PHẦN I. ĐẶT VẤN ĐỀ I. Mục đích yêu cầu: “Nếu toán học là một môn thể thao của trí tuệ thì công việc của người dạy toán là tổ chức hoạt động trí tuệ ấy”. Có lẽ không có môn học nào thuận lợi hơn môn toán trong công việc đầy hứng thú và khó khăn này. Quá trình dạy học môn toán phải nhằm đào tạo con người mà xã hội cần. Vì vậy, môn toán phải góp phần cùng các môn học khác thực hiện mục tiêu chung của giáo dục THCS: đó là làm cho học sinh nắm vững tri thức toán cơ bản, thiết thực cũng như có kỹ năng thực hành toán và hình thành ở học sinh các phẩm chất đạo đức và các năng lực cần thiết. Với môn toán đặc trưng của nó là tính trừu tượng cao, suy diễn rộng, suy luận chặt chẽ, chính xác nên không phải bất cứ học sinh nào cũng học tốt môn toán. Trong phân môn hình học THCS mọi vấn đề: Chứng minh các cạnh bằng nhau, chứng minh các góc bằng nhau, chứng minh tam giác đặc biệt, chứng minh tứ giác đặc biệt, chứng minh tam giác đồng dạng, … đều xuất phát từ những vấn đề trọng tâm của Hình học 7: Hai đường thẳng song song, hai đường thẳng vuông góc, hai tam giác bằng nhau, các đường đồng quy trong tam giác, … Chính vì vậy, làm thế nào để giúp các em học tốt phân môn hình học nói chung và chương trình Hình học 7 nói riêng là trăn trở suy nghĩ của các giáo viên giảng dạy môn toán. Những năm học qua tôi luôn tìm hiểu ở sách báo, tài liệu và học hỏi ở đồng nghiệp cũng như qua thực tế giảng dạy các tiết luyện tập hình học tôi đã nghiên cứu và thực hiện “Một số giải pháp để tiết luyện tập Hình học 7 đạt hiệu quả”.
PHẦN I ĐẶT VẤN ĐỀ I Mục đích yêu cầu: “Nếu toán học môn thể thao trí tuệ công việc người dạy toán tổ chức hoạt động trí tuệ ấy” Có lẽ môn học thuận lợi môn toán công việc đầy hứng thú khó khăn Quá trình dạy học môn toán phải nhằm đào tạo người mà xã hội cần Vì vậy, môn toán phải góp phần môn học khác thực mục tiêu chung giáo dục THCS: làm cho học sinh nắm vững tri thức toán bản, thiết thực có kỹ thực hành toán hình thành học sinh phẩm chất đạo đức lực cần thiết Với môn toán đặc trưng tính trừu tượng cao, suy diễn rộng, suy luận chặt chẽ, xác nên học sinh học tốt môn toán Trong phân môn hình học THCS vấn đề: Chứng minh cạnh nhau, chứng minh góc nhau, chứng minh tam giác đặc biệt, chứng minh tứ giác đặc biệt, chứng minh tam giác đồng dạng, … xuất phát từ vấn đề trọng tâm Hình học 7: Hai đường thẳng song song, hai đường thẳng vuông góc, hai tam giác nhau, đường đồng quy tam giác, … Chính vậy, làm để giúp em học tốt phân môn hình học nói chung chương trình Hình học nói riêng trăn trở suy nghĩ giáo viên giảng dạy môn toán Những năm học qua tìm hiểu sách báo, tài liệu học hỏi đồng nghiệp qua thực tế giảng dạy tiết luyện tập hình học nghiên cứu thực “Một số giải pháp để tiết luyện tập Hình học đạt hiệu quả” II Thực trạng ban đầu: Nhìn chung qua tiết luyện tập kiểm tra chương, thấy kết em thấp cách trình bày lung tung, mơ hồ, chưa gắn kết kiến thức lại với Kết kiểm tra chương III hình học hai lớp năm học 2011 – 2012: Giỏi 5,5%; 16,25%; trung binh 34,5 %; yếu 32,75%; 11% Kết cho thấy có khoảng 44% học sinh điểm trung bình So với tiêu năm học 70% học sinh đạt từ trung bình trở lên thiếu 16%, không thay đổi phương pháp đưa giải pháp cụ thể có lẽ kết môn toán nói chung phân môn hình học nói riêng thấp III Giải pháp sử dụng: Trước nghĩ tiết luyện tập chẳng qua tiết chữa tập nên dạy tiết luyện tập cố gắng chữa nhiều tập tốt, chưa ý đến dạng toán chuẩn bị bảng phụ hình vẽ hình vẽ có sẵn SGK Qua tìm hiểu thấy nguyên nhân dẫn đến tình trạng là: - Đa số em chưa cố gắng, em phải phụ giúp gia đình - Với phát triển ngành công nghệ thông tin điểm Internet mọc lên nấm hút em học sinh vào trò chơi giải trí dẫn đến việc chán nản học hành - Một phận không nhỏ học sinh lười học cũ dẫn đến hổng kiến thức bản, có học qua loa hời hợt Ngoài nguyên nhân nói có nguyên nhân quan trọng dẫn đến kết môn toán chưa cao: Khi học tiết luyện tập học sinh thường quan điểm tiết luyện tập chẳng có phải học chẳng qua tiết chữa tập Chính quan điểm mà học sinh chưa thực ý vào tiết học PHẦN II GIẢI QUYẾT VẤN ĐỀ I Cơ sở lý luận: Như nói Toán học có vai trò quan trọng đời sống người ngành khoa học khác Một nhà tư tưởng Anh RBê Cơn nói “ Ai không hiểu biết toán học biết môn khoa học khác phát dột nát thân mình” Trong nhà trường, kiến thức phương pháp toán học công cụ thiết yếu giúp học sinh học tập tốt môn học khác, giúp học sinh hoạt động có kết lĩnh vực Phần môn toán môn học để xét tốt nghiệp thi vào đầu cấp Thế việc học toán em học sinh nhiều hạn chế đặc biệt Hình học em yếu kĩ việc vẽ hình, dựng tư phán đoán Mà tiết luyện tập học sinh củng cố, đào sâu, hệ thống hóa kiến thức rèn luyện kỹ vận dụng kiến thức học vào vấn đề cụ thể II Giả thuyết: Chính vậy, để tiết luyện tập Hình học đạt hiệu đưa số biện pháp: - Yêu cầu học sinh nắm phần kiến thức - Trong tiết luyện tập chọn giải lớp số tập cần thiết - Mỗi tập thường qua bước: Tìm hiểu đề bài, tìm tòi lời giải, trình bày lời giải, nghiên cứu thêm lời giải - Ra thêm số tập III Quá trình thử nghiệm sáng kiến: Cụ thể thực bước sau: Đưa mục tiêu tiết học: Mục tiêu tiết luyện tập Hình học đơn giản củng cố kiến thức tiết học trước, rèn luyện kĩ vẽ hình, tính toán hình, rèn luyện khả phân tích tổng hợp, kĩ chứng minh hình học, phát triển tư logic Chuẩn bị: 2.1 Đối với giáo viên: Để đảm bảo cho tiết luyện tập giáo viên cần chuẩn bị vấn đề sau: Giáo án, thước kẻ, com pa, Ê ke, thước đo độ, phấn màu, bảng phụ, … Ở lớp 7, học sinh bắt đầu học hình học có hệ thống việc làm tập miệng hình vẽ sẵn (giáo viên vẽ trước bảng giấy khổ lớn) có tác dụng tốt luyện tập cho học sinh nhận biết khái niệm, luyện tập kỹ năng, bước đầu làm quen với phép chứng minh hình học: thí dụ tiết luyện tập sau học sinh học “ Trường hợp thứ hai tam giác cạnh – góc – cạnh” cho học sinh làm tập miệng sau đây: Trên hình sau tam giác ? Vì ? Hình 82, 83, 84/118 SGK Toán tập (bảng phụ) A G H E B I C K D Hình 82 Hình 83 N M P Hình 84 Q Giáo viên có giải thích hình vẽ “Các kí hiệu giống thể nhau” a, AB = AE ¶A = A ¶ ⇒ ∆ABD = ∆AED (c-g-c) AD: cạnh chung b, GH = IK · · HGK = IKG ⇒ ∆HGK = ∆IKG (c-g-c) GK cạnh chung ¶ =M ¶ M c, QP = NP MP cạnh chung Nhưng góc M1 góc xen hai cạnh MP NP Nhưng góc M2 góc xen hai cạnh MP PQ Nên hình 84 hai tam giác Hoặc bảng phụ chứng minh hình học áp dụng giáo viên phân tích gợi mở học sinh đưa hướng chứng minh miệng Giáo viên tổng hợp lại thành chứng minh hoàn chỉnh ( bảng phụ) mục đích rèn cho học sinh kĩ trình bày chứng minh hình học Ví dụ: Bài 44/125 SGK toán tập Cho tam giác ABC có Bµ = Cµ Tia phân giác góc A cắt BC D, chứng minh rằng: a ∆ABD = ∆ACD b AB = AC A GT µ =C µ ∆ABC , B µ ¶ A =A KL a ∆ABD = ∆ACD b AB = AC B D C Chứng minh: a Trong ∆ ABD có: µ µ + ·ADB = 1800 (Định lí tổng góc tam giác) A1 + B ·ADB = 1800 − ( µ µ) A1 + B Tương tự: ·ADC = 1800 − ( ¶A2 + Cµ ) Mà: ⇒ ·ADB = ·ADC µ =C µ (gt) B µ ¶ (gt) A1 = A ¶ (gt) Xét ∆ ABD ∆ ACD có: µA1 = A AD cạnh chung ⇒ ∆ABD = ∆ADC (g-c-g) ·ADB = ·ADC (cmt) b Ta có ∆ABD = ∆ADC (cmt): Suy ra: AB = AC (hai cạnh tương ứng) Bảng phụ tìm sai lầm lời giải Ví dụ: Tam giác GHI có tam giác MLK không ? H K 800 G 800 300 I L 300 M Bạn Lan làm sau: Xét ∆ GHI ∆ MLK có: µ =M ¶ (= 300) G µ = I$ (= 800) K ⇒ ∆ GHI = ∆ MLK (g-c-g) GI = LM ( = 3) Bạn Lan làm hay sai ? Nếu sai em sửa lại cho Việc cho học sinh phát sai lầm tìm nguyên nhân cách sửa chữa sai lầm tạo tình có vấn đề, góp phần nâng cao chất lượng dạy học môn toán nói chung phân môn hình học nói riêng 2.1 Đối với học sinh: Trên sở tiết học học sinh chuẩn bị vấn đề sau: - Dụng cụ: thước kẻ, com pa, ê ke, thước đo độ, … - Bài cũ, tập giáo viên nhà Các bước tiến hành: 3.1 Kiểm tra kiến thức tiết học trước (Có thể đầu tiết trình làm tập): Mục đích giúp học sinh ôn lại kiến thức cũ, vận dụng giải tập Cần lưu ý học sinh tránh thói quen học qua loa cốt nắm vài công thức để áp dụng vào giải tập Thói quen tai hại biến người học thành máy biết làm tập theo rập khuôn theo mẫu 3.2 Tạo tình có vấn đề: Tuỳ theo học giáo viên tạo tình có vấn đề, điều khiển học sinh phát vấn đề hoạt động tự giác tích cực để giải vấn đề Thông qua mà lĩnh hội tri thức rèn luyện kỹ đạt mục đích học tập khác, để thực cho tiết dạy có chất lượng việc dạy học đặt giải vấn đề điểm xuất phát phải tạo tình có vấn đề, cụ thể cách thông dụng: Cách 1: Khai thác kiến thức cũ để vận dụng vào việc giải tập Ví dụ: Vận dụng trường hợp hai tam giác (c.c.c), (c.g.c), ( g.c.g) Để chứng minh tam giác Cách 2: Đặt câu hỏi nghi vấn: “Có thể áp dụng kiến thức hình học vào thực tế không ? Ví dụ: Bài 50/127 SGK toán tâp Hai AB AC kèo mái nhà thường thường tạo với góc bằng: _A a, 1450 mái tôn _B _C b, 1000 mái ngói Tính góc ABC trường hợp Qua toán học sinh nắm góc tạo kèo mái tôn mái ngói khác nhau: - 1450 mái tôn - 1000 mái ngói 3.3 Chọn giải lớp số tập cần thiết: Đối với tiết luyện tập sau trường hợp góc - cạnh – góc chọn sau: a Dạng có hình vẽ sẵn: Ví dụ: Bài 39/124 SGK toán tập Trên hình 105, 106, 107 có tam giác vuông ? Vì ? Hình 105 Hình106 Hình 107 A B D A B H C E K F D C b Dạng có nội dung lời: Ví dụ: Bài 40/124 SGK toán tập Cho tam giác ABC (AB ≠ AC), tia Ax qua trung điểm M BC Kẻ BE CF vuông góc với Ax (E ∈ Ax, F ∈ Ax ) So sánh độ dài BE CF c Ra thêm tập ngoài: Ví dụ: Cho tam giác ABC có AB = AC Tia phân giác góc A cắt BC M Chứng minh rằng: a, ∆ AMB = ∆ AMC b, Bµ = Cµ Quá trình giải tập trọng tâm tiết luyện tập (giả sử tập SGK/109, toán 7, tập I: Cho tam giác ABC có Bˆ = Cˆ = 400 Gọi Ax tia phân giác góc đỉnh A Hãy chứng tỏ Ax // BC) thường qua bốn bước sau: * Tìm hiểu đề toán: Ở phần thường gọi vài học sinh đọc đề toán, đặt câu hỏi để học sinh hiểu nội dung đề bài: Điều cho biết, điều phải tìm Cố gắng viết tóm tắt đề ngôn ngữ toán học sử dụng ký hiệu toán học Trong toán nêu trên, định hướng học sinh vẽ hình ghi giả thiết kết luận toán kÝ hiệu toán học, kí hiệu yếu tố hình giống y A x 400 B Cho 400 V ABC có Bˆ = Cˆ = 40 GT Aˆ1 = Aˆ KL Chứng tỏ Ax // BC C - Nhắc lại kiến thức có liên quan đến toán, tìm mối liên hệ điều cho điều phải tìm Phân tích điều phải tìm để phương pháp đến đích Kiến thức liên quan đến toán cách chứng minh hai đường thẳng song song Với toán ta nên sử dụng cách để chứng minh Ax // BC? Phân tích học sinh thấy đề không cho hai đường thẳng song song với đường thẳng thứ ba, hay hai đường thẳng vuông góc với đường thẳng thứ ba, từ học sinh phán đoán để chứng minh Ax // BC cách chứng minh cặp góc so le hai đường thẳng * Tìm tòi lời giải: Cùng với học sinh phân tích, dự đoán, liên hệ đến toán giải….để tìm cách giải toán, chẳng hạn, toán Ta phân tích sơ đồ sau: Ax // BC ⇑ · xAC = ·ACB ⇑ · xAC =? ⇑ ·yAC = ? Với sơ đồ trên, ta mở nút từ lên cách đặt câu hỏi, giải thích sở lý luận biến đổi, lúc ta tìm lời giải toán * Trình bày lời giải: Uốn nắn, sửa chữa để đưa cách trình bày hợp lý cho lời giải toán, có học sinh hiểu nhận dạng toán lại kĩ trình bày giải dẫn đến chưa giải yêu cầu toán Do giúp học sinh hình thành kĩ trình bày chứng minh điều quan trọng việc dạy học môn toán đặc biệt hình học * Nghiên cứu thêm lời giải: - Nhìn lại toàn bước giải, rút phương pháp giải loại toán - Tìm thêm lời giải khác Ở tập cách cặp góc so le nhau, ta · = ·ABC suy ra, Ax // BC cặp góc đồng vị nhau: yAx Với số tiết luyện tập học sinh phải khai thác tính chất sau giải tập VD: Bài tập 22 trang 89 SGK Toán Tập I a, Vẽ lại hình 15 b, Ghi tiếp số đo ứng với góc lại A 400 4 B 2 400 c, Cặp góc A1, B2 cặp góc A4, B3 gọi hai cặp góc phía Tính: ¶ +B ¶ ; ¶A + B µ A Trong tập giúp học sinh nắm khái niệm cặp góc phía tính chất: Hai góc phía bù Tôi áp dụng số giải pháp năm học 2012 – 2013 2013 – 2014 đồng thời có bổ sung thêm vài giải pháp để có hiệu tiết luyện tập hình học Kết kiểm tra cuối chương III hình học lớp năm học sau: Năm học Giỏi Khá Trung bình Yếu Kém 2011 - 2012 5,5 % 16,25% 34,5% 32,75% 11% 2012 - 2013 8,4 % 19% 41,9% 28,5% 2,2% 2013 - 2014 9,5% 20,1% 42,15% 26,5% 1,75% Rút kinh nghiệm tiết học: Cùng với việc tham khảo tài liệu, học tập kinh nghiệm đồng nghiệp thường có thói quen tự đánh giá lên lớp minh, rút kinh nghiệm thành công hay thất bại Khi chuẩn bị lên lớp giáo viên nên định rõ: Trong này, rút kinh nghiệm vấn đề Những điều sau cần lưu ý - Nhìn chung yêu cầu đề học có đạt không ? Đến mức độ ? Học sinh có hứng thú học không ? Vì sao? Có cần điều chỉnh kế hoạch không ? - Học sinh gặp khó khăn học ? Có thể khắc phục cách ? - Học sinh có sai lầm (về kiến thức, kĩ năng, …) ? - Học sinh có thắc mắc gì, có ý hay, sáng tạo ? - Các thí dụ, tập đưa có thích hợp không ? Cần thay đổi ? Nếu việc rút kinh nghiệm tiến hành đặn sạu lên lớp (có ghi chép chu đáo, tỉ mỉ, có điều kiện so sánh đối chiếu với tài liệu tham khảo) giáo viên tích lũy nhiều điều bổ ích, giúp đón trước nhiều tình huống, chủ động lên lớp việc dạy học mang lại nhiều niềm vui sáng tạo IV Hiệu mới: Với số giải pháp học sinh nắm nội dung kiến thức học thông qua tiết luyện tập rèn luyện kĩ vẽ hình, kĩ phân tích tổng hợp, kĩ trình bày lời giải chứng minh, phát triển tư logic cho học sinh Như vậy, áp dụng cách thấy học sinh học thích thú hiểu nhiều chưa áp dụng 10 V Bài học kinh nghiệm Cũng tiết học khác tiết luyện tập phải thực qua bước: - Đặt mục tiêu tiết học - Chuẩn bị đồ dùng dạy học - Các bước tiến hành tiết học - Rút kinh nghiệm sau tiết Để nâng cao chất lượng dạy học tiết luyện tập trình thực bước thấy giáo viên cần lưu ý giải pháp sau: - Giáo viên hướng dẫn học sinh có thói quen học lại phần lý thuyết làm tập nhà, áp dụng kiến thức vừa học giảng thầy cô lớp phần đọng lại tâm trí em Do đỡ thời gian học lại - Chọn giải lớp số tập cần thiết, thời điểm cần thiết, dễ chuẩn bị cho khó, trước gợi ý cho cách giải sau, học sinh tự giải vấn đề đặt ra, tự công việc người khám phá kiến thức Cần tránh quan điểm giải nhiều tốt tập phải có chọn lọc, có khai thác triệt để kiến thức - Cho học sinh thấy tiết luyện tập tiết chữa tập mà tiết học giúp học sinh suy nghĩ giải toán, toán học sinh phải thực qua bốn bước: + Tìm hiểu đề toán + Tìm tòi lời giải + Trình bày lời giải + Nghiên cứu thêm lời giải Ngoài thấy việc chuẩn bị cho tiết dạy góp phần không nhỏ vào thành công tiết học Đó là: Dụng cụ, bảng phụ, …bảng phụ giúp học sinh hứng thú dễ quan sát hình vẽ hướng dẫn giáo viên, bảng phụ giúp giáo viên tiết kiệm quỹ thời gian phải vẽ lại hình có SGK mà tập trung thời gian cào việc phân tích tìm lời giải 11 PHẦN III KẾT LUẬN - KIẾN NGHỊ I Kết Luận: Tóm lại trình giải toán trình phương pháp suy luận khoa học, trình tự nghiên cứu sáng tạo Trong tiết luyện tập, học sinh lại có điều kiện phát huy lực sáng tạo qua việc khai thác toán, không nên coi thường tập đơn giản sách giáo khoa, biết khai thác chúng, ta thu nhiều kết phong phú Ta không cần làm nhiều tập toán, mà cần làm số lượng vừa đủ, quan trọng phải tìm hiểu nút riêng bài, vẽ thêm đường này, đâu tạo thêm điểm kia, chọn ẩn phụ thế, Đồng thời hiểu cách giải chung tương tự Ở tiết luyện tập nên chọn số lời giải vừa đủ để có điều kiện khắc sâu kiến thức vận dụng phát triển lực tư cần thiết giải toán Sắp xếp tập thành chùm có liên quan với bố cục văn, để học sinh nghiên cứu tìm lời giải toán học sinh hưởng niềm vui tự tìm chìa khoá lời giải Với số giải pháp trên, thấy em học tiết luyện tập đạt hiệu quả, em có kỹ phân tích toán, kĩ tìm tòi lời giải, kỹ trình bày lời giải tìm thêm cách giải khác Nhưng để nâng cao hiệu giải pháp giáo viên cần trọng việc học hỏi kinh nghiệm đồng nghiệp phương tiện thông tin khác, dạy số tiết luyện tập hình học nói riêng phân môn hình học nói chung giáo viên sử dụng giáo án điện tử nhằm kích thích hứng thú học sinh Giáo viên trọng đến việc hướng dẫn học sinh có ý thức tự giác học tập học làm trước đến lớp, cần xem lại dạng toán học lớp để nắm phương pháp giải toán kĩ vẽ ghi giả thiết kết luận toán Ngoài tập SGK nên tham khảo thêm tài liệu khác Phát huy tình thần tương thân tương trợ giúp đỡ lẫn học tập (Bạn kèm bạn yếu) Tuy nhiên, phạm vi chuyên đề đưa “Một số giải pháp để tiết luyện tập hình học đạt hiệu quả” để nâng cao chất lượng dạy học phân môn hình học tiếp tục nghiên cứu “Các giải pháp dạy khái niệm hình học” 12 II Đề xuất, kiến nghị: Đối với phụ huynh: - Quan tâm đến việc học hành em đầu tư nhiều thời gian cho em học tập - Phối hợp gia dình nhà trường chặt chẽ Đối với Ban giám hiệu nhà trường: - Mua sắm thêm SGK, sách giáo viên, tài liệu tham khảo đồ dùng dạy học phục vụ cho việc dạy học - Thực quy chế Bộ giáo dục “Chống tiêu cực thi cử bệnh thành tích giáo dục, không để học sinh ngồi nhầm lớp” - Tổ chức thảo luận chuyên đề cho giáo viên môn toán năm để nâng cao chất lượng dạy học môn toán Đối với địa phương: - Quản lí chặt chẽ điểm kinh doanh Internet điểm dịch vụ không lành mạnh làm ảnh hưởng đến chất lượng học tập học sinh - Đầu tư sở vật chất kịp thời việc dạy học 13 TÀI LIỆU THAM KHẢO Báo THTT Bộ GD&ĐT, Các đề thi có ma trận mẫu, www.thi.moet.gov.vn Bộ GD&ĐT, Điều lệ trường trung học sở, trường trung học phổ thông trường trung học phổ thông nhiều cấp học, tháng 4/2007 Bộ GD&ĐT, Hướng dẫn nhiệm vụ năm học Bộ GD&ĐT, Một số vấn đề đổi phương pháp dạy học trường THCS Nguyễn Cảnh Toàn, Luận bàn kinh nghiệm tự học, Tủ sách tự học, 1995 Nguyễn Cảnh Toàn, Tự giáo dục, tự nghiên cứu, tự đào tạo, NXB ĐHSP, 2001 Sách giáo khoa môn toán, NxbGD-2008 Sách tập môn toán, NxbGD - 2008 10 Sách hướng dẫn giảng dạy môn toán lớp 11 Tài liệu Bồi dưỡng thường xuyên môn toán chu kỳ 2004-2007 12 Trần Phương Nguyễn Đức Tấn, Sai lầm thường gặp sáng tạo giải toán, NXB Hà Nội – 2004 13 WWW.Violet.vn, Các đề thi, kiểm tra trường THCS 14 WWW.VNMATH.COM 15 Số học, Nguyễn Vũ Thanh 16 Toán chọn lọc cấp II, Lê Hải Châu 17 Chuyên đề số học, Võ Đại Mau 18 Bài tập số học đại số - Tủ sách ĐHSP – Nhà xuất GD 1985 19 Thực hành giaỉ toán cấp II – Trung tâm nghiên cứu đào tạo bồi dưỡng giáo viên 20 250 toán số học đại số – Võ Đại Mau – Lê Tất Hùng – Vũ Thị Nhàn 21 Các đề vô định toán nước – Nhà xuất Hải phòng 22 255 toán số học chọn lọc – Sở GD Hà Tây 1993 23 Số học bà chúa toán học – Hoàng Chúng 24 Phương pháp dạy học toán học trrường PTCS (Hoàng Chúng) 14