Thuật toán nón xoay tìm chiến lược hỗn hợp tối ưu trong bài toán trò chơi ma trận và ứng dụng

i ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƢỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC PHẠM ĐỨC TUẤN THUẬT TỐN NĨN XOAY TÌM CHIẾN LƢỢC HỖN HỢP TỐI ƢU TRONG BÀI TỐN TRỊ CHƠI MA TRẬN VÀ ỨNG DỤNG Chuyên ngành: TOÁN ỨNG DỤNG Mã số: 60 46 01 12 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Ngƣời hƣớng dẫn khoa học TS Nguyễn Anh Tuấn Thái Nguyên - 2015 Số hóa Trung tâm Học liệu - ĐHTN http://www.lrc-tnu.edu.vn/ ii MỤC LỤC MỞ ĐẦU.……………………………………………………………… …….…… … i Chƣơng THUẬT TỐN NĨN XOAY VÀ BÀI TỐN TRỊ CHƠI MA TRẬN 1.1 Bài tốn quy hoạch tuyến tính ………………………………………………….……1 1.2 Khái niệm nón đơn hình tuyến tính, cạnh phương nón Nón – (nón cực tiểu)………………………………………………………………… ………….…1 1.2.1 Khái niệm nón đơn hình tuyến tính…………….……… 1.2.2 Khái niệm cạnh nón đơn hình………………………… .……………2 1.2.3 Khái niệm nón xoay M(r,s) sinh từ nón M………………… ………………4 1.2.4 Định nghĩa Nón – (nón cực tiểu)…………………………….……….……5 1.3 Phương pháp nón xoay tuyến tính…………………………………….……… ……7 1.3.1 Thuật tốn nón xoay tuyến tính…………………………………….….……….8 1.3.2 Bảng lặp giải tốn quy hoạch tuyến tính thuật tốn nón xoay tuyến tính ví dụ minh hoạ……………………………………………………………………10 1.4 Thuật tốn nón xoay giải tốn quy hoạch tuyến tính dạng chuẩn với hàm mục tiêu có hệ số khơng âm…………………………………………………………….…….……14 1.4.1 Bài tốn quy hoạch tuyến tính dạng chuẩn với hàm mục tiêu có hệ số khơng âm……………………………………………………………………….…….…… 14 1.4.2 Xây dựng nón – (nón cực tiểu) xuất phát ………………….…… ……15 1.4.3 Thuật tốn nón xoay tuyến tính LA giải tốn qui hoạch tuyến tính với hàm mục tiêu có hệ số khơng âm…………………………………………….…… ……15 1.4.4 Lựa chọn số đưa vào sở………………………………… …….…… 16 1.5 Cặp tốn đối ngẫu quy hoạch tuyến tính dạng chuẩn……… …………… 18 1.5.1 Cặp toán đối ngẫu………………………………………….… ….…… 18 1.5.2 Một số tính chất định lý đối ngẫu………………………… ….…….…… 19 1.6 Bài tốn trị chơi ma trận 20 1.6.1 Khái niệm trò chơi ma trận 21 1.6.2 Hàm thu hoạch P1 .22 1.6.3 Điểm yên ngựa chiến lược tối ưu 23 Số hóa Trung tâm Học liệu - ĐHTN http://www.lrc-tnu.edu.vn/ iii 1.7 Đưa trò chơi ma trận tốn quy hoạch tuyến tính dạng chuẩn 24 1.7.1 Đưa tốn trị chơi ma trận tốn quy hoạch tuyến tính 24 1.7.2 Ví dụ minh họa[2] 26 Chƣơng THUẬT TỐN GIẢI BÀI TỐN TRỊ CHƠI MATRẬN KHI SỐ CHIẾN LƢỢC CỦA MỘT TRONG HAI NGƢỜI CHƠI LÀ HAI 2.1 Bài tốn trị chơi ma trận người chơi P1 sử dụng hai chiến lược 31 2.2 Phương pháp giải trực tiếp toán người chơi P1 33 2.3 Bảng giải toán người chơi P1 theo phương pháp TT 41 2.4 Ví dụ minh họa giải toán P1 theo phương pháp TT 44 Chƣơng NHẬN XÉT VÀ KẾT LUẬN .48 TÀI LIỆU THAM KHẢO .49 Số hóa Trung tâm Học liệu - ĐHTN http://www.lrc-tnu.edu.vn/ iv MỞ ĐẦU Bài tốn quy hoạch tuyến tính dạng chuẩn tốn có miền ràng buộc hệ bất phương trình tuyến tính với biến khơng âm Nhiều tốn quy hoạch tuyến tính thực tế thường bắt đầu dạng này, luận văn trình bày phương pháp nón xoay giải trực tiếp tốn quy hoạch tuyến tính với miền ràng buộc hệ bất phương trình tuyến tính Từ ta xây dựng thuật tốn nón xoay tuyến tính giải tốn quy hoạch tuyến tính dạng chuẩn với hàm mục tiêu có hệ số khơng âm ứng dụng để tìm chiến lược hỗn hợp tối ưu trò chơi ma trận Luận văn gồm chương: Chương 1, tơi trình bày phương pháp nón xoay thuật tốn nón xoay tuyến tính giải tốn quy hoạch tuyến tính với hàm mục tiêu có hệ số khơng âm với sở xuất phát từ gốc tọa độ O( 0, 0, …, 0) Sau trình bày tốn trị chơi ma trận đưa việc tìm chiến lược hỗn hợp tối ưu tốn trị chơi ma trận việc giải tốn quy hoạch tuyến tính dạng chuẩn Chương 2, luận văn ứng dụng thuật toán giải tốn quy hoạch tuyến tính dạng chuẩn với hàm mục tiêu có hệ số khơng âm trình bày chương 1, ta xây dựng phương pháp cụ thể giải trực tiếp tốn tìm chiến lược tối ưu trường hợp đặc biệt với số chiến lược người chơi thứ (người chơi thứ hai có số chiến lược chơi n bất kỳ) mà thường giải phương pháp đồ thị Các thuật tốn trình bày luận văn xây dựng chi tiết, bước thuật toán trình bày cho dễ dàng lập trình chuyển sang chương trình máy tính ngơn ngữ Pascal, C, Java, Luận văn hoàn thành dựa tài liệu [2], [4], [5], [6] tài liệu có phần tài liệu tham khảo Thái Nguyên, tháng 05 năm 2015 Tác giả Phạm Đức Tuấn Số hóa Trung tâm Học liệu - ĐHTN http://www.lrc-tnu.edu.vn/ Chƣơng THUẬT TỐN NĨN XOAY VÀ BÀI TỐN TRỊ CHƠI MA TRẬN Trong chương này, tơi trình bày phương pháp giải tốn quy hoạch tuyến tính với miền ràng buộc hệ bất phương trình tuyến tính thuộc lược đồ xấp xỉ ngồi (vì xuất phát giải từ đỉnh nón đơn hình tuyến tính ngồi miền chấp nhận được) gọi thuật tốn nón xoay tuyến tính [4] Từ trình bày trường hợp riêng biến thể giải tốn quy hoạch tuyến tính dạng chuẩn hàm mục tiêu có hệ số khơng âm, lớp tốn thường hay gặp thực tế Bài tốn trị chơi ma trận trường hợp cần tìm chiến lược hỗn hợp tối ưu dẫn đến tốn quy hoạch tuyến tính dạng chuẩn, chương trình bày khái niệm tốn trị chơi ma trận đưa toán toán quy hoạch tuyến tính dạng chuẩn 1.1 Bài tốn quy hoạch tuyến tính Xét tốn quy hoạch tuyến tính với miền ràng buộc hệ bất phương trình tuyến tính sau: n f ( x) C, x ( L) ci xi i x PL : x  n : Ai , x bi 0, i 1,2, , m x  n , Ai véc tơ dòng Ai  n , m n, Ai (ai1, ai2, , ain) ≠ O(0,…,0), C(c1, c2,…, cn), bi  , i=1, 2, , m Hạng hệ Ai (i=1, 2, …, m) n, giả thiết bình thường miền ràng buộc PL toán quy hoạch tuyến tính nói chung có ràng buộc dấu biến x 1.2 Khái niệm nón đơn hình tuyến tính, cạnh phƣơng nón Nón – (nón cực tiểu) 1.2.1 Khái niệm nón đơn hình tuyến tính Xét tập M xác định từ n ràng buộc tuyến tính PL, cụ thể là: M: x  n : Ai , x bi (1.1) 0, i I Số hóa Trung tâm Học liệu - ĐHTN http://www.lrc-tnu.edu.vn/ I : 1,2, , m , I i1, i2 , , in I) Ai với i n (ở I số đo số phần tử tập I hệ độc lập tuyến tính Tập M gọi nón đơn hình tuyến tính hệ ràng buộc PL với đỉnh xM nghiệm (được xác định) thoả mãn hệ sau: + bi = 0, Hệ véc tơ Ai với i i I (1.2) I gọi sở nón M, hay gọi sở đỉnh xM Tập I gọi tập số sở nón M 1.2.2 Khái niệm cạnh nón đơn hình I, tập hợp điểm x Với i  n thỏa mãn hệ: + br = 0, r I\{i} (1.3) gọi đường thẳng i nón M Tập điểm x thoả mãn hệ: Ar , x br 0, r Ai , x bi I\ i gọi cạnh i nón M Với i (i I), Véc tơ z Mi (i I), xác định hệ: Ar , zMi 0, r Ai , zMi I,r i (1.4) gọi véc tơ phương cạnh i nón M Đỉnh xM nón M xác định từ (1.2), trường hợp biết hệ véc tơ phương zMi (i I) sử dụng cơng thức sau: xM bi zMi (1.5) i I Định lý 1.1 [4] Nếu xM đỉnh nón đơn hình M xác định từ (1.2), hệ véc tơ phương z Mi (i I) cạnh i nón M xác định từ (1.4) xác định đỉnh xM từ cơng thức sau: Số hóa Trung tâm Học liệu - ĐHTN http://www.lrc-tnu.edu.vn/ xM bi zMi i I Từ định lý 1.1 ta suy trường hợp biết hệ véc tơ phương z Mi (i I) xác định đỉnh xM từ công thức sau: xM bi zMi i I Ta ký hiệu: J xM : 1, 2, , m : A j , x M j Rõ ràng J+(xM) = ta giả sử J+(xM) bj (1.6) xM điểm chấp nhận tốn (L) Chúng Với s Is : i I : As , zMi I0 : i I As , zMi J+(xM), ký hiệu sau: o I: I: (1.7) i1 , i2 , , in (1.8) i1 , i2 , , in Ta thấy: I = I0 I s Với i Is đường thẳng x=xM+á z Mi giao với siêu phẳng + bs=0 điểm xi = xM + As , x M As , zMi i i i z M (1.9) bs (1.10) Ta gọi I s := i I s : I s : i Is : Rõ ràng I s Định lý 1.2 i i = i I s : As , zMi = is1 , is , , isq Is I s J ( xM ) I s Chứng minh (xem [4]) Định lý 1.3 [4] Is tập phương án tốn (L) rỗng Số hóa Trung tâm Học liệu - ĐHTN http://www.lrc-tnu.edu.vn/ (1.11) Định lý cho ta kết luận rằng, tốn (L) có điểm chấp nhận I s tập khác rỗng 1.2.3 Khái niệm nón xoay M(r,s) sinh từ nón M Giả sử M nón đơn hình tuyến tính hệ ràng buộc PL xác định (1.1) J+(xM) ≠ , với S J ( x M ) r I s , tập hợp điểm x thoả mãn hệ bất đẳng thức: Ai , x bi 0, i As , x bs I ,i r (1.12) xác định nón đơn hình tuyến tính gọi nón xoay M(r,s), đỉnh là: xM(r,s) =x r = xM + r r r z M (1.13) xác định từ (1.10) Đỉnh xr thoả mãn: Ai , x r bi 0, i I r, s s \ r I Tập số sở I(r,s) nhận từ tập số sở cũ I cách loại số r khỏi tập sở cũ, đưa số s vào thay Ta nói nón xoay M(r,s) sinh từ nón M Bổ đề 1.1 Hệ Ai với i I r, s hệ độc lập tuyến tính Chứng minh Thật vậy, ngược lại hệ Ai với i I(r,s) phụ thuộc tuyến tính dễ dàng suy tồn biểu diễn: As i Ai As , zMr i I\ r i i I\ r Điều mâu thuẫn với Ai i Ai , zMi i I\ r (vì r I s ) Bổ đề cho ta thấy nón xoay M(r,s) nón đơn hình Các véc tơ phương zMi ( r ,s ) , i I r , s nón xoay M(r,s) xác định từ (1.4) với tập số sở I(r,s), xác định từ công thức đơn giản Số hóa Trung tâm Học liệu - ĐHTN http://www.lrc-tnu.edu.vn/ theo xi, xr, zMi , zMr (xác định từ (1.4), (1.9), (1.10)) với i, r thuộc I tập số sở cũ: z Mi zMi ( r , s ) zMi r zMr i I0 i I s,i i s r (1.14) i As , zMr zMr Hay zMi z i M ( r ,s ) z As , zMi As , zMr i M A , zMr s zMr zMr i I0 i I s ,i i r (1.15) s Các công thức gọi công thức đổi sở, bổ đề chứng minh công thức Bổ đề 1.2 [4] Giả sử M nón xác định M:= {x  n : Ai , x bi 0, i I } với véc tơ phương zMi cạnh xác định theo (1.4), giao điểm xi xác định theo (1.9), (1.10) Khi nón xoay M(r,s) có đỉnh x M r ,s I r, s I x r xác định từ (1.12) với sở tương ứng {s} \{r} véc tơ phương cạnh tương ứng zM ( r ,s ) xác i định (1.15) 1.2.4 Định nghĩa Nón cực tiểu (Nón – min) Nón đơn hình tuyến tính M với đỉnh xM gọi nón cực tiểu (nón – min) hàm f x C, x toán (L) f x M f x , x M Ta nói M nón - tốn (L) M nón – hàm mục tiêu f tốn (L) Số hóa Trung tâm Học liệu - ĐHTN http://www.lrc-tnu.edu.vn/ Giả sử M nón đơn hình xác định từ hệ (1.1) đỉnh xM, với véc tơ phương cạnh i zMi (i I), xác định (1.4), ta có định lý sau Định lý 1.4 Nếu f x M f xM zMi M nón - hàm f Chứng minh (xem [4]) Hệ 1.1 M nón - hàm f(x)= khi: ≥ 0, i I Giả sử M nón - hàm mục tiêu f(x)= toán (L) Gọi Vs : I s : f xv v min{ f xi } s (1.16) i I s Vậy V : v I s : f xv C , xi mins i I Thay xv xi xác định từ công thức (1.9) vào ta có: Vs : v I s : C , xv s C, xi i I v I s : C, xM v Is : v v C , zMv zMv min{ C, xM s i I s Vậy: V := s s i I v I : M C , zMv As , zMv zMi } min{ C , zMi } i s C , zMv v I : ( A ,x bs ) As , zMv v C, zMi } v I s : Cs, zMv min{ s i I A , zM As , zMi s i min{ s i I s min{ ( A ,x s i I C , zMi } As , zMi M C , zMi bs ) } As , zMi (1.17) Định lý 1.5 Số hóa Trung tâm Học liệu - ĐHTN http://www.lrc-tnu.edu.vn/ 37 Gọi j1 J1 số thỏa mãn a1 j : j J1 a1 j max (2.7) (nếu có nhiều số thỏa mãn (2.7) ta chọn j1 số nhỏ số thỏa mãn) Gọi j2 J số thỏa mãn a2 j : j J2 a2 j max (2.8) (nếu có nhiều số thỏa mãn (2.8) ta chọn j2 số nhỏ số thỏa mãn) Gọi J x1 j : 1, 2, , n : A j , x1 j j 1 Bây ta chứng minh ràng buộc j1 a1 j x1 a2 j x2 ràng 0 buộc biên toán người chơi P1 tốn ln có lời giải thỏa mãn chặt ràng buộc j1 Định lý 2.2: Nếu ràng buộc j1 a1 j x1 a2 j x2 ràng buộc biên 0 toán người chơi P1 tốn ln có lời giải thỏa mãn chặt ràng buộc j1 Chứng minh: Vì ràng buộc j1 a1 j x1 a2 j x2 ràng buộc biên nên tồn 0 điểm chấp nhận x0 miền ràng buộc toán người chơi P1 thỏa mãn chặt ràng buộc j1, theo định lý 2.1 ta có : x0 x1 j ; x j Lại j1 J1 nên theo (2.2) ta dễ dàng suy ra: f1 x1 j f1 x x1 j Ta thấy J Vậy J x1 j f1 x j (2.9) x1 j lời giải cua tốn P1 đoạn thẳng x0 ; x1 j giao với biên miền chấp nhận toán P1 điểm Ta gọi ràng buộc s ràng buộc biên tương ứng miền Số hóa Trung tâm Học liệu - ĐHTN http://www.lrc-tnu.edu.vn/ 38 chấp nhận D1 giao với đoạn x0 ; x1 j mà điểm x s D1 Do x s D1 x0 ; x1 j , từ (2.9) suy f1 x1 j As , x s D Lại có f1 x j f1 x (2.10) D1 nên theo định lý 2.1 Mà x s D x s D1 1s s x s x s , s (2.11) 0;1 Trong x1s = (1/a1s , 0) x2s = ( 0, 1/a2s ) hai điểm cực biên khúc lồi tuyến  2:x Ds := x tính: 0; As , x x1 j nên ta có Vì s J As , x1 j 1 a1s a1 j a2 s 1 a1 j 1 a1s (2.12) điều suy s J s J1 theo (2.1) ta có a1s a2 s (2.13) Từ (2.12) (2.13) ta thấy mâu thuẫn với (2.7) Do phải có s J a2 s Vậy: a1s f1 x s f1 x1s (2.14) Từ (2.11) (2.14) suy f1 x s f1 x s D1 f1 x1s (2.15) Mà x s D1 thỏa mãn chặt hai ràng buộc s j1 nên đỉnh nón đơn hình zj Nsj : x x2 j  : Aj , x x1 j z s 1 1; As , x với hai véc tơ phương x1s x2s , từ (2.9) (2.15) chứng tỏ z j1 z s hai hướng khơng giảm hàm mục tiêu tốn P1, nón N sj nón cực tiểu tốn P1 Suy x s D1 lời giải toán P1 thỏa mãn chặt ràng buộc j1 Số hóa Trung tâm Học liệu - ĐHTN http://www.lrc-tnu.edu.vn/ 39 Lý luận tương tự ràng buộc j2: a1 j x1 a2 j ràng buộc biên tốn người chơi P1 tốn ln có lời giải thỏa mãn chặt ràng buộc j2 Từ định lý 2.2 ta thấy có hai khả sau: a2 j III.1/ Nếu ta chọn ràng buộc ứng với số j1 thoả mãn (2.7) thấy a1 j có hai khả năng: ràng buộc j1 ràng buộc biên chứa lời giải tốn P1 ràng buộc lỏng miền chấp nhận D1 Vậy ta tiến hành tính tốn sau để tìm x* x1* ; x2* lời giải toán P1 thỏa mãn chặt ràng buộc j1 biết ràng buộc lỏng miền chấp nhận D1 toán P1 loại khỏi miền ràng buộc D1 1 a2 j x2* vào hàm mục tiêu ràng a1 j Từ a1 j x1* a2 j x2* ta thay x1* 1 1 buộc toán P1 đưa việc giải toán P1 việc giải toán biến tương đương sau: f1 x* a1 j f1 x1* a2 j a1 j x2* a1 j Với ràng buộc: a2 j x2* (2.16) a1 j a2 j a1 j a1 j a2 j * x với j = 1, 2, …, n; j a1 j 1 a1 j Đặt d jj 1 Gọi J 0j : a2 j a1 j , c jj 1 1,2, n \ j1 : c jj j 1 a1 j a2 j a1 j Jj : j 1,2, n \ j1 : c jj Jj : j 1,2, n \ j1 : c jj 1 (2.17) J1 Có khả sau xảy ra: III.1.1/ Nếu J 0j1 chuyển xuống III.1.1.2/ Số hóa Trung tâm Học liệu - ĐHTN http://www.lrc-tnu.edu.vn/ 40 III.1.2/ Nếu J 0j1 : + Tồn j J 0j mà d jj 1 suy ràng buộc j1 ràng buộc lỏng miền chấp nhận D1, ta loại ràng buộc khỏi miền ràng buộc quay giải tốn P1 với số ràng buộc cịn n-1 j J 0j mà d jj + Nếu chuyển xuống III.1.2.1./ 1 d jj j J j từ (2.17) ta có j cj III.1.2.1./ x2* III.1.2.2/ Nếu tồn j J j mà d jj suy ràng buộc j1 ràng buộc lỏng 1 miền chấp nhận D1, ta loại ràng buộc khỏi miền ràng buộc quay giải toán P1 với số ràng buộc n-1 j J j mà d jj III.1.2.3/ Nếu 1 ta chuyển xuống III.1.3/ d jj c jj * III.1.3/ j J j từ (2.17) ta có x Gọi M j d jj max j : j J j cj 1 1 1 + Nếu M j 1 suy ràng buộc j1 ràng buộc lỏng miền chấp nhận D1, ta a2 j loại ràng buộc khỏi miền ràng buộc quay giải toán P1 với số ràng buộc n-1 + Nếu M j 1 ta dễ dàng suy lời giải toán P1 a2 j x* 1 a2 j M j ; M j a1 j 1 (2.18) 1 III.2/ Nếu a2 j ta chọn ràng buộc ứng với số j2 thoả mãn (2.8) thấy a1 j có hai khả năng: ràng buộc j2 ràng buộc biên chứa lời giải toán P1 ràng buộc lỏng miền chấp nhận D1 Vậy ta tiến hành tính tốn sau để tìm Số hóa Trung tâm Học liệu - ĐHTN http://www.lrc-tnu.edu.vn/ 41 x* x1*; x2* lời giải toán P1 thỏa mãn chặt ràng buộc j2 biết ràng buộc lỏng miền chấp nhận D1 tốn P1 loại khỏi miền ràng buộc D1 1 a2 j x2* vào hàm mục tiêu a1 j Từ a1 j x1* a2 j x2* ta thay x1* 2 ràng buộc toán P1 đưa việc giải toán P1 việc giải toán biến tương đương sau: f1 x* a1 j a2 j * x2 a1 j a1 j f1 x1* Với ràng buộc: a2 j x2* (2.19) a1 j a2 j a1 j a1 j a2 j * x với j 1,2, n; j a1 j 2 Chú ý j2 a2 j a1 j , c jj a1 j a2 j a1 j 2 1 j 1,2, , n \ j2 : c jj Gọi J 0j : 2 Jj : j 1,2, , n \ j2 : c jj 1,2, , n \ j2 : c jj 2 Jj : (2.20) J nên hệ số hàm mục tiêu biến âm a1 j Đặt d jj j2 j Có khả sau xảy ra: III.2.1/ Nếu J 0j chuyển xuống III.2.1.1/ III.2.2/ Nếu J 0j : 2 + Tồn j J 0j mà d jj 2 suy ràng buộc j2 ràng buộc lỏng miền chấp nhận D1, ta loại ràng buộc khỏi miền ràng buộc quay giải toán P1 với số ràng buộc n-1 + Nếu j J 0j mà d jj 2 chuyển xuống III.2.3.1/ Số hóa Trung tâm Học liệu - ĐHTN http://www.lrc-tnu.edu.vn/ 42 d jj c jj III.2.1.2/ j J j từ (2.20) ta có x2* Gọi Max j max 2 d jj : j Jj c jj 2 2 suy ràng buộc j2 ràng buộc lỏng miền chấp nhận D1, a2 j + Nếu Max j 2 ta loại ràng buộc khỏi miền ràng buộc quay giải toán P1 với số ràng buộc n a2 j + Nếu Max j ta chuyển đến III.2.3./ d jj c jj j J j từ (2.20) ta có III.2.3./ x*2 III.2.3.1./ Nếu tồn j J j mà d jj suy ràng buộc j2 ràng buộc lỏng 2 miền chấp nhận D1, ta loại ràng buộc khỏi miền ràng buộc quay giải toán P1 với số ràng buộc n-1 j J j mà d jj III.2.3.2./ Nếu ta gọi 2 d jj j : j J j cj mj 2 M j m j ; a2 j lời giải toán P1 x* 1 a2 j M j ; M j a1 j 2 (2.21) Rõ ràng theo định lý 2.2 miền ràng buộc toán người chơi P1 khơng có ràng buộc lỏng phương pháp TT cho lời giải sau bước khả xấu số bước giải khơng q số chiến lược n người chơi P2 2.3 Bảng giải toán ngƣời chơi P1 theo phƣơng pháp TT Để thuận tiện cho việc giải toán người P1 ta xây dựng bảng tính tốn số liệu cần thiết từ thay vào cơng thức nghiệm đươc xây dựng phương pháp TT mục Số hóa Trung tâm Học liệu - ĐHTN http://www.lrc-tnu.edu.vn/ 43 Bài toán người chơi P1 giải phương pháp TT trương hợp đơn giản trường hợp I II ta nhận lời giải toán, ta lập bảng trường hợp III sau: Bảng tính tốn trường hợp III.1: a2 j : a1 j Bảng Chỉ số a1j a2j a11 a21 1/a11 1/a21 a21/a11 a12 a22 1/a12 1/a22 a22/a12 … … … Cơ sở … … j1 1/ … … n a1n Trong d a2n a1 j j1 j … … 1/a1n 1/a2n a2n/a1n … … … … … … … / … ; c jj a1 j + Nếu thấy M j 1/ a2 j a1 j 1 a2 j ;M j a1 j … … d jj max j : j J j cj 1 1 suy ràng buộc j1 ràng buộc lỏng miền chấp nhận a2 j D1, ta loại ràng buộc khỏi miền ràng buộc quay giải toán P1 với số ràng buộc n-1 + Nếu M j 1 ta dễ dàng nhận lời giải toán P1 theo (2.18) a2 j Số hóa Trung tâm Học liệu - ĐHTN http://www.lrc-tnu.edu.vn/ 44 1 a2 j M j ; M j a1 j x* 1 1 a2 j Bảng tính tốn trường hợp III.2: : a1 j Bảng Chỉ số a1j a2j a11 a21 1/a11 1/a21 a21/a11 a12 a22 1/a12 1/a22 a22/a12 … … … Cơ sở … … j2 … n 1/ … a1n Trong d j2 j 1/ / … … … a2n 1/a1n 1/a2n a2n/a1n a1 j ; c jj a1 j + Nếu thấy Max j 2 a2 j a1 j 2 a2 j ;M j a1 j … … … … … … … … … d jj max j : j J j cj 2 suy ràng buộc j2 ràng buộc lỏng miền chấp a2 j nhận D1, ta loại ràng buộc khỏi miền ràng buộc quay giải toán P1 với số ràng buộc n-1 + Nếu Max j : mj a2 j 2 d jj : j Jj c jj Số hóa Trung tâm Học liệu - ĐHTN M j m j ; a2 j http://www.lrc-tnu.edu.vn/ 45 ta dễ dàng nhận lời giải toán P1 theo (2.21) 1 a2 j M j ; M j a1 j x* 2 2 2.4 Ví dụ minh họa giải tốn P1 theo phƣơng pháp TT Ví dụ 1: Tìm chiến lược tối ưu P1 P2 với ma trận trò chơi 1 A Ta thấy aij : aij A 2 , ta chọn 4 aij thay A ma trận Mọi phần tử A dương nên v Ta có cặp tốn quy hoạch tuyến tính đối ngẫu tương ứng cần giải sau: Cặp toán đối ngẫu P1 P2 : f1 x1 x1 3x1 x1 x1 x1 x2 x2 3x2 x2 x2 0, x2 f2 y1 y1 y1 y1 y2 y3 y2 y3 y2 y3 0, y2 0, y3 y4 max y4 y4 0, y4 Ta có bảng sau: Chỉ số Cơ sở a1j a2j 1/5 1/4 4/5 1/4 1/3 3/4 3 1/3 1/6 1/5 Số hóa Trung tâm Học liệu - ĐHTN 1/20 -1/20 -1 6/3 -1/12 -5/4 1/15 5/1 -3/4 -17/4 3/17 http://www.lrc-tnu.edu.vn/ 46 Từ số liệu cột ta xác định J1 = { 1, 2} J2 = { 3, 4}, từ số liệu cột 3, cột cho ta xác định j1 = j2 = a12 a24 Vậy ràng buộc ứng với số j1 = chọn ràng buộc biên chứa lời giải có tốn Từ bảng ta có M2 = max{ -1, 1/15, 3/7}= 3/17 < a22 Vậy theo (2.18) ta có lời giải toán P1 x* 1 a22.M ; M a12 3.3 ; 17 17 ; 17 17 Từ định lý độ lệch bù ta có hệ phương trình xác định lời giải người chơi P2 y1 y1 y1 y3 y2 y3 y4 y2 y3 y4 0 Giải hệ ta y’ (0 4/17, 0, 1/17) Từ suy lời giải trò chơi cho: + Chiến lược tối ưu P1 : x* v x + Chiến lược tối ưu P2 : y* + Giá trò chơi: v* v v y 17 , 17 17 , 5 17 0, , 0, 17 17 0, , 0, 5 17 5 Ví dụ 2: Tìm chiến lược tối ưu P1 P2 với ma trận trò chơi A Ta thấy 1 10 aij : aij , ta chọn Số hóa Trung tâm Học liệu - ĐHTN thay A ma trận http://www.lrc-tnu.edu.vn/ 47 A 11 12 aij Mọi phần tử A dương nên v Ta có cặp tốn quy hoạch tuyến tính đối ngẫu tương ứng cần giải sau: Cặp toán đối ngẫu P1 P2 : f1 x1 x2 x1 3x2 x1 x2 x1 11.x2 x1 12.x2 x1 0, x2 f2 y1 y1 y1 y1 y2 y3 y2 y3 y2 11y3 0, y2 0, y3 y4 max y4 12 y4 0, y4 Ta có bảng sau: Chỉ số Cơ sở a1j a2j 1/5 1/3 3/5 1/8 1/6 3/4 3/40 -3/20 -1/2 11 1/4 1/11 11/4 -1/20 -43/20 1/43 12 1/12 12 -4/5 -57/5 4/57 Từ số liệu cột ta xác định J1 = { 1, 2} J2 = { 3, 4}, từ số liệu cột 3, cột cho ta xác định j1 = j2 = a11 a23 11 Vậy ràng buộc ứng với số j1 = chọn ràng buộc biên chứa lời giải có tốn Từ bảng ta có M1 max 1 , , 43 57 57 a21 Vậy theo (2.18) ta có lời giải tốn P1 Số hóa Trung tâm Học liệu - ĐHTN http://www.lrc-tnu.edu.vn/ 48 1 a21.M1; M1 a11 x* 3.4 = (9/57; 4/57) ; 57 57 57 Vậy v = 13 Từ định lý độ lệch bù ta có hệ phương trình xác định lời giải người chơi P2 y1 y1 y '2 y3 y2 y3 y4 y2 11y3 12 y4 0 Giải hệ ta y 11 ;0;0; 57 57 Từ suy lời giải trò chơi cho: * + Chiến lược tối ưu P1 : x v x 57 , 13 57 57 * + Chiến lược tối ưu P2 : y v y 57 11 , 0, 0, 13 57 57 * + Giá trò chơi: v 57 31 13 13 v Số hóa Trung tâm Học liệu - ĐHTN , 13 13 11 , 0, 0, 13 13 http://www.lrc-tnu.edu.vn/ 49 Chƣơng NHẬN XÉT VÀ K ẾT LUẬN Luận văn trình bày việc ứng dụng phương pháp nón xoay để tìm chiến lược hỗn hợp tối ưu trò chơi ma trận đưa giải cặp tốn đối ngẫu Vì chương luận văn trình bày kiến thức liên quan đến tốn quy hoạch tuyến tính dạng chuẩn, tốn đối ngẫu tốn trị chơi ma trận Trong chương 2, luận văn ứng dụng thuật tốn giải tốn quy hoạch tuyến tính dạng chuẩn với hàm mục tiêu có hệ số khơng âm trình bày chương 1, xây dựng phương pháp cụ thể giải trực tiếp tốn tìm chiến lược tối ưu trường hợp đặc biệt với số chiến lược người chơi thứ (còn người chới thứ hai có số chiến lược chơi n bất kỳ) mà thường giải phương pháp đồ thị Chúng ta biết, nhiều sách tài liệu đưa khái niệm chiến lược thừa phương pháp loại bớt chiến lược thừa tốn trị chơi ma trận trước đưa tốn quy hoạch tuyến tính dạng chuẩn tương ứng để tìm chiến lược hỗn hợp tối ưu Và tốn trị chơi ma trận khơng có chiến lược thừa phương pháp TT trình bày chương cho ta lời giải tốn trị chơi ma trận sau bước người chơi thứ có số chiến lược chơi người chơi thứ hai có số chiến lược chơi n tùy ý Còn sử dụng phương pháp đơn hình để giải chắn số bước lặp nhiều Số hóa Trung tâm Học liệu - ĐHTN http://www.lrc-tnu.edu.vn/ 50 Hoàn toàn với lý luận tương tự trình bày phương pháp TT, xây dựng phương pháp tương tự phương pháp TT để giải trực tiếp tốn tìm chiến lược tối ưu trường hợp đặc biệt với số chiến lược người chơi thứ hai (còn người chới thứ có số chiến lược chơi m bất kỳ) mà thường giải phương pháp đồ thị Tác giả luận văn hy vọng có dịp trình bày TÀI LIỆU THAM KHẢO Tiếng Việt [1] Lê Dũng Mưu, Nhập môn phương pháp tối ưu, Nxb Khoa học kỹ thuật, Năm 1998 [2] Trần Xuân Sinh, Toán kinh tế, NXB Đại học Quốc gia, Hà Nội, 2007 [3] Tô Cẩm Tú, Một số phương pháp tối ưu hóa kinh tế, Năm 1997 [4] Trần Vũ Thiệu Bùi Thế Tâm, Các phương pháp tối ưu hóa, Nxb Khoa học kỹ thuật, Năm 1998 [5] Nguyễn Anh Tuấn, Quy hoạch gần lồi – gần lõm ứng dụng vào quy hoạch tuyến tính, Nxb Khoa học kỹ thuật, Năm 2011 [6] Nguyễn Anh Tuấn, Nguyễn Văn Quý Quy hoạch tuyến tính với phương pháp nón xoay, Nxb Giáo dục Việt nam, Năm 2012 Tiếng Anh [7] A.C Belenski, Minimization monotone function in a polyhedron set, Automatic and Tele-Mechanics 9, 112-121(1982) Số hóa Trung tâm Học liệu - ĐHTN http://www.lrc-tnu.edu.vn/ 51 [8] Nguyen Anh Tuan and Pham Canh Duong, “Vietnam Journal of Mathematics”, Minimization of An Almost-convex and Almost-concave Function, Volume 24, Number 1.1996 (57-74) [9] H Tuy, Convex Analysis and Global Optimization, Kluwer 1998 Số hóa Trung tâm Học liệu - ĐHTN http://www.lrc-tnu.edu.vn/ ... dụng chiến lược người chơi P1 sử dụng m chiến lược, tức ma trận thu hoạch A = (aij)mx2 2.1 Bài tốn trị chơi ma trận người chơi P1 sử dụng hai chiến lược Chúng ta biết, để tìm chiến lược hỗn hợp. .. chơi ma trận có điểm yên ngựa, nghĩa có chiến lược đơn tối ưu Vì ta cần đến khái niệm chiến lược hỗn hợp tối ưu 1.6.3.2 Chiến lƣợc tối ƣu Định nghĩa 1.6 Lời giải trò chơi ma trận cặp chiến lược hỗn. .. trình bày khái niệm trị chơi ma trận, chiến lược hỗn hợp tối ưu tốn trị chơi ma trận đưa tốn trị chơi ma trận tốn quy hoạch tuyến tính dạng chuẩn 1.6.1 Khái niệm trò chơi ma trận Để đơn giản giả