Trò chơi ma trận và qui hoạch tuyến tính

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC ĐỖ THỊ THÚY QUỲNH TRÒ CHƠI MA TRẬN VÀ QUI HOẠCH TUYẾN TÍNH LUẬN VĂN THẠC SĨ TỐN HỌC Thái Nguyên - Năm 2012 Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC ĐỖ THỊ THÚY QUỲNH TRỊ CHƠI MA TRẬN VÀ QUI HOẠCH TUYẾN TÍNH Chun ngành: TOÁN ỨNG DỤNG Mã số : 60.46.36 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC GS.TS TRẦN VŨ THIỆU Thái Nguyên - Năm 2012 Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn i Mục lục Mục lục i LỜI NÓI ĐẦU 1 BÀI TỐN QUY HOẠCH TUYẾN TÍNH 1.1 1.2 1.3 NỘI DUNG BÀI TỐN VÀ TÍNH CHẤT 1.1.1 NỘI DUNG BÀI TOÁN 1.1.2 TÍNH CHẤT BÀI TỐN QUI HOẠCH TUYẾN TÍNH ĐỐI NGẪU CỦA QUI HOẠCH TUYẾN TÍNH DẠNG CHUẨN 1.2.1 CẶP BÀI TOÁN ĐỐI NGẪU 1.2.2 CÁC QUAN HỆ ĐỐI NGẪU PHƯƠNG PHÁP ĐƠN HÌNH 12 1.3.1 THUẬT TỐN ĐƠN HÌNH GỐC 12 1.3.2 THUẬT TOÁN ĐƠN HÌNH ĐỐI NGẪU 19 BÀI TỐN TRỊ CHƠI MA TRẬN 2.1 2.2 24 KHÁI NIỆM MỞ ĐẦU 24 2.1.1 VÍ DỤ VỀ TRÒ CHƠI MA TRẬN 24 2.1.2 TRÒ CHƠI MA TRẬN 25 2.1.3 HÀM THU HOẠCH CỦA P1 26 ĐIỂM YÊN NGỰA VÀ CHIẾN LƯỢC TỐI ƯU 28 2.2.1 ĐIỂM YÊN NGỰA 28 2.2.2 CHIẾN LƯỢC TỐI ƯU 29 Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn i 2.2.3 2.3 TRÒ CHƠI ĐỐI XỨNG 31 QUAN HỆ GIỮA TRÒ CHƠI MA TRẬN VÀ QUI HOẠCH TUYẾN TÍNH 32 2.3.1 ĐƯA TRỊ CHƠI MA TRẬN VỀ BÀI TỐN QUI HOẠCH TUYẾN TÍNH 32 2.3.2 ĐƯA CẶP BÀI TỐN QUI HOẠCH TUYẾN TÍNH ĐỐI NGẪU VỀ TRÒ CHƠI MA TRẬN 36 2.4 TRÒ CHƠI POKER 36 2.4.1 QUI TẮC CHƠI VÀ THANH TOÁN 37 2.4.2 CHIẾN LƯỢC ĐƠN 2.4.3 MA TRẬN TRẢ TIỀN 39 38 Kết luận 42 Tài liệu tham khảo 44 Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn LỜI NĨI ĐẦU Quy hoạch tuyến tính tốn tối ưu đơn giản Đó tốn tìm cực tiểu (hay cực đại) hàm tuyến tính với ràng buộc đẳng thức hay bất đẳng thức tuyến tính Quy hoạch tuyến tính có nhiều ứng dụng rộng rãi lý thuyết thực tiễn, nói riêng lý thuyết trị chơi Phương pháp đơn hình phương pháp quen thuộc, có hiệu qủa để giải tốn quy hoạch tuyến tính tốn đưa quy hoạch tuyến tính Trong tốn quy hoạch tuyến tính nói riêng tốn tối ưu nói chung, có chủ thể (cá nhân, tập thể hay nhà nước, ) Có hàm mục tiêu (biểu thị lợi ích hay chi phí) đại diện cho chủ thể Mục đích chủ thể tìm giải pháp tập chiến lược hay tập phương án có thể, cho giải pháp tốt cho chủ thể theo mục tiêu đề (hàm mục tiêu đạt giá trị lớn hay nhỏ nhất) Trong thực tế, hoạt động hay vấn đề thường có nhiều chủ thể (đối tác) tham gia Mỗi chủ thể có hàm mục tiêu tập chiến lược riêng chủ thể muốn tìm chiến lược hay phương án tối ưu cho Một phương án tối ưu cho tất đối tác thường khơng tồn tại, lợi ích đối tác nhiều đối kháng Do đó, phương án tốt cho đối tác lại khơng tốt cho đối tác Từ đó, hình thành nên khái niệm tối ưu Pareto khái niệm cân Nash Về đại thể, nói trạng thái mà đối tác cần tn thủ thực hiện, khơng muốn lợi ích bị thua thiệt Sau hình thành lý thuyết tốn học, có tên gọi lý thuyết Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn trò chơi nhằm nghiên cứu tìm giải pháp có lợi cho đối tác (người tham gia chơi) tình tương tự Trong thời đại nay, hoạt động lợi ích ảnh hưởng qua lại liên hệ mật thiết với nhau, nên lý thuyết trò chơi, đặc biệt trò chơi vi phân trò chơi kinh tế, quan tâm nghiên cứu Trò chơi ma trận dạng trò chơi đơn giản Đó trị chơi đối kháng, hai người với tổng 0, nghĩa số tiền thắng người số tiền thua người ngược lại Trị chơi ma trận có mối liên hệ chặt chẽ với quy hoạch tuyến tính Có thể quy việc tìm chiến lược chơi tối ưu trị chơi ma trận việc tìm nghiệm cặp tốn quy hoạch tuyến tính đối ngẫu ngược lại, cặp toán quy hoạch tuyến tính đối ngẫu lại tương đương với trị chơi ma trận Luận văn đề cập tới trò chơi ma trận, trình bày khái niệm trị chơi ma trận, phân tích mối quan hệ trị chơi ma trận với quy hoạch tuyến tính nêu phương pháp tìm chiến lược tối ưu trị chơi ma trận thơng qua việc giải số tốn quy hoạch tuyến tính gốc hay đối ngẫu Việc làm có lợi cho việc sâu tìm hiểu sau lý thuyết trị chơi nói chung ứng dụng thực tiễn lý thuyết toán học nói riêng Nội dung luận văn chia thành hai chương Chương với tiêu đề "Bài toán quy hoạh tuyến tính" giới thiệu nội dung tính chất tốn quy hoạch tuyến tính, khái niệm toán đối ngẫu quan hệ đối ngẫu quy hoạch tuyến tính Phương pháp đơn hình quen thuộc, bao gồm thuật tốn đơn hình gốc thuật tốn đơn hình đối ngẫu, nhắc lại chương Các thuật tốn đơn hình dùng đến chương sau để tìm chiến lược tối ưu hai người chơi trò chơi ma trận đề cập tới chương sau Chương với tiêu đề "Bài tốn trị chơi ma trận" trình bày Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn khái niệm tốn trị chơi ma trận qui tắc chơi, cách trả tiền, hàm thắng cuộc, điểm yên ngựa, chiến lược đơn, chiến lược hỗn hợp, chiến lược tối ưu, v.v Phân tích mối quan hệ trị chơi ma trận quy hoạch tuyến tính Việc tìm chiến lược tối ưu người chơi trò chơi ma trận đưa việc tìm nghiệm cặp tốn quy hoạch tuyến tính đối ngẫu ngược lại, cặp tốn quy hoạch tuyến tính đối ngẫu lại mơ tả tương đương trị chơi ma trận Để làm ví dụ minh hoạ cho trò chơi ma trận, cuối chương xét trị chơi Poker, loại trị chơi giải trí mạng Trong trường hợp đơn giản, trị chơi mơ tả trị chơi ma trận với chiến lược đơn ma trận trả tiền hoàn tồn xác định Do thời gian kiến thức cịn hạn chế nên luận văn đề cập tới nội dung tốn trị chơi ma trận mối quan hệ với qui hoạch tuyến tính, chưa sâu vào chi tiết Trong trình viết luận văn xử lý văn chắn khơng tránh khỏi sai sót định Tác giả luận văn mong nhận góp ý thầy bạn đồng nghiệp để luận văn hoàn thiện Nhân dịp này, tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến thầy hướng dẫn GS-TS Trần Vũ Thiệu tận tình giúp đỡ suốt trình làm luận văn Tác giả xin trân trọng cảm ơn thầy, cô giáo Trường Đại học Khoa học- Đại học Thái Ngun, Viện Tốn học-Viện Khoa học Cơng nghệ Việt Nam, giảng dạy tạo điều kiện thuận lợi trình tác giả học tập nghiên cứu Tác giả xin chân thành cảm ơn tập thể bạn bè gia đình quan tâm giúp đỡ, động viên tác giả hoàn thành tốt luận văn Thái Nguyên, tháng 07 năm 2012 Người thực Đỗ Thị Thúy Quỳnh Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn Chương BÀI TỐN QUY HOẠCH TUYẾN TÍNH Chương trình bày kiến thức tốn quy hoạch tuyến tính, tốn đối ngẫu quan hệ đối ngẫu quy hoạch tuyến tính, phương pháp đơn hình (thuật tốn đơn hình gốc đơn hình đối ngẫu) giải quy hoạch tuyến tính Nội dung chương tham khảo từ tài liệu [1], [2] [3] 1.1 1.1.1 NỘI DUNG BÀI TỐN VÀ TÍNH CHẤT NỘI DUNG BÀI TỐN A Dạng tổng qt Bài tốn có dạng: Tìm số x1 , x2 , , xn thoả mãn điều kiện  n   f (x) ≡ cj xj →    j=1   n     aij xj ≤ bi , i = 1, , m1 ,    j=1 (2.1) n               aij xj ≥ bi , i = m1 + 1, , m1 + m2 , (2.2) aij xj = bi , i = m1 + m2 + 1, , m, (2.3) j=1 n j=1 xj ≥ 0, j = 1, , n1 , xj ≤ 0, j = n1 + 1, , n1 + n2 ≤ n, Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn (2.4) aij ,bi ,cj số thực cho trước Trong toán trên, f gọi hàm mục tiêu, hệ thức (2.1)-(2.4) gọi ràng buộc Mỗi ràng buộc (2.1)-(2.3) gọi ràng buộc liên kết nhiều biến với (dạng đẳng thức hay bất đẳng thức), ràng buộc xj ≥ hay xj ≤ gọi ràng buộc dấu Điểm x = (x1 , x2 , , xn ) ∈ Rn thỏa mãn ràng buộc gọi điểm chấp nhận được, hay phương án Tập hợp tất phương án, ký hiệu D, gọi tập buộc hay miền chấp nhận Một phương án đạt cực tiểu hàm mục tiêu gọi phương án tối ưu hay lời giải tốn cho Bài tốn có phương án tối ưu gọi tốn có lời giải Bài tốn khơng có phương án (tập buộc rỗng D = ∅) có phương án khơng có phương án tối ưu, hàm mục tiêu giảm vô hạn (bài tốn tìm min) tăng vơ hạn (bài tốn tìm max), gọi tốn khơng có lời giải B Dạng tắc:  n   f (x) ≡ cj xj → min,    j=1  n       aij xj = bi , i = 1, 2, , m, j=1 xj ≥ 0, j = 1, 2, , n, ( đặc điểm tốn ràng buộc đẳng thức biến không âm) C Dạng chuẩn tắc:  n   f (x) ≡ cj xj → min,    j=1  n       aij xj ≥ bi , i = 1, 2, , m, j=1 xj ≥ 0, j = 1, 2, , n, Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn (đặc điểm toán ràng buộc gồm bất đẳng thức ≥ toán ≤ toán max biến không âm) Để viết  tốn gọn hơn,ta  dùng kí hiệu véc  tơ a11 a12 a1n a1j     a21 a22 a2n   a2j    ;  A= A = j          am1 am2 amn     b=    b1     ;    amj   b2   ;     ma trận sau:    c=    c1   c2   ;        x=    x1   x2       cn xn bm (A ma trận m × n gồm hệ số vế trái ràng buộc chính, Aj véc tơ cột thứ j A tương ứng với biến xj , b véc tơ hệ số vế phải ràng buộc chính, c véc tơ hệ số hàm mục tiêu, x véc tơ ẩn số, véc tơ không) Với kí hiệu trên,bài tốn quy hoạch tuyến tính tắc có dạng : {f (x) = c, x : Ax = b, x ≥ 0} hay max {f (x) = c, x : Ax = b, x ≥ 0} ( c, x tích vơ hướng hai véc tơ c x) Bài toán quy hoạch tuyến tính chuẩn tắc có dạng : {f (x) = c, x : Ax ≥ b, x ≥ 0} hay max {f (x) = c, x : Ax ≤ b, x ≥ 0} 1.1.2 TÍNH CHẤT BÀI TỐN QUI HOẠCH TUYẾN TÍNH Tính chất 1.1 Tập hợp D phương án tốn qui hoạch tuyến tính (dạng bất kỳ) tập lồi đa diện Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 30 a) E X, Y = v b) E X, j ≥ v với chiến lược đơn j = 1, 2, , n, c) E i, Y ≤ v với chiến lược đơn i =1 , 2, , m X, Y gọi chiến lược tối ưu P1 P2 tương ứng Số v gọi giá trò chơi Định nghĩa cho thấy P1 chọn cách chơi theo tỉ lệ cho chiến lược tối ưu X dù P2 chơi nào, P1 ln thắng v Cũng vậy, P2 chọn cách chơi theo tỉ lệ cho chiến lược tối ưu Y dù P1 chơi nào, P2 thua nhiều v Giá v dương, âm hay Với trò chơi chọn bi nêu phần mở đầu giá trị chơi v = chiến lược tối ưu X = 1 2, Y = 1 2, Định lý sau cho thấy trò chơi ma trận có nghiệm Định lý minimax Đối với trị chơi ma trận tồn max E(X, Y ), max E(X, Y ) hai giá trị X Y Y X Nói cách khác, trị chơi ma trận có nghiệm X, Y , v cho: E(X, Y ) ≤ E X, Y = v ≤ E(X, Y ) với cặp chiến lược hỗn hợp X, Y Như vậy, với trò chơi ma trận đối thủ có chiến lược tối ưu X, Y cho số tiền thắng nhỏ P1 số tiền thua lớn P2 v Nhận xét Nếu ma trận trả tiền A có phần tử âm ta thay ma trận Aα = [aij + α] > (mọi phần tử Aα dương) cách chọn số α thích hợp, chẳng hạn α > − {aij : aij < 0} Có thể chứng minh chiến lược tối ưu hai trị chơi (vói ma trận trả tiền A Aα ) nhau, đồng thời vα = v + α > Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 31 2.2.3 TRỊ CHƠI ĐỐI XỨNG Định nghĩa 2.7 Trị chơi đối xứng trị chơi có ma trận trả tiền A thỏa mãn: a) A vuông, cấp n; b) aii = 0, ∀i; c) aij = −aji , ∀i, j Ma trận A với tính chất a) - c) gọi ma trận đối xứng lệch Ví dụ 2.3: Trị chơi dân gian "One- Two- Three" (đọc chệch Oẳn tù tì) trị chơi ma trận với tập chiến lược đơn giống cho hai đấu thủ: lần chơi, người chơi giơ tay hiệu chọn "Giấy", "Búa" "Kéo" với qui ước: Giấy thắng Búa, Búa thắng Kéo, Kéo thắng Giấy Ma trận trả tiền có dạng: Giấy Búa Kéo Giấy -1 Búa -1 Kéo -1 Tính chất 2.1.Nếu X = Y E(X,Y)=0, nghĩa hai người chơi sử dụng chiến lược kì vọng thắng họ + Giả sử chiến lược tối ưu hai người chơi X Y Khi đó, X = Y v = E(X, Y ) = 0, nghĩa giá trò chơi đối xứng Chiến lược tối ưu cho trò chơi "Giấy-Búa-Kéo" X = Y = với giá v = Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 1 3, 3, 32 2.3 QUAN HỆ GIỮA TRÒ CHƠI MA TRẬN VÀ QUI HOẠCH TUYẾN TÍNH 2.3.1 ĐƯA TRỊ CHƠI MA TRẬN VỀ BÀI TỐN QUI HOẠCH TUYẾN TÍNH Xét trị chơi ma trận A = (aij )m×n Theo định nghĩa 2.4 2.6 tốn P1 tìm véc tơ X = (x1 , x2 , , xm ) số v cho v → max a11 x1 + a21 x2 + + am1 xm ≥ v (cộng theo cột 1), a12 x1 + a22 x2 + + am2 xm ≥ v (cộng theo cột 2), a1n x1 + a2n x2 + + amn xm ≥ v (cộng theo cột n), x1 + x2 + + xm = 1, xi ≥ 0, i = 1, 2, , m Ngược lại, tốn P2 tìm véc tơ Y = (y1 , y2 , , yn ) số v cho v → a11 y1 + a12 y2 + + a1n yn ≤ v (cộng theo hàng 1), a21 y1 + a22 y2 + + a2n yn ≤ v (cộng theo hàng 2), am1 y1 + am2 y2 + + amn yn ≤ v (cộng theo hàng m), y1 + y2 + + yn = 1, yj ≥ 0, j = 1, 2, , n Khơng tính tổng qt, ta giả thiết aij > v>0 Bằng cách đặt xi = xi /v (i = 1, 2, , m) y j = yj /v (j = 1, 2, , n) Ta có: x1 + x2 + + xm = 1/v y + y + + y n = 1/v Ta thấy v số tiền mà P1 nhận v số tiền mà P2 phải trả, nên P1 tìm cách làm cực đại v hay cực tiểu 1/v; cịn P2 tìm cách làm cực tiểu v hay cực đại 1/v Vì ta có cặp tốn qui hoạch tuyến tính đối ngẫu: Bài tốn P1 : f1 = x1 + x2 + + xm → min, a11 x1 + a21 x2 + + am1 xm ≥ (cột 1), Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 33 a12 x1 + a22 x2 + + am2 xm ≥ (cột 2), a1n x1 + a2n x2 + + amn xm ≥ (cột n), xi ≥ 0, i = 1, 2, , m f2 = y + y + + y n → max, Bài toán P2 : a11 y + a12 y + + a1n y n ≤ (hàng 1), a21 y + a22 y + + a2n y n ≤ (hàng 2), am1 y + am2 y + + amn y n ≤ (hàng m), y j ≥ 0, j = 1, 2, , n Nhận xét + Hai toán lập thành cặp qui hoạch đối ngẫu Hơn nữa, rõ ràng hai toán có phương án, nên theo định lý tồn ( tính chất 1.9) hai có phương án tối ưu (lời giải) m x n xi = max y i=1 yj = j=1 v (số tiền thắng nhỏ P1 số tiền thua lớn P2 ) + Chiến lược tối ưu P1 , P2 tương ứng là: xi = v × xi , i = 1, 2, , m yj = v × y j , j = 1, 2, , n Ví dụ 2.4 Tìm nghiệm trị chơi ma trận A= −2 Ta thấy − min{aij : aij < 0} = 2, ta chọn α = thay A ma trận Aα = [aij + α] = 4 >0 Mọi phần tử Aα dương nên vα > Cặp toán đối ngẫu P1 P2 : Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 34  f1 = x1 + x2 → min,       5x1 + 4x2 ≥ 1,      4x + 3x ≥ 1,  3x1 + 6x2 ≥ 1,       x1 + 5x2 ≥ 1,     x1 ≥ 0, x2 ≥  f2 = y + y + y + y → max,      5y + 4y + 3y + y ≤ 1,  4y + 3y + 6y + 5y ≤ 1,     y ≥ 0, y ≥ 0, y ≥ 0, y ≥ Giải:Đưa tốn gốc dạng tắc cách thêm ẩn phụ x3 , x4 , x5 , x6 ≥ 0, sau đổi dấu ràng buộc đẳng thức ta toán:  f1 = x1 + x2 → min,       −5x1 − 4x2 + x3        + x4  −4x1 − 3x2 = −1, = −1,  + x5 = −1, −3x1 − 6x2        + x6 = −1, −x1 − 5x2       x ≥ 0, j = 1, 2, 3, 4, 5, j Giả phương án ban đầu x1 = (0 − − − − 1) Cơ sở đối ngẫu J = {3, 4, 5, 6} Quá trình giải tốn theo thuật tốn đơn hình đối ngẫu ghi bảng sau: Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 35 Biến Hệ số Giả sở m.tiêu Ph.án x1 x2 x3 x4 x5 x6 x3 -1 -5 -4 0 x4 -1 -4 -3 0 x5 -1 -3 -6 0 x6 -1 -1 -5 0 Bảng -1↑ -1 0 0 x1 1/5 4/5 -1/5 0 x4 -1/5 1/5 -4/5 0 x5 -2/5 -18/5 -3/5 x6 -4/5 -21/5 -1/5 0 Bảng 1/5 -1/5↑ 0 0 x1 1/21 -5/21 0 4/21 x4 -5/21 0 -17/21 1/21 x5 6/21 0 -9/21 -18/21 x2 4/21 1/21 0 -5/21 Bảng 5/21 0 -4/21↑ 0 -1/21 x1 2/17 0 -5/17 3/17 x3 5/17 0 -21/17 -1/17 x5 7/17 0 -9/17 -15/17 x2 3/17 1/17 -4/17 Bảng 5/17 0 -4/17 -1/17 Ở bảng phần tử cột Giả phương án dương nên lời giải toán f1 = f2 max = 5/17 = 1/vα ⇒ vα = 17/5, x1 = 2/17, x2 = 3/17 Áp dụng qui tắc B ta nhận được: y = −∆3 − c3 = 0, y = −∆4 − c4 = 4/17, Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 36 y = −∆5 − c5 = 0, y = −∆6 − c6 = 1/17 Từ suy nghiệm trò chơi cho là: + Chiến lược tối ưu P1 : x∗ = vα x = + Chiến lược tối ưu P2 : y∗ = vα y = + Giá trò chơi :v∗ = vα − α = 2.3.2 17 17 17 −3= 3 17 , 17 = , 0, 17 , 0, 17 = , 0, 54 , 0, 15 , ĐƯA CẶP BÀI TỐN QUI HOẠCH TUYẾN TÍNH ĐỐI NGẪU VỀ TRỊ CHƠI MA TRẬN Xét cặp toán qui hoạch tuyến tính đối ngẫu dạng chuẩn: f = c, x → min, g = b, y → max, Ax ≥ b, x ≥ AT y ≤ c, y ≥ Cặp tốn tương đương với trị chơi ma trận (kích thước (n+m+1)×(n+m+1)):  AT  At.d =  −A −cT −bT −c  b   Đây trị chơi đối xứng Vì chiến lược tối ưu hai đấu thủ giá trò chơi Giả sử X, Y , z nghiệm trò chơi nói Nếu z > X = X/z , Y = Y /z lời giải cặp tốn qui hoạch tuyến tính đối ngẫu cho Trường hợp z = chứng tỏ cặp tốn ban đầu khơng có lời giải 2.4 TRỊ CHƠI POKER Poker trò chơi gồm nhiều người chơi, quân thường đặt úp, không cho biết rõ ký hiệu ghi mặt quân Khi bắt đầu chơi, người chơi phải góp quĩ (đặt cọc) số tiền định chia số quân Đến lượt chơi, người chơi xướng Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 37 đặt thêm tiền vào quĩ bỏ qua lượt chơi Khi kết thúc trò chơi, số tiền quĩ trao cho người thắng Khi chơi người chơi đánh lừa đối phương cách xướng với giá cao để buộc đối phương phải chịu thua, bị thua đối phương chấp nhận thách đố xướng với giá thấp để đối phương nuôi hy vọng thắng Cũng nhiều trị chơi khác, trị chơi Poker mang tính trí tuệ, may rủi yếu tố tác động đến trò chơi, kỹ chơi phẩm chất định thắng hay thua người chơi Trò chơi đòi hỏi người chơi phải có chiến lược thích hợp, ứng phó linh hoạt giành chiến thắng Trong mục này, luận văn trình bày số khái niệm qui tắc chơi trị chơi Poker, thơng qua việc phân tích biến thể đơn giản trị chơi Trò chơi Poker diễn thực tế q phức tạp để phân tích tốn học Trị chơi Poker đơn giản hố gồm có hai người chơi, ký hiệu A B, cỗ gồm có ba quân bài, ký hiệu 1, 2.4.1 QUI TẮC CHƠI VÀ THANH TOÁN Khi bắt đầu chơi, người chơi phải góp (đặt cọc) số tiền, chẳng hạn $ 1, vào "quĩ" chia quân từ cỗ Sau người chơi, người chơi A, đặt cược thêm $ 1vào quĩ bỏ qua lượt chơi Quá trình chơi chấm dứt gặp ba tình sau: - Đặt cược theo sau đặt cược, - Bỏ qua theo sau bỏ qua, - Đặt cược theo sau bỏ qua Trong hai trường hợp đầu, người thắng chơi định cách so sánh quân tay người chơi: người chơi có Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 38 quân đánh số cao người thắng Trong trường hợp thứ ba: đặt cược theo sau bỏ qua, người đặt cược người thắng cuộc, khơng phụ thuộc người có qn cao (khi chơi thực, người chơi chọn "bỏ qua" tuyên bố đầu hàng chấp nhận thua cuộc) Người thắng nhận số tiền từ quĩ theo thỏa thuận Với qui tắc chơi đơn giản nêu có trường hợp sau xảy ra: a) A bỏ qua, B bỏ qua: $ cho người chơi có quân cao b) A bỏ qua, B đặt cược, A bỏ qua: $ cho người chơi B c) A bỏ qua, B đặt cược, A đặt cược: $ cho người chơi có quân cao d) A đặt cược, B bỏ qua: $ cho người chơi A e) A đặt cược, B đặt cược: $ cho người chơi có quân cao 2.4.2 CHIẾN LƯỢC ĐƠN Sau chia quân bài, người chơi A định chơi theo ba qui tắc sau: Bỏ qua Sau B đặt cuợc, tiếp tục bỏ qua (Dừng chơi B thắng) Bỏ qua Sau B đặt cuợc, đặt cược (Dừng chơi giữ quân cao thắng) Đặt cược (Sau dù B đặt cược hay bỏ qua, chơi dừng) Tương tự, sau chia quân bài, người chơi B chơi theo bốn qui tắc sau: Bỏ qua, trước A đặt cược hay bỏ qua Bỏ qua A bỏ qua đặt cược A đặt cược (B chơi A) Đặt cược A bỏ qua bỏ qua A đặt cược (B chơi ngược lại với A) Đặt cược, trước A đặt cược hay bỏ qua Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 39 Để mơ tình trị chơi ma trận, ta phải nhận biết chiến lược đơn người chơi Chiến lược đơn qui tắc người chơi lựa chọn qn mà người chia Vì thế, chiến lược đơn người chơi biểu thị ba (x1 , x2 , x3 ), xi qui tắc chơi mà người chơi sử dụng có tay quân i Với người chơi A xi nhận ba giá trị 1, 3, với người chơi B xi nhận bốn giá trị 1, 2, Ví dụ: chiến lược đơn (2, 3, 1) có nghĩa người chơi áp dụng qui tắc 2, hay có tay quân 1, hay 2.4.3 MA TRẬN TRẢ TIỀN Căn vào chiến lược đơn hai người chơi, ta tính số tiền trung bình mà người phải trả cho người kia, chẳng hạn A trả cho B Giả sử A sử dụng chiến lược (3, 1, 2) B sử dụng chiến lược (3, 2, 4) Có cách chia sau Chia Phiên đặt cược Số tiền A B A trả B A đặt cược B đặt cược A đặt cược B đặt cược 2 A bỏ qua B đặt cược A bỏ qua A bỏ qua B đặt cược A bỏ qua A bỏ qua B đặt cược A đặt cược A bỏ qua B bỏ qua -2 -1 Do cách chia có hội xảy (đồng khả năng) nên số tiền trung bình A trả cho B (2 + + + - - 1) / = 0,5 Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 40 Cần tính tốn số tiền trả trung bình tổ hợp cặp chiến lược đơn Có cặp vậy? Người chơi A có × × = 27 chiến lược đơn người chơi B có × × = 64 chiến lược đơn Do có tất 27 × 64 = 1728 cặp chiến lược đơn Việc tính số tiền trả trung bình cho tất cặp khó khăn tốn nhiều thời gian Rất may ta giảm số chiến lược đơn (do giảm số cặp) cần xét nhờ nhận xét đơn giản sau Nhận xét người chơi giữ quân số đừng "đặt cược" đối phương "đặt cược", thua bị thua chọn "bỏ qua" Lập luận cho thấy giữ quân 1: - Người chơi A không nên dùng qui tắc 2; - Người chơi B không nên dùng qui tắc Rõ ràng khơng dùng số qui tắc chơi người chơi giữ quân cao Chẳng hạn, người chơi giữ quân số đừng "bỏ qua" đối phương "đặt cược", chọn "bỏ qua" thua, chọn "đặt cược" thắng Hơn nữa, giữ quân số người chơi nên chọn "đặt cược" đối phương "bỏ qua", dù đối phương sau đáp trả (đặt cược hay bỏ qua) thắng; chọn "đặt cược" tạo khả đối phương "đặt cược" làm tăng số tiền thắng cho người chơi giữ quân số Vì thế, giữ quân số 3: - Người chơi A không nên chọn qui tắc 1; - Người chơi B không nên chọn qui tắc 1, Loại bỏ qui tắc "xấu" phân tích, người chơi A có × × = 12 chiến lược đơn người chơi B có × × = chiến lược đơn Do số cặp chiến lược đơn giảm xuống cịn 12 × = 96 - mức giảm đáng kể (so với 1.728)! Không loại bỏ chiến lược "xấu" Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Ngun http://www.lrc-tnu.edu.vn 41 khỏi mơ hình tốn học mà ta cịn giả thiết hai người chơi biết qui tắc "xấu" không sử dụng Nghĩa A cho B chơi thông minh B nghĩ A Tiếp tục quan sát giúp giảm số cặp chiến lược đơn cần xét Ví dụ: giữ quân số 2, người chơi A khơng nên chơi theo qui tắc Để có kết luận ta cần phân tích cặn kẽ khả Do A giữ quân số nên B giữ quân số số Ta xác định B làm hai trường hợp dễ dàng nhận A sai lầm chọn qui tắc Phân tích tương tự cho thấy giữ quân số người chơi B không nên chọn qui tắc Do người chơi A có × × = chiến lược đơn người chơi B có × × = chiến lược đơn Số cặp chiến lược đơn cần xét × = 32 Lúc khơng thể giảm Tính ma trận trả tiền (A trả B) ta được: (1,1,4) (1,2,4) (3,1,4) (3,2,4) (1,1,2) 0 1/6 1/6 (1,1,3) -1/6 1/3 1/6 (1,2,2) 1/6 1/6 -1/6 -1/6 T= (1,2,3) 1/6 0 -1/6 (3,1,2) -1/6 1/3 1/2 (3,1,3) -1/6 1/6 1/6 1/2 (3,2,2) 1/2 -1/3 1/6 (3,2,3) 1/3 -1/6 1/6 Giải trò chơi với ma trận trả tiền T, ta nhận cặp chiến lược tối ưu cho A, B: y∗ = 23 0 T x∗ = 0 0 T Có thể diễn giải kết qủa sau: Người chơi A áp dụng chiến lược đơn (1, 1, 2), (1, 2, 3) (3, 2, 3) theo tỉ lệ tương ứng 1/2, 1/3 1/6, nghĩa chiến lược tối ưu người chơi A - Khi giữ quân 1, dùng hỗn hợp qui tắc theo tỉ lệ : 1; - Khi giữ quân 2, dùng hỗn hợp qui tắc theo tỉ lệ : 1; - Khi giữ quân 3, dùng hỗn hợp qui tắc theo tỉ lệ : Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 42 Tương tự, người chơi B áp dụng chiến lược đơn (1, 1, 4) (3, 2, 4) theo tỉ lệ tương ứng 2/3 1/3, nghĩa chiến lược tối ưu người chơi B - Khi giữ quân 1, dùng hỗn hợp qui tắc theo tỉ lệ : 1; - Khi giữ quân 2, dùng hỗn hợp qui tắc theo tỉ lệ : 1; - Khi giữ quân 3, dùng qui tắc Để ý chiến lược tối ưu người chơi A giữ quân số dùng qui tắc vài lần Qui tắc bảo "đặt cược" , đặt cược để đánh lừa đối phương Khi giữ quân số 1, người chơi B đánh lừa đối phương, cách dùng qui tắc Rõ ràng chiến lược tối ưu gặp tình xướng với giá thấp hơn, gây thua thiệt cho người chơi Tóm lại, chương đề cập tới tốn trò chơi ma trận, dạng trò chơi đơn giản có quan hệ chặt chẽ với tốn quy hoạch tuyến tính Như trình bày, việc tìm chiến lược tối ưu người chơi đưa tìm nghiệm cặp tốn quy hoạch tuyến tính đối ngẫu dạng chuẩn ngược lại, cặp quy hoạch tuyến tính đối ngẫu lại diễn đạt tương đương dạng trị chơi ma trận Trị chơi Poker xem ví dụ trị chơi ma trận thực tế Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 43 Kết luận Luận văn đề cập tới trị chơi ma trận, dạng mơ hình trị chơi đơn giản lý thuyết trị chơi Thơng qua mơ hình này, luận văn trình bày khái niệm trị chơi như: qui tắc chơi, cách trả tiền, hàm thắng cuộc, điểm yên ngựa, chiến lược đơn, chiến lược hỗn hợp, chiến lược tối ưu, v.v Trị chơi Poker xem ứng dụng trò chơi ma trận thực tế Trị chơi ma trận, trình bày chương luận văn, có quan hệ chặt chẽ với lý thuyết quy hoạch tuyến tính Cụ thể, việc tìm chiến lược tối ưu người chơi trị chơi ma trận đưa việc tìm nghiệm cặp tốn quy hoạch tuyến tính đối ngẫu ngược lại, cặp toán quy hoạch tuyến tính đối ngẫu lại mơ tả trị chơi ma trận Chính lẽ đó, kiến thức tốn quy hoạch tuyến tính, tốn đối ngẫu, lý thuyết đối ngẫu, thuật tốn đơn hình gốc đơn hình đối ngẫu dùng để tìm nghiệm trị chơi ma trận trình bày tóm tắt chương luận văn Có thể xem luận văn bước tìm hiểu lý thuyết trị chơi ứng dụng lý thuyết thực tiễn Tác giả luận văn hy vọng có dịp tìm hiểu sâu lý thuyết trị chơi tương lai Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 44 Tài liệu tham khảo [1] Trần Vũ Thiệu (2004) Giáo trình tối ưu tuyến tính, NXB Đại học Quốc Gia Hà Nội [2] Nguyễn Thị Bạch Kim (2008) Giáo trình phương pháp tối ưu - Lý thuyết thuật toán, NXB Bách Khoa, Hà Nội [3] S Gass (1994), Linear Programming.International Editión [4] R J Vanderbei (2008), Linear Programming - Foundations and Extensions 3rd edition Springer Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn ... trò chơi ma trận, mối quan hệ trò chơi ma trận với quy hoạch tuyến tính vấn đề tìm nghiệm trị chơi ma trận Cuối chương xét trò chơi Poker, trò chơi giải trí mạng, xem ví dụ thực tế trò chơi ma. .. 2.2.3 2.3 TRÒ CHƠI ĐỐI XỨNG 31 QUAN HỆ GIỮA TRÒ CHƠI MA TRẬN VÀ QUI HOẠCH TUYẾN TÍNH 32 2.3.1 ĐƯA TRÒ CHƠI MA TRẬN VỀ BÀI TỐN QUI HOẠCH TUYẾN TÍNH ... dạng trò chơi ma trận hay gọi trò chơi đối kháng hai đấu thủ với tổng (số thu hoạch người số tổn thất người kia) 2.1.2 TRÒ CHƠI MA TRẬN Định nghĩa 2.1: Trò chơi ma trận trò chơi xác định ma trận