Ma trận và dãy số

Đại Học Thái Nguyên Trường Đại Học Khoa Học Trần Xuân Sơn MA TRẬN VÀ DÃY SỐ The matrix and sequence of number Chuyên Ngành: PHƯƠNG PHÁP TOÁN SƠ CẤP MÃ SỐ: 60.46.40 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Người hướng dẫn khoa học: PGS-TS Đàm Văn Nhỉ Thái Nguyên - 2012 Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Ngun http://www.lrc-tnu.edu.vn Cơng trình hồn thành Trường Đại Học Khoa Học - Đại Học Thái Nguyên Người hướng dẫn khoa học: PGS-TS Đàm Văn Nhỉ Phản biện 1: Phản biện 2: Luận văn bảo vệ trước hội đồng chấm luận văn họp tại: Trường Đại Học Khoa Học - Đại Học Thái Nguyên Ngày tháng năm 2012 Có thể tìm hiểu Thư Viện Đại Học Thái Nguyên Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn Mục lục Mục lục Mở đầu Vành ma trận 1.1 Tính đóng đại số trường C 1.2 Ma trận phép toán 1.2.1 Cộng ma trận 1.2.2 Nhân ma trận với số 1.2.3 Phép nhân ma trận với ma trận 1.3 Định thức 1.3.1 Định thức ma trận vuông 1.3.2 Tính chất định thức 1.4 Ma trận khả đảo ma trận nghịch đảo 1.5 Vành ma trận K[A] 1.6 Phương trình đặc trưng ma trận 1.7 Hàm hữu tỉ ma trận vuông 1.8 Chéo hóa ma trận vng Xét dãy số qua ma trận 2.1 Xét dãy số qua đồng cấu 2.2 Xét dãy số qua phép nhân ma trận 2.3 Xét dãy số qua chéo hóa ma trận 2.4 Xây dựng tốn cho dãy số Kết luận Tài liệu tham khảo Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 5 10 12 12 13 13 13 14 15 18 19 23 25 28 28 33 39 47 53 54 Lời mở đầu Chúng ta biết Ma trận Dãy số ứng dụng nhiều ngành khoa học như: Vật lý, Kinh tế, Tin học, Chúng xuất hầu hết ngành Toán học, đặc biệt Toán rời rạc, Giải tích Đại số tuyến tính Trong lịch sử ngành tốn hai cơng cụ nghiên cứu từ lâu đem lại nhiều cơng trình xuất chúng Các tài liệu viết ma trận dãy số nhà khoa học để lại nhiều độc đáo, hầu hết nghiên cứu riêng biệt, chưa có nhiều cơng trình tài liệu nghiên cứu đồng thời ma trận dãy số mối quan hệ chúng Thực tế thấy dãy số có nhiều ứng dụng xuất từ sớm lịch sử loài người Trong chương trình học cấp, đề thi đại học cao đẳng, đề thi Olympic toán nước quốc tế, ln có tồn dãy số Điều cho thấy tầm quan trọng mảng toán dãy số Các toán dãy số thường dạng như: Các số hạng xác định công thức, hay cho dạng mệnh đề mơ tả số hạng, ta dễ dàng phát tính chất số hạng, nhiều dãy số cho theo công thức truy hồi khơng dễ suy tính chất công thức tường minh Vấn đề đặt chọn phương pháp để giải toán dãy số cách nhanh tróng tối ưu, ta thấy có nhiều cách giải tốn Tuy nhiên dùng ma trận để giải toán dãy số hướng giải hay thú vị, cho nhiều kết bất ngờ mà dùng cách giải thông thường Cụ thể từ tốn dãy số ta biểu diễn dạng ma trận, sử dụng phép biến đổi ma trận để giải Q trình biến đổi cho ta số tính chất để từ xây dựng dãy số Qua cách làm giúp ta giải nhiều Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn toán sách tham khảo kì thi học sinh giỏi sáng tác nhiều toán Với mục tiêu thông qua phép biến đổi ma trận để giải toán dãy số xây dựng toán dãy số từ toán ban đầu Luận văn trình bày hai chương: Chương I: Vành ma trận Trình bày kiến thức số phức, chứng minh tính đóng đại số trường C để giải toán liên quan đến nghiệm phương trình ta đem xét C Xây dựng vành ma trận K[A], tính định thức giá trị riêng đa thức g(A) biết định thức giá trị riêng A Nêu cách tính ma trận nghịch đảo, xác định giá trị riêng, véctơ riêng chéo hóa ma trận, đưa số ví dụ để minh họa Chương II: Xét dãy số qua ma trận Trình bày nhiều ví dụ vận dụng kiến thức chương I như: Sử dụng đồng cấu, phép nhân ma trận, chéo hóa ma trận để giải toán dãy số biểu diễn dãy số dạng ma trận Chuyển toán dãy số toán ma trận Đặc biệt luận văn nghiên cứu 2, dãy số đồng thời Sử dụng ma trận để xây dựng toán từ toán ban đầu Sau thời gian học tập, tự tìm tịi, tham khảo nghiên cứu tài liệu liên quan đến nội dung, với giúp đỡ nhiệt tình, tận tâm Thầy giáo hướng dẫn PGS-TS Đàm Văn Nhỉ Luận văn chắt lọc nội dung đưa phương pháp để khai thác toán dãy số Tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành sâu sắc tới Thầy hướng dẫn, tới thầy cô giáo Trường Đại học Khoa học - Đại học Thái Nguyên Đồng thời tác giả xin gửi lời cảm ơn tới tập thể lớp Cao học Toán K4a - Trường Đại học Khoa học động viên, giúp đỡ trình học tập làm luận văn Tác giả xin cảm ơn Sở Giáo dục - Đào tạo tỉnh Hà Giang, Ban Giám hiệu đồng nghiệp trường THPT Việt Vinh - Huyện Bắc Quang - Tỉnh Hà Giang tạo điều kiện mặt để tác giả tham gia học tập hồn thành khố học Khn khổ luận văn đề cập đến việc áp dụng phép tốn tính chất ma trận vào giải toán dãy số, lĩnh Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn vực rộng khó Song thời gian có hạn khả nghiên cứu hạn chế, nên luận văn không tránh khỏi khiếm khuyết, mong đóng góp ý kiến Thầy bạn đồng nghiệp Thái Nguyên, ngày 28 tháng 07 năm 2012 Tác giả Trần Xuân Sơn Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn Chương Vành ma trận Trong chương trình bày lý thuyết biến đổi Ma trận Nội dung chủ yếu chương hình thành từ tài liệu [1], [2], [5] 1.1 Tính đóng đại số trường C Xét tích Descartes T = R × R = { (a, b)|a, b ∈ R} định nghĩa phép toán: (a, b) = (c, d) a = c, b = d (a, b) + (c, d) = (a + c, b + d) (a, b) (c, d) = (ac − bd, ad + bc) Để đơn giản, viết (a,b).(c,d) qua (a,b)(c,d) Từ định nghĩa phép nhân: (i) Với i = (0, 1) ∈ T có i2 = ii = (0, 1)(1, 0) = (−1, 0) (ii) (a,b)(1,0) = (1,0)(a,b) = (a,b) (iii) (a,b) = (a,0) + (0,b) = (a,0) + (b,0)(0,1), ∀(a, b) ∈ T Bổ đề 1.1.1 Ánh xạ φ : R → T, a → (a, 0), đơn ánh thỏa mãn φ(a + a ) = φ(a) + φ(a ), φ(aa ) = φ(a)φ(a ) với a, a’ ∈ R Đồng (a, 0) ∈ T a ∈ R Khi ta viết (a, b) = (a, 0) + (b, 0)(0, 1) = a + bi với i2 = (−1, 0) = −1 Ký hiệu C T phép toán nêu Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn Như C = {a + bi|a, b ∈ R, i2 = −1} ta có: a + bi = c + di a = c, b = d a + bi + c + di = a + c + (b + d)i (a + bi)(c + di) = ac − bd + (ad + bc)i Mỗi phần tử z = a + bi ∈ C gọi số phức với phần thực a, ký hiệu Rez, phần ảo b, ký hiệu Imz; i gọi đơn vị ảo Số phức a−bi gọi số phức liên hợp z = a+bi ký hiệu qua z = a + bi Dễ dàng kiểm tra zz = (a + bi)(a − bi) = a2 + b2 , z1 z2 = z1 z2 √ gọi |z| = zz môdun z Số đối z = c + di −z = −c − di ký hiệu z − z = (a + bi) − (c + di) = a − c + (b − d)i Xét mặt phẳng tọa độ (Oxy) Mỗi số phức z = a + bi ta cho tương ứng với điểm M (a, b) Tương ứng song ánh C → R × R, z = a + bi → M (a; b) Khi đồng C với (Oxy) qua việc đồng z Với M, mặt phẳng tọa độ với biểu diễn số phức gọi mặt phẳng phức hay mặt phẳng Gauss để ghi công C F Gauss - người đưa biểu diễn Mệnh đề 1.1.1 Tập C trường chứa trường R trường Chứng minh Dễ dàng kiểm tra C vành giao hoán với đơn vị Giả sử z = a+bi = Khi a2 +b2 > Giả sử z = x+yi ∈ C thỏa mãn ax − by = a b zz = hay Giải hệ x = , y = − a + b2 a2 + b bx + ay = a b Vậy z = − i nghịch đảo z Tóm lại C trường a + b2 a2 + b2 Vì đồng a ∈ R với a + 0i ∈ C nên coi R trường z zz z C Chú ý rằng, nghịch đảo z = z −1 = = z z −1 = |z| z |z| Định nghĩa 1.1.1 Cho số phức z = Giả sử M điểm mặt phẳng phức biểu diễn số phức z Số đo (rađian) góc lượng giác Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn tia đầu Ox tia cuối OM gọi argument z ký hiệu qua arg(z) Góc xOM gọi Argument z ký hiệu Arg z Argument số phức không định nghĩa Chú ý α argument z argument z có dạng α + k2π, ∀k ∈ Z Với z = 0, ký hiệu α + k2π Argument z √ Ký hiệu r = zz Khi số phức z = a + bi có a = r cos α, b = r sin α Vậy z = biểu diễn z = r cos α + i sin α biểu diễn gọi dạng lượng giác z Tích vơ hướng tích lệch hai số phức z1 , z2 , ký hiệu < z1 , z2 > [z1 , z2 ], định nghĩa tương ứng qua công thức sau đây: 1 < z1 , z2 >= (z1 z2 + z1 z2 ), [z1 , z2 ] = (z1 z2 − z1 z2 ) 2 Mệnh đề 1.1.2 Nếu z1 = r1 cos α1 +i sin α1 , z2 = r2 cos α2 +i sin α2 với r1 , r2 z1 |z1 | (i) |z1 z2 | = |z1 ||z2 |, | | = |z1 + z2 | |z1 | + |z2 | z2 |z2 | (ii) z1 z2 = r1 r2 cos α1 + α2 + i sin α1 + α2 z1 r1 (iii) = cos α1 − α2 + i sin α1 − α2 r2 > z2 r2 (iv) < z1 , z2 >= r1 r2 cos α1 − α2 = |z1 ||z2 | cos α1 − α2 (v) < z1 , z2 >=< z2 , z1 >, < az1 + bz3 , z2 >= a < z1 , z2 > +b < z3 , z2 > với số phức z1 , z2 , z3 a, b ∈ R (vi) [z1 , z2 ] = r1 r2 sin α2 − α1 = |z1 ||z2 | sin α2 − α1 [z1 , z2 ] = −[z2 , z1 ] Chứng minh Hiển nhiên Với hai số phức z1 z2 ta có z1 = z2 ⇔ |z1 | = |z2 |, arg z1 = arg z2 + 2kπ, k ∈ Z arg(z1 z2 ) z1 arg( ) z2 Arg(z1 z2 ) z1 Arg( ) z2 = arg(z1 ) + arg(z2 ) + 2kπ, k ∈ Z = arg(z1 ) − arg(z2 ) + 2kπ, k ∈ Z = Arg(z1 ) + Arg(z2 ) = Arg(z1 ) − Arg(z2 ) Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn Ví dụ 1.1.1 Với a + bi = x + iy Lời giải Từ a + bi = x + iy n a2 + b2 = x2 + y n n n có a2 + b2 = x2 + y n Suy a − bi = x − iy Như Ví dụ 1.1.2 Với ba số phức phân biệt đôi z1 ; z2 ; z3 có đồng thức (x − z3 )(x − z1 ) (x − z1 )(x − z2 ) (x − z2 )(x − z3 ) + + = f (x) = (z1 − z2 )(z1 − z3 ) (z2 − z3 )(z2 − z1 ) (z3 − z1 )(z3 − z2 ) |z − z3 ||z − z1 | |z − z1 ||z − z2 | |z − z2 ||z − z3 | + + Từ suy |z1 − z2 ||z1 − z3 | |z2 − z3 ||z2 − z1 | |z3 − z1 ||z3 − z2 | với số phức z Ví dụ 1.1.3 Với ba số phức phân biệt đôi z1 ; z2 ; z3 hai số thực u, v có đồng thức (x − u)(x − v) (z1 − u)(z1 − v) = + (x − z1 )(x − z2 )(x − z3 ) (z1 − z2 )(z1 − z3 )(x − z1 ) (z3 − u)(z3 − v) (z2 − u)(z2 − v) + Từ suy với (z2 − z1 )(z2 − z3 )(x − z2 ) (z3 − z1 )(z3 − z2 )(x − z3 ) |z − u||z − v| |z1 − u||z1 − v| số phức z có + |z − z1 ||z − z2 ||z − z3 | |z1 − z2 ||z1 − z3 ||z − z1 | |z2 − u||z2 − v| |z3 − u||z3 − v| + |z2 − z1 ||z2 − z3 ||z − z2 | |z3 − z1 ||z3 − z2 ||z − z3 | Mệnh đề 1.1.3 [Moivre] Nếu z = r(cos α + i sin α) với số ngun dương n có z n = rn cos nα + i sin nα Hệ 1.1.1 Cho bậc n số phức z = r cos α + i sin α = ta α + 2kπ α + 2kπ nhận n giá trị khác zk = r1/n cos + i sin n n với i k = 1, 2, , n Tính đóng đại số trường C Bây ta rằng, đa thức bậc dương thuộc C[x] có nghiệm C Đó nội dung Định lý đại số Người chứng minh định lý nhà toán học C Gauss (1777 - 1855) Định nghĩa 1.1.2 Trường K gọi trường đóng đại số đa thức bậc dương thuộc K[x] có nghiệm K Như vậy, Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 40 Lời giải xn−1 xn−1 = A Vậy yn−1 yn−1 1−x xn x0 có hai nghiệm = An Đa thức đặc trưng 3−x yn y0 x1 = −1, x hai véctơ tương ứng (1; 1), (2; −1) Chéo hóa = với 2   P −1 AP =  31 31  = Tóm lại có −1 −1 − 3   xn 5n  3  =  n  yn −1 (−1) − 3 n n 2.5 + 2(−1) xn = hay 2.5n + (−1)n−1 yn Biểu diễn ma trận xn yn = Ví dụ 2.3.2 Tìm an bn theo n dãy số (an ) (bn ) xác định bởi:   a0 = 3, b0 =    a n+1 = an + 2bn  bn+1 = 3an + 2bn    n > Lời giải Biểu diễn dạng ma trận có an bn = n an bn = an−1 bn−1 Phương trình đặc trưng 1−x = x2 − 3x − = (x + 1)(x − 4) 2−x Với giá trị riêng −1 véctơ riêng (1; −1) với giá trị riêng véctơ riêng (2; 3) Hai véctơ độc lập tuyến tính Đặt P = −1 1/5 1/5 Khi ma trận nghịch đảo P −1 = ta có ma trận 3/5 −2/5 hệ thức 4 P −1 AP = hay A = P P −1 −1 −1 Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 41 Từ suy an = bn an hay bn n 4n =P P −1 n (−1) 4n 1/5 1/5 = n −1 (−1) 3/5 −2/5  n+2 − (−1)n+2  an = công thức xác định: n+1 6.4 + (−1)n  bn = , n 5 nhận Ví dụ 2.3.3 Tìm dư phép chia số  a2011 + b2011 cho 2011 biết hai  a0 = 2, b0 = dãy số (an ) (bn ) xác định bởi: an+1 = 17an − 6bn   bn+1 = 35an − 12bn , n > Lời giải Biểu diễn dạng ma trận n an bn 17 −6 an−1 35 −12 bn−1 17 −6 Ma trận có 35 −12 = 17 −6 = 35 −12 17 − x −6 phương trình đặc trưng = x2 −5x+6 = (x−2)(x−3) 35 −12 − x Với giá trị riêng x = véctơ riêng (2; 5) với giá trị riêng x = véctơ riêng (3; 7) Hai véctơ độc lập tuyến tính Đặt −7 P = Khi ma trận nghịch đảo P −1 = ta có −2 ma trận hệ thức an bn P −1 AP = 0 Từ suy n an 17 −6 = bn 35 −12 an 2n = bn 3n hay A = P thức xác định an bn sau: 0 P −1 2n −1 hay = P P 3n −7 nhận công −2 an = 12.3n − 10.2n bn = 28.3n − 25.2n , n Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 42 Do 32010 ≡ 1( mod 2011) 22010 ≡ 1( mod 2011) nên a2011 + b2011 chia cho 2011 dư 40.3 − 35.2 = 50 Ví dụ 2.3.4 Giả sử hai dãy số nguyên dương (an ) (bn ) xác định bởi:   a0 = 1, b0 =    a n+1 = an + 4bn  bn+1 = 2an + 3bn    n > Chứng minh |an − bn | = với n (a2012 + 2)(b2012 − 1) chia hết cho 54024 , không chia hết cho 54025 Lời giải Biểu diễn dạng ma trận n an bn = an−1 bn−1 an 1 có = Phương trình đặc trưng bn x − −4 = x2 − 4x − = (x + 1)(x − 5) Với giá trị riêng x = −2 x − véctơ riêng (1; 1) với giá trị riêng x = −1 véctơ riêng (2; −1) Hai véctơ độc lập tuyến tính Đặt P = Khi −1 1/3 2/3 ma trận nghịch đảo P −1 = ta có ma trận hệ 1/3 −1/3 thức 5 P −1 P −1 AP = hay A = P −1 −1 Từ suy n an 5n = = P P −1 hay n bn (−1) 5n 1/3 2/3 an = nhận n bn −1 (−1) 1/3 −1/3 an = 3.5n − 2(−1)n với số nguyên n Như công thức bn = 3.5n + (−1)n |an − bn | = 3, n Kết (a2012 + 2)(b2012 − 1) chia hết cho 54024 , không chia hết cho 54025 hiển nhiên Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 43 Ví dụ 2.3.5 Xét ba dãy số (xn ), (yn ) (zn ) xác định sau:   x0 = 4, y0 = 2, z0 =    x n+1 = −9xn + 2yn + 6zn  yn+1 = 5xn − 3zn    z = −16x + 4y + 11z , n n+1 n n n Biểu diễn xn , yn , zn theo n      xn −9 xn−1 Lời giải Biểu diễn ma trận  yn  =  −3   yn−1  Như z −16 11 zn−1     n     x0 xn xn xn−1  yn  = A  yn−1  suy  yn  = An  y0  Đa thức zn z0 zn−1 zn −9 − x đặc trưng −x −3 có ba nghiệm x1 = −1, x2 = 1, x3 = −16 11 − x với ba véctơ riêng −1; 2), (2; −1; 3),  tương ứng (1;   x3 = (2; −1; 4) Chéo  −1 −2 −9 2 hóa P −1 AP =  −1   −3   −1 −1 −1  = −1 1 −16 11     xn 0  −1  Tóm lại ta có biểu diễn  yn  qua tích ba ma trận zn 0       −1 −2 xn 0 2  −1 −1 −1   −1   −1  hay  yn  −1 1 zn 0      2 0 −1 −2 =  −1 −1 −1   (−1)n   −1    0 2n −1 1 Ví dụ 2.3.6 Ba dãy số (an ), (bn ), (cn ) xác định phương trình Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 44 sau:   a0 = a, b0 = b, c0 = c      an+1 = 4an + 3bn − 3cn bn+1 = 2an + 3bn − 2cn    cn+1 = 4an + 4bn − 3cn     n > Khi chứng minh kết sau đây: (i) an + bn = cn với số nguyên n a = 1, b = 2, c = (ii) a2010 ≡ b2010 + c2010 ( mod 2011) a = 3, b = 2, c = (iii) an cn = 3b2n với số nguyên n a = 12, b = 8, c = 16      an−1 −3 an Lời giải Biểu diễn dạng ma trận  bn  =  −2   bn−1  cn−1 4 −3 c    nn   an −3 a có  bn  =  −2   b  Phương trình đặc trưng cn 4 −3 c   x − −3 −3 = (x − 1)2 (x − 2) với giá trị  −2  −2 x − −4 −4 x + 4 −3 riêng x = hại véctơ riêng độc lập tuyến tính (1; 2; 3) (1; 1; 2) với giá trị riêng x = 2được véctơ  riêng (3; 2; 4) Ba véctơ độc lập tuyến tính Đặt P =  2  Khi ma trận nghịch đảo P −1 =     0 −1  1 −1  ta có ma trận hệ thức P −1 AP =   −2 −5 0   0  hay ta có A = P  P −1 Từ suy biểu diễn dạng 0 Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 45 ma trận sau:        1 0 −1 a an  bn  =  2   2n   1 −1   b  0 −2 −5 c cn         an 3.2n 1 n (i) Ta có  bn  =  2.2    =   a = 1, b = cn 4.2n c = Như 2, c n = n + bn = cn với n  a   an= 1, bn = n 3.2 an n      = 2.2  a = 3, b = c = (ii) Ta có bn 4.2n −12 cn n+2 n+3 Như an = 3.2 − 9, bn = − 6, cn = 2n+4 − 15 với n Từ suyra a2010 b2010 c2010 ( mod 2011),  ≡3 ≡ +n1 ≡   + 3.2 an n      bn = 2.2  a = 12, b = c = 16 (iii) Ta có cn 4.2n n+2 n+3 n+4 Như an = 3.2 , bn = , cn = với n Từ suy an cn = 3b2n Ví dụ 2.3.7 Tìm an , bn cn theo n ba dãy số (an ), (bn ) (cn ) xác định phương trình sau đây:  a0 = 2, b0 = 3, c0 =       an+1 = an − 3bn + 3cn bn+1 = 3an − 5bn + 3cn    cn+1 = 6an − 6bn + 4cn     n >      −3 an−1 an Lời giải Biểu diễn dạng ma trận  bn  =  −5   bn−1  c −6 cn−1    nn   an −3 có  bn  =  −5    Phương trình đặc trưng cn −6 4   −3 x−1 −3 −3 x + −3 = (x + 2)2 (x − 4)  −5  −6 −6 x−4 Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 46 Với giá trị riêng −2 hai véctơ riêng độc lập tuyến tính (1; 1; 0) (1; 0; −1); với giá trị riêng  véctơriêng (1; 1; 2) Ba véctơ độc 1  lập tuyến tính Đặt P = 1  Khi ta có ma trận nghịch −1 −1 đảo P vàcó ma trận  hệ thức   −2 0 −2 0 P −1 AP =  −2  hay ta có A = P  −2  P −1 0 0 Từ  suyra biểu diễndạng  mantrận sau:    an 1 (−2) 0  bn  =  1   (−2)n  P −1   cn −1 0 4n Ví dụ 2.3.8 Ba dãy số (an ), (bn ) (cn ) xác định phương trình:   a0 = 1, b0 = 2, c0 =    a n+1 = 2an + bn  bn+1 = bn − cn    c n+1 = 2bn + 4cn , n > Chứng minh an + bn + cn chia hết cho 2n , không chia hết cho 2n+1 với số nguyên n      an−1 an Lời giải Biểu diễn dạng ma trận  bn  =  −1   bn−1  cn−1 c    nn   an 1 có  bn  =  −1    Phương trình đặc trưng cn 4   x − −1 0 x−1  −1  = (x−2)2 (x−3) Với giá trị −2 x − riêng x = véctơ riêng (1; 0; 0); với giá trị riêng x = véctơ riêng (1; 1; −2) Hai véctơ  độc lập  tuyến tính, khơng lập thành sở R Vậy ma trận  −1  khơng thể chéo hóa Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 47 Để giải tình này, biến đổi n bn cn = −1 bn−1 cn−1 bn −1 suy Phương trình đặc trưng ma = cn 4 x−1 1 −1 = (x−2)(x−3) Với giá trị riêng trận A = −2 x − 4 x = véctơ đọc lập tuyến tính (1; −1); với giá trị riêng x = véctơ riêng (1; −2) Hai véctơ độc lập tuyến tính, lập thành 1 sở R2 Đặt P = Khi ma trận nghịch đảo −1 −2 2 P −1 = ta có ma trận hệ thức P −1 AP = −1 −1 hay ta có A = P P −1 Từ suy biểu diễn dạng ma trận sau: bn cn = 1 −1 −2 2n 0 3n −1 −1 hay bn = 8.2n − 6.3n = 2n+3 − 2.3n+1 , cn = −2n+3 + 4.3n+1 Vấn đề xác định an Vìan+1 = 2an + bn = 2an + 2n+3 − 2.3n+1 nên ta tìm  v + t = a0 = an dạng an = (un+v)2n +t3n Ta có hệ 2u + 2v + 3t = a1 =   8u + 4v + 9t = a2 = Giải u = 4, t = −6, v = an = (4n + 7)2n − 2.3n+1 Từ suy an + bn + cn = (4n + 7).2n 2.4 Xây dựng toán cho dãy số Ta xây dựng toán từ toán biết Nó đặt sau: Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 48 Bài toán Giả sử hai dãy số nguyên (an ), (bn ) xác định sau:   a0 = a, b0 = b an+1 = an + 4bn   bn+1 = 2an + 3bn , n Biểu diễn ma trận = an−1 bn−1 =A an−1 bn−1 Vậy ta a0 Chéo hóa ma trận A qua tích ma trận: b0   2   = P −1 AP =  31 31  −1 −1 − 3   an 5n  3  a Như có =  n  b bn −1 (−1) − 3 Giả sử đa thức g(x) ∈ R[x] Xét hai dãy (xn ), (yn ) xác định phương a xn = g(A)n trình ma trận sau: yn b Vấn đề đặt ra: Phát kết xn yn g(5) Dễ dàng có biến đổi g(A) = P P −1 Ta có biểu diễn: g(−1) có an bn an bn = An xn yn = P = g(5)n 0 g(−1)n g(5)n 2g(−1)n g(5)n g(−1)n a P −1 b   a + 2b    a − b  Để có quan hệ mới, ta chọn g(x) cách thích hợp Với g(x) = x + a = b = ta có g(5) = 10 xây dựng tốn mới: Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 49 Ví dụ 2.4.1 Hai dãy số (xn ), (yn ) xác định phương trình sau:   x0 = 1, y0 = xn xn−1 xn−1  = A + 5E = với n >  yn yn−1 yn−1 Hãy xác định xn yn theo n Lời giải Sử dụng quy nạp theo n xn = yn = 10n Với g(x) = x + 20 a = 2, b = −1 ta có g(−1) = 19 xn = 2.19n , yn = 19n Từ xây dựng tốn mới: Ví dụ 2.4.2 Hai dãy số (xn ), (yn ) xác định phương trình sau:   x0 = 2, y0 = −1 xn xn−1 21 xn−1  = A + 20E = với n >  yn yn−1 23 yn−1 Khi xác định số nguyên dương nhỏ r để phương trình có nghiệm t, z ∈ Z : x2011 t − y2011 z = r Lời giải Sử dụng quy nạp theo n xn = 2.19n , yn = 19n Số nguyên dương nhỏ r để phương trình x2011 t − y2011 z = r có nghiệm nguyên t, z ∈ Z r = 192011 Bài toán Giả sử ba dãy số (an ), (bn ) (cn ) xác định phương trình:   a0 = a, b0 = b, c0 = c      an+1 = 4an + 3bn − 3cn bn+1 = 2an + 3bn − 2cn     cn+1 = 4an + 4bn − 3cn    n > Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 50 Biểu  diễn  dạng  ma trận      an −3 an−1 an−1  bn  =  −2   bn−1  = A  bn−1  có c 4 −3 cn−1 cn−1      n  a an  bn  = An  b  Với ma trận P =  2  ma trận nghịch cn c   −1 −1 đảo P =  1 −1  ta có ma trận hệ thức −2 −5     0 0 P −1 AP =   hay ta có A = P   P −1 Từ 0 0       a 0 an suy biểu diễn ma trận:  bn  = P  2n  P −1  b  c 0 cn Giả sử đa thức g(x) ∈ R[x] Xétba dãy )  (zn ) xác định  (xn ), (yn a xn phương trình ma trận sau:  yn  = g(A)n  b  c zn Vấn đề đặt ra: Phát kếtquả xn , yn  zn g(1) 0 Dễ dàng có biến đổi g(A) = P  g(2)  P −1 Từ suy 0 g(1)       a g(1)n 0 xn n −1 g(2) P  b  biểu diễn ma trận:  yn  = P  c 0 g(1)n zn Khi a = 12, b = 8, c = 16 ta có biểu diễn:         xn g(1)n 0 12 12g(2)n  yn  = P  g(2)n  P −1   =  8g(2)n  zn 0 g(1)n 16 16g(2)n có xn zn = 3yn2 Để có quan hệ mới, ta chọn g(x) cách thích hợp Với g(x) = x2 + x + ta có g(2) = Khi xn = 12.7n , yn = 8.7n , zn = 16.7n Từ suy ước chung lớn (x2011 , y2011 , z2011 ) = 4.72011 xây dựng toán mới: Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 51 Ví dụ 2.4.3 Ba dãy số (xn ), (yn ), (zn ) xác định phương trình sau:   x0 = 12, y0 = 8, z0 = 16          x  xn−1 −3 n        = A2 + A + E  yn−1  với n > A =  −2  y    n    z zn−1 4 −3 n Hãy xác định ước chung lớn (x2011 , y2011 , z2011 ) Lời giải Sử dụng quy nạp theo n xn = 12.7n , yn = 8.7n , zn = 16.7n Từ suy ước chung lớn (x2011 , y2011 , z2011 ) = 4.72011 Với g(x) = x2 + 2x + ta có g(2) = 12 Khi xn = 12.12n , yn = 8.12n , zn = 16.12n Từ suy 4xn = 6yn = 3zn xây dựng tốn mới: Ví dụ 2.4.4 Ba dãy số (xn ), (yn ), (zn ) xác định phương trình sau:   x0 = 12, y0 = 8, z0 = 16          x  −3 x n−1 n         yn  = A + A + E  yn−1  với n > A =  −2      z 4 −3 zn−1 n Hãy chứng minh 4xn = 6yn = 3zn với n Lời giải Sử dụng quy nạp theo n xn = 12.12n , yn = 8.12n , zn = 16.12n Từ suy 4xn = 6yn = 3zn Với g(x) = 2x2 + x + ta có g(2) = 16 Khi xn = 12.16n , yn = 8.16n , zn = 16.16n Từ suy xn ˙: 24n+2 , yn ˙: 24n+3 , zn ˙: 24n+4 xây dựng tốn mới: Ví dụ 2.4.5 Ba dãy số (xn ), (yn ), (zn ) xác định phương trình:   x0 = 12, y0 = 8, z0 = 16          x  xn−1 −3 n        = A2 + A + E  yn−1  với n > A =  −2  y    n    z z 4 −3 n n−1 Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 52 Hãy chứng minh xn ˙: 24n+2 , yn ˙: 24n+3 , zn ˙: 24n+4 xn ˙: 24n+4 , zn ˙: 24n+5 với n ˙: 24n+3 , yn Lời giải Sử dụng quy nạp theo n xn = 12.16n , yn = 8.16n , zn = 16.16n Từ suy xn ˙: 24n+2 , yn ˙: 24n+3 , zn ˙: 24n+4 xn ˙: 24n+3 , yn ˙: 24n+4 , zn ˙: 24n+5 với n Khi a = 1, b = 2, c = ta có biểu diễn:         xn g(1)n 0 g(1)n  yn  = P  g(2)n  P −1   =  2g(1)n  zn 0 g(1)n 3g(1)n ln có xn +yn = zn Để có quan hệ mới, chọn g(x) cách thích hợp Với g(x) = x2 +x+1 ta có g(1) = Khi xn = 3n , yn = 2.3n , zn = 3n+1 Xây dựng tốn mới: Ví dụ 2.4.6 Ba dãy số (xn ), (yn ), (zn ) xác định phương trình:   x0 = 1, y0 = 2, z0 =         x  xn−1 −3 n        = A + A + E với n > A = y y −2       n n−1     z z 4 −3 n n−1 Chứng minh xn + yn = 3n+1 Lời giải Sử dụng quy nạp theo n xn = 3n , yn = 2.3n , zn = 3n+1 Từ suy xn + yn = 3n+1 Với g(x) = x2 +2x+4 ta có g(1) = Khi xn = 7n , yn = 2.7n , zn = 3.7n Từ suy xn yn = 2.14n xây dựng tốn mới: Ví dụ 2.4.7 Ba dãy số (xn ), (yn ), (zn ) xác định bởi:   x0 = 1, y0 = 2, z0 =         x  x −3 n n−1         yn  = A + A + E  yn−1  với n > A =  −2      z 4 −3 zn−1 n Hãy chứng minh xn yn = 2.14n với n Lời giải Sử dụng quy nạp theo n xn = 7n , yn = 2.7n , zn = 3.7n Từ suy xn yn = 2.14n Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 53 Kết luận Luận văn trình bày nhận kết sau Trình bày số định lý, tính chất chứng minh tính đóng đại số Trường C ví dụ áp dụng có tính hệ thống Trường số phức Xây dựng vành ma trận K[A], tính định thức giá trị riêng đa thức g(A) biết định thức giá trị riêng A cách tính ma trận nghịch đảo, chéo háo ma trận có ví dụ minh họa Đã biểu diễn dãy số dạng ma trận, vận dụng phép biến đổi ma trận để tìm số hạng tổng quát dãy số Chuyển toán dãy số toán ma trận Đặc biệt luận văn nghiên cứu 2, dãy số đồng thời Sử dụng ma trận để xây dựng toán từ toán ban đầu, điều thiết thực với việc bồi dưỡng Học sinh giỏi Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 54 Tài liệu tham khảo [1] Nguyễn Duy Thuận, Phi Mạnh Ban, Nông Quốc Chinh (2003), Đại Số Tuyến Tính, NXB Đại Học Sư Phạm Hà Nội [2] Nguyễn Đình Trí, Lê Trọng Vinh, Dương Thủy Vỹ (1996), Toán Học Cao Cấp, Tập một, NXB Giáo Dục Hà Nội [3] Bản tin Dạy Học nhà trường, số - Viện nghiên cứu sư phạm - Trường đại học sư phạm Hà Nội [4] Tuyển tập: The IMO Compendium 1959-2004 [5] D Faddéev et I Sominski, Recueil D’Exercices D’Algèbre Supérieure, Editions Mir-Moscou 1977 [6] Z Kadelburg, D Đukie’, M Lukie’ and I Matie’, Inequalities of Karamata, Schur and Muirhead and some applications,, The Teaching of Mathematics 2005, Vol VIII,1, pp 31-45 Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn ... 1.4 Ma trận khả đảo ma trận nghịch đảo 1.5 Vành ma trận K[A] 1.6 Phương trình đặc trưng ma trận 1.7 Hàm hữu tỉ ma trận vuông 1.8 Chéo hóa ma trận vuông Xét dãy số qua... dãy số qua ma trận Trình bày nhiều ví dụ vận dụng kiến thức chương I như: Sử dụng đồng cấu, phép nhân ma trận, chéo hóa ma trận để giải toán dãy số biểu diễn dãy số dạng ma trận Chuyển toán dãy. .. Xét dãy số qua ma trận 2.1 Xét dãy số qua đồng cấu 2.2 Xét dãy số qua phép nhân ma trận 2.3 Xét dãy số qua chéo hóa ma trận 2.4 Xây dựng toán cho dãy số Kết luận