ÔN TẬP CHƯƠNG III ''''CẤP SỐ CỘNG, CẤP SỐ NHÂN''''

Kiến thức 3 Cấp số cộng, cấp số nhân 2 Dãy số -Tính chất 1 Ph ơng pháp quy nạp toán học Nhắc lại kiến thức đã học ở ch ơng III... Các dạng bài toán 3 Bài tập về cấp số 2 Bài tập về dãy

«n tËp ch ¬ng III

Kiến thức

3) Cấp số cộng, cấp số nhân 2) Dãy số -Tính chất

1) Ph ơng pháp quy nạp toán học

Nhắc lại kiến thức đã học

ở ch ơng III

KiÕn thøc

1 Néi dung cña ph ¬ng ph¸p quy n¹p to¸n häc

2 §Þnh nghÜa vµ tÝnh chÊt cña d·y sè

CÊp sè céng CÊp sè nh©n

§Þnh nghÜa

Sè h¹ng

tæng qu¸t

TÝnh chÊt

Tæng n sè

h¹ng

®Çu tiªn

d n

n nu

S hay

u u n

n

2

) 1 (

2

) (

1

1











u n+1 =u n +d

C«ng sai d, nN *

u n+1 =u n .q C«ng béi q nN*

3 §N, tÝnh chÊt, c¸c c«ng thøc sè h¹ng tæng qu¸t vµ tÝnh tæng n sè h¹ng ®Çu c¶u mét cÊp sè céng, cÊp sè nh©n

2

1

 

k

u

u u

* 1

1

, 1 ,

1

, 1

) 1

(

N n

q nu

S hay

q q

q u

s

n n















1 1

1 1

2

2 ,















k k

k k

u u

k hay

k u

u

u k

víi k2

u n =u 1 +(n-1)d víi n2 u n =u .q n-1 víi n2

(B)

(C) 3n.3

Bài 1

Cho dãy số (u n ), biết u n =3 n Hãy chọn ph ơng án đúng

(A) 3n+1 (B) 3n+3

a) Số hạng u n+1 bằng

(D) 3(n+1)

b) Số hạng u 2n bằng

(C) 3n+3

c) Số hạng u n-1 bằng

(C) 3n -3

3 1

Câu hỏi trắc nghiệm

C©u hái tr¾c nghiÖm

(B)

(C) 3n.3

Bài 1

Cho dãy số (u n ), biết u n =3 n Hãy chọn ph ơng án đúng

(A) 3n+1 (B) 3n+3 C

a) Số hạng u n+1 bằng

(D) 3(n+1)

b) Số hạng u 2n bằng

(C) 3n+3

c) Số hạng u n-1 bằng

(C) 3n -3

3 1

Gợi ý

Câu hỏi trắc nghiệm

Các dạng bài toán

3) Bài tập về cấp số

2) Bài tập về dãy số

Tìm số hạng tổng quát của dãy số Xét tính tăng giảm, bị chặn của dãy số

Xác định cấp số Tính tổng

1) Bài toán về quy nạp

toán học

Bài toán chứng minh đẳng thức, BĐT

Chứng minh công thức số hạng tổng quát của dãy số

Chứng minh tính chia hết

Cho d·y sè (u n ), biÕt u 1 =1 ; u n =2u n+1 +3 víi

a) ViÕt 5 sè h¹ng ®Çu cña d·y

b) T×m c«ng thøc sè h¹ng tæng qu¸t cña d·y

§¸p ¸n

2



n

Bµi 2

c)xÐt tÝnh t¨ng gi¶m bÞ chÆn cña d·y

D·y sè

xÐt tÝnh t¨ng gi¶m vµ bÞ chÆn cña d·y (u n ),vµ ®iÒn vµo

« trèng

Bµi 3

n

n

un   1

n

un ( 1 )n1sin 1





0 0 BÞ chÆn

1



n

u

2



n

u

n n

un   1 

1 2

1 0





u n

XÐt hiÖu un+1-un ?

Bài 4

Cho dãy số (u n ) biết u 1 =1,u 2 =2,

Tìm công thức số hạng tổng quát của dãy

kquả … u n  ?

2

, 2

1

1    

 u u n

n

1

1 

2

2

1

3





u

Từ giả thiết =>  ( un  un1)  2 ( un1  un)

đặt vn-1=un –un-1 Khi đó v n là một cấp số nhân có v 1 = 1,

q=-1/2

Ta có :

u n =(u n -u n-1 )+(u n-1 -u n-2 )+ +(u 2 -u 1 )+u 1 =v n-1 +v n-2_ + +v 2 +v 1 +1=?

Bài 5

Cho dãy số bởi công thức truy hồi sau chọn dãy số là cấp số nhân

n

n

u













2 1

n

u

u













u

u

3

1

1

1















3

1

1

n

u

u







n

7 777 , ,

777 ,

77 ,7

Xét tỉ số => đáp án B vì tỉ số đó bằng 3

giá trị không đổi

B

Bài 6 Cho cấp số cộng (u n ) chọn hệ thức

đúng trong các hệ thức sau

10 5

20

10

u

u







20

30

10

2

.

u

u

u



150 210

u   u10 u30  u20

2

Dựa vào tính chất của cấp số cộng ?

Tóm lại

• Nắm đ ợc ph ơng pháp quy nạp toán học( chứng minh số hạng tổng

quát )

• Dãy số và các tính chất của dãy số, cấp số

H ớng dẫn bài tập

• Làm các bài tập sử dụng công thức, tính chất của cấp số cộng, cấp số nhân từ bài 8 đến bài 14/Tr 125- SGK

• Đặc biệt bài 14 , cần chú ý xem khi x=1 thì ta có đ ợc bài toán nào đã biết

• Dạng bài toán : tìm số hạng tổng quát của dãy số (u n ) từ đó xét tính đơn điệu, bị chặn của dãy số đã biết

– VD : u 1 =1,u n+1 =5u n +8 (biến đổi về dạng u n+1 +2=5(u n +2))

– VD: u 1 =1 ,

3 ),

3

( 2

1 ,

4

5

2 1

2  u  u   u  n 

Dự đoán công thức : 2(u n -u n-1 )=(u n-1 -u n-2 )

1) XÐt d·y

1 2

1 1

1











n n

u n

n

n

un   1

0 )

1 (

1 1

1 1

1 1

)

1 (

)]

1

1 1

























n n n

n n

n n

n

un+1-un=

2

1







n

n

u n

0

u

MÆt kh¸c : VËy d·y sè t¨ng vµ vµ bÞ chÆn trªn

MÆt kh¸c : u n >0 vµ

=> D·y sè gi¶m Vµ bÞ chÆn

n

u n ( 1 )n1sin 1





3) T ¬ng tù u n  n   n  n 1  n 

1 1

a ) Vì u n =f(n)=3 n

=> f(n+1)=3 n+1 =3 n 3

b ) Vì u n =3 n

=> f(2n)=3 2n =(3 2 ) n =9 n

Vậy khi biết đ ợc u n ta có thể dễ ràng tính đ ợc

u n+1 ,u 2n , u n-1 đó chính là giá trị của hàm số t ơng ứng tại n+1, 2n, n-1

c) Vì u n =3 n

=> f(n-1)=3 n-1 =3 n-1 = 3n

3 1

Bài 1

Bài 2a) Vì u 1 =1=2 1+1 -3

b) Cách 1

Dự đoán và chứng minh un =2 n+1 -3 bằng PP quy nạp toán học

u 2 =5=2 2+1 -3

u 3 =13=2 3+1 -3

u 4 =29=2 4+1 -3

u 5 =61=2 5+1 -3

Cách 2

Từ công thức truy hồi ta có u n +3=2(u n-1 +3), (1)

đặt v n =2.v n-1 =>(v n ) là cấp số nhân với v 1 =4,q=2

=>v n =v 1 .q n-1 =4.2 n-1 =2 n+1

Ta có : u n =v n -3=2 n+1 -3 (đpcm)

2



n

Giải :

Từ công thức truy hồi ta có 2u n =u n+1 +1  2u n -1=u n+1

 2(u n -1)=u n+1 -1

đặt v n =u n+1 -1 =>v n =2.u n-1

=>(v n ) là cấp số nhân với v 1 =5,q=2

=>v n =v 1 .q n-1 =3.2 n-1

Ta có : u n =v n -2=2 n+1 -3

Tìm công thức số hạng tổng quát của dãy

1

, 2

1

n