Trò chơi ma trận và qui hoạch tuyến tính

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC ĐỖ THỊ THÚY QUỲNH TRÒ CHƠI MA TRẬN VÀ QUI HOẠCH TUYẾN TÍNH LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Thái Nguyên - Năm 2012 Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC ĐỖ THỊ THÚY QUỲNH TRÒ CHƠI MA TRẬN VÀ QUI HOẠCH TUYẾN TÍNH Chuyên ngành: TOÁN ỨNG DỤNG Mã số : 60.46.36 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC GS.TS TRẦN VŨ THIỆU Thái Nguyên - Năm 2012 Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn i Mục lục Mục lục i LỜI NÓI ĐẦU 1 BÀI TOÁN QUY HOẠCH TUYẾN TÍNH 1.1 1.2 1.3 NỘI DUNG BÀI TOÁN VÀ TÍNH CHẤT 1.1.1 NỘI DUNG BÀI TOÁN 1.1.2 TÍNH CHẤT BÀI TOÁN QUI HOẠCH TUYẾN TÍNH ĐỐI NGẪU CỦA QUI HOẠCH TUYẾN TÍNH DẠNG CHUẨN 1.2.1 CẶP BÀI TOÁN ĐỐI NGẪU 1.2.2 CÁC QUAN HỆ ĐỐI NGẪU PHƯƠNG PHÁP ĐƠN HÌNH 12 1.3.1 THUẬT TOÁN ĐƠN HÌNH GỐC 12 1.3.2 THUẬT TOÁN ĐƠN HÌNH ĐỐI NGẪU 19 BÀI TOÁN TRÒ CHƠI MA TRẬN 2.1 2.2 24 KHÁI NIỆM MỞ ĐẦU 24 2.1.1 VÍ DỤ VỀ TRÒ CHƠI MA TRẬN 24 2.1.2 TRÒ CHƠI MA TRẬN 25 2.1.3 HÀM THU HOẠCH CỦA P1 26 ĐIỂM YÊN NGỰA VÀ CHIẾN LƯỢC TỐI ƯU 28 2.2.1 ĐIỂM YÊN NGỰA 28 2.2.2 CHIẾN LƯỢC TỐI ƯU 29 Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn i 2.2.3 2.3 TRÒ CHƠI ĐỐI XỨNG 31 QUAN HỆ GIỮA TRÒ CHƠI MA TRẬN VÀ QUI HOẠCH TUYẾN TÍNH 32 2.3.1 ĐƯA TRÒ CHƠI MA TRẬN VỀ BÀI TOÁN QUI HOẠCH TUYẾN TÍNH 32 2.3.2 ĐƯA CẶP BÀI TOÁN QUI HOẠCH TUYẾN TÍNH ĐỐI NGẪU VỀ TRÒ CHƠI MA TRẬN 36 2.4 TRÒ CHƠI POKER 36 2.4.1 QUI TẮC CHƠI VÀ THANH TOÁN 37 2.4.2 CHIẾN LƯỢC ĐƠN 2.4.3 MA TRẬN TRẢ TIỀN 39 38 Kết luận 42 Tài liệu tham khảo 44 Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn LỜI NÓI ĐẦU Quy hoạch tuyến tính toán tối ưu đơn giản Đó toán tìm cực tiểu (hay cực đại) hàm tuyến tính với ràng buộc đẳng thức hay bất đẳng thức tuyến tính Quy hoạch tuyến tính có nhiều ứng dụng rộng rãi lý thuyết thực tiễn, nói riêng lý thuyết trò chơi Phương pháp đơn hình phương pháp quen thuộc, có hiệu qủa để giải toán quy hoạch tuyến tính toán đưa quy hoạch tuyến tính Trong toán quy hoạch tuyến tính nói riêng toán tối ưu nói chung, có chủ thể (cá nhân, tập thể hay nhà nước, ) Có hàm mục tiêu (biểu thị lợi ích hay chi phí) đại diện cho chủ thể Mục đích chủ thể tìm giải pháp tập chiến lược hay tập phương án có thể, cho giải pháp tốt cho chủ thể theo mục tiêu đề (hàm mục tiêu đạt giá trị lớn hay nhỏ nhất) Trong thực tế, hoạt động hay vấn đề thường có nhiều chủ thể (đối tác) tham gia Mỗi chủ thể có hàm mục tiêu tập chiến lược riêng chủ thể muốn tìm chiến lược hay phương án tối ưu cho Một phương án tối ưu cho tất đối tác thường không tồn tại, lợi ích đối tác nhiều đối kháng Do đó, phương án tốt cho đối tác lại không tốt cho đối tác Từ đó, hình thành nên khái niệm tối ưu Pareto khái niệm cân Nash Về đại thể, nói trạng thái mà đối tác cần tuân thủ thực hiện, không muốn lợi ích bị thua thiệt Sau hình thành lý thuyết toán học, có tên gọi lý thuyết Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn trò chơi nhằm nghiên cứu tìm giải pháp có lợi cho đối tác (người tham gia chơi) tình tương tự Trong thời đại nay, hoạt động lợi ích ảnh hưởng qua lại liên hệ mật thiết với nhau, nên lý thuyết trò chơi, đặc biệt trò chơi vi phân trò chơi kinh tế, quan tâm nghiên cứu Trò chơi ma trận dạng trò chơi đơn giản Đó trò chơi đối kháng, hai người với tổng 0, nghĩa số tiền thắng người số tiền thua người ngược lại Trò chơi ma trận có mối liên hệ chặt chẽ với quy hoạch tuyến tính Có thể quy việc tìm chiến lược chơi tối ưu trò chơi ma trận việc tìm nghiệm cặp toán quy hoạch tuyến tính đối ngẫu ngược lại, cặp toán quy hoạch tuyến tính đối ngẫu lại tương đương với trò chơi ma trận Luận văn đề cập tới trò chơi ma trận, trình bày khái niệm trò chơi ma trận, phân tích mối quan hệ trò chơi ma trận với quy hoạch tuyến tính nêu phương pháp tìm chiến lược tối ưu trò chơi ma trận thông qua việc giải số toán quy hoạch tuyến tính gốc hay đối ngẫu Việc làm có lợi cho việc sâu tìm hiểu sau lý thuyết trò chơi nói chung ứng dụng thực tiễn lý thuyết toán học nói riêng Nội dung luận văn chia thành hai chương Chương với tiêu đề "Bài toán quy hoạh tuyến tính" giới thiệu nội dung tính chất toán quy hoạch tuyến tính, khái niệm toán đối ngẫu quan hệ đối ngẫu quy hoạch tuyến tính Phương pháp đơn hình quen thuộc, bao gồm thuật toán đơn hình gốc thuật toán đơn hình đối ngẫu, nhắc lại chương Các thuật toán đơn hình dùng đến chương sau để tìm chiến lược tối ưu hai người chơi trò chơi ma trận đề cập tới chương sau Chương với tiêu đề "Bài toán trò chơi ma trận" trình bày Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn khái niệm toán trò chơi ma trận qui tắc chơi, cách trả tiền, hàm thắng cuộc, điểm yên ngựa, chiến lược đơn, chiến lược hỗn hợp, chiến lược tối ưu, v.v Phân tích mối quan hệ trò chơi ma trận quy hoạch tuyến tính Việc tìm chiến lược tối ưu người chơi trò chơi ma trận đưa việc tìm nghiệm cặp toán quy hoạch tuyến tính đối ngẫu ngược lại, cặp toán quy hoạch tuyến tính đối ngẫu lại mô tả tương đương trò chơi ma trận Để làm ví dụ minh hoạ cho trò chơi ma trận, cuối chương xét trò chơi Poker, loại trò chơi giải trí mạng Trong trường hợp đơn giản, trò chơi mô tả trò chơi ma trận với chiến lược đơn ma trận trả tiền hoàn toàn xác định Do thời gian kiến thức hạn chế nên luận văn đề cập tới nội dung toán trò chơi ma trận mối quan hệ với qui hoạch tuyến tính, chưa sâu vào chi tiết Trong trình viết luận văn xử lý văn chắn không tránh khỏi sai sót định Tác giả luận văn mong nhận góp ý thầy cô bạn đồng nghiệp để luận văn hoàn thiện Nhân dịp này, tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến thầy hướng dẫn GS-TS Trần Vũ Thiệu tận tình giúp đỡ suốt trình làm luận văn Tác giả xin trân trọng cảm ơn thầy, cô giáo Trường Đại học Khoa học- Đại học Thái Nguyên, Viện Toán học-Viện Khoa học Công nghệ Việt Nam, giảng dạy tạo điều kiện thuận lợi trình tác giả học tập nghiên cứu Tác giả xin chân thành cảm ơn tập thể bạn bè gia đình quan tâm giúp đỡ, động viên tác giả hoàn thành tốt luận văn Thái Nguyên, tháng 07 năm 2012 Người thực Đỗ Thị Thúy Quỳnh Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn Chương BÀI TOÁN QUY HOẠCH TUYẾN TÍNH Chương trình bày kiến thức toán quy hoạch tuyến tính, toán đối ngẫu quan hệ đối ngẫu quy hoạch tuyến tính, phương pháp đơn hình (thuật toán đơn hình gốc đơn hình đối ngẫu) giải quy hoạch tuyến tính Nội dung chương tham khảo từ tài liệu [1], [2] [3] 1.1 1.1.1 NỘI DUNG BÀI TOÁN VÀ TÍNH CHẤT NỘI DUNG BÀI TOÁN A Dạng tổng quát Bài toán có dạng: Tìm số x1 , x2 , , xn thoả mãn điều kiện  n   f (x) ≡ cj xj →    j=1   n     aij xj ≤ bi , i = 1, , m1 ,    j=1 (2.1) n               aij xj ≥ bi , i = m1 + 1, , m1 + m2 , (2.2) aij xj = bi , i = m1 + m2 + 1, , m, (2.3) j=1 n j=1 xj ≥ 0, j = 1, , n1 , xj ≤ 0, j = n1 + 1, , n1 + n2 ≤ n, Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn (2.4) aij ,bi ,cj số thực cho trước Trong toán trên, f gọi hàm mục tiêu, hệ thức (2.1)-(2.4) gọi ràng buộc Mỗi ràng buộc (2.1)-(2.3) gọi ràng buộc liên kết nhiều biến với (dạng đẳng thức hay bất đẳng thức), ràng buộc xj ≥ hay xj ≤ gọi ràng buộc dấu Điểm x = (x1 , x2 , , xn ) ∈ Rn thỏa mãn ràng buộc gọi điểm chấp nhận được, hay phương án Tập hợp tất phương án, ký hiệu D, gọi tập buộc hay miền chấp nhận Một phương án đạt cực tiểu hàm mục tiêu gọi phương án tối ưu hay lời giải toán cho Bài toán có phương án tối ưu gọi toán có lời giải Bài toán phương án (tập buộc rỗng D = ∅) có phương án phương án tối ưu, hàm mục tiêu giảm vô hạn (bài toán tìm min) tăng vô hạn (bài toán tìm max), gọi toán lời giải B Dạng tắc:  n   f (x) ≡ cj xj → min,    j=1  n       aij xj = bi , i = 1, 2, , m, j=1 xj ≥ 0, j = 1, 2, , n, ( đặc điểm toán ràng buộc đẳng thức biến không âm) C Dạng chuẩn tắc:  n   f (x) ≡ cj xj → min,    j=1  n       aij xj ≥ bi , i = 1, 2, , m, j=1 xj ≥ 0, j = 1, 2, , n, Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn (đặc điểm toán ràng buộc gồm bất đẳng thức ≥ toán ≤ toán max biến không âm) Để viết  toán gọn hơn,ta  dùng kí hiệu véc  tơ a11 a12 a1n a1j     a21 a22 a2n   a2j    ;  A= A = j          am1 am2 amn     b=    b1     ;    amj   b2   ;     ma trận sau:    c=    c1   c2   ;        x=    x1   x2       cn xn bm (A ma trận m × n gồm hệ số vế trái ràng buộc chính, Aj véc tơ cột thứ j A tương ứng với biến xj , b véc tơ hệ số vế phải ràng buộc chính, c véc tơ hệ số hàm mục tiêu, x véc tơ ẩn số, véc tơ không) Với kí hiệu trên,bài toán quy hoạch tuyến tính tắc có dạng : {f (x) = c, x : Ax = b, x ≥ 0} hay max {f (x) = c, x : Ax = b, x ≥ 0} ( c, x tích vô hướng hai véc tơ c x) Bài toán quy hoạch tuyến tính chuẩn tắc có dạng : {f (x) = c, x : Ax ≥ b, x ≥ 0} hay max {f (x) = c, x : Ax ≤ b, x ≥ 0} 1.1.2 TÍNH CHẤT BÀI TOÁN QUI HOẠCH TUYẾN TÍNH Tính chất 1.1 Tập hợp D phương án toán qui hoạch tuyến tính (dạng bất kỳ) tập lồi đa diện Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn data error !!! can't not read data error !!! can't not read data error !!! can't not read data error !!! can't not read data error !!! can't not read data error !!! can't not read data error !!! can't not read data error !!! can't not read data error !!! can't not read data error !!! can't not read data error !!! can't not read data error !!! can't not read data error !!! can't not read data error !!! can't not read data error !!! can't not read data error !!! can't not read ... quy hoạch tuyến tính đối ngẫu lại tương đương với trò chơi ma trận Luận văn đề cập tới trò chơi ma trận, trình bày khái niệm trò chơi ma trận, phân tích mối quan hệ trò chơi ma trận với quy hoạch. .. 2.2.3 2.3 TRÒ CHƠI ĐỐI XỨNG 31 QUAN HỆ GIỮA TRÒ CHƠI MA TRẬN VÀ QUI HOẠCH TUYẾN TÍNH 32 2.3.1 ĐƯA TRÒ CHƠI MA TRẬN VỀ BÀI TOÁN QUI HOẠCH TUYẾN TÍNH ... dụ minh hoạ cho trò chơi ma trận, cuối chương xét trò chơi Poker, loại trò chơi giải trí mạng Trong trường hợp đơn giản, trò chơi mô tả trò chơi ma trận với chiến lược đơn ma trận trả tiền hoàn