tiểu luận triết học với toán học tham khảo

tiểu luận triết học với toán học tham khảo

LỜI NÓI ĐẦU Khi nghiên cứu vật, tượng, có phương pháp nghiên cứu khác dựa vào cách nhìn nhận vật tượng nhiều góc độ khác Tuy nhiên, dù nhìn nhận sự, vật tượng góc độ nữa, cần phải nắm chất vấn đề Đó chìa khóa để có đánh giá xác đối tượng mà nghiên cứu Trong thực tế, vật, tượng vận động cách liên tục, không ngừng Nếu xét vật góc độ riêng lẻ, tức xem xét đối tượng cách phiếm diện, chiều, dễ đưa đến nhận định sai lệch Điều nguy hiểm, lẽ đem lại thiệt hại lớn đời sống, có thiệt hại tính mạng, cải Vì thế, nghiên cứu chúng, ta cần phải có nhìn tổng thể, đa chiều để nắm bắt đặc tính vật, tượng Từ đó, tổng hợp nên đặc tính mang tính chất chúng để có nhìn đắn chúng Chủ nghĩa Mác – Lênin khẳng định điều thông qua phép biện chứng vật Phép biện chứng vật cho ta cách thức đánh giá vật, tượng cách khoa học, xác sử dụng rộng rãi khoa học đời sống Trong tiểu luận này, xin phép trình bày nội dung nhỏ lĩnh vực Toán học Đó là: “Vai trò Toán học hình thành phát triển giới quan vật” Toán học lĩnh vực khoa học lớn Để nghiên cứu toán học đòi hỏi nhiều yêu cầu Trong nội dung tiểu luận này, xin phép trình bày nội dung dạng ví dụ mẫu Hy vọng góp phần hữu ích cho đọc giả trình nghiên cứu Toán học Do thời lượng có hạn, kiến thức thân nhiều hạn chế Vì không tránh khỏi khiếm khuyết Rất mong góp ý bảo bạn đọc Chuyên đề tiểu luận hoàn thành hướng dẫn thầy phụ trách môn triết học sau đại học GVC Ths Trần Khải Định, trưởng khoa Lí Luận Chính Trị trường Đại học Tây Nguyên, đóng góp ý kiến bạn lớp cao học Toán Giải Tích khóa 11, trường Đại học Tây Nguyên Nhân đây, cho phép em gửi lời cảm ơn chân thành đến thầy, bạn học viên! PHẦN I MỞ ĐẦU Toán học quan niệm ngành khoa học nghiên cứu hình thức không gian quan hệ định lượng giới thực Triết học thành tựu nhận thức hoạt động thực tiễn cải tạo người loài người nói chung Quá trình hình thành phát triển triết học diễn quanh co, phức tạp lâu dài Trong trình đó, toán học đóng góp phần quan trọng Thực tế khẳng định rằng, với phát triển sản xuất xã hội, khoa học công nghệ trí tuệ người, thân đối tượng toán học không ngừng phát triển từ đơn giản đến phức tạp, từ trừu tượng trình độ thấp đến trừu tượng trình độ cao Như vậy, vấn đề nhận thức đắn nguồn gốc chất đối tượng toán học, tìm hiểu khía cạnh triết học toán học sở phân tích đối tượng vấn đề có ý nghĩa lớn phát triển khoa học, mà thực tiễn xã hội Từ quan niệm Ph.Ăngghen: Đối tượng thực toán học quan hệ số lượng hình thức không gian giới thực, đến kết luận quan trọng, đối tượng toán học dù có trừu tượng đến đâu có nguồn gốc từ thực khách quan tri thức toán học kết phản ánh tích cực, đắn, sáng tạo thực khách quan Đồng thời, xuất phát từ thực tiễn phát triển toán học, đối tượng trực tiếp lý thuyết toán học hệ thống khách thể lý tưởng trừu tượng, không tồn thực khách quan, mà trường phái triết học khác nhau, chí giới toán học với diễn không tranh luận chất đối tượng toán học vai trò toán học trình nhận thức Vì vậy, vấn đề đặt tiểu luận luôn vấn đề mang tính thời riêng toán học, mà tất lĩnh vực khoa học nói chung Từ đó, việc làm sáng tỏ vấn đề triết học phân tích đối tượng toán học góp phần làm sáng tỏ chất, vai trò phát triển toán học nói riêng khoa học nói chung, đáp ứng yêu cầu cách mạng khoa học công nghệ đại Đồng thời, việc làm sở thống biện chứng tri thức toán học với thực khách quan, từ có để xác lập giá trị nhận thức toán học thông qua đối tượng Điều phù hợp với nhận xét Lênin: "Tất trừu tượng khoa học (đúng đắn, nghiêm túc, không tùy tiện) phản ánh giới tự nhiên sâu sắc hơn, đầy đủ hơn" Đó lý em chọn đề tài: “Vai trò Toán học hình thành phát triển giới quan vật” PHẦN II NỘI DUNG I MỐI QUAN HỆ GIỮA TOÁN HỌC VÀ TRIẾT HỌC TRONG QUÁ TRÌNH HÌNH THÀNH VÀ PHÁT TRIỂN Ngay buổi bình minh tư tưởng Tây phương, ích lợi thực tiễn toán học Herodotus(1) ghi nhận; ông cho nguồn gốc Hình học xuất phát từ người đo đất Ai Cập Thật vậy, chữ hình học theo nguyên ngữ có nghĩa “trắc địa” Nhưng triết gia Hy Lạp, đặc biệt Plato, tỏ ý khinh bỉ ý tưởng coi toán học có giá trị hữu dụng việc khảo sát đất đai đo lường chuyển động thiên thể Theo Plato, học toán chuẩn bị lý tưởng cho tư tưởng triết lý, đem trí tuệ vượt xa khỏi sư vật thấy sờ dể tâm vào đối tượng trừu tượng túy - số, hình hình học, tỉ lệ Lập trường Plato dẫn đến kiểu bất đồng khác chất toán học, ngày Aristote đồng ý với Plato toán học có giá trị tri thức, hoàn toàn không kể tới ứng dụng thực tiễn, ông phản đối mạnh mẽ ý kiến nói toán học coi mẫu mực cho tất tri thức triết học Ông lấy làm khó chịu thấy học trò Plato đồng hóa toán học với triết học, sinh viên khoa triết không lắng nghe giảng viên không trình bày tư tưởng hình thức toán học Theo Aristotle, khoa học có phương pháp riêng thích hợp đối tượng yếu nó, đó, phương pháp toán học không nên áp dụng khoa học khác Sự bất đồng từ thời thượng cổ Hy Lạp lại tiếp tục thời đại quan điểm đối lập Descartes(2) Kant Là nhà toán học vĩ đại đồng thời triết gia, Descartes tuyên bố phương pháp toán học đường dẫn đến tri thức, kể tri thức vật lý vũ trụ Đối với ông, Newton nhà khoa học đại vĩ đại khác, giới tự nhiên hình thành theo cách hiểu rõ phân tích toán học Từ nhìn này, vũ trụ vật chất có cấu diễn tả thuật ngữ toán học Kant thừa nhận nguyên lý toán học áp dụng vào việc nghiên cứu giới vật lý, ông đề cao thiên tài Newton (3) Nhưng ông cảnh báo triết gia coi chừng bị lạc đường thành công sáng chói toán học lĩnh vực mà cần tri thức đích xác quan hệ định lượng Ông nói, có vài tri thức quan trọng cách từ khái niệm châm ngôn rõ ràng đến việc chứng minh kết luận xác chắn Điều đặc biệt tri thức, nơi mà phân biệt minh bạch đạt cuối trình truy vấn, bước đầu trình Hơn phương pháp toán học không đóng vai trò đạo đức học, mà Kant đạo đức học khoa học triết lý hoàn thiện Trong nhiều kỷ qua, toán học có biến đổi to lớn tranh luận lâu đời chưa ngã ngũ triết gia Trong số tư tưởng gia đại, Bertrand Russell(4), chẳng hạn, tiêu biểu cho chủ trương dùng phương pháp toán học để tiếp cận vấn đề, John Dewey(5) thích lối tiếp cận có tính chất thực chứng sinh vật học Nhưng cho dù triết gia có bất đồng giá trị toán học hình mẫu cho loại tri thức, họ phải đồng ý với điều - toán học đem tới cho người tri thức chắn xác minh thông qua suy luận nghiêm ngặt mà không cần đến hỗ trợ thí nghiệm nghiên cứu thực nghiệm Tính chất xác, nghiêm ngặt lý toán học đưa lên vị trí cao nhìn nhà giáo dục thời đại Như Plato khẳng định, toán học môn học hướng dẫn lý trí việc nghiên cứu đối tượng mối liên hệ trừu tượng Nó cung cấp chứng suy luận diễn dịch, thứ suy luận từ tiền đề sáng rõ đến kết luận tất yếu “Giá trị thực hành” cao toán học việc phát triển trí tuệ người Có nhiều ứng dụng ngày toán học: đo đạc địa hình, thiết kế nhà cửa quần áo, vạch quỹ đạo súng pháo binh… Nhưng máy tính điện tử phương tiện tối tân khác thay cho tính toán người, lý trí phải cần đến nguyên lý toán học để nắm phương diện thiết yếu giới sống Toán học chứa đựng những đặc điểm lý trí, lập luận trừu tượng hướng tới hoàn thiện thẩm mỹ Những yếu tố đối lập lẫn lôgic trực giác, giải tích phép dựng hình, tính khái quát tính cụ thể Với quan điểm khác bắt nguồn từ truyền thống hay truyền thống khác, tác động đồng thời thái cực đấu tranh để tổng hợp chúng lại đảm bảo cho sức sống, bổ ích giá trị cao khoa học toán học Sự tiến lên phạm vi toán học quy định phát sinh nhu cầu có tính chất thực tiễn định Nhưng, tất yếu phải có đà nội vượt giớ hạn lợi ích trực tiếp Sự biến đổi từ khoa học ứng dụng sang khoa học lý thuyết diễn lịch sử xa xưa, song ngày thế: cần để ý đến đóng góp kỹ sư nhà vật lý toán học đại đủ rõ Những phong cánh tư toán học cổ xưa xuất phương Đông khoảng hai nghìn năm trước công nguyên: người Babilon tập hợp chất liệu phong phú, mà ngày ta có xu hướng xếp vào đại số sơ cấp Nhưng từ “toán học” xem khoa học theo ý nghĩa nay, phát sinh chậm mảnh đất Hy Lạp vào khoảng kỷ thứ tư thứ năm trước công nguyên Mọi tiếp xúc ngày tăng phương Đông Hy Lạp đế quốc Ba Tư đạt tới đỉnh thời kỳ tiếp sau du lịch Alecxăngđrơ bảo đảm cho người Hy Lạp đuổi kịp thành tựa người Babilon lĩnh vực toán học thiên văn học Toán học nhanh chóng trở thành đối tượng thảo luận triết học thông thường Nhà nước – thành phố Hy Lạp Như vậy, nhà tư tưởng Hy Lạp nhận thức khó khăn đặc biệt có liên quan với khái miệm toán học – liên tục, chuyển động, vô hạn – toán đo đại lượng tùy ý đơn vị cho trước Nhưng có tâm vượt khó khăn: nảy sinh kết cố gắng tuyệt vời tư tưởng Evđôkxôp, lý thuyết continum hình học thành tựu sánh ngang hàng với lý thuyết số vô tỉ đại Phương hướng tiên đề suy diễn toán học, Evđôkxôp, thể rõ tác phẩm “khởi đầu” Ơclit Mặc dù xu hướng tiên đề – lý thuyết đặc điểm bật toán học Hy Lạp tự ảnh hưởng đến phát triển sau khoa học Nhưng cần phải kiên rõ vai trò nhu cầu thực tiễn mối liên hệ với thực vật lý không bị hạ thấp chút việc sáng tạo toán học cổ xưa việc trình bày toán học không theo phong cánh chặt chẽ Ơclit ưa thích Sự phát sớm khó khăn có liên quan đến đại lượng “vô ước” cản cản trở người Hy Lạp phát triển nghệ thuật tính toán số mà thời kỳ trước tạo thành tựu đáng kể phương Đông Thay vào đó, họ tìm đường rừng rậm hình học tiên đề túy Thế bắt đầu phiêu lưu lịch sử khoa học mà bỏ lỡ khẳ sáng lạn Gần suốt hai nghìn năm, thống trị truyền thống hình học Hy Lạp ngăn cản tiến hóa tư tưởng số phép tính số phép tính chữ mà sau đặt làm sở khoa học xác Sau thời gian tập trung sức lực chậm chạp, thời kỳ cách mạng bão táp phát triển toán học vật lý học mở với nảy sinh hình học giải tích phép tính vi tích phân kỷ XVII Trong kỷ XVII XVIII, lý tưởng kết tinh tiên đề hóa suy diễn hệ thống tàn lụi ảnh hưởng, hình học cổ xưa tiếp tục đánh giá cao Sự tư logic hoàn hảo xuất phát từ định nghĩa rành mạch tiên đề “hiển nhiên” không mâu thuẫn với không làm vừa lòng người khai phá kiến thức toán học Đắm dự định trực giác, cách pha trộn kết luận hiển nhiên với với khẳng định huyền bí phi lý, cánh tin tưởng mù quáng vào lực lượng siêu đẳng quy trình hình thức, họ phát giới toán học vô phong phú Song dần dà, trạng thái phấn trấn cao độ tư tưởng cổ vũ thắng lợi oanh liệt, nhường chỗ cho thái độ thận trọng ý thức phê bình.Trong kỷ XIX, ý thức cần thiết phải củng cố khoa học, đặc biệt có liên quan tới nhu cầu giáo dục cao đẳng, phát triển rộng rãi sau cách mạng Pháp, dẫn tới xét lại sở toán học Họ đặc biệt ý tới phép tính vi tích phân việc làm sáng tỏ khái liệm giới hạn Như vậy, kỷ XIX trở nên kỷ nguyên thắng lợi mà đánh dấu trở lại có kết lý tưởng cổ điển xác chặt chẽ chứng minh Về mặt khuôn mẫu Hy Lạp bị vượt qua Một lần nữa, lắc nghiêng hoàn hảo lôgic trừu tượng Hiện nay, chưa vượt khỏi thời kỳ đó, có sở để hy vọng gián đoạn đáng buồn tạo nên toán học túy ứng dụng túy thay thống chặt chẽ thời kỳ xét lại có phê phán Ngày nay, khối lượng lực nội sáng tạo đơn giản hóa cao độ đạt sở thấu hiểu cho phép ta sử dụng lý thuyết toán học cho ứng dụng không bị bỏ qua Việc thiết lập lại mối liên hệ hữu tri thức túy tri thức ứng dụng, cân lành mạnh tính khái quát trừu tượng tính cụ thể phong phú nhiệm vụ toán học tương lai gần Dù ta đứng quan điểm triết học nhiệm vụ nghiên cứu khoa học quy thái độ ta vật cảm thụ công cụ nghiên cứu Tất nhiên, thân cảm thụ chưa phải trí thức, chưa phải thông hiểu; phải phù hợp chúng với cắt nghĩa thuật ngữ số nội dung đằng sau chúng “Vật tự thân” (*) đối tượng trực tiếp nghiên cứu vật lý mà thuộc lĩnh vực siêu hình Nhưng phương pháp khoa học điều quan trọng từ bỏ suy luận siêu hình, biểu thị kiện quan sát dạng khái niệm phép dựng Sự từ bỏ tham vọng nhận thức chất “vật tự thân” Nhận thức tính chân lý cuối giải đáp chất nội giới, gánh nặng tâm lý người nhiệt tâm ngây thơ; từ bỏ lại có hiệu cao phát triển khoa học đại Một số phát minh vĩ đại vật lý bắt ta phải tuân theo nguyên tắc thủ tiêu tâm siêu hình Khi Einstein định đưa khái niệm “những kiện đồng thời, phát sinh từ địa điểm khác nhau” vào số tượng quan sát ông hiểu niềm tin thân khái niệm tất phải có ý nghĩa xác tiên đoán siêu hình phát minh chứa đựng mầm mống lý tương đối ông Khi Niels Bohr học trò ông cân nhắc kỹ kiện quan sát vật lý tùy ý có liên quan đến tác dụng tương hỗ dụng cụ vật quan sát ông thấy rõ định nghĩa vị trí vận tốc phân tử đồng thời xác theo nghĩa mà hiểu vật lý Những hệ đại mà ngày nhà vật lý học biết Trong kỷ XIX có tư tưởng thống trị, tư tưởng cho lực học chuyển động phân tử không gian vật tự thân; điện, ánh sáng từ quy tượng học (hoặc “giải thích” thuật ngữ học) tương tự làm với lý thuyết nhiệt Khái niệm môi trường có tính chất giả định – gọi môi trường “ête” - đề xuất cho thích hợp với chuyển động học không hoàn toàn đáng mà ta gọi ánh sáng điện Dần dà thấy rõ ê-te không quan sát được, tức khái niệm thuộc siêu hình nhiều thuộc vật lý Sau tưởng giải thích cách học tượng điện ánh sáng với khái niệm ê-te bị dứt khoát loại bỏ Trong toán học có tình tương tự thế, chí rõ ràng Trong nhiều kỷ, nhà toán học xem vật mà họ quan tâm – số, đường thẳng v.v vật tự thân Song, thể không thích hợp với ý định mô tả xác chất chúng, nhà toán học kỷ XIX hình thành tư tưởng cho vấn đề giá trị khái niệm xem thực thể phạm vi toán học (và đâu) ý nghĩa Những khẳng định toán học mà thuật ngữ thâm nhập vào toán học không thuộc thực vật lý; chúng thiết lập mối liên hệ tương hỗ “sự vật không xác định” quy tắc thao tác với vật Không thể không nên thảo luận toán học vấn đề điểm, đường thẳng số, thực chất Điều thực quan trọng có liên quan trực tiếp với kiện “được khảo sát” cấu trúc mối liên hệ tương hỗ vật đó: hai điểm xác định đường thẳng; theo quy tắc định từ số ta suy số khác v.v Nhận thức cách rõ ràng cần thiết phải từ bỏ quan niệm cho khái niệm toán học vật có thực chiến công quan trọng phát triển tiên đề hóa toán học May mắn thay, tư tưởng sáng tạo lãng quên tín ngưỡng triết học giáo điều mà phát minh có tính chất kiến thiết quyến luyến chúng Và, chuyên gia người yêu thích toán học triết học mà có tân tụy nghiên cứu thân toán học trả lời câu hỏi: Toán học gì? II ẢNH HƯỞNG CỦA TOÁN HỌC ĐẾN SỰ PHÁT TRIỂN CỦA TRIẾT HỌC VÀ CÁC NGÀNH KHOA HỌC TỰ NHIÊN Thời kỳ đầu, thời kỳ toán học đại lượng bất biến, tức đại lượng lấy giá trị cố định Trước hết, toán học đóng góp vào hình thành sở lôgic hình thức, nhờ tư có lập luận xác, chặt chẽ Điều góp phần hình thành nên nguyên tắc tư khoa học Thí dụ từ quan hệ a = b, b = c suy a = c Tuy nhiên, khái niệm bất biến, bất động, cố định Đối với lĩnh vực tri thức khác, thời kỳ có học thiên văn học tương đối phát triển Toán học thông qua hai khoa học góp phần vào cách mạng Copecních thay hệ địa tâm hệ nhật tâm Sự phát triển giới quan gắn liền với cách mạng mà Copecních thực đòi hỏi phải có toán học mang tư tưởng chất đời (đó toán học đại lượng biến đổi thời kỳ cổ điển) Tuy nhiên, thời kỳ này, quan niệm học Niutơn chi phối hầu hết cách xem xét vật, tượng giới xung quanh Do học Niutơn lấy số lượng bất biến, cố định toán học làm chuẩn mực để tính toán khối lượng nó, nên quan điểm tạo sở cho hình thành chủ nghĩa vật siêu hình máy móc Thế giới quan chủ nghĩa vật siêu hình máy móc ảnh hưởng lâu dài đến phát triển toán học lĩnh vực khác khoa học tự nhiên Mặt khác, thành tựu phát triển số học, hình học tạo mối liên hệ với quan niệm phép biện chứng ngây thơ cổ đại Chẳng hạn, vấn đề quan hệ số thực số ảo, vô hạn hữu hạn Như thời kỳ này, toán học có đóng góp vào hình thành phát triển số yếu tố biện chứng, song nhìn chung dừng lại việc góp phần hình thành củng cố giới quan chủ nghĩa vật siêu hình máy móc Do phát triển thực tiễn nhận thức, tất yếu dẫn tới đời toán học đại lượng biến đổi Ở thời kỳ này, nhà kinh điển ý đến toán học, trước hết tư tưởng vận động, mối liên hệ, phát triển toán học sớm khoa học tự nhiên thực nghiệm khác F Enghen đánh giá: “Đại lượng biến đổi Đềcác đánh dấu bước ngoặt toán học Nhờ mà vận động biện chứng vào toán học phép tính vi phân tích phân trở thành cần thiết.” Thật vậy, lập luận giải tínc toán phép tính vi phân, người ta dùng khái niệm hàm số, giới hạn, liên tục, gián đoạn vô hạn, hữu hạn Rõ ràng, toán học nghiên cứu vận động, mối liên hệ khía cạnh quan trọng Có thể nói rằng, tư tưởng vận động, liên hệ toán học góp phần thay đổi chất tư khoa học Ở thời kỳ trước cổ điển, lôgic hình thức học Niuton chịu chi phối khái niệm, phạm trù bất biến cố định toán học sơ cấp Với tư tưởng vận động, liên hệ toán học, người ta có quan niệm mềm dẻo hình thức tư nói chung phạm trù bất biến logic hình thức nói riêng Ví dụ, để đo độ dài đường cong, ta phải xem đường cong giới hạn đường thẳng Vì vậy, tư tưởng vận động, liên hệ toán học nguồn gốc đẻ tư biện chứng Nó góp phần hình thành bước đầu sở khoa học logic biện chứng Còn khoa học tự nhiên sao? Vào thời kỳ trước đó, điều kiện lịch sử định, giới quan siêu hình máy móc thống trị khoa học tự nhiên, đời phát triển tư tưởng vận động, liên hệ toán học giáng đòn mạnh mẽ vào giới quan siêu hình “mà điểm trung tâm quan niệm tính bất di bất dịch tuyệt đối tự nhiên” Thật vậy, đời phép tính vi phân, giải tích toán học tạo cho nhà khoa học phương tiện nhận thức tượng, vật, trình tự nhiên Nhờ đó, người ta phát định luật vạn vật hấp dẫn kỷ XVII, quy luật truyền sóng truyền nhiệt kỷ XVIII Sự đời thuyết tương đối Anhxtanh kỷ XIX nhờ phát triển từ trước hình học phi Ơclít Như vậy, toán học thông qua vật lý học, đóng góp vào cách mạng giới quan, thay chủ nghĩa vật siêu hình máy móc dựa học Niutơn (với đặc điểm khối lượng bất biến, không gian thời gian tách biệt nhau) chủ nghĩa vật biện chứng mà đời thuyết tương đối Anhxtanh lý thuyết khoa học đại khác ví dụ (với đặc điểm khối lượng, không gian thời gian không tách rời nhau) Một thành tựu quan trọng khác toán học thời kỳ đời tưởng thống kê – xác suất Tư tưởng thống kê – xác suất khẳng định tồn khách quan ngẫu nhiên Thế giới tất nhiên mà có ngẫu nhiên Ngẫu nhiên tất nhiên liên hệ chặt chẽ bổ sung cho Tư tưởng thống kê- xác suất cho ta quan 10 niệm mềm dẻo xác phụ thuộc lẫn nhau, vật, tượng, trình Nó vượt hẳn quan điểm định luận chặt chẽ coi phụ thuộc liên hệ vật đơn chặt chẽ tính tất nhiên thống trị tuyệt đối giới tự nhiên Sự tồn ngẫu nhiên bổ sung vào tranh khoa học chung giới Như vậy, tư tưởng vận động, liên hệ thống kê – xác suất góp phần hình thành tư biện chứng sở khoa học để luận chứng cho giới quan vật biện chứng Tuy nhiên, toán học thời kỳ mang hạn chế định Nó chưa đáp ứng nhu cầu sản xuất từ khí hoá chuyển sang sản xuất tự động hoá, phát triển khoa học từ giai đoạn phân tích, thực nghiệm sang khoa học liên ngành tổng hợp trình độ lý thuyết Những đòi hỏi tất yếu dẫn toán học tới thời kỳ phát triển – toán học nghiên cứu cấu trúc thuật toán Trong giai đoạn đại, thành tựu bật toán học thời kỳ tư tưởng cấu trúc Thực chất tư tưởng cho phép ta tiếp cận cách trừu tượng khái quát đối tượng có chất khác để vạcg quy luật chung chúng Nói theo ngôn ngữ toán học, tức có tương tự cấu trúc hay đẳng cấu lĩnh vực có chất khác Có thể nói tư tưởng cấu trúc sở lý luận cho đời khoa học tổng hợp logic toán, điều khiển học, tin học, toán lý, toán sinh, toán kinh tế Về phương diện thực tiễn, sở tương tự cấu trúc trình diễn giới tự nhiên vô sinh, sống xã hội (tư duy) người ta chế tạo hệ thống máy tự động, hoạt động theo chế tương tự não giác quan người Như phương diện lý luận thực tiễn, toán học đại đóng vai trò tảng trình thể hoá khoa học Hơn nữa, tư tưởng cấu trúc toán học phản ánh sâu sắc thống vật chất giới Sự thống toán học với giới quan triết học biểu chỗ chúng xác nhận tư tưởng chủ nghĩa vật: tư tưởng thống vật chất giới tính nhận thức giới Các khoa học khác vật lý học, sinh học có đóng góp quan trọng vào việc luận chứng cho thống Có thể nói với phát triển khoa học thực tiễn lý thuyết toán học ngày có khả sâu vào việc luận chứng cho tư tưởng thống vật chất giới Chẳng hạn, phương trình diễn tả phân huỷ chất phóng xạ, sinh sản vi khuẩn, tăng trưởng kinh tế Như vậy, tư tưởng cấu trúc toán học đại góp phần quan trọng vào nhận thức sở tảng tổng hợp tri thức vốn chứa đựng nội dung giới quan, phương pháp luận sâu sắc Đồng thời sở khoa học để luận 11 chứng cho giới quan vật biện chứng thống vật chất giới Những kết củng cố vững xem xét ảnh hưởng toán học phát triển khoa học tự nhiên đại, đặc biệt ngành tiếp cận giới vi mô Dựa vào tương tự cấu trúc, người ta phát mối liên hệ, quan hệ thống lý thuyết vật lý khác Đặc biệt, sở lý thuyết hình thức (trừu tượng) toán học, người ta phát hạt trước chúng phát nhờ thực nghiệm Điển hình việc phát pozitron học lượng tử nhờ biểu diễn phương trình z bậc hai Phương trình lúc đầu cho ta để dự đoán electron tồn hạt khác có số tính chất vừa giống điện tử lại vừa khác điện tử dấu điện tích Đó pozitron Dự đoán trở thành thực Về sau phản hạt phần lớn hạt tìm cách tương tự pozitron Khả vượt trước toán học luận chứng, hoàn thiện, cụ thể hoá quan điểm chủ nghĩa vật điện tử vô vô tận Các cách mạng hoá học (hoá học lượng tử), sinh học (lý thuyết di truyền), sinh học phân tử dựa vào thành tựu toán học đại Đối với khoa học nhân văn, khả hình thành toán kinh tế, toán tâm lý, toán xã hội góp phần củng cố giới quan vật biện chứng nhận thức nhân văn xã hội Ở ảnh hưởng toán học dẫn đến hình thành củng cố giới quan triết học Ngược lại, triết học khoa học toán học tác động tích cực đến phát triển toán học, trước hết dẫn đến số khuynh hướng nghiên cứu toán học Ví dụ, khuynh hướng tìm kiếm cấu trúc toán tương ứng với quan hệ không tuyển (vừa vừa là, chẳng hạn vừa sóng, vừa hạt) đặc điểm bật hệ thống phức tạp giới tự nhiên sống xã hội Quan điểm “tập hợp mờ” tức tập hợp toán ranh giới phân tử không rõ ràng lade, gọi “toán học phát triển” (khuynh hướng toán học tiến hoá sống) Tuy nhiên cần phải thấy chủ nghĩa tâm lợi dụng thành tựu toán học đại mưu đồ đen tối Bên cạnh có giải thích lệch lạc chủ nghĩa vật không biện chứng lĩnh hội, kiến giải sử dụng thành tựu toán học Những giải thích nhằm mưu đồ phủ nhận triết học khoa học, xoá nhoà mối liên hệ, quan hệ triết học khoa học với toán học đại “Vật chất dùng để thực khách quan đem lại cho người cảm giác, cảm giác chép lại, chụp lại, phản ánh 12 tồn không lệ thuộc vào cảm giác” Các đối tượng toán học có đặc điểm Thế giới toán học thể giới vật chất thu nhỏ mà có đối tượng toán học thể vật chất, tính chất toán học thể tượng Nếu triết học nghiên cứu vận động phát triển vật tượng toán học nghiên cứu đối tượng tính chất bất biến Điều cho thấy toán học triết học có mối liên hệ chặt chẽ với GÓC NHÌN TRIẾT HỌC VỀ TOÁN HỌC Thế giới vật chất toán học 1.1 “Vật chất có trước, ý thức có sau, vật chất định ý thức” Trong toán học, tất đối tượng toán học giới vật chất sinh động Từ số hay tập số, kí hiệu toán học, biểu thức toán học, phương trình toán học… dạng vật chất Chúng có trước tồn khách quan, không phụ thuộc vào cảm giác người Và vậy, chúng bị chi phối cac quy luật khách quan, chẳng hạn: đẳng thức, nguyên lý Đi-rich-lê thỏ lồng, quy luật tương ứng 1-1 hàm số, bất đẳng thức Cô-si, Bu-nhi-a-côpxki… Tất đối tượng toán học có trước người khám phá Tất vốn có thực tiễn Thật vậy, ta có: Những số hay tập số: Một đội tuyển bóng đá sân gồm 11 cầu thủ, lớp học gồm 30 học sinh, ta bút chì có 12 cậy bút, … Những số 11, 30, 12 ngẫu nhiên khách quan Nếu người không khám phá tự thân mang chất 11, 30 12, có điều chưa gán tên “11”, “30” “12”… Như vậy, trước người tìm số, thân tồn cách khách quan Việc người khám phá mang tính chất định dạng lại Kí hiệu toán học: Các kí hiệu toán học “+”, “-”, “x”, “/” (cộng, trừ, nhân, chia), hay phép giao, phép hội, tam giác, hình lập phương… tất xuất phát từ thực tế Đơn cử phép cộng Nó xuất phát từ nhiều toán thực tiễn Đó việc thêm lượng đối tượng (người, đồ dùng, tiền ,…) vào lượng đối tượng có trước để thu lượng lớn Hay tam giác, lập phương… tồn nhiều sống cho dù người có khám phá hay không, mãi Biểu thức toán học: Các biểu thức toán học công thức toán học, phương trình toán học biểu thị mối liên hệ đối tượng vật chất toán học số hay kí hiệu toán học Nó dạng vật chất, xuất phát từ thực tiễn, từ tình huống, toán cần tìm đối tượng Đơn cử tình ruộng hình chữ nhật có chu vi 30m, diện tích 200m Yêu cầu đặt tính III 13 cạnh Khi ta dễ dàng có phương trình toán học a + b = 30 a.b = 200 Với a chiều dài, b chiều rộng… Các quy luật toán học: Luật tương ứng 1-1 cho ta khái niệm hàm số Điều thể thực tiễn cách rộng rãi Như đồ dùng, vật dụng có tên Mỗi vật gắn liền với tên Mỗi người có số tiền lương định… Tất xuất phát từ thực tiễn 1.2 Vật chất tồn theo quy luật khách quan Từ việc nghiên cứu thực tiễn, người khái quát hóa nên đối tượng toán học Các đối tượng người định dạng lại việc gán cho tên “hàm số – đồ thị”, “tập số”, “phương trình”, “hình lập phương”… Tất đối tượng triết học vật biện chứng khẳng định tính chất “tồn khách quan, độc lập với ý thức người, không tạo không tiêu diệt được” Theo quan điểm triết học Mác – xít, thông qua hoạt động mình, người tác động vào giới tự nhiên tạo nên ảnh hưởng đến tồn phát triển giới tự nhiên Tuy thế, tồn phát triển giới tự nhiên tuân theo quy luật riêng chúng, người định thay đổi quy luật theo ý muốn chủ quan mình” Trong toán học, từ hoạt động toán học (khám phá đối tượng, chứng minh tính chất toán học) làm cho “thế giới toán học” phát triển ngày nâng cao, toán học có phát triển theo quy luật chung khách quan không phụ thuộc vào người, người thay đổi quy luật Nguyên lý Đi-rich-lê dù người có tác động đên hay không Hay hình học phẳng “2 đường thẳng phân biệt song song với đường thẳng thứ chúng song song với nhau” mãi vậy… Cho dù “con người tạo giới tự nhiên, nhận thức giới tự nhiên cải tạo giới tự nhiên” Tất đối tượng toán học tuân theo quy luật riêng Tuy nhiên người có khả nhận thức được, tác động vào khám phá nó, nhằm phục vụ cho mục đích người Việc nhận thức toán học làm cho người hiểu rõ giới vật chất, nâng cao giới quan phương pháp luận biện chứng người Sự vận động phát triển giới vật chất toán học Thế giới vật chất toán học luôn vận động phát triển Sự vận động phát triển thể vận động nội toán học Chẳng hạn như: Tập số: Số tự nhiên => số nguyên => số hữu tỉ => số thực => số phức… Các phép toán: phép cộng => phép nhân => lũy thừa => logarit… Phép biến hình: Phép tịnh tiến đồ thị, phép biến hình hình học, quỹ tích tập hợp điểm, họ đường cong chứa tham số, giới hạn hàm số… Sự vận động thể phương trình bất phương trình chứa 14 tham số, tham số thay đổi phương trình bất phương trình thay đổi… Hay ban đầu người ta biết giải phương trình bậc nhất, sau người biết giải phương trình bậc hai, bậc ba, bậc bốn chí chứng minh phương trình bậc năm phương pháp giải tổng quát Sự vận động phát triển vận động phát triển kiến thức toán học nói chung Tất kiến thức toán học phát triển hàng ngày hay ngày chí hàng Không lý thuyết toán phát triển, mà công cụ giải toán phát triển Xin đơn cử: Nếu hình học ban đầu giải theo phương pháp tổng hợp đơn thông qua tính toán trực quan sau có công cụ giải toán mạnh hơn, phù hợp phương pháp vectơ, phương pháp quỹ tích… Hay vẽ đồ thị, từ việc dùng công cụ đại số xác định điểm để vẽ đồ thị công cụ giải tích (dùng bảng biến thiên) thông qua tính chất đặc trưng tính tuần hoàn, tính đối xứng, tính đồng biến, nghịch biến Rồi với toán đố, với phép toán thông thường đa phần tính nhẩm, mò mẫm… rõ ràng việc giải số toán bất tiện không nhanh chóng phương pháp dùng phương trình để giải… Toán học vận động theo cách thức đời thay cũ, tiến đời thay lạc hậu Nhưng thay phủ nhận hoàn toàn, mà sở kế thừa cũ Điều thể rõ chất triết học toán học Chẳng hạn, giải phương trình bậc ẩn, ta xây dưng phương pháp cụ thể Cũng từ số phương trình bậc ba, bậc dạng đặc biệt giải cách đưa phương trình bậc hai Không thế, nhờ việc xét trường hợp vô nghiệm trường số thực delta âm, ta xây dựng lên trường số phức nhiều tính chất ứng dụng đặc biệt Hay thay xét trường hợp hữu hạn riêng lẻ, người ta xây dựng nên trường hợp tổng quát thông qua phép quy nạp toán học…Và phương pháp toán học phát triển, người ta kết hợp nhiều phương pháp phương pháp vectơ, phương pháp giải tích, hay phương pháp đại số… Tất phát triển tất yếu toán học, tất yếu đó, nên xem xét kiến thức toán học phải ủng hộ mới, tránh thái độ bảo thủ Sự phát triển vận động gắn liền với phát triển vận động tư nhà toán học Ngày nay, toán học phát triển cách vượt bậc với tính chất đa dạng phong phú Sự vận động đem lại cho người nhiều ứng dụng, không đơn nội toán học mà khoa học khác tin học, hóa học, vật lý, sinh học, y học… Toán học ngày phát triển khả ứng dụng vào thực tiễn ngày cao, hiệu 15 Nguồn gốc vận động phát triển giới vật chất toán học Nếu triết học Mác-Lênin khẳng định giới vật chất vận động phát triển theo quy luật mâu thuẫn toán học điều thể rõ Mâu thuẫn chỉnh thể, có hai mặt đối lập vừa thống với nhau, vừa đấu tranh với Trong toán học, mặt đối lập thể nhiều nội dung Chẳng hạn, tập số tự nhiên, ta thấy số chẵn lẻ với tính chất trái ngược nhau, chúng lại thống để tạo nên chỉnh thể tập số tự nhiên Hay số âm số dương (trong chỉnh thể số thực) Rồi tính đồng biến, nghịch biến (trong chỉnh thể hàm số ); mệnh đề phủ định mệnh đề (trong chỉnh thể mệnh đề); tập hợp phần bù tập hợp; không gian không gian đối ngẫu; khác, số số gần đúng; ngoại tiếp nội tiếp…Những mặt đối lập liên hệ gắn bó chặt chẽ với nhau, làm tiền đề tồn cho mà triết học gọi thống mặt đối lập Thật vậy, số thực dương số thực âm không tồn riêng lẻ, số thực dương số thực âm đồng thời không tồn tập số thực ngược lại Hay số chẵn số lẻ tập số tự nhiên, số chẵn chia hết cho (dạng 2k với k tự nhiên) số lẻ chia dư (dạng 2k+1) Rõ ràng số chẵn số lẻ tập số tự nhiên Do chúng tồn đối lập mà thống với để hình thành chỉnh thể tập số tự nhiên…Cũng từ mâu thuẫn mặt đối lập (quan hệ chia hết, không chia hết chẳng hạn) người ta phát triển thành tập số hữu tỷ với nhiều ứng dụng Rồi từ số hữu tỷ ta xây dựng nên số vô tỷ, để tạo nên chỉnh thể tập số thực Cũng từ tập số thực, động lực để xây dựng số ảo tạo nên trường số phức… Tất điều thể hiện: mâu thuẫn động lực phát triển Cách thức vận động, phát triển giới vật chất toán học Thế giới vật chất toán học vận động theo nhiều quy luật Xong, thể rõ nét với quy luật lượng chất Triết học Mác-xit khẳng định: Sự biến đổi chất dẫn đến biến đổi lượng, chất sinh bao hàm lượng tương ứng Ví dụ, xét tam giác thường, có ba cạnh, khác nhau, tam giác cân chắn có hai cạnh khác cạnh lại, đến với tam giác đều, rõ ràng cạnh Hay tứ giác có bốn cạnh khác hình bình hành có cặp cạnh đôi một, hình vuông có cạnh Đối với biểu thức S=a+b, S thay đổi chắn a b thay đổi Rồi xét phương trình đa thức Nếu phương trình bậc hai có tính chất nghiệm vô nghiệm, có nghiệm kép, có hai nghiệm phân biệt; phương trình bậc ba có tính chất nghiệm có nghiệm, có hai nghiệm, có ba nghiệm phân biệt … Phép vật biện chứng toán học Trong triết học, phương pháp luận biện chứng xem xét vật, 16 tượng ràng buộc lẫn chúng, vận động phát triển không ngừng chúng Tất chứng minh toán học phương pháp luận biện chứng Khi giải vấn đề toán học, đối tượng toán học nhà toán học xem xét dựa ràng buộc chúng, vận động không ngừng Từ tìm quy luật chi phối chúng để tổng kết nên thành toán học Xin đề cập ví dụ giải toán tìm hai số nguyên dương x y thỏa x + y = Rõ ràng biểu thức cho thấy mối liên hệ ràng buộc x y Và chúng quan hệ là số nguyên dương, tức x y không nhỏ không lớn Từ đó, x y Kiểm nghiêm thấy x=1, y=2 x=2, y=1 hai căp nghiệm Một ví dụ đơn giản thôi, nhung ta thấy rằng, làm việc với đối tượng toán học, cần phải xét chúng sư ràng buộc, vận động phát triển chúng Tất đối tượng toán học có mối quan hệ biện chứng Cụ thể, tất công thức toán học thể mối quan hệ biện chứng Như xét định lý “Hai góc đối đỉnh nhau”: mối quan hệ biện chứng góc đối đỉnh; “hai tam giác có cặp góc băng thi đồng dạng”: mối quan hệ biện chứng tam giác, goc tam giác Nói rộng ra, tất định lý, tính chất thể mối quan hệ biện chứng Ta kể đến mối quan hệ biện chứng biến số hàm số, mệnh đề với quan hệ suy hay tương đương Trong triết học “thế giới vật chất có trước, phép biện chứng phản ánh có sau Thế giới vật chất vận động phát triển theo quy luật khách quan” Đúng vậy, giới toán học (bao gồm tất đối tượng tính chất đối tượng) có trước tất chứng minh toán học có sau Con người có khả nhận thức quy luật đối tượng Sự nhận thức từ phương pháp luận biện chứng nói Như vậy, toán học phương pháp luận biện chứng có mối quan hệ tách rời nhau, mà gắn bó chặt chẽ với Nội dung cụ thể hóa phần trọng tâm chuyên đề Đó nội dung chương mà ta làm rõ sau IV VẬN DỤNG PHÉP BIỆN CHỨNG DUY VẬT VÀO SÁNG TẠO TOÁN HỌC Toán học khoa học cụ thể, có quan hệ chặt chẽ với triết học Trong quy luật khách quan giới vật chất, toán học vận động theo quy luật khách quan Là người nghiên cứu toán học, ta hiểu rằng, lời giải cho toán cụ thể dựa vào mối quan hệ yếu tố giả thiết (đề bài) Nói rộng hơn, thể mối quan hệ biện chứng yếu tố toán học Trên sở đó, 17 xuất phát từ việc nghiên cứu kĩ phép biện chứng vật, ta thu kết thú vị trình nghiên cứu toán học Trong phần này, xin đưa quan điểm việc vận dụng phép biện chứng vật vào sáng tạo toán học việc xây dựng kiến thức cách thức tiếp cận thông qua vấn đề cụ thể Từ đó, sở để mở rộng vấn đề đề tài tương tự Vận dụng phép biện chứng vật với cặp phạm trù “cái chung – riêng” Hẳn biết định lý Pi-ta-go quen thuộc chương trình hình học lớp 8: tam giác vuông, bình phương cạnh huyền tổng bình phương hai cạnh góc vuông Nếu học xong nội dung định lý này, hiểu định lý, áp dụng vào giải số toán liên quan đến công thức định lý thật chưa đủ Bởi lẽ, kiến thức tương đối thú vị tam giác vuông, từ công thức định lý này, ta tìm số Pi-ta-go chẳng hạn số (3,4,5) hay số (6,8,10)…(vì 32+42=52; 62+82=102), hay áp dụng kết hợp với tính đồng dạng để đo chiều cao cây, công trình…còn nhiều ứng dụng vô thú vị Tôi đặt vấn đề người học toán, nghiên cứu toán, sau toán cụ thể đó, ta dừng lại chấp nhận chân lý khách quan thành thân chưa đủ Như tiếp cận khô sơ cứng mà lâu ta nhầm tưởng mặc định tính chất khô khan cho toán học Thực ra, ta thấy toán học linh động, uyển chuyển, lạ, hào hứng thú vị Để có chất nghệ thuật toán học, với vấn đề toán học, ta cần tìm hiểu cách rõ ràng Đồng thời đừng quên mở rộng vấn đề cho toán Việc mở rộng hoàn toàn không khó khăn Chỉ cách đặt câu hỏi: Tại sao? Vì sao? Thiếu nào? Thêm sao? Hay: Đối với vấn đề tương tự, liệu ta có thu kiến thức tương tự không? Và cuối không quên đặt câu hỏi: Thực tế ứng dụng toán gì? Việc trả lời câu hỏi không dễ, chẳng khó Điều quan cách thức tiếp cận nào? Và thực sao? Đó nội dung việc ứng dụng phép biện chứng vật vào toán học mà ta làm rõ Ta vào toán đưa cách thức sáng tạo hướng tiếp cận để thu kết thú vị Cái mà thường gọi sáng tạo toán học Bài toán 1: Từ định lý Pi-ta-go đến định lý Hàm số cosin tam giác Bài toán 2: Từ định lí Pi-ta-go đến hệ thức lượng tứ giác Bài toán 3: Từ định lý Pi-ta-go đến định lý diện tích mặt tam diện vuông Vận dụng phép biện chứng vật với quy luật “lượng -chất” 18 Ở kiến thức bậc trung học, hẳn rõ ràng toán bản: “Trong mặt phẳng cho hai điểm A, B nằm khác phía so với đường thẳng d Tìm điểm M d cho MA + MB nhỏ nhất” Đây toán đơn giản Vì dựa vào kết luận quen thuộc: “Trong tam giác, tổng hai B cạnh lớn cạnh lại” M’ giao điểm AB d (hình 2.1) A Thật thế, với điểm M d ta có MA + MB ≥ AB M d Vậy đáp số là: điểm M cần tìm Hình 2.1 Thế nên, MA + MB nhỏ có dấu xảy ra, tức A,M, B thẳng hàng Khi M giao AB d Nếu xét toán vật tượng, ta thấy có yếu tố lượng chất như: điểm A, B, M, khoảng cách MA, MB, MA + MB đường thẳng d (yếu tố lượng); A, B nằm khác phía, M thuộc d , MA + MB nhỏ (yếu tố chất) Tuy nhiên, phân biệt mang tính chất tương đối Bởi lẽ, xét “tính khác phía” A, B chất hai điểm này, xong lượng toán Mặc dù vậy, điều không quan trọng Vì ta tập chung vào phân tích cụ thể để tìm hướng phát triển toán Đó điều quan trọng Ta thấy rằng, yếu tố quan trọng toán tập trung chủ yếu vào tính chất “cùng phía” hay “khác phía” A, B “nhỏ tổng MA +MB” Các yếu tố khác toán “bình thường” Nếu xét trên, thay đổi tính chất “cùng phía” “khác phía” rõ ràng tính chất toán thay đổi Cũng từ đó, toán theo hai hướng: mở rộng ra, hai thu hẹp Bây ta bỏ hẳn yếu tố Tức “A, B khác phía” Thế rõ ràng toán có thay đổi chất đáng kể Khi đó, tính chất toán khác Ta thấy rằng, toán lúc rộng hơn, phức tạp Bởi vì, xét riêng mà nói, bỏ thuộc tính “cùng phía” hay “khác phía” giả thiết toán đồng nghĩa với việc tăng “lượng” toán lên hai trường hợp rõ ràng Ta vào nghiên cứu cụ thể vấn đề toán cách vận dụng quy luật lượng chất xem kết nào… Bài toán 1: Cho hai điểm A, B đường thẳng d Tìm điểm M d cho MA+MB nhỏ Bài toán 2: Cho hai điểm phân biệt A, B không thuộc hai đường thẳng song song a b Tìm điểm M a, điểm N B cho AM+MN+NB nhỏ 19 Bài toán 3: Cho số dương a, b thỏa 1 M =a+b+ + a b a + b ≤ Tìm giá trị nhỏ PHẦN III KẾT LUẬN Từ toàn phân tích rút số kết luận: Toán học đại lượng bất biến sở cho đời chủ nghĩa vật máy móc, siêu hình: Nó có ý nghĩa tích cực phát triển khoa học giai đoạn Nó góp phần khẳng định giới quan vật, chống lại giới quan tôn giáo – kinh viện Toán học đại lượng biến đổi, trước hết tư tưởng vận động, nguồn gốc đẻ ta tư biện chứng sở khoa học để hình thành luận chứng cho giới quan vật biện chứng giới tự nhiên vô sinh Toán học đại hoàn thiện cách sâu sắc giới quan vật biện chứng lĩnh vực tự nhiên, xã hội tư Nó góp phần củng cố hoàn thiện phát triển giới quan vật biện chứng Đồng thời phải thấy rằng, toán học mang tính độc lập tương đối tư trừu tượng hình thức, triết học vật biện chứng luôn sở giới quan phương pháp luận đắn cho phát triển toán học Như vậy, lịch sử phát triển toán học chứng minh phát triển toán học góp phần vào hình thành, luận chứng, củng cố, hoàn thiện giới quan khoa học mà tảng triết học vật nói chung, triết học vật biện chứng nói riêng Mối quan hệ toán học triết học vật biện chứng mối quan hệ khách quan, hợp quy luật tiến trình phát triển nhận thức người Bài học thực tiễn mà muốn rút trình cải cách giáo dục phổ thông, đại học trường dạy nghề hình thành giới quan vật biện chứng giảng dạy toán học Điều giúp cho hệ trẻ có cách nhìn, cách xem xét thực, thực tiễn lĩnh vực chuyên môn Từ tạo hiệu cao nhât học 20 tập công tác TÀI LIỆU THAM KHẢO [1] C Mác Ph Ăng-ghen, toàn tập, NXB Chính trị Quốc gia, H.1995 [2] V.I Lê-nin, toàn tập, NXB Tiến bộ, M 1984 [3] Giáo trình triết học Mác-Lênin, NXB Chính trị Quốc gia, H 1999 [4] PGS.TS Vũ Tình, Giáo trình triết học (dùng cho cao học nghiên cứu sinh không thuộc chuyên ngành triết), NXB Chính trị - Hành chính, H 2010 [5] Lê Hải Châu, Kể chuyện thi toán quốc tế (3 tập), NXB Giáo dục, 1988 [6] Lê Trần Chính, Nguyễn Quý Dy, Tuyển tập 200 thi vô địch toán (3 tập), NXB Giáo dục, 2002 [7] Hoàng Chúng, Rèn luyện khả sáng tạo toán học trường phổ thông, NXB TP Hồ Chí Minh, 1993 [8] Trần Văn Hạo, Vũ Tuấn, Đại số 10, NXB Giáo dục, 2009 [9] Lê Thị Hương, Nguyễn Kiếm, Hồ Xuân Thắng, Những toán nâng cao chon lọc (2 tập), NXB Đại học Sư phạm, 2004 [10] Nguyễn Mộng Hy, Bài tập hình học 11, NXB Giáo dục, 2007 [11] Lê Quang Nẫm, Tìm tòi để học toán, NXB Đại học Quốc gia TP Hồ Chí Minh, 2000 [12] Đào Tam, Phương pháp dạy học môn toán, NXB Đại học Sư phạm, 2000 [13] Nguyễn Cảnh Toàn, Tập cho học sinh làm quen với nghiên cứu toán học, NXB Giáo dục, 1999 [14] Tuyển tập 30 năm tạp chí toán học tuổi trẻ, NXB Giáo dục, 2000 [15] M Reed, B Simon, Methods of modern mathematical physis (4 volumes), Acad Press, 1972-1979 21 22 ... người yêu thích toán học triết học mà có tân tụy nghiên cứu thân toán học trả lời câu hỏi: Toán học gì? II ẢNH HƯỞNG CỦA TOÁN HỌC ĐẾN SỰ PHÁT TRIỂN CỦA TRIẾT HỌC VÀ CÁC NGÀNH KHOA HỌC TỰ NHIÊN Thời... quan triết học Ngược lại, triết học khoa học toán học tác động tích cực đến phát triển toán học, trước hết dẫn đến số khuynh hướng nghiên cứu toán học Ví dụ, khuynh hướng tìm kiếm cấu trúc toán. .. triển vật tượng toán học nghiên cứu đối tượng tính chất bất biến Điều cho thấy toán học triết học có mối liên hệ chặt chẽ với GÓC NHÌN TRIẾT HỌC VỀ TOÁN HỌC Thế giới vật chất toán học 1.1 “Vật chất