CÁC BÀI TOÁN KHÓ HÌNH HỌC LỚP 7 BÀI 1: Cho hình chữ nhật ABCDvới AB = 2AD ,M là trung điểm của đoạn AB.Trên AB lấy H sao cho Ð ADH = 15 0 .Hai đường thẳng CH và DM cắt nhau tại K.Hãy so sánh độ các đoạn thẳng DH và DK LỜI GIẢI : Trên nửa mặt phẳng chứa C bờ là đường thẳng DH dựng tam giác đều DHN .Gọi Q là trung điểmDC ta có : AD = DQ = QC 0 15ADH QDN= =Ð Ð DH = HN ( ∆ DHN đều ) 0 0 90 90( . . ) ( . . )ADH QDN c g c NQD HAD NQC NQD NQC c g c= = = = =Þ D D Þ Ð Ð Þ Ð Þ D D 0 0 0 0 0 15 180 15 15 150( )NCQ NDQ DNC= = = - + =Þ Ð Ð Þ Ð Từ đó suy ra CDCHcgcDNCHNCHNC =⇒∆=∆⇒=+−=∠ ) (150)15060(360 0000 Tức là ∆ CHD cân tại C .Mà 0000 75751590 =∠=−=∠ DHCnênHDC (1) Do tam giác ADM vuông cân tại A nên 0000 30154545 =−=∠=∠ HDMSuyraADM (2) Xét tam giác DHK từ (1) và (2) suy ra 0 75=∠HKD (3) Từ (1) và(3) suy ra tam giác DHK cân tại D Tức là DH = DK BÀI2 :Cho tam giác ABC cân tại A lấy điểm O trong tam giác sao cho AOCAOB ∠<∠ So sánh độ dài của OB và OC 1 Kẻ đường cao AH, nếu điểm O thuộc AH Thì dễ thấy OB =OC và AOB AOC=Ð Ð Trái giả thiết . Gỉa sử tia AO nằm trong góc BAH và CO cắt AH tại M nối BM .ta có OC = OM + MC = OM + MB > OB từ đó suy ra OCB OBC<Ð Ð suy ra : ACO ACB OCB ABC OBC ABO= - > - =Ð Ð Ð Ð Ð Ð (1) Ta có CAO CAH BAH BAO> = >Ð Ð Ð Ð (2) Từ (1) và (2) ta có : 0 0 180 180 0( ) ( )AOB ABO BAO AC CAO AOC= - + > - + =Ð Ð Ð Ð Ð Ð . Điều này trái giả thiết . Vậy tia AO phải nằm trong góc CAH .Lập luận tương tự ta có OB> OC và AOB AOC<Ð Ð Vậy AOB AOC OB OC< >Ð Ð Û BÀI3 : cho tam giác ABC vuông cân tại A .Gọi M là trung điểm BC ,G là điểm thuộc cạnh AB sao cho AB = 3AG,Elà chân đường vuông góc hạ từ M xuống CG.Các đường thẳng MG và AC cắt nhau tại D.So sánh độ dài DE và BC. LỜI GIẢI : Trên tia CA lấy điểm D’ sao cho Alà trung đểm của CD’ thì 2 đường trung tuyến BAvà D’M cắt nhau tại G với 3AG = AB do đó điểm D’ º D .Mặt khác BA ^ DC nên BDCD vuông cân tại B .Do 0 45BCD BDCvuông=Ð Þ D cân tại B. Do đó BD = BC (1) Gọi N là giao đểm của CG và BD .Vì G trọng tâm BDCD Nên N là trung điểm của BD 2 Từ đó BN = CM = BM . Hạ BK ^ NC Thì KM =BM = CM vì KCMD cân tại M nên KE = CE (2) Lại có BNK CME=Ð Ð ( Cùng phụ với )BCNÐ Suy ra BNK CME NBK MCE= =D D Þ Ð Ð Và BK = CE (3) Từ (2) và (3) suy ra KE = KB Nên BKED là tam giác vuông cân tại K do đó 0 45BEK BEM= =Ð Ð . Hai tam giác BKDvà CEB Có DBK BCE=Ð Ð Và BK = CE , BD = CB do đó 0 135BKD CEB DKB BEC= = =D D Þ Ð Ð Suy ra ( . . )DKB DKE c g c DB DE= =D D Þ (4) Từ (1) và (4) suy ra DB = DE BÀI 4 : Cho tam giác ABC với 0 36ABC ACB= =Ð Ð Trên tia phân giác của góc ABC lấy điểm N sao cho 0 12BCN =Ð .Hãy so sánh độ dài của CN và CA LỜI GIẢI : Trên tia BA lấy điểm Dsao cho BD = BC Ta có tam giác BCD cân tại B .Vì 0 0 0 0 180 36 36 72 2 ABC nên BCD BDC - = = = =Ð Ð Ð . Ta lại có 0 0 0 36 36 72DAC ABC ACB= + = + =Ð Ð Ð (Tính chất của góc ngoài ) 0 72( )BDC DAC= =Þ Ð Ð Suy ra tam giác ACD cân tại C dó CA = CD (1). Xét 2 tam giác BDN và BCN có : BN chung BD= BC Và CBN DBN=Ð Ð Nên suy ra ( . . )BDN BCN c g c CN DN NCD= =D D Þ Þ D Cân tại N lại có : 0 0 0 72 12 60NCD BCD BCN NCD= - = - =Ð Ð Ð Þ D là tam giác đều CN CD=Þ (2) Từ (1) và (2) ta có CA = CN BÀI 5: Cho tam giác ABC với 0 0 55 115,BAC ABC= =Ð Ð .Trên tia phân giác của góc ACB lấy điểm M sao cho 0 25MAC =Ð . Tính số đo góc BMC LỜI GIẢI : 3 Ta có 0 0 0 0 180 55 115 10( )C = - + =Ð . Kẻ DE ^ AM (E ∈ AC) Ta có 0 30DAM DMA DAM= =Ð Ð Þ D cân tại D từ đó suy ra 0 120ADM =Ð Và DE là đường phân giác của góc ADM nên 0 60EDM BDM= =Ð Ð do đó ( . . )EDC BDC c g c=D D . Xét 2 tam giác BMC và EMC có BC = EC 0 5MCB MCE= =Ð Ð , MC chung Do đó 0 0 0 0 0 9 180 180 180 55 125. . )BMC EMC c g c BMC EMC DME DAE= = = - = - = - =D D Þ Ð Ð Ð Ð BÀI 6: Cho tam giác ABC cân trên cạnh đáy BC lấy đểm D sao cho CD = 2 BD. So sánh số đo 2 góc BADÐ Và 1 2 CADÐ LỜI GIẢI : Gọi M là trung điểm của DC . Trên tia đối của tia MA lấy điểm E sao cho ME = MA .Ta có EMDAMC ∆=∆ Vì có MD = MC , MA = ME EMDAMC ∠=∠ Nên DE = AC Và EA ∠=∠ 3 Mặt khác BD ∠>∠ 1 (tính chất góc ngoài của tam giác ) do 3221 AAEADADEADACCDCB ∠>∠⇒∠>∠⇒>⇒>⇒∠>∠⇒∠=∠ Vì 321313213 2) (( AAAAAAAcgcACMABDdoAA ∠+∠<∠⇒∠+∠>∠+∠⇒∆=∆∠=∠ Suy ra DACBAD ∠<∠ 2 1 BÀI 7: Cho tamgiác ABC lấy điểm D thuộc nửa mf không chứa C bờ AB sao cho DBDA ⊥ và AD = AB . Lấy điểm E thuộc nửa mf không chứa B bờ AC sao cho ACAE ⊥ và AE = AC . So sánh diện tích 2 tam giác ADE và ABC. 4 LỜI GIẢI : Ký hiệu S ABC là diện tích tam giác ABC .Trên tia đối của tia AB lấy B’ sao cho AB = AB’,ta có 'ADB∆ vuông cân ,suy ra AD = AB’ và AD ⊥ AB’. Xét 2 tam giác DAE và B’AC có AD = AB’ , AE = AC , ABCDAE SSACBDAEACBDAE =⇒∆=∆⇒∠=∠ '' (1) .Mặt khác 2 tam giác B’AC và ABC có AB’ = AB , cùng đường cao hạ từ đỉnh C do đó S B’AC = S ABC (2) Từ (1) và (2) suy ra S ADE = S ABC BÀI 8: Cho tam giác ABC có AB> AC .Trên các cạnh AB , AC lấy các điểm M,N sao cho AM = AN gọi K là giao điểm của BN và CN .Hãy so sánh độ dài của KB và KC . LỜI GIẢI : Trên đoạn AB lấy điểm I sao cho AI = AC khi đó ANIAMC ∆=∆ (c.g.c) MCNI =⇒ (1) vì tam giác AIC cân tại A suy ra 0 90<∠AIC ( Tia IN nằm giữa 2 tia IA,IC ) . vì 00 90180 >∠⇒=∠+∠ BINBINAIN Trong tam giác BIN góc là góc tù suy ra BN > IN (2) . Từ (1)và (2) ta có BN > CM (3) . cũng do ANIAMC ∆=∆ nên ANIAMC ∠=∠ Vì INMKMNANMAMN =∠⇒∠=∠ ta lại có KNMINM ∠<∠ (do I nằm giữa Mvà B ) do đó KNKMKNMKMN >⇒∠<∠ (4) Từ (3) và (4) ta có BN+KM > CM+KN ⇒ BN –KN .> CM – KM ⇒ BK > CK BÀI 9: Cho tam giác ABC có góc ACB = 45 0 và góc A tù Kẻ tia BD cắt tia đối của tia CA tại D sao cho góc CBD = góc ABC kẻ AH vuông góc với BD tại H tính số đo góc CHD. 5 LỜI GIẢI : Gọi tia đối của tia AB là tia Ax .Xét tam giác ABH ta có : 1 0 290 BABHAHBHAx ∠+=∠+∠=∠ . Xét tam giác ABC ta có : HAxBBCA ∠=∠+=∠+∠=∠ 2 1 45 1 0 112 suy ra AC là tia phân giác của góc Hax. Kết hợp với giả thiết BC là tia phân giác của góc ABH suy ra HC là phân giác góc AHD Do góc AHD = 90 0 Nên suy ra góc CHD = 45 0 . BÀI 10 Cho tam giác ABC vuông cân đáy BC .Gọi M,N là trung điểm của AB , AC .Kẻ NH ⊥ CM tại H kẻ HE ⊥ AB tại E . Chứng minh tam giác ABH cân và HM là tia phân giác góc BHE LỜI GIẢI : a, Từ A kẻ AK ⊥ MC tại K và AQ ⊥ HN tại Q .Hai tam giác vuông MAK và NCH có MC = NC (= 2 1 AB ) , 11 CA ∠=∠ (cùng phụ với góc AMC ) HCAKNCHMAK =⇒∆=∆⇒ (1) Dễ thấy AHCBKAcgcACHBAK ∠=∠⇒∆=∆ ) ( . 2 Tam giác vuông AQN và CHN có AN = NC , CHAQCNHANQCNHANQ =⇒∆=∆⇒∠=∠ (2) Từ (1) và (2) suy ra AK = AQ ⇒ AH là tia phân giác của góc KHQ 000 13513545 =∠⇒=∠⇒=∠⇒ BKAAHCAHQ Từ 6 00 135360 =∠⇒=∠+∠+∠ BKHAKHBKHBKA Tam giác AKH có 0 45=∠KHA Nên nó vuông cân tại K suy ra KA = KH . Xét 2tam giác BKA và BKH có BK chung , 0 135=∠=∠ BKHBKA , KA = KH BHBAcgcBKHBKA =⇒∆=∆⇒ ) ( hay tam giác ABH cân tại B . b, ta có 11 HA ∠=∠ theo (1) mà HE // CA 12 CH ∠=∠⇒ (góc đồng vị) vì 2111 HHCA ∠=∠⇒∠=∠ hay HM là tia phân giác góc BHE BÀI 11: Cho tam giác ABC với góc A khác 90 0 và góc B KHÁC 135 0 . Gọi M là trung điểm của BC.Về phía ngoài tam giác ABC vẽ tam giác ABD vuông cân đáy AB .Đường thẳng qua A vuônggóc với AB cắt CE tại P và cắt DM tại Q chứng minh rằng Q là trungđiểm của BP. LỜI GIẢI : 7 8 . ∆ CHD cân tại C .Mà 0000 75 751590 =∠=−=∠ DHCnênHDC (1) Do tam giác ADM vuông cân tại A nên 0000 30154545 =−=∠=∠ HDMSuyraADM (2) Xét tam giác DHK từ (1) và (2) suy ra 0 75 =∠HKD (3) Từ (1) và(3). BCD cân tại B .Vì 0 0 0 0 180 36 36 72 2 ABC nên BCD BDC - = = = =Ð Ð Ð . Ta lại có 0 0 0 36 36 72 DAC ABC ACB= + = + =Ð Ð Ð (Tính chất của góc ngoài ) 0 72 ( )BDC DAC= =Þ Ð Ð Suy ra tam giác. ∠>∠⇒∠>∠⇒>⇒>⇒∠>∠⇒∠=∠ Vì 321313213 2) (( AAAAAAAcgcACMABDdoAA ∠+∠<∠⇒∠+∠>∠+∠⇒∆=∆∠=∠ Suy ra DACBAD ∠<∠ 2 1 BÀI 7: Cho tamgiác ABC lấy điểm D thuộc nửa mf không chứa C bờ AB