đề thi học sinh giỏi (rất hay)

Đề thi học sinh giỏi lớp 8 Năm học 2008-2009 Đề chính thức Đề ra: Câu 1 : a, Phân tích đa thức thành nhân tử : x 4 -30x 2 +31x-30 b, Giải phơng trình : 27x 3 +(2x+4) 3 -(5x+4) 3 =0 Câu 2 : Cho x,y,a,b,c là các số dơng chứng minh : a, yxyx + + 411 b, bacacbcbaaccbba 22 1 22 1 22 1 32 1 32 1 32 1 ++ + ++ + ++ + + + + + Câu 3 : Cho 6a-5b=1.Tìm GTNN của 4a 2 +25b 2 Câu 4 : Tìm cặp số ( a,b) để A=a 4 +4b 4 là số nguyên tố Câu 5 : Cho hình thang cân ABCD có đáy lớn AB bằng đờng chéo AC gọi M là trung điểm của đý nhỏ CD . K là hình chiếu của M trên AB . Biết CD = 2 BC a, Chứng minh tam giác CBM đồng dạng với tam giác CDB b, Tính các góc của hình thang ABCD Đáp án : Câu 1 : a, Phân tích x 4 -30x 2 +31x-30 = =(x-5)(x+6)(x 2 -x)+1 b, 27x 3 +(2x+4) 3 -(5x+4) 3 =0 (1) (3x) 3 +(2x+4) 3 =(5x+4) 3 Đặt 3x=a ; 2x+4=b ; 5x+4=a+b (1) trở thành : a 3 +b 3 =(a+b) 3 3ab (a+b)=0 a=0 hoặc b=0 hoặc a+b=0 x=0;-2; 5 4 Câu 2 : a, yxyx + + 411 0 )( )( )( 4)( 4 22 + + + + + xyyx yx yxxy xyyx yxxy yx Vì x , y là những số dơng b, áp dụng câu a ta có : cbaacbba ++ ++ + + 22 2 22 1 32 1 Tơng tự cb 32 1 + + bac 22 1 ++ cba 22 2 ++ ac 32 1 + + cba 22 1 ++ cba 22 2 ++ Cộng vế với vế của 3 bất đẳng thức cùng chiều trên Ta đợc điều cần chứng minh Câu 3 : Đặt x=2a : y=-5b áp dụng bất đẳng thức Bunhiacôpxki ta có :(x 2 +y 2 )(9+1) (3x+y) 2 x 2 +y 2 ( 10 1 10 )56( 10 )3( 22 = = + bayx Dấu = xảy ra khi 20 3 ; 50 113 === ab yx Câu 4 : Ta có : A=a 4 +4b 4 =(a 2 +2b 2 ) 2 -4a 2 b 2 = [(a-b) 2 +b 2 ][(a+b) 2 +b 2 ] Do a>0 ; b>o nên (a+b) 2 +b 2 >1 Mà A nguyên tố nên (a-b) 2 +b 2 =1 a=b=1 Vậy A=5 là số nguyên tố ứng với cặp (a,b)=(1;1) . Đề thi học sinh giỏi lớp 8 Năm học 2008-2009 Đề chính thức Đề ra: Câu 1 : a, Phân tích đa thức thành nhân