đây là tài liệu hsg toán hay. mọi người nên bẩm thử. mong người đọc góp ý để lần sau mình đăng tốt hơn. xin chân thành cảm ơn mọi người. theo đánh giá của mọi người lần sau mình sẽ đăng nhiều đề thi toán và anh hay, hot hơn. một lần nữa xin cảm ơn mọi người
Trang 1PHÒNG GD – ĐT VŨ THƯ
Ngày 28 tháng 8 năm 2016
ĐỀ KHẢO SÁT HỌC SINH GIỎI NĂM 2016 - 2017
Môn: Toán - Lớp 8
(Thời gian làm bài 120 phút)
Câu 1 (4,0 điểm) Phân tích các đa thức sau thành nhân tử
1) 5 x3 + 15x2 +10x
3) 2)
Câu 2 (6 điểm)
1) Tính giá trị của biểu thức:
2) Cho x và y là hai số thực thỏa mãn: Tìm giá trị bé nhất của biểu thức
3) Tìm x nếu : 4) Với a và b là các số nguyên dương sao cho a + 1 và b + 2019 là các số chia hết cho 6 Chứng minh rằng số cũng chia hết cho 6
Câu 3 (4 điểm)
1) Chứng minh rằng với mọi số nguyên x và y thì :
là số chính phương
2) Tìm các số nguyên a, b, c sao cho đa thức phân tích thành thừa số được
Câu 4 (4,0 điểm)
Cho tam giác ABC Vẽ điểm D, E, F sao cho B là trung điểm của AD, C là trung điểm của BE,
A là trung điểm của CF Gọi G là giao điểm của đường trung tuyến AM của tam giác ABC với đường trung tuyến DN của tam giác DEF I và K lần lượt là trung điểm vủa GA và GD Chứng minh rằng:
1) Tứ giác MNIK là hình bình hành
2) Trọng tâm của tam giác ABC và tam giác DEF trùng nhau
Câu 5: (2 điểm)
Cho tam giác ABC Lấy các điểm D và E theo thứ tự thuộc các tia đối của các tia BA, CA sao cho BD = CE = BC Gọi O là giao điểm của BE và CD Qua O vẽ đường thẳng song song với tia phân giác của góc A, đường thẳng này cắt AC ở K Chứng minh rằng AB = CK
Hết
-HƯỚNG DẪN CHẤM
( )2 2
( ) ( ) ( ) ( ) 2
= + + + +
2 2
x +y6 =16
a
(1 x+ 2) (1 y+ 2)+4xy 2 x y 1 xy+ ( + ) ( + )
f (x) (x a)(x 4) 7f (x) (x b)(x c)= += + − −+
Trang 2Câu Hướng dẫn giải Điểm
Câu 1
(4,0)
2)
1đ
3)
1đ
Đặt thì
1đ
Câu 2
(6,0)
1) Tính giá trị của biểu thức:
+) Số hạng tổng quát: với
mọi k nguyên dương
+) Áp dụng cho k từ 1đến 2016 ta được:
k=1 thì k=2 thì k=3 thì k=4 thì
………
K=2016 thì
Cộng vế với
vế của các đẳng thức trên ta có
1,5đ
2) Cho x và y là hai số thực thỏa mãn: Tìm giá trị bé nhất của biểu thức
1,5đ
( )2 ( )2
(4x 8)(2x 22) 8(x 2)(x 11)
+ + − − = + − − = + + − + − +
( ) ( ) ( ) ( ) 2
2
= + − = + − = + + −
=2 3+ + 2016 + +
= + + + +
+ +
= −
1
2016 2015 2016
= + + + + = − = −
2 2
x +y6 =16
2
= − + = − ÷ +
= − ÷ + ≥ − ÷ ≥ ∀ ∈
Trang 3Dấu = xảy ra và
KL:
3) Tìm x nếu : Đặt ta được:
Kl…
1,5đ
4) Với a và b là các số nguyên dương sao cho a + 1 và b + 2019 là các số chia hết cho 6 Chứng minh rằng
số cũng chia hết cho 6
+) chia hết cho 2
+) nên chia hết cho 3
Vậy chia hết cho 6
1,5đ
Câu
3 (4
điểm
)
1)
Là số chính phương với mọi x và y nguyên
2đ
2)Tìm các số nguyên a,
b, c sao cho đa thức phân tích thành thừa số được
Ta phải tìm a,b,c nguyên sao cho:
…
KL: (a; b;c) = 42;-43;-3); (-42;-3;-43);
(34;35;-5); (34;-5;35); (6;-7;9) ;(6;9;-7); );(-14;-1;-17) (-14;-17;-1)
2đ
Câu
4.
Câu 4 Cho tam giác ABC Vẽ điểm D, E, F sao cho B là trung điểm của AD, C
là trung điểm của BE, A là trung điểm của CF Gọi G là giao điểm của
⇔ = ⇔ = ±y 1
2
= ±
2
2
3x 2 b a
− + = ⇒ − = −
− − =
2
2
2
x 3
= − − ⇔ = − + − +
= ±
±
⇔ = ⇔ − − = ⇔ =
=
a
4 + + =a b (4 + + + + +2) (a 1) (b 2019) 2022−
a
4 + =2 (4 − + = −1) 3 (4 1)(4 − +4 − + + + 1) 3
a
( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
2 2 2 2
2
x y 1 xy
= + + + + + + +
= + + + + + +
= + + + f (x) (x a)(x 4) 7f (x) (x b)(x c)= += + − −+
(x a)(x 4) 7 (x b)(x c) x
a b c 4
+ − − = + + ∀
⇔ + − − − = + + + ∀
− = + − = +
− − = − − =
= + +
⇔ + + = −
Trang 4điểm
đường trung tuyến AM của tam giác ABC với đường trung tuyến DN của tam giác DEF I và K lần lượt là trung điểm vủa GA và GD Chứng minh rằng:
1) Tứ giác MNIK là hình bình hành 2) Trọng tâm của tam giác ABC và tam giác DEF trùng nhau
1)Tứ giác MNIK là hình bình hành
+) Giải thích AN// = BM suy ra tứ giác ANMB là hình bình hành
+) Giải thích IK//= AB
Suy ra tứ giác MNIK là hình bình hành
2 đ
2)Trọng tâm của tam giác ABC và tam giác DEF trùng nhau
+) G nằm trên trung tuyến AM của tam giác ABC
+)AI= IG (Do I là trung điểm vủa GA) GI=GM ( Do tứ giác MNIK là hình bình hành
Vậy G là trọng tâm của tam giác ABC
Chứng minh tương tự G là trọng tâm của tam giác DEF
2 đ
Câu
5: (2
điểm)
Câu 5: (2 điểm)
Cho tam giác ABC Lấy các điểm D và E theo thứ tự thuộc các tia đối của các tia BA, CA sao cho BD = CE = BC Gọi O là giao điểm của BE và
CD Qua O vẽ đường thẳng song song với tia phân giác của góc A, đường
K
I G
N
M
F
E
D
C B
A
Trang 5thẳng này cắt AC ở K Chứng minh rằng AB = CK.
+)Vẽ hình bình hành ABMC ⇒ AB = CM (1)
+) BM//AE ⇒ góc E1 = góc B2
CB = CE ⇒∆CBE cân tại C ⇒ góc E1 = góc B1
⇒ góc B1 = góc B1
⇒ BO là phân giác của tam giác MBC
Tương tự CO là phân giác của tam giác MBC
⇒ MO là phân giác của tam giác MBC
⇒ MO là phân giác của góc BMC của hình bình hành ABMC
+) Chỉ ra MO // phân giác Ax của góc BAC
⇒ M, O, K thẳng hàng
+) Chỉ ra tam giác CMK cân tại C ⇒ CK = CM (2)
Từ (1) và (2) suy ra AB = CK
2 đ
x
1
2 2
2 1 1
1 1
M
K
O
E D
C B
A