SKKN Những sai lầm cần khắc phục và một số phương pháp giải phương trình vô tỉ

Qua thực tế giảng dạy nhiều năm ở môn Toán 9 và bồi dưỡng học sinh giỏi phân môn đại số tôi đã sưu tầm, chọn lọc tích luỹ và sáng tác thêm một số bài toán mới viết thành đề tà

Phương trình là một chủ đề chính trong chương trình toán phổ thông Trong chương trình

Toán bậc THCS, phương trình là một trong những chuyên đề xuyên suốt 4 năm học, bắt đầu tưnhững bài toán “Tìm x biết ” ở lớp 6 , tìm nghiệm của đa thức ở lớp 7 đến giải phương trình bậcnhất ở cuối năm học lớp 8 và hoàn thiện cơ bản các nội dung về phương trình bậc hai ở học kì II Đạisố lớp 9 Trong đó phương trình vô tỉ (phương trình có chứa ẩn dưới dấu căn) sách giáo khoa và sáchbài tập chỉ lướt qua, nhưng trong các kì thi tuyển sinh vào lớp10 THPT, thi tuyển vào trường chuyênlớp chọn, các kì thi học sinh giỏi cấp huyện, cấp tỉnh lại thường xuyên có bài toán này Nếu giáo viênkhông chú ý trang bị tốt kiến thức và phương pháp giải hợp lí thì học sinh khó vượt qua được Vấn đềđặt ra là làm thế nào để giúp học sinh giải tốt các dạng phương trình vô tỉ? Khi gặp bất cứ một bàitoán về phương trình vô tỉ nào học sinh cũng có tìm ra hướng giải đúng và hạn chế được những sailầm đáng tiếc trong quá trình giải toán

Qua thực tế giảng dạy nhiều năm ở môn Toán 9 và bồi dưỡng học sinh giỏi phân môn đại số

tôi đã sưu tầm, chọn lọc tích luỹ và sáng tác thêm một số bài toán mới viết thành đề tài “ Những sai lầm cần khắc phục và một số phương pháp giải phương trình vô tỉ” trong khuôn khổ chương trình

toán bậc THCS, nhằm giúp học sinh tránh được những sai lầm khi giải phương trình vô tỉ Tư đótrang bị cho học sinh một số phương pháp để giải các bài toán về phương trình vô tỉ Với mong muốntrao đổi kinh nghiệm cùng các bạn đồng nghiệp để có thêm một chuyên đề bồi dưỡng đội tuyển dựthi học sinh giỏi các cấp được hoàn thiện

1 THỰC TRẠNG CỦA VẤN ĐỀ

Trong phân phối chương trình TOÁN 9, không có tiết dạy giành riêng cho giải phương trình

vô tỉ (học sinh sẽ được học vào chương trình đại số 10 THPT) Cụ thể trong chương “ CĂN BẬCHAI – CĂN BẬC BA” có 18 tiết, trong đó 6 tiết lý thuyết, 4 tiết luyện tập, 6 tiết đôi vưa dạy lýthuyết vưa luyện tập, 1 tiết ôn tập và 1 tiết kiểm tra Giáo viên giảng dạy trên lớp thường ít chú ý rèn

kĩ năng giải các dạng phương trình vô tỉ cho học sinh, nếu có thì chỉ là một bài tập củng cố nhỏ nhằmhoàn thiện kiến thức sau mỗi tiết dạy nên khả năng vận dụng kiến thức vào giải phương trình vô tỉcủa học sinh còn nhiều hạn chế

Bài tập vận dụng sách giáo khoa và sách bài tập TOÁN 9 rất ít Toàn bộ chương I có 76 bàitập được chia làm nhiều dạng loại khác nhau, trong đó dạng bài tập đề cập đến tìm x (giải phươngtrình vô tỉ) có 5 bài tập Sách bài tập toán 9 có 108 bài, dạng toán liên quan đến giải phương trình vô

tỉ cũng chỉ có 5 bài tập Sau mỗi bài dạy lý thuyết không có nhiều hơn một bài tập về dạng toán này

Kĩ năng nhận dạng và lựa chọn phương pháp giải của học sinh đại trà rất hạn chế Học sinh giỏikhông có tài liệu để đọc và tham khảo

Khi giảng dạy tiết lý thuyết cũng như bài tập giáo viên thường xem nhẹ việc rèn kĩ năng giảiphương trình chứa ẩn dưới dấu căn thức và chưa dưng lại để phân tích những sai lầm mà học sinhthường mắc phải khi giải dạng toán này Chính vì vậy khi gặp phải dạng toán giải phương trình vô tỉrất nhiều học sinh đại trà không giải được, có một số em giải được nhưng không đạt điểm tối đa vìmắc những sai lầm hết sức đáng tiếc.

Bài toán giải phương trình vô tỉ là bài toán thường gặp trong các kì thi học sinh giỏi cấphuyện, cấp tỉnh Đề thi tiềm ẩn dưới nhiều dạng khác nhau nếu học sinh không được trang bị tốt kiếnthức và nắm vững phương pháp giải thì khó vượt qua được

Đối với giáo viên nếu chỉ dưng lại ở việc hoàn chỉnh kiến thức cơ bản của sách giáo khoakhông đi sâu nghiên cứu kĩ các dạng toán về phương trình vô tỉ, khi gặp phải dạng toán này vẫn có

những hạn chế nhất đinh Tôi xin giới thiệu kết quả thống kê điểm bài 5 (bài thi GVDG cấp huyện năm học 2011 – 2012) cho các bạn tham khảo.

Bài 5: ( 2,0 điểm ) Giải phương trình sau bằng 2 cách : 3 x3+ =8 2x2−6x+4

Nhận xét của giám khảo:

- Chưa có thí sinh nào giải hoàn chỉnh bài toán bằng 2 cách.

- Trên 50% số thí sinh không xác định hướng đựơc cách giải bài toán

Chính vì những thực trạng trên nên đòi hỏi phải có giải pháp mới để giải quyết.

2 Ý NGHĨA VÀ TÁC DỤNG CỦA GIẢI PHÁP MỚI.

2.1 Đối với học sinh:

Học sinh khắc phục được những sai lầm khi giải các dạng phương trình vô tỉ

Học sinh nhận dạng và định hướng được cách giải cho các dạng toán về phương trình vô tỉthuộc phạm vi chương trình toán trung học cơ sở

Học sinh giỏi giải được các bài toán về phương trình vô tỉ thuộc phạm vi chương trình toántrung học cơ sở, có thể giải được các dạng toán về phương trình vô tỉ trong chương trình toán trunghọc phổ thông và trong các đề thi vào các trường Đại học – Cao đẳng

2.2 Đối với giáo viên:

Giáo viên sáng tạo ra các bài toán phù hợp với tưng dạng toán về giải phương trình vô tỉ phục

vụ cho công tác giảng dạy

3 PHẠM VI NGHIÊN CỨU CỦA ĐỀ TÀI

Hệ thống một số phương pháp giải phương trình vô tỉ và chỉ ra những sai lầm thường mắcphải của học sinh khi giải các dạng toán về phương trình vô tỉ

1 CƠ SỞ LÍ LUẬN VÀ THỰC TIỄN

a) Cơ sở lí luận

Phương trình vô tỉ là phương trình chứa ẩn trong dấu căn Bài toán giải phương trình vô tỉ làbài toán khó nhận dạng và xác định hướng giải Đối với học sinh muốn giải được đòi hỏi phải đượctrang bị kiến thức tốt và phương pháp giải hợp lí

b) Cơ sơ thực tiễn

Qua thực tế dạy học của cá nhân nhiều năm ở bộ môn Toán 9 và tham gia bồi dưỡng học sinhgiỏi phân môn đại số do trường phân công Tôi đã tổng hợp các đề thi học sinh giỏi cấp huyện, cấptỉnh hàng năm kết hợp với giáo viên trong tổ phân tích sai lầm và tìm ra phương pháp giải tối ưu nhấtcho tưng bài toán về giải phương trình vô tỉ

Phân tích và hướng dẫn học sinh giỏi giải các bài toán về phương trình vô tỉ trong các đề thihọc sinh giỏi cấp huyện, cấp tỉnh và đề thi vào trường THPT chuyên Lê Quý Đôn hàng năm để pháthiện những sai lầm của học sinh trong giải toán

Gợi ý và định hướng học sinh giỏi giải các bài toán về phương trình vô tỉ và các bài toán liênquan đến rút gọn biểu thức chứa căn thức bậc hai đăng trên tạp chí “TOÁN HỌC VÀ TUỔI TRẺ” và

“TOÁN TUỔI THƠ 2” để phát hiện những sai lầm của học sinh trong các bước biến đổi

Tham khảo các tài liệu liên quan đến phương trình vô tỉ, chọn lọc, sắp xếp tìm ra các phươngpháp giải tối ưu nhất cho tưng dạng toán viết thành chuyên đề làm tài liệu bồi dưỡng học sinh giỏi,xây dựng thành sáng kiến kinh nghiệm

2 CÁC BIỆN PHÁP TIẾN HÀNH VÀ THỜI GIAN TẠO RA GIẢI PHÁP

2.1 CÁC BIỆN PHÁP TIẾN HÀNH

Dựa vào:

- Thực tế giảng dạy nhiều năm ở bộ môn Toán 9 và bồi dưỡng học sinh giỏi về phân môn đạisố đặc biệt là chuyên đề “ Phương trình vô tỉ ”

- Sách giáo khoa và sách bài tập toán 9

- Các tài liệu bồi dưỡng học sinh giỏi liên quan đến phương trình vô tỉ

- Các chuyên đề liên quan đến phương trình vô tỉ đăng tải trên tạp chí “TOÁN HỌC VÀTUỔI

TRẺ”; tạp chí “TOÁN TUỔI THƠ 2”

- Những bài viết về chuyên đề phương trình vô tỉ được đăng tải trên các trang mạng toán học

- Kết quả phân tích bài kiểm tra chương I - Đại số 9 và bài kiểm tra học kì I năm học 2010 –

2011 đối chiếu so sánh giữa các lớp, rút ra nhận xét, kết luận

- Kết quả thi học sinh giỏi tư năm học 2007 – 2008 đến năm học 2010 – 2011, đặc biệt là dạng toán giải phương trình vô tỉ để phân tích, so sánh, rút kinh nghiệm

2.2 THỜI GIAN TẠO RA GIẢI PHÁP

- Viết dưới dạng chuyên đề dùng làm tài liệu bồi dưỡng học sinh giỏi tư năm học 2007 – 2008

- Xây dựng thành chuyên đề hoàn chỉnh áp dụng giảng dạy học kì I năm học 2009 – 2010

- Được nhà trường công nhận là tài liệu dùng cho giáo viên trong tổ làm chuyên đề bồi dưỡnghọc sinh giỏi tư tháng 12/ 2010

- Dạy thử nghiệm trong năm học 2009 – 2010 và năm học 2010 - 2011

- Triển khai áp dụng trong toàn trường năm học 2011 - 2012

- Viết thô sáng kiến kinh nghiệm tư tháng 01/ 2012

- Hoàn thiện vào tháng 4/2012

* Tên đề tài “ Những sai lầm cần khắc phục và một số phương pháp giải phương trình vô tỉ”

1 Đưa ra một số ví dụ cụ thể ứng với tưng bài học trong chương “CĂN BẬC HAI – CĂNBẬC BA”, giúp cho giáo viên phát hiện những sai lầm thường gặp của học sinh khi giải các dạngtoán về phương trình vô tỉ để có nhận xét đánh giá và rút kinh nghiệm trong việc vận dụng kiến thức

đã biết vào giải toán

2 Nêu một số phương pháp giải phương trình vô tỉ áp dụng cho học sinh THCS, mỗi phươngpháp xây dựng một hệ thống bài tập tư dễ đến khó Nhằm giúp cho học sinh dễ tiếp cận một sốphương pháp giải mà các tài liệu chưa viết hoàn chỉnh, qua đó rèn kỹ năng tư duy và vận dụng kiếnthức một cách linh hoạt, tạo hứng thú tìm tòi, khám phá cho học sinh và có thể sáng tạo các bài toánmới hơn về phương trình vô tỉ

3 Đặc biệt là sau mỗi dạng bài tập có nêu bài toán tổng quát và định hướng xây dựng một lớpbài tập về phương trình vô tỉ giúp cho giáo viên có thêm nguồn tư liệu phong phú khi làm công tác

bồi dưỡng học sinh giỏi nhất là khi giảng dạy chuyên đề “ Phương trình vô tỉ ”.

II.1a NHỮNG SAI LẦM THƯỜNG GẶP KHI GIẢI PHƯƠNG TRÌNH VÔ TỈ

Học sinh sai lầm vì tưởng mình đã làm đúng Có biết bao nguyên nhân dẫn đến sai lầm khi giải toán Nhà giáo dục Polia đã viết “Con người phải biết học ngay ở những sai lầm của mình” Vậy khi giải phương trình vô tỉ học sinh sai lầm ở đâu? Cần khắc phục như thế nào?

Sai lầm 1: Khi giải phương trình vô tỉ học sinh thường ít chú ý đến điều kiện hoặc đặt điều kiện

không chính xác dẫn đến kết luận phương trình thừa hoặc thiếu nghiệm.

Tập nghiệm của phương trình là S = {0; 3− }

Nhận xét : x = - 3 không phải là nghiệm của phương trình, thay x = -3 vào (1) thì x + 2 = - 1 < 0 Sai lầm: Đặt điều kiện sai dẫn đến kết luận nghiệm thiếu chính xác

Khắc phục: Điều kiện: x ≥- 2, giải như trên

Kết luận: Phương trình chỉ có 1 nghiệm x = 0

Ví dụ 2: Giải phương trình : 4x2−20x+25 5 2= − x (2)

Lời giải của học sinh : Vì 4x2 – 20x + 25 = (2x – 5)2 ≥ 0 với mọi x

(2) ⇔ 4x2 – 20x + 25 = (5 – 2x )2 ⇔4x2 – 20x + 25 = 25 – 20x + 4x2 ⇔ 0x = 0

Vậy phương trình có nghiệm với mọi x ∈ R

Nhận xét : phương trình (2) không phải luôn có nghiệm với mọi x thuộc R vì khi thay x = 4 vào (2)

thì 5 – 2x = - 3 < 0 (không thoả mãn) mà phương trình (2) có nghiệm x 5

⇔4(2x2 – 3x + 1) = ( 27 – 3x)2 ⇔x2 – 150x + 725 = 0 ⇔x1= 5 ; x2 = 145 ( thỏa mãn).

Vậy phương trình có 2 nghiệm: x1= 5 ; x2 = 145

Nhận xét : x = 145 không là nghiệm của phương trình (3) Vậy lời giải của học sinh sai lầm ở bước nào? Rõ ràng là học sinh không đặt điều kiện ở phương trình (3’) dẫn đến kết luận nghiệm sai.

Đây là sai lầm thường gặp nhất đối với các em học sinh giỏi.

(Đề thi GVDG cấp huyện PGD – ĐT Phù Mỹ năm học 2011- 2012 )

Lời giải của 1 thí sinh: Điều kiện: x3 + 8 ≥ 0 ⇔ ≥ −x 2

(4) ⇔ 9( x3 + 8) = ( 2x2 – 6x + 4)2

⇔ ( x2 – 6x – 4 )( 4x2 – 9x + 14) = 0

⇔ x2 – 6x – 4 = 0 (vì 4x2 – 9x + 14 > 0)

⇔ x1 = 3+ 13 (thỏa mãn); x2 = 3− 13 (thoả mãn)

Vậy phương trình có 2 nghiệm : x1 = 3+ 13 ; x2 = 3− 13

* Lời giải trên thiếu sót gì không? Bài giải có đạt điểm tối đa không? Điều này xin giành cho bạn đọc (Đây là 1 bài giải hoàn chỉnh nhất trong 22 bài thi).

Vậy để tránh những sai lầm trên, khi dạy bài “ CĂN BẬC HAI ” giáo viên cần ghi nhớ cho

học sinh công thức:

2

00

+ =

⇔ − = ⇔  =Vậy tập nghiệm của phương trình là S = {−2;3}

Nhận xét : x = – 2 không phải là nghiệm của phương trình (3)

Sai lầm: Không tìm điều kiện xác định của phương trình dẫn đến thừa nghiệm.

Khắc phục: Điều kiện x ≥ 3 Giải như trên

Kết luận : Phương trình có một nghiệm x = 3

Ví dụ 6: Giải phương trình: x− −2 x2− =4 0 (6)

(Đề kiểm tra HKI năm học 2010 – 2011)

Lời giải của học sinh :

Điều kiện : x2 – 4 ≥0 ⇔x ≥2 hoặc x ≤ −2

9 không phải là nghiệm của phương trình

Sai lầm: HS tìm điều kiện xác định của phương trình chưa chính xác dẫn đến thừa nghiệm Thực ra

 − ≥ ⇔ ≥

 − ≥

Kết luận: Tập nghiệm của phương trình S = { }2

Phân tích: Trong phương trình (5), khi giải phương trình học sinh nhận dạng phương trình tích làdạng toán quen thuộc nên vội vàng giải đã bỏ sót điều kiện dẫn đến kết luận nghiệm của phương trìnhthiếu chính xác Phương trình (6) học sinh tìm ĐKXĐ sai nên dẫn đến thưa nghiệm Khi giải dạngtoán này cần ghi nhớ công thức:

Vậy phương trình có một nghiệm x = 2

Nhận xét : x = 2 không là nghiệm của phương trình vì x = 2 thì x−3 không xác định

Sai lầm: Không đặt điều kiện từ ban đầu nên dẫn đến kết luận nghiệm phương trình sai.

Khác phục: Điều kiện x ≥3 Giải như trên

Kết luận : Phương trình vô nghiệm

Sai lầm 2: Khi áp dụng hằng đẳng thức 2

A = A Xét thiếu trường hợp dẫn đến mất nghiệm.

Ví dụ 8: Giải phương trình : 4x2−4x+ = +1 x 3 (8)

Lời giải của học sinh : (8) ⇔ (2x−1)2 = + ⇔x 3 2x− = + ⇔ =1 x 3 x 4

Vậy phương trình có nghiệm duy nhất x = 4

Trường hợp : x ≥2 Giải như trên

bổ sung trường hợp : 1≤ ≤x 2 ta có (*) ⇔ 4 = x + 3 ⇔ x = 1 ( thoả mãn)

Kết luận : Phương trình có 2 nghiệm : x1 = 1 ; x2 = 5

Chú ý : Khi dạy bài “ Căn thức bậc hai và hằng đẳng thức A2 = A ” Cần ghi nhớ cho học sinhcông thức A2 B A B B 0

Sai lầm 3: Sai lầm khi vận dụng qui tắc khai phương một tích , một thương để biến đổi tương

đương các phương trình học sinh xét thiếu trường hợp dẫn đến thừa hoặc thiếu nghiệm.

Ví dụ 10: Giải phương trình: x x( − +1) x x( −2) 2= x x( −3) (10)

Lời giải của học sinh:

(10) ⇔ x (x− +1) x (x−2) 2= x (x−3)

⇔ (x− +1) (x−2) 2 (= x−3)Điều kiện x ≥ 3 khi đó ta có: x− >1 x−3 và x− >2 x−3

Suy ra (x− +1) (x−2) 2 (> x−3)

Vậy phương trình vô nghiệm

Nhận xét: Ta thấy ngay x = 0 là một nghiệm của phương trình mà HS đã bỏ qua Việc chia 2 vế cho

x đã làm mất nghiệm của phương trình.

Sai lầm: + Không xét trường hợp x = 0 để suy ra nghiệm của phương trình.

+ Chưa xét đầy đủ các trường hợp x > 0 và trường hợp x < 0.

Khắc phục: Trường hợp: x = 0 ⇔x = 0 là 1 nghiệm của phương trình.

Trường hợp x < 0 thì (10) viết về dạng: −x (1− + −x) x (2−x) 2= −x (3−x) (10’)

Vì −x > 0 nên chia 2 vế (10’) cho −x ta được: 1− +x 2− =x 2 3−x

Do x < 0 nên 1− <x 3−x và 2− <x 3−x

Suy ra 1− +x 2− <x 2 3−x Do đó x < 0 Không thoả mãn phương trình

Trường hợp x > 3 Giải như trên

Kết luận : Phương trình có 1 nghiệm x = 0

Ví dụ 11: Giải phương trình: x x( − +5) x x( −2) = x x( +3) (11)

Lời giải của học sinh:

Điều kiện:

02

x x

* Ta có x = 0 là 1 nghiệm của phương trình (11)

* Với x ≠ 0, chia 2 vế phương trình cho x ta được:

66

1010

33

x

x x

x x

Nhận xét: Lời giải trên rất lôgich và chặt chẽ nhưng kiểm tra lại thì x = - 10

3 không là nghiệm củaphương trình Nguyên nhân nào dẫn đến việc thưa nghiệm trên

Sai lầm: HS chỉ xét trường hợp x ≠ 0 , trong trường hợp x ≠0 phải xét cả 2 khả năng xảy ra là x > 0

và x < 0 Cụ thể là xét trường hợp x 5≥ và x ≤ −3

Khắc phục:

Trường hợp x = 0 là 1 nghiệm của phương trình

Trường hợp x 5≥ Giải như trên và loại nghiệm x = - 10

3 (không thoả mãn)

Bổ sung trường hợp x ≤ −3.(trình bày ở phần sau)

Đó là những sai lầm mà học sinh nào cũng có thể mắc phải khi vận dụng công thức A B = A B ,ngay cả giáo viên chúng ta nếu không để ý cũng khó tìm được nguyên nhân đãn đến sai lầm trong hai

Vậy phương trình vô nghiệm

Nhận xét: Rõ ràng x = - 5 là nghiệm của phương trình.Vậy học sinh sai lầm ở bước biến đổi nào?

Sai lầm: Khi áp dụng quy tắc khai phương một thương học sinh đã bỏ sót trường hợp : x ≤ −3,5 nên dẫn đến mất nghiệm.

Khắc phục: Xét thêm trường hợp x ≤ −3,5 họăc giải như sau:

(11) ⇔ 2 7 1 2 7 2 5

2 02

x

x x

x

+ = +

+ = ⇔ + ≠ ⇔ = −

Kết luận: Phương trình có 1 nghiệm x = - 5

Khi dạy bài “Liên hệ giữa phép chia và phép khai phương” cần ghi nhớ cho HS công thức

Sai lầm 4: Biến đổi đưa thừa số ra ngoài hoặc vào trong dấu căn xét thiếu trường hợp xảy ra dẫn

đến phương trình thừa hoặc thiếu nghiệm.

Vậy phương trình (13) có 2 nghiệm x1 = 3; x2 = 7

Nhận xét: Lời giải của học sinh thoả mãn 2 nghiệm tìm được, các em không ngờ rằng phương trình

Kết luận: Phương trình có 3 nghiệm : x1 = 3; x2 = 7; x3 = 2.

Để tránh sai lầm trên khi dạy mục “Đưa thừa số ra ngoài dấu căn ” Giáo viên cần chú ý cho HS

+

− = 4 (14)

Lời giải của học sinh:

Điều kiện: x > 3 hoặc x ≤- 1

Đặt (x – 3) 1

3

x x

+

− = 1 ⇔(x – 3)(x + 1) = 1 ⇔x

2 – 2x – 4 = 0 Phương trình này có 2nghiệm x1 = 1 + 5 ( thoả mãn ) ; x2 = 1 - 5 ( thoả mãn)

Vậy phương trình có 2 nghiệm : x1 = 1 + 5 ; x2 = 1 - 5

Nhận xét: x = 1 - 5 không là nghiệm của phương trình HS bỏ qua trường hợp t = - 4 làm mất

nghiệm x = 1 - 20 của phương trình

Sai lầm : + Đặt điều kiện t ≥0 nên loại trường hợp t = - 4 làm mất nghiệm.

+ Chưa xét kĩ từng trường hợp nên dẫn đến thừa nghiệm x = 1 - 5

Khắc phục: Điều kiện: x > 3 hoặc x ≤- 1

Đặt (x – 3) 1

3

x x

31

3

x x

x x x

Phương trình này có 2 nghiệm x1 = 1 + 5 ( nhận ) ; x2 = 1 - 5 ( loại)

Tư (14”) suy ra x < 3 Kết hợp với điều kiện ta có x ≤ - 1

(14”) ⇔(x – 3)(x + 1) = 16 ⇔x2 – 2x – 19 = 0

Phương trình này có 2 nghiệm x3 = 1 + 20 ( loại) ; x4 = 1 - 20 ( nhận)

Vậy nghiệm của phương trình : x = 1 + 5 ; x = 1 - 20

Để tránh sai lầm trên khi dạy mục “Đưa thừa số vào trong dấu căn ” Giáo viên cần chú ý cho HS

Vậy phương trình vô nghiệm

Nhận xét: Dễ dàng nhận ra lời giải sai lầm ngay bước biến đổi đầu tiên, khi khử mẫu của vế trái để

đưa thưa số ra ngoài dấu căn bậc hai mà không để ý đến giá trị tuyệt đối, nên làm mất nghiệm x = -3

Vậy phương trình có 1 nghiệm x = -3

Để tránh sai lầm trên khi dạy mục “Khử mẫu của biểu thức lấy căn ” cần ghi nhớ cho học sinh :

Nhận xét : Học sinh thực hiện các phép biến đổi tương đương và giải phương trình trên rất hoàn hảo,

nhưng khi thử lại ta thấy x1 = 4; x2 = 7

2 không là nghiệm của phương trình.

Sai lầm: Học sinh không tìm điều kiện xác định của phương trình (16) Nếu học sinh tìm đúng điều

kiện xác định của phương trình thì có thể kết luận phương trình vô nghiệm ngay từ đầu.

Vậy phương trình vô nghiệm

Sai lầm 7: Khi dùng phương pháp đặt ẩn phụ đưa về hệ phương trình học sinh không chú đến điều kiện ẩn phụ dẫn đến thừa nghiệm.

4x +5x+ −1 4x −4x+ =4 9x−3

( Đề thi vào trường THPT chuyên Lê Quý Đôn – năm học 2007 – 2008)

Lời giải của học sinh:

Nếu a = b ta có: 4x2+5x+1 = 4x2 −4x+4 ⇔ 4x2 + 5x + 1 = 4x2 – 4x + 4 ⇔x = 1

3 ( chọn)Nếu a + b – 1 = 0 kết hợp với (*) ta có : 2a = 9x – 2

Suy ra 2 4x2+5x+1 = 9x – 2 ⇔4( 4x2 + 5x + 1) = (9x – 2)2

⇔16x2 + 20x + 4 = 81x2 – 36x + 4 ⇔ 65x2 – 56x = 0 ⇔ x1 = 0 (loại ); x2 = 56

65 ( thoả mãn) Vậy phương trình có 2 nghiệm: x1 = 1

3 ; x2 =

56

65

Nhận xét: x2 = 56

65 không là nghiệm của phương trình.

Sai lầm: Lời giải bộc lộ sai lầm trong trường hợp xét a + b – 1 = 0;

vì b = 4x2−4x+4 = (2x−1)2+ ≥3 3 1> Suy ra a + b > 1 ( loại )

Khắc phục: Trong trường hợp a + b – 1 = 0

Lập luận vì b = 4x2−4x+4 = 2

(2x−1) + ≥3 3 1> Suy ra a + b > 1 ( loại )Hoặc: Xét như sau để loại nghiệm: 9 3 2 9 2

Tư đó tìm được x1 = 145; x2 = 5

Vậy phương trình có 2 nghiệm x1 = 145; x2 = 5

Nhận xét : x1 = 145 không là nghiệm của phương trình Nguyên nhân nào xuất hiện nghiệm ngoại lai?

Vậy học sinh sai lầm ở đâu? ( Đây là sai lầm 2 của ví dụ 3) Điều này giành cho bạn đọc.

Ví dụ 19: Giải phương trình: x 2 - x+5 = 5 (1) ( Đề thi HSG cấp tỉnh năm 2007)

Lời giải của học sinh: Điều kiện: x ≥- 5

đặt: x+5 = y Kết hợp với (1) ta có hệ phưong trình:

tư (*) suy ra x2 – y2 + x – y = 0 ⇔ (x – y)(x + y + 1) = 0

− + không là nghiệm của phương trình

Sai lầm: HS sai lầm từ bước đặt điều kiện x ≥- 5 Điều kiện của phương trình chính xác là

Cách 2: Giải xong thử các nghiệm vào phương trình đã cho để kết luận nghiệm.

Sai lầm 8: Sai lầm khi vận dụng bất đẳng thức

x+ + − =x x + (1)

Lời giải của học sinh: Điều kiện: 1− ≤ ≤x 3

Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacovski cho 2 bộ số (x, 1); ( x+1; 3−x ) ta được:

Phương trình (3) có 3 nghiệm x1 = 1; x2 = 1 – 2 ; x3 = 1 + 2 ( thoả mãn )

Vậy phương trình đã cho có 3 nghiệm : x1 = 1; x2 = 1 – 2 ; x3 = 1 + 2

Nhận xét: x2 = 1 – 2 không là nghiệm phương trình

Sai lầm: Với điều kiện 1− ≤ ≤x 3 thì phép biến đổi

x

x = x ⇔

+ − x 3 – 3x 2 + x + 1 = 0 ⇔(x – 1)(x 2 – 2x – 1) = 0 (3) là phép biến đổi hệ quả

không là phép biến đổi tương đương Do đó làm xuất hiện nghiệm ngoại lai x = 1 – 2

Phương trình (3) có 3 nghiệm x1 = 1 (thoả mãn); x2 = 1 – 2 (loại) ; x3 = 1 + 2 ( thoả mãn ) Vậy phương trình đã cho có 2 nghiệm : x1 = 1; ; x2 = 1 + 2

Ghi nhớ: - Điều kiện xác định của phương trinh

- Phép biến đổi tương đương các phương trình

- Thử lại nghiệm thoả mãn với phương trình đã cho hay không

- Kết luận nghiệm của phương trình

Sai lầm 9: Khi thực hiện các phép biến đổi tương đương các phương trình học sinh đã sử dụng chính điều kiện bài toán dẫn đến thừa hoặc thiếu nghiệm.

 − =  =



Vậy phương trình có 2 nghiệm x1 = 0; x2 = 1

Nhận xét: Với cách giải bài toán trên ta thấy con đường đi đến đích của học sinh thật suôn sẻ Mới

nhìn ta thật sự cuốn hút bởi cách giải trên và không phát hiện sai sót gì? Nhưng khi thử lại thì x = 1không là nghiệm của phương trình

Sai lầm: Khi thực hiện phép biến đổi tương đương từ (22’) sang (22”) thực chất đây là phép biến đổi

hệ quả chứ không phải là phép biến đổi tương đương vì đã sử dụng điều kiện của chính bài toán.

Điều này chưa chắc đúng với mọi x

Khắc phục: Thử trực tiếp nghiệm vào phương trình (22) ta thấy x = 0 ( thoả mãn), x = 1( không thoả

mãn) Kết luận phương trình có nghiệm duy nhất x = 0

Giới thiệu ví dụ sau các bạn tham khảo

3 3

Ghi nhớ: Xét phương trình sau, trong A, B, C là các biểu thức chứa ẩn x

- Nếu phương trình (3) vô nghiệm thì (1) ⇔ (2)

- Nếu phương trình (3) có nghiệm x = α thì xảy ra 2 khả năng sau:

* Khả năng 1: x = α thoả mãn phương trình (2) ⇔ :x = α là nghiệm của hệ PT: A = B = C = 0

* Khả năng 2: x = α không thoả mãn phương trình (2) thì (1) và (2) không tương đương vì x =

α là nghiệm của (1) nhưng không là nghiệm của (2)

Như vậy lược đồ xét phương trình (2) như sau:

Bước 1: Viết phương trình (1) về dạng tương đương gồm phương trình (2) và phương trình (3) như

trên

Bước 2: Giải phương trình (3)

+ Nếu phương trình (3) vô nghiệm thì (2) ⇔ (1)

+ Nếu phương trình (3) có nghiệm x = αkhông thoả mãn A = B = C = 0 thì x = α không lànghiệm của (2)

Bước 3: Kết luận là nghiệm của phương trình (2) gồm:

+ Nghiệm của phương trình (1) không thoả mãn phương trình (3)

+ Nghiệm của phương trình (3) thoả mãn A = B = C = 0

Phương trình vô tỉ là một dạng toán có rất nhiều “bẫy” hình như đã giăng sẵn đối với học sinh chúng ta Vì vậy giáo viên cần phải biết giúp học sinh sửa sai ngay trong lời giải của mình Sự cẩn thận là một yếu tố quan trọng giúp học sinh tránh những sai lầm đáng tiếc, nhưng quan trọng hơn cả là phải nắm chắc kiến thức và phương pháp giải.

- Đối với môn toán, cần có quan điểm tư duy quan trọng hơn kiến thức, nắm vững phương pháp quan trọng hơn học thuộc lí thuyết Dạy toán là dạy suy nghĩ, dạy học sinh thành thạo các thao tác

tư duy: phân tích, tổng hợp, trừu tượng hoá, đặc biệt hoá, tương tự trong đó phân tích tổng hợp làm nền tảng Phải cung cấp cho học sinh những tri thức về phương pháp để học sinh tự tìm tòi, tự mình phát hiện ra vấn đề, dự đoán kết quả tìm được hướng giải của một bài toán, từ đó nhớ lâu các kiến thức toán học và có thể tìm lại được, nếu quên

Trong phần trên tôi đã đưa ra các ví dụ cụ thể ứng với tưng đơn vị kiến thức và phân tích sai lầmcủa học sinh khi giải phương trình vô tỉ Vậy làm thế nào để học sinh khắc phục được những sai lầm

đó và khi gặp bất cứ dạng phương trình vô tỉ nào thuộc phạm vi chương trình trung học cơ sở họcsinh cũng có thể giải được Tôi xin giới thiệu một số phương pháp sau:

MỘT SỐ PHƯƠNG

PHÁP GIẢI PHƯƠNG

TRÌNH VÔ TỈ

CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP

1 NÂNG LÊN LUỸ THỪA

1 A x( ) =B x( )

( ) 0( ) ( )

1 Đặt một ẩn phụ đưa về phương trình bậc hai

2 Đặt một ẩn phụ đưa về phương trình tích

3 Đặt hai ẩn phụ đưa về phương trình tích

4 Đặt hai ẩn phụ đưa về hệ phương trình

5 GIẢI PHƯƠNG TRÌNH

VÔ TỈ BẰNG CÁCH

ĐÁNH GIÁ

1.Dự đoán nghiệm và chứng minh nghiệm đó là duy nhất

2 Sử dụng tính đối nghịch hai vế của phương trình

Dấu bằng xảy ra khi a = b

1 PHƯƠNG PHÁP NÂNG LÊN LUỸ THỪA

- Tìm điều kiện có nghĩa của phương trình (ĐKXĐ)

- Nâng lên luỹ thừa để làm mất căn thức bậc hai, bậc ba …

Dạng 1: A x( ) =B x( )

( ) 0, ( ) 0( ) ( )

Vậy phương trình có một nghiệm x = 50

5 ; x2 = 8b) x x( − +5) x x( −2) = x x( +3) (4b)

Điều kiện:

02

x x

* Ta có x = 0 là 1 nghiệm của phương trình (4b)

* Với x 5≥ , chia 2 vế phương trình cho x ta được:

66

1010

33

x

x x

x x

⇔ 2 (5−x)(2−x) = x – 10 Phương trình vô nghiệm vì x ≤-3

Vậy phương trình có 2 nghiệm x1 = 0; x2 = 6

Dạng 5: A(x)+ B(x) = C(x)+ D(x)

Phương pháp giải:

- Tìm điều kiện có nghĩa của phương trình (tìm ĐKXĐ)

- Bình phương 2 vế

- Biến đổi, rút gọn, đặt điều kiện

- Bình phương 2 vế tiếp …

Với x ≥ 4 ⇒ vế trái của phương trình (*) luôn là một số dương ⇒ phương trình (*) vô nghiệm

Vậy phương trình đã cho vô nghiệm

b) x− x 1+ − x 4+ + x 9 0+ = ( 5.b)

Điều kiện x ≥ 0

(5b) ⇔ x 9+ + x = x 1+ + x 4+

Vậy phương trình có 1 nghiệm x = 0

Xây dựng bài toán vận dụng:

Tuỳ theo mức độ yêu cầu bài tập đối với trình độ của học sinh ta có thể xây dựng lớp bài toán theocác dạng trên:

- Xác định A(x) = ?; B(x) = ? ta có bài tập dạng 1 và dạng 2

- Xác định A(x) = ?; B(x) = ? ; C(x) = ? ta có bài tập dạng 3 và dạng 4

- Xác định A(x) = ?; B(x) = ? ; C(x) = ? ; D(x) = ? ta có bài tập dạng 5

Sau đây là bài tập vận dụng

Bài 1:Giải các phương trình :

d) x2 - x+5 = 5 (Đề thi HSG môn toán lớp 9 cấp tỉnh năm học 2006 – 2007)

Bài 2:Giải các phương trình :

Dạng 6: Nâng lên luỹ thừa bậc ba

Lập phương hai vế để làm mất căn bậc ba là dạng toán học sinh cũng có thể gặp trong các đề thi Tôi xin giới thiệu ví dụ sau để các bạn tham khảo

3 3

⇔ = ⇔ =

Thử lại ta thấy x = - 1( thoả mãn); x = 0 ( không thoả mãn)

Vậy phương trình có 1 nghiệm x = - 1

d) 3 2x− =1 x316−32x+1 (6d)

Lập phương 2 vế:

Xây dựng bài tập vận dụng tương tự như dạng 1 - 5

Bài tập: Giải các phương trình sau

TRONG DẤU GIÁ TRỊ TUYỆT ĐÔÍ

Với dạng toán này ta phải biến đổi để biểu thức dưới dấu căn xuất hiện bình phương của một

tổng hoặc bình phương của một hiệu hai biểu thức rồi vận dụng hằng đẳng thức 2

Ví dụ 2.1 Giải các phương trình sau:

+ = ⇔ + = ⇔  + = − ⇔  = −

⇔ (2x+1)(2x− +1 2) = ( 2x + 1)( x2 + 1)

(2x+1) = ( 2x + 1)( x2 + 1)

⇔ ( 2x + 1) = ( 2x + 1)( x2 + 1)

⇔ ( 2x + 1)x2 = 0 x = 0 ; x = - 1

2 ( thoả mãn )Vậy phương trình đã cho có 2 nghiệm x1 = 0 ; x2 = - 1

- Áp dụng định nghĩa giá trị tuyệt đối xét tưng trường hợp

- Hoặc dùng bất đẳng thức A + B ≥ + ≥A B 0 Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi A.B 0≥

Ví dụ 2.2a Giải phương trình 2x− +2 2x− +3 2x+ +13 8 2x− =3 7 (2.2a)

GIẢI :Điều kiện : x ≥ 3

2 (2.2a) ⇔ ( 2x− +3 1)2 + ( 2x− +3) 4)2 =7

Vậy tập nghiệm của phương trình là : S = {x/ 5≤ ≤x 10}

ta có bài 2c Vậy tuỳ theo cách chọn ta có thể sáng tạo nhiều bài tập dạng này

Bài 1 : Giải các phương trình :

a) x2+2x+ =1 3 b) 2

(2x−5) = −5 2x

Đối với phương pháp đưa phương trình về dạng chưa ẩn trong dấu giá trị tuyệt đối ta thường

sử dụng đối với những phương trình vô tỉ có căn thức hai hay nhiều lớp, ta cần xem xét các biểu thức dưới dấu căn biến đổi đưa được về dạng bình phương của một tổng hoặc một hiệu Sau đó đưa

về phương trình chứa ẩn trong dấu giá trị tuyệt đối Giải phương trình chứa ẩn trong dấu giá trị tuyệt đối hoặc vận dụng các bất đẳng thức liên quan đến giá trị tuyệt đối để giải phương trình

tình trạng đó ta có thể dùng phương pháp đặt ẩn phụ để chuyển về phương trình hoặc hệ phương trình quen thuộc đã biết cách giải.

Ví dụ 3.1: Giải phương trình :

a) 3 x2+ +x 1 - x = x2 + 3 (1a) ( Bài 70b / trang 48 – Sách BT toán 9)

b) 6x2 + 15x + 11 = 5 2x2+5x+3 (1b)

Nhận xét: Đối với 2 phương trình trên nếu ta dùng phương pháp nâng lên luỹ thưa thì trở

thành phương trình bậc 4 rất khó giải

Ta có : x2+ x + 3 = ( x2 + x + 1) + 2 và ( x2+ +x 1 )2 = ( x2 + x + 1)

6x2 + 15x + 11 = 3( 2x2 + 5x + 3 ) + 2

Giúp học sinh nghĩ ngay đến việc dùng một ẩn mới để thay thế

GIẢI:

a) Đặt : x2+ +x 1 = t ≥0 ⇔ t2 = x2+ x + 1 khi đó phương trình (1a) có dạng :

t2 – 3t + 2 = 0 tư đó tìm được t1 = 1 ( thỏa mãn ); t2 = 2 ( thỏa mãn )

Suy ra : x2+ +x 1 = 1 ⇔x2 + x = 0 Phương trình này có 2 nghiệm : x = 0; x = -1

2x +5x+3 = t ≥0 ⇔ t2 = 2x2+ 5x + 3 khi đó phương trình (1b) có dạng3t2 – 5t + 2 = 0 Tư đó tìm đựợc t1 = 1 ( thỏa mãn ); t2 = 2

3 ( thỏa mãn )Suy ra 2

2x +5x+3 = 1 ⇔2x2 + 5x + 2 = 0 Phương trình này có hai nghiệm x1 = - 2; x2 = - 1

2 2

2x +5x+3 = 2

3 ⇔18x2 + 45x + 23 = 0 Phương trình này có hai nghiệm x3 = 45 369

Xây dựng bài tập vận dung: Dựa vào công thức tổng quát và tuỳ theo đối tượng học sinh của lớp

bồi dưỡng mà giáo viên có thể sáng tạo ra các bài toán cùng dạng loại phù hợp

Xác định : px2+qx r+ = t và ax2 + bx + c = A(x) , trong đó a b

p = q ta có lớp bài tập vận dụng:

Ví dụ: Xuất phát tư phương trình bậc hai: 2t2 – 3t + 1 = 0

- Ta chọn t = 2

9x −9x+2; 2t2 = 18x2 – 18x + 4 ta có bài 1a

- Nếu chọn t = 2011x2+1010x+2012 ta có bài 1d

Sau đây là các bài tập vận dụng:

Bài 1: Giải các phương trình :

a) 18x2 – 18x + 5 = 3 2

9x −9x+2b) 3x2 + 2x = 2 x2+x + 1 – x

c) x2 – 4x – 6 = 2

2x −8x+12d) 4022x2 + 2020x + 4025 = 3 2011x2+1010x+2012

Bài 2: Giải các phương trình

+

− = 4 (2)Nhận xét : Nếu bình phương 2 vế thì phương trình trở thành phương trình bậc 4 rất phức tạp

Nếu đặt 1

3

x x

+

− ]

2 = (x - 3)(x + 1) thì giải quyết được bài toán

GIẢI: Điều kiện: x > 3 hoặc x ≤- 1

Đặt t = (x – 3) 1

3

x x

31

3

x x

x x x

Tư (1’) suy ra x > 3; do đó (1’) ⇔(x – 3)(x + 1) = 1 ⇔x2 – 2x – 4 = 0 Phương trình này có 2nghiệm x1 = 1 + 5 (nhận) ; x2 = 1 - 5 (loại)

Tư (2’) suy ra x < 3 Kết hợp với điều kiện ta có x ≤ - 1

(2’) ⇔(x – 3)(x + 1) = 16 ⇔x2 – 2x – 19 = 0

Phương trình này có 2 nghiệm x3 = 1 + 20 ( loại) ; x4 = 1 - 20 (nhận)

Vậy nghiệm của phương trình : x = 1 + 5 ; x = 1 - 20

TỔNG QUÁT: α( ax + b)(cx + d) + β ( ax + b) cx d

ax b

++ = k Điều kiện : 0

cx d

ax b+ ≥+Đặt : (ax + b) cx d

ax b

++ = t Suy ra t

2 = ( ax + b)(cx + d) Đưa về phương trình bậc hai : αt2 + β t + k = 0 Giải phương trình bậc hai tìm t, rồi suy ra x.

• Chú ý: trong dạng toán này học sinh rất dễ mắc sai lầm là t ≥0

Xây dựng bài toán vận dụng

- Xuất phát tư phương trình bậc hai t2 + 2t – 8 = 0

Chọn t = (x +3) 1

3

x x

−+ , suy ra t

++ , suy ra t

2 = (x + 2010)(x + 2011) ta có bài 1dTuỳ theo yêu các bạn có thể xây dựng lớp bài bài tập vận dụng dành cho học sinh khá, giỏi

Bài tập : Giải các phương trình :

a) (x + 3)(x - 1) + 2(x +3) 1

3

x x

−+ = 8 b) (x – 1)(x + 3) + 3(x -1) 3

1

x x

+

− = 4 c) (x + 2)(x + 4) + 5(x + 2) 4

2

x x

++ = 0d) (x + 2010)(x + 2011) + 7(x + 2010) 2011

2010

x x

++ = 8 e) (x – 5)(x + 1) + 3(x – 5) 1

5

x x

+

− = 4

Ví dụ 3.3a: Giải phương trình: 2( x2 + 2) = 5 x3+1 (3a)

Nhận xét : 2(x2 + 2) = 2(x + 1 + x2 – x + 1) và x3 – 1 = ( x + 1 )( x2 - x + 1) vậy nếu chiahai vế phương trình cho x + 1 ≠ 0 ta được : 2 + 2

1

x x x

− ++ = 5

2

11

x x x

− ++ Đến đây học sinh đãđịnh hướng được cách giải

1

x x x

− ++ Đặt

1

x x x

− ++ = t ≥ 0 Ta có phương trình:

− ++ = 2 ⇔x

− ++ =

1

2 ⇔4x2 – 5x + 3 = 0 Phương trình vô nghiệm

Vậy phương trình (3) có 2 nghiệm x1 = 5 37; 2 5 37

1

x

x x

++ + = t ≥ 0 Ta có phương trình :

t2 – 3t + 2 = 0 Phương trình có 2 nghiệm t1 = 2; t2 = 1 (thoả mãn)

• Đối với phương trình (3’b) ta cũng có thể chia 2 vế cho 2x + 1 Rồi đặt

2

1

x x x

+ ++ = t

TỔNG QUÁT: Phương trình dạng : A.p(x) + B.q(x) + C p x q x = 0( ) ( )

- Nếu p(x) = 0; q(x) = 0 Ta giải hệ phương trình ( ) 0

p x

q x = 0 đặt

( )( )

p x

q x = t

Đưa về phương trình bậc hai At2 + Ct + B = 0 Giải phương trình tìm t, rồi suy ra x

* Đối với dạng phương trình trên ta còn có thể đặt 2 ẩn phụ đưa về phương trìng tích Giới thiệucác bạn ở phần sau

Xây dựng bài toán vận dung:

Tư cách giải tổng quát giúp giáo viên có thể tạo ra nhiều bài toán mới chỉ cần xác định p(x) , q(x)

Ví dụ: p(x) = x + 2 ; q(x) = x2 – 2x + 4 ta có 2.q(x) = 2x2 – 4x + 8 ; 2p(x) = 2x + 4

suy ra 2[p(x) – q(x)] = 2x2 – 6x + 4 ta có đề thi GVDG cấp huyện năm học 2011 – 2012

Hoặc tư phương trình bậc hai t2 – 3t + 2 = 0 (*) ta chọn t = 25 1

1

x

x x

++ + , suy ra t

1

x

x x

++ + - 3 2

x2 + x + 1 > 0 được phương trình 2x2 + 7x + 2 – 3 3 2

5x +6x +6x+1 = 0Sau đây là các bài tập vận dụng

Bài tập: Giải các phương trình sau

a) 3 x3+ =8 2x2−6x+4 ( Đề thi GVDG cấp huyện năm học 2011 – 2012)

b) 2x2 – 5x + 2 = 4 3

2(x −21x−20)c) 2( x2 + 2x + 3) = 5 x3+3x2+3x+2

Vậy phương trình có 1 nghiệm là : x = 46 - 1984

4 x− = 4

4 x− = 0 ⇔ 4 - x2 = 0 ⇔ x1 = 2 ; x2 = - 2 ( thoả mãn )

Vậy phương trình có 2 nghiệm là x1 = 2 ; x2 = - 2

TỔNG QUÁT: Phương trình dạng: a( P(x) + Q(x) ) + b ( P x( )+ Q x( )) 2= a P x Q x( ) ( ) + cĐặt t = P x( )+ Q x( ) 2