: Ta thấy trục 0x cắt (P) tại một điểm nhng không là tiếp tuyến của (P) Để (d) không song song với trục 0x thì A 0 Khi đó (d) tiếp xúc với (P) khi và chỉ khi hệ sau có nghiệm duy nhất (I) 0 2 2 CByAx pxy A CBy x A CBy py )1(2 2 ( Do A 0) Hệ (I) có nghiệm duy nhất khi phơng trình (1) có nghiệm duy nhất y 2 +2p A B y + 2p A C = 0 có nghiệm duy nhất = A pC A B p 2 2 =0 pB 2 =2AC ( thỏa mãn A0) (đpcm) Hệ quả: Cho parabol (P) có phơng trình chính tắc: (P): y 2 = 2px Nếu điểm M(x M ; y M ) thuộc (P) thì tiếp tuyến của (P) tại M có phơng trình là (d): y.y M = p(x+x M ) Chứng minh Ba đờng cônic Trần Hải Nhân_Trờng THPT Lệ Thủy 7 Vì M thuộc (P) nên IV.Ba đờng cônic 1.Định nghĩa:Cho điểm F cố định , một đờng thẳng cố định không đi qua F và một số dơng e. Cônic ( C) là tập hợp các điểm M sao cho e Md MF );( . (C)= e Md MF M );( : Ta gọi: F là tiêu điểm là đờng chuẩn e là tâm sai 2.Nhận xét *Cho elip (E) có phơng trình chính tắc: (E): 1 2 2 2 2 b y a x với b 2 = a 2 - c 2 Tâm sai e= a c <1 Đờng chuẩn: 1 : x = - e a ứng với tiêu điểm trái F 1 (- c; 0) 2 : x = e a ứng với tiêu điểm phải F 2 ( c; 0) Với mọi điểm M thuộc (E) thì: );( 1 1 Md MF = );( 2 2 Md MF = e Vậy đờng (E) là đờng cônic với e< 1. *Cho hypebol (H) có p hơng trình chính tắc: (H): 1 2 2 2 2 b y a x với b 2 = c 2 - a 2 Tâm sai e= a c >1 Đờng chuẩn: 1 : x = - e a ứng với tiêu điểm trái F 1 (- c; 0) 2 : x = e a ứng với tiêu điểm phải F 2 ( c; 0) Với mọi điểm M thuộc (H) thì: );( 1 1 Md MF = );( 2 2 Md MF = e Ba đờng cônic Trần Hải Nhân_Trờng THPT Lệ Thủy 8 Vậy đờng (H) là đờng cônic với e> 1. *Cho parabol (P): y 2 = 2px Tiêu điểm F( 2 p ; 0) Phơng trình đờng c huẩn : x = - 2 p Với mọi điểm M thuộc (P) thì: );( Md MF = 1 Vậy đờng (P) là đờng cônic với e=1. Một số dạng bài tập Dạng 1. Xác định các yếu tố của (E),(H),(P) khi biết phơng trình chính tắc của chúng. Phơng pháp: Sử dụng các công thức xác định các yếu tố của (E) ,(H),(P). Ví dụ 1. Cho elip (E) có phơng trình 1 14 22 yx Tìm tiêu điểm , tâm sai, đờng chuẩn của (E) Giải Từ phơng trình của (E) a 2 = 4, b 2 =1c 2 =a 2 -b 2 =3. Vậy a = 2, b = 1, c = 3 Khi đó : Tiêu điểm của (E) là F 1 (- 3 ; 0), F 2 ( 3 ; 0) Tâm sai của (E) là e= 2 3 a c Đờng chuẩn của (E) là x= 3 4 Ví dụ 2. Cho hypebol (H) có phơng trình 1 54 22 yx Tìm tiêu điểm , tâm sai, các đờng tiệm cận của (H) Giải Từ phơng trình chính tắc của (H ) a 2 = 4, b 2 =5c 2 =a 2 +b 2 =9. Vậy a = 2, b = 5 , c = 3 Khi đó : Tiêu điểm của ( H) là F 1 (-3; 0), F 2 (3; 0) Tâm sai của (H) là e= 2 3 a c Đờng tiệm cận của (H) là y= 2 5 x Ba đờng cônic Trần Hải Nhân_Trờng THPT Lệ Thủy 9 Ví dụ 3. Cho parabol (P) có phơng trình y 2 = 4x Tìm tiêu điểm và đờng chuẩn của (P). Giải Từ phơng trình của (P) 2p= 4p = 2 Ta có : Tiêu điểm của (P) là F( 1; 0) Đờng chuẩn của (P) là x = - 1 Dạng 2. Lập phơng trình chính tắc của (E),(H),(P). Phơng pháp :Để lập phơng trình chính tắc của (E)(H)(P) ta cần xác định các hệ số a, b,p trong các phơng trình đó. Ví dụ 4.Lập phơng trình chín h tắc của elip (E) , biết (E) đi qua điểm M( 5 ; - 2) và khoảng cách giữa hai đờng chuẩn bằng 10. Giải Gọi phơng trình chính tắc của (E) là: 1 2 2 2 2 b y a x với b 2 =a 2 - c 2 Phơng trình đờng chuẩn là: x = e a Khoảng cách giữa hai đờng chuẩn là c a e a 2 22 = 10 a 2 = 5c a 4 =25 c 2 a 4 =25(a 2 -b 2 ) b 2 =a 2 - 25 4 a (*) Do (E) đi qua điểm M( 5 ; - 2) nên: 1 45 22 ba 1 25 45 4 2 2 a a a 5(1- 25 2 a )+4= a 2 - 25 4 a a 4 - 30a 2 +225 = 0 (a 2 - 15) 2 = 0 a 2 = 15 Thay vào (*) thì b 2 = 6 Vậy phơng trình của (E) là: 1 615 22 yx Ví dụ 5. Viết phơng trình chính tắc của hypebol (H) , biết (H) đi qua M(- 2;1)và góc giữa hai đờng tiệm cận bằng 60 0 . Giải Ba đờng cônic Trần Hải Nhân_Trờng THPT Lệ Thủy 10 Gọi phơng trình chính tắc của (H) là: 1 2 2 2 2 b y a x với b 2 =c 2 - a 2 Vì M (H) nên 1 14 22 ba (*) Phơng trình hai đờng tiệm cận là: 1 : y = a b x bx- ay = 0 2 : y = - a b x bx+ ay = 0 Góc giữa hai đờng tiệm cận là: cos( 1 ; 2 ) = 22 22 ab ab cos60 0 = 22 22 ab ab 2 1 = 22 22 ab ab 2 22 ab = b 2 +a 2 )()(2 )(2 2222 2222 abab abab 22 22 3 3 ba ab Với b 2 = 3a 2 thay vào (*) đợc a 2 = 3 11 ; b 2 = 11 Pt (H): 1 11 3 11 22 yx Với a 2 =3b 2 thay vào (*) đợc a 2 = 1; b 2 = 3 1 Pt (H): 1 3 1 1 22 yx Ví dụ 6. Viết phơng trình chí nh tắc của hypebol (H) biết tâm sai e = 2 , các tiêu điểm của (H) trùng với các tiêu điểm của elip. Giải Ta có elip (E): 1 925 22 yx có a 2 = 25, b 2 = 9 c 2 = a 2 -b 2 =16 c = 4. Tiêu điểm của (E) là F 1 (-4; 0), F 2 (4; 0) Gọi phơng trình chính tắc của hypebol (H) là: 1 2 2 2 2 b y a x với b 2 = c 2 - a 2 . Vì các tiêu điểm của(H) trùng với các tiêu điểm của (E) nên có c = 4 Do (H) có tâm sai e = a c = 2 c = 2a a = 2 [...]... 9 1 119 144 25 3 ; 119 12 12 x2 9 3 12 y2 3 1 3 119 12 x2 9 1 1 3 x2 9 4 3 x 2 3 2 3; 1 2 x0 2 x0 9 x0 2 2 y0 y0 3 3 5 2 3 2 y0 3 5 ; 2 2 MF2 MF1 MF2 45 5 3 4 2 2 y0 x0 MF1 1 x0 27 3 5 3 ; 2 2 c 2 12 2 2 3 x0 9 y 0 2 y0 3 2 3 5 3 ; 2 2 3 5 ; 2 MF1 12 6 MF2 c x0 a a 6 c a 2 3 3 9 3 2 9 3 2 27 4 y0 3 2 69 4 1 9 3 ; 2 69 2 69 2 3 2 p 2 2 3 x 2y y2 4x x 2y 0 2y x 16 y 8 0 x2 a2 y2 b2 bx0 bx0 a a2 ay 0... xM - 4xN = 3 3 4 ( 3) 5 3 ; 5 5 4 5 x2 4 y2 5 1 15 2 3 4 5 3 5 3 2 3 2 x2 y2 1 196 147 x2 16 2 5 y2 4 1 x2 25 y2 x2 4 1 5x 4 y2 1 3 x2 y2 48 x2 16 1 d ( A, ) d ( B, ) y2 25 1 x2 y2 4 x2 1 1 y2 1 2 1 AF BF 2 2 x2 32 x2 y2 4 y2 18 1 8 3 x2 a2 y2 b2 1 1 b a IF2 ud x2 4 y2 1 1 A, B ( E ) AB AC 2 4 3 ; 7 7 2 4 3 ; 7 7 2 4 3 ; 7 7 2 4 3 ; 7 7 x2 9 3 2 10 18 10 y2 4 1 x2 18 y2 8 1 3; 2 x2 8 2; 3 3 4 x2 16... 1 0 y0 5 3 8 3 5 3 x2 5 y2 4 x2 4 1 5 3 8 3 y2 5 2 3 1 5 A2 C2 A2 B2 4 A2 B C 4B 2 5B 2 C2 C2 9B 2 1 3 OI x X x0 y Y y0 OI i j OM IM OM x 12 4 OI y 2 1 i i IM x j j X x0 y Y y0 2 1 OI x X 1 y Y 2 X2 4 Y2 1 1 5 5 5 1 2 5 5 1 2 (8 x ) 2 y2 (2 x) 2 y2 3x 4 y 1 5 2 x2 25 y2 9 2 x0 25 1 y0 9 c a 2 1 4 5 c a 4 5 4 5 4 5 12 5 25 144 25 12 2 y0 9 2 y0 9 1 119 144 25 3 ; 119 12 12 x2 9 3 12 y2 3 1 3 119 12... ( E ) AB AC 2 4 3 ; 7 7 2 4 3 ; 7 7 2 4 3 ; 7 7 2 4 3 ; 7 7 x2 9 3 2 10 18 10 y2 4 1 x2 18 y2 8 1 3; 2 x2 8 2; 3 3 4 x2 16 x2 64 y2 9 y2 48 1 1 8 3 8 3 MF2 d (M , ) 12 12 y2 4 1 MF2 d (M , ) 3 2 5 2 21 5 x2 a2 y2 b2 1 5 2 x2 4 y2 1 5 3 5 3 2( a b ) e x2 36 y2 16 20 1 x2 a2 y2 b2 1 x 1 OA 2 2 x0 a2 2 y0 b2 1 a 1 OB 2 ab 1 k 2 b2 k 2a2 . b 2 +a 2 )()(2 )(2 2222 2222 abab abab 22 22 3 3 ba ab Với b 2 = 3a 2 thay vào (*) đợc a 2 = 3 11 ; b 2 = 11 Pt (H): 1 11 3 11 22 yx Với a 2 =3b 2 thay vào (*) đợc a 2 = 1; b 2 = 3 1 Pt (H): 1 3 1 1 22 yx Ví dụ. nên 1 39 2 0 2 0 yx 3x 0 2 - 9y 0 2 = 27 Ta có hệ 27 93 12 2 0 2 0 2 0 2 0 yx yx 4 3 5 45 2 0 2 0 y x 2 3 2 53 0 0 y x Vậy tọa độ điểm M là: 2 3 ; 2 53 ; 2 3 ; 2 53 ; 2 3 ; 2 53 ; 2 3 ; 2 53 c)Vì. a =3 b 2 = 3 b = 3 c 2 =a 2 + b 2 = 12c= 12 a)Thay y = 1 vào phơng trình của (H) đợc: Ba đờng cônic Trần Hải Nhân_Trờng THPT Lệ Thủy 16 1 3 1 9 2 x 32 3 4 9 2 xx Vậy tọa độ của M là 1 ;32 b)Gọi