tổng ôn hình học lớp 11 rất hay

Đường thẳng chung d của hai mặt phẳng phân biệt P và Q được gọi là giao tuyến Ví dụ 1: Trong mp  lấy bốn điểm A, B, C, D sao cho ABCD là tứ giác lồi có các cặp cạnh đối không song song.

ĐẠI CƯƠNG VỀ ĐƯỜNG THẲNG VÀ MẶT PHẲNG (PHẦN 1)

I KHÁI NIỆM MỞ ĐẦU

1 Mặt phẳng

Mặt phẳng không có bề dày và không có giới hạn

Ta dùng chữ cái in hoa hoặc chữ cái Hy Lạp đặt trong dấu ngoặc () để ghi tên mặt phẳng

Cách biểu diễn trong không gian: Dùng hình bình hành hay một miền góc và ghi tên mặt phẳng vào một góc của hình biểu diễn

2 Điểm thuộc mặt phẳng

Điểm A thuộc mặt phẳng   được kí hiệu:A   Điểm B không thuộc mặt phẳng   được kí hiệu:B  

3 Một số quy tắc cơ bản biểu diễn hình học trong không gian

Hình biểu diễn của đường thẳng là đường thẳng

Hình biểu diễn của 2 đường thẳng cắt nhau là 2 đường thẳng cắt nhau

Hình biểu diễn của 2 đường thẳng song song là 2 đường thẳng song song

Hình biểu diễn của đoạn thẳng là đoạn thẳng

Hình biểu diễn phải giữ nguyên quan hệ thuộc giữa điểm và đường thẳng

Đường nhìn thấy được vẽ bằng nét liền

Đường bị che khuất được vẽ bằng nét đứt

II CÁC TÍNH CHẤT THỪA NHẬN

Tính chất 1 Có một và chỉ một đường thẳng đi qua hai điểm phân biệt

Tính chất 2 Có một và chỉ một mặt phẳng đi qua ba điểm không thẳng hàng

Tính chất 3 Nếu một đường thẳng có hai điểm phân biệt thuộc một mặt phẳng thì mọi điểm của đường thẳng đều thuộc mặt phẳng đó

Nếu mọi điểm của đường thẳng d đều thuộc mặt phẳng   thì ta nói đường thẳng d

nằm trong   hay   chứa d Kí hiệu d    Tính chất 4 Tồn tại 4 điểm không thuộc cùng một mặt phẳng

Những điểm cùng thuộc một mặt phẳng là những điểm đồng phẳng

Những điểm không cùng thuộc một mặt phẳng là những điểm không đồng phẳng.

Tính chất 5 Nếu hai mặt phẳng phân biệt có một điểm chung thì chúng còn có một

điểm chung khác nữa

Đường thẳng chung d của hai mặt phẳng phân biệt (P) và (Q) được gọi là giao tuyến

Ví dụ 1: Trong mp () lấy bốn điểm A, B, C, D sao cho

ABCD là tứ giác lồi có các cặp cạnh đối không song song Gọi S là điểm nằm ngoài mp()

Tìm giao tuyến của các mặt phẳng a) (SAD) và (SCD)

b) (SBD) và (SAC)

Ví dụ 2: Trong không gian cho 4 điểm A, B, C, D

không đồng phẳng Gọi O là một điểm

ở miền trong của tam giác BCD; M, N lần lượt là hai điểm trên các cạnh AD, AC sao cho MN không song song với CD

a) Tìm giao tuyến của (OMN) và (BCD)

b) Tìm giao điểm của BC và (OMN)

Các cạnh của đa giác đáy là cạnh đáy

n tam giác SA A , SA A , , SA A là các mặt bên 1 2 2 3 n 1

Các đoạn thẳng SA , SA , ,SA là các cạnh bên 1 2 n

2 Hình tứ diện

Hình chóp tam giác còn được gọi là hình tứ diện (tứ diện)

Tứ diện có các cạnh bằng nhau được gọi là tứ diện đều

ĐẠI CƯƠNG VỀ ĐƯỜNG THẲNG VÀ MẶT PHẲNG (PHẦN 2)

I XÁC ĐỊNH GIAO TUYẾN GIỮA HAI MẶT PHẲNG

1 Phương pháp

Tìm 2 điểm chung của 2 mặt phẳng

Đường thẳng đi qua 2 điểm đó là giao tuyến cần tìm

2 Ví dụ

Ví dụ 1: Cho hình chóp S.ABCD, ABCD là tứ giác có các cặp cạnh đối không song song

M là điểm trên đoạn SD Tìm giao tuyến của các mặt phẳng:

a) (SAB) và (SCD)

b) (MBC) và (SAD)

Ví dụ 2: Cho tứ diện ABCD Gọi I, K lần lượt là trung điểm của hai đoạn AD và BC

a) Tìm giao tuyến của (IBC) và (KAD)

b) Gọi M, N lần lượt là hai điểm lấy trên hai đoạn thẳng AB và AC

Tìm giao tuyến của (IBC) và (DMN)

(Bài 7/54 – SGK Hình học 11)

P Q

d d’

Ví dụ 3: Cho hình chóp S.ABCD, ABCD là hình bình hành tâm O Gọi M, N, P lần lượt là

trung điểm trên BC, CD và SO

a) Tìm giao tuyến của (MNP) và (SAC)

b) Tìm giao tuyến của (MNP) và (SAD)

II XÁC ĐỊNH GIAO ĐIỂM GIỮA ĐƯỜNG THẲNG VÀ MẶT PHẲNG

1 Phương pháp

Để tìm giao điểm của đường thẳng d và mặt phẳng (P), ta làm như sau:

Chọn mặt phẳng (Q) chứa d (giao tuyến của (Q) và (P) có sẵn

hoặc dễ tìm)

Tìm giao tuyến d’ của 2 mặt phẳng (P) và (Q) (nếu chưa có

sẵn giao tuyến)

Giao điểm của d và d’ là giao điểm của d và (P)

Ví dụ 4: Cho hình chóp S.ABCD, ABCD có các cặp cạnh đối không song song Gọi M, N

lần lượt là hai điểm trên SD và SB sao cho MN không song song với BD Tìm giao điểm của:

a) MN và (ABCD)

b) MN và (SAC)

Ví dụ 5: Cho tứ diện ABCD Gọi M, N lần lượt là trung điểm của hai đoạn AC và BC

Trên đoạn BD, lấy P sao cho NP và CD cắt nhau Tìm giao điểm của:

a) CD và (MNP)

b) AD và (MNP)

Ví dụ 6: Cho hình chóp S.ABCD, ABCD là hình bình hành Gọi M, N lần lượt là

trung điểm trên AB và SC

a) Tìm giao điểm I của AN và (SBD)

b) Tìm giao điểm K của MN và (SBD)

ĐẠI CƯƠNG VỀ ĐƯỜNG THẲNG VÀ MẶT PHẲNG (PHẦN 3)

III XÁC ĐỊNH THIẾT DIỆN TẠO BỞI MẶT PHẲNG VÀ HÌNH CHÓP

1 Phương pháp

Để xác định thiết diện tạo bởi mặt phẳng (P) và hình chóp, ta làm như sau:

Xác định các giao tuyến của (P) với các mặt bên hoặc mặt đáy của hình chóp

Khi các giao tuyến khép kín tạo thành một đa giác thì đa giác đó là thiết diện cần tìm

2 Ví dụ

Ví dụ 1: Cho tứ diện ABCD Gọi H, K lần lượt là trung điểm của AB, BC

Trên đoạn thẳng CD, lấy điểm M sao cho KM không song song với BD

Tìm thiết diện của mặt phẳng (HKM) và tứ diện ABCD

Ví dụ 2: Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình bình hành ABCD Gọi M, N lần lượt là

trung điểm của BC, CD P là một điểm bất kì trên đoạn SA Tìm thiết diện của hình chóp S.ABCD và mp(PMN)

Ví dụ 3: Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình bình hành ABCD Trong mặt phẳng đáy,

vẽ đường thẳng d đi qua A và không song song với các cạnh hình bình hành,

d cắt BC tại E Gọi C’ là một điểm nằm trên cạnh SC

a) Tìm giao điểm M của CD và (C’AE)

b) Tìm thiết diện của hình chóp cắt bởi mặt phẳng (C’AE)

Ví dụ 4: Cho hình chóp S.ABC Mặt phẳng (Q) cắt các cạnh bên SA, SB, SC lần lượt tại

A’, B’, C’ Giả sử AB cắt A’B’ tại I , BC cắt B’C’ tại J , AC cắt A’C’ tại K

Chứng minh rằng I, J, K thẳng hàng

Ví dụ 5: Cho hình chóp S.ABCD với ABCD là hình thang có đáy lớn là AD Gọi I là

trung điểm của SC Một mặt phẳng (Q) qua AI cắt SB, SD lần lượt tại M, N IM cắt BC tại P, IN cắt CD tại K Chứng minh rằng PK qua một điểm cố định

V CHỨNG MINH BA ĐƯỜNG THẲNG ĐỒNG QUI

1 Phương pháp

Để chứng minh ba đường thẳng đồng quy, ta chứng minh giao điểm của hai đường

này thuộc đường thẳng thứ ba

2 Ví dụ

Ví dụ 6: Cho tứ diện ABCD Gọi E, F, G lần lượt là ba điểm trên ba cạnh AB, AC, BD

sao cho EF cắt BC tại I, EG cắt AD tại H

Chứng minh rằng CD, IG, HF đồng quy

Ví dụ 7: Cho hình chóp S.ABCD với ABCD là tứ giác có các cặp cạnh đối không song

song Gọi O là giao điểm của AC và BD Một mặt phẳng (P) cắt các cạnh SA,

SB, SC, SD lần lượt tại A’, B’, C’, D’ Giả sử AB cắt CD tại E, A’B’ cắt C’D’ tại E’

a) Chứng minh S, E, E’ thẳng hàng

b) Chứng minh A’C’, B’D’, SO đồng quy

HAI ĐƯỜNG THẲNG CHÉO NHAU VÀ HAI ĐƯỜNG THẲNG SONG SONG (PHẦN 1)

I VỊ TRÍ TƯƠNG ĐỐI CỦA HAI ĐƯỜNG THẲNG TRONG KHÔNG GIAN

1 Định nghĩa

Cho a, b là hai đường thẳng trong không gian

Trường hợp 1:

Có một mặt phẳng chứa a và b (a và b đồng phẳng)

 a và b cắt nhau tại M Kí hiệu a b M 

 a và b không có điểm chung hay a và b song song

Kí hiệu a // b

 a trùng b Kí hiệu ab Trường hợp 2:

Không có mặt phẳng nào chứa a và b

Ta nói a và b chéo nhau

II TÍNH CHẤT

Định lí 1 Trong không gian, qua một điểm không nằm trên đường thẳng cho trước, có một và

chỉ một đường thẳng song song với đường thẳng đó

a // b xác định một mặt phẳng Kí hiệu: mp (a, b) hay (a, b)

Nhận xét:

Định lí 2

Nếu ba mặt phẳng phân biệt cắt nhau theo ba giao tuyến phân biệt thì ba giao tuyến

ấy hoặc đồng quy hoặc đôi một song song

Ví dụ 1: Cho tứ diện ABCD Gọi P, Q, R, S lần lượt

là bốn điểm trên các cạnh AB, BC, CD, DA

Chứng minh rằng nếu P, Q, R, S đồng phẳng thì:

a) PQ, RS, AC hoặc song song hoặc đồng quy

b) PS, RQ, BD hoặc song song hoặc đồng quy

Hệ quả

Nếu hai mặt phẳng phân biệt lần lượt chứa hai đường thẳng song song thì giao tuyến

của chúng (nếu có) cũng song song với hai đường thẳng đó hoặc trùng với một trong

hai đường thẳng đó

Ví dụ 2: Cho hình chóp S.ABCD, ABCD là hình bình hành

Xác định giao tuyến của (SAD) và (SBC)

Ví dụ 3: Cho tứ diện ABCD Gọi I, J lần lượt là trung điểm của

BC và BD, (P) là mặt phẳng qua IJ và cắt AC, AD lần lượt tại M, N

a) Chứng minh IJNM là hình thang

b) Nếu M là trung điểm AC thì IJNM là hình gì ?

Ví dụ 4: Cho hình chóp S.ABCD có ABCD là hình thang,

đáy lớn AB Gọi M là một điểm bất kì trên SC

Tìm thiết diện của hình chóp với mặt phẳng (ABM)

Hỏi thiết diện là hình gì ?

Định lí 3

Hai đường thẳng phân biệt cùng song song với đường thẳng thứ ba thì song song với

nhau

Kí hiệu a, b, c song song với nhau: a // b // c

Ví dụ 5: Cho tứ diện ABCD Gọi M, N, P, Q, R, S lần lượt là

trung điểm của AC, BD, AB, CD, AD và BC

Chứng minh MN, PQ, RS đồng quy tại trung điểm mỗi đoạn

Ví dụ 6: Cho hình chóp S.ABCD có ABCD là hình thang,

đáy lớn AB Gọi M, N lần lượt là trung điểm SA, SB

a) Chứng minh MN // CD

b) Tìm giao điểm P của SC với (ADN)

c) I là giao điểm của AN và DP

Chứng minh SI // AB // CD

HAI ĐƯỜNG THẲNG CHÉO NHAU VÀ HAI ĐƯỜNG THẲNG SONG SONG (PHẦN 2)

I XÁC ĐỊNH GIAO TUYẾN GIỮA HAI MẶT PHẲNG (TRƯỜNG HỢP 2)

1 Phương pháp

Để tìm giao tuyến của hai mặt phẳng lần lượt chứa hai đường thẳng song song a và b, ta làm như sau:

Tìm 1 điểm chung của 2 mặt phẳng (Giả sử là I)

Giao tuyến cần tìm là đường thẳng d đi qua I và song song với a, b

2 Các ví dụ

Ví dụ 1: Cho tứ diện ABCD và các điểm P, Q, R lần lượt nằm trên ba cạnh AB, CD, BC

Tìm giao tuyến của (PQR) và (ACD) trong các trường hợp:

a) PR cắt AC

b) PR song song với AC

Ví dụ 2: Cho hình chóp S.ABCD, ABCD là hình thang có

đáy lớn là AB Gọi I, J lần lượt là trung điểm của AD, BC và G là trọng tâm SAB

a) Tìm giao tuyến của (SAB) và (IJG)

b) Thiết diện của hình chóp với mặt phẳng (IJG) là hình gì? Tìm điều kiện của

E

II CHỨNG MINH BA ĐƯỜNG THẲNG SONG SONG HOẶC ĐỒNG QUY

1 Phương pháp

Sử dụng định lí về giao tuyến của ba mặt phẳng phân biệt

Nếu ba mặt phẳng phân biệt cắt nhau theo ba giao tuyến phân biệt thì ba giao tuyến

ấy hoặc đồng quy hoặc đôi một song song

2 Các ví dụ

Ví dụ 3: Cho hình chóp S.ABCD có ABCD là hình bình hành

tâm O Gọi H, I, J, K lần lượt là trung điểm các cạnh SA, SB, SC, SD

a) Chứng minh HIJK là hình bình hành

b) Chứng minh HJ, KI, SO đồng quy

BÀI TẬP TỔNG HỢP

Ví dụ 4: Cho hình chóp SABCD, ABCD là hình chữ nhật

a) Tìm giao tuyến của (SAD) và (SBC), (SAB) và (SCD)

b) Gọi M, N lần lượt là trung điểm của SA, SB và E là điểm tùy ý trên SC

Tìm giao điểm F của SD và (MNE)

c) Chứng minh rằng khi E di động trên SC thì giao điểm I của ME và NF

Ví dụ 5: Cho tứ diện đều ABCD, cạnh a I, J lần lượt là trung điểm của AC, BC

Gọi K là một điểm trên cạnh BD sao cho KB = 2KD

Tìm thiết diện của tứ diện với mặt phẳng (IJK)

Chứng minh thiết diện là hình thang cân

ĐƯỜNG THẲNG VÀ MẶT PHẲNG SONG SONG (PHẦN 1)

I VỊ TRÍ TƯƠNG ĐỐI CỦA ĐƯỜNG THẲNG VÀ MẶT PHẲNG

Trường hợp 1 d và (P) không có điểm chung

Ta nói d song song (P) Kí hiệu d // (P)

Trường hợp 2 d và (P) có một điểm chung duy nhất

Ta nói d cắt (P) tại I Kí hiệu d P I Trường hợp 3 d và (P) có nhiều hơn hai điểm chung

Ta nói d chứa trong (P) hay (P) chứa d Kí hiệu d P

II ĐỊNH LÍ VÀ TÍNH CHẤT

1 Định lí 1

Nếu đường thẳng a không nằm trong mặt phẳng (P) và a song song với đường thẳng

b nằm trong (P) thì đường thẳng a song song với mặt phẳng (P)

Chứng minh đường thẳng song song với mặt phẳng Phương pháp

Để chứng minh đường thẳng a song song với mặt phẳng (P), ta thường làm như sau:

Tìm b  (P) sao cho b // a Khẳng định a  (P)

Kết luận a // (P)

Ví dụ 1: Cho tứ diện ABCD Gọi M, N lần lượt là trung điểm của AB và AC

Chứng minh MN // (BCD)

2 Định lí 2

Cho đường thẳng a song song với mặt phẳng (P) Nếu mặt phẳng (Q) chứa a và cắt

(P) theo giao tuyến d thì d song song với a

3 Hệ quả 3

Nếu hai mặt phẳng phân biệt cùng song song với một đường thẳng thì giao tuyến của

chúng (nếu có) cũng song song với đường thẳng đó

Ví dụ 2: Cho hình chóp S.ABC Một mặt phẳng (P) song song với BC lần lượt cắt các

cạnh SB, SC, AC, AB tại M, N, I, K Chứng minh MN // IK

4 Định lí 3

Cho hai đường thẳng chéo nhau Có duy nhất một mặt phẳng chứa đường thẳng này

và song song với đường thẳng kia

Phương pháp

Xác định giao tuyến của hai mặt phẳng (Trường hợp 3)

Xác định giao tuyến của hai mặt phẳng (P) và (Q), trong đó (Q) chứa đường thẳng a

song song với (P):

Tìm điểm chung I của (P) và (Q)

d = (P)  (Q) (d qua I và d // a)

Ví dụ 3: Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình bình hành ABCD, M là một điểm bất kì

trên cạnh SA (M khác S và A)

a) Biết () chứa MB song song với SD Tìm giao tuyến của () và (SAD), từ đó

tìm thiết diện tạo bởi mp() và hình chóp S.ABCD

b) Biết () qua M đồng thời song song với SB và AD Tìm giao tuyến của ()

với các mặt (SAB), (SAD), (ABCD), từ đó tìm thiết diện tạo bởi mp () và hình chóp S.ABCD Thiết diện tìm được là hình gì? Vì sao?

ĐƯỜNG THẲNG VÀ MẶT PHẲNG SONG SONG (PHẦN 2)

I VẤN ĐỀ 1

Chứng minh đường thẳng song song với mặt phẳng

Để chứng minh đường thẳng a song song với mặt phẳng (P), ta thường làm như sau:

b) Gọi P là trung điểm của SA Chứng minh SC // (MNP)

Cho tứ diện ABCD Gọi M là trung điểm CD, G và H lần lượt là trọng tâm Bài tập 2:

của tam giác ACD và tam giác BCD Chứng minh rằng GH // (ABD)

II VẤN ĐỀ 1

Phần A: xác định giao tuyến của hai mặt phẳng

Xác định giao tuyến của hai mặt phẳng (P) và (Q), trong đó (Q) chứa đường thẳng a

song song với (P):

của BC Gọi () là mặt phẳng chứa SM và song song với CD

Xác định giao tuyến của () với đáy (ABCD)

Phần B: xác định thiết diện của mặt phẳng và hình chóp

Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thang với đáy lớn là AD và M là Bài tập 4

một điểm nằm trên cạnh SA Mặt phẳng () qua M và song song với SD,

AC Xác định thiết diện của () và hình chóp S.ABCD

HAI MẶT PHẲNG SONG SONG (PHẦN 1)

I ĐỊNH NGHĨA

Hai mặt phẳng (P), (Q) được gọi là song song với nhau

nếu chúng không có điểm chung

Kí hiệu: (P) // (Q) hay (Q) // (P)

II TÍNH CHẤT

Định lí 1

Nếu (P) chứa hai đường thẳng cắt nhau a, b và a, b cùng song song với (Q) thì (P)

song song với (Q)

Ví dụ 1: Cho tứ diện ABCD Gọi M, N, P lần lượt là trung điểm các cạnh AB, AC, AD

Chứng minh rằng mặt phẳng (MNP) song song với mặt phẳng (BCD)

Ví dụ 2: Cho tứ diện ABCD Gọi G1, G2, G3 lần lượt là trọng tâm các tam giác ABC, ACD,

ABD Chứng minh rằng mặt phẳng (G1G2G3) song song với mặt phẳng (BCD)

Định lí 2

Qua một điểm nằm ngoài một mặt phẳng cho trước có một và chỉ một mặt phẳng

song song với mặt phẳng đã cho

Hệ quả 1

Nếu đường thẳng d song song với mặt phẳng (P) thì trong (P) có một đường thẳng

song song với d và qua d có duy nhất một mặt phẳng song song với (P)

Hệ quả 2

Hai mặt phẳng phân biệt cùng song song với mặt phẳng thứ ba thì song song với

nhau

Hệ quả 3

Cho điểm A không nằm trên mặt phẳng (P) Mọi đường thẳng đi qua A và song song

với (P) đều nằm trong mặt phẳng đi qua A và song song với (P)

Ví dụ 3: Cho tứ diện SABC có SA = SB = SC Gọi Sx, Sy, Sz lần lượt là phân giác ngoài

của các góc S trong ba tam giác SBC, SCA, SAB Chứng minh rằng:

a) Mặt phẳng (Sx, Sy) song song với mặt phẳng (ABC)

b) Sx, Sy, Sz cùng nằm trên một mặt phẳng

Định lí 3

Cho hai mặt phẳng song song Nếu một mặt phẳng cắt mặt phẳng này thì cũng cắt

mặt phẳng kia và hai giao tuyến song song với nhau

Ví dụ 4: Cho hình chóp S.ABCD có ABCD là hình bình hành tâm O Gọi I là điểm bất kì

trên đoạn OC (P) là mặt phẳng qua I và song song với (SBD).Xác định thiết diện tạo bởi hình chóp và mặt phẳng (P)?

HAI MẶT PHẲNG SONG SONG (PHẦN 2)

IV HÌNH LĂNG TRỤ VÀ HÌNH HỘP

Cho hai mặt phẳng song song (P) và (Q) Trên (P) cho đa giác lồi A A A 1 2 n

Qua các đỉnh A , A , , A ta vẽ các đường thẳng song song với nhau và cắt (Q) 1 2 n

lần lượt tại A ' , A ' , , A ' 1 2 n

Hình gồm hai đa giác A A A , 1 2 n A ' A ' A ' và các hình bình 1 2 n

hành A A' A' A , A A' A' A , , A A' A' A được gọi là 1 1 2 2 2 2 3 3 n n 1 1

hình lăng trụ Kí hiệu:A A A A ' A ' A ' 1 2 n 1 2 n

Hai đa giác A A A , 1 2 n A ' A ' A ' : mặt đáy của lăng trụ 1 2 n

Các mặt bên của hình lăng trụ là hình bình hành

Các cạnh bên của hình lăng trụ song song và bằng nhau

Hai đáy của hình lăng trụ bằng nhau

V HÌNH CHÓP CỤT

Cho hình chóp SA1A2…An Một mặt phẳng song song với A1A2…An và không qua S cắt

SA1A2…An theo thiết diện A’1A’2…A’n Hình gồm A1A2…An, A’1A’2…A’n và A1 A’1A’2A2, …,

An A’n A’1 A1 là hình chóp cụt

Hình chóp cụt A1A2…AnA’1A’2…A’n có:

Mặt đáy: A1A2…An và A’1A’2…A’n

Mặt bên: A1 A’1A’2A2, …, An A’n A’1 A1

Cạnh bên: A1 A’1, A2A’2,…, An A’n.