Đang tải... (xem toàn văn)
đây là tài liệu hsg toán hay. mọi người nên bẩm thử. mong người đọc góp ý để lần sau mình đăng tốt hơn. xin chân thành cảm ơn mọi người. theo đánh giá của mọi người lần sau mình sẽ đăng nhiều đề thi toán và anh hay, hot hơn. một lần nữa xin cảm ơn mọi người
VnDoc - Tải tài liệu, văn pháp luật, biểu mẫu miễn phí PHÒNG GD – ĐT VŨ THƯ Ngày 28 tháng năm 2016 ĐỀ KHẢO SÁT HỌC SINH GIỎI NĂM 2016 - 2017 Môn: Toán - Lớp (Thời gian làm 120 phút) Câu (4,0 điểm) Phân tích đa thức sau thành nhân tử 1) x3 + 15x2 +10x 4x − 21x y + y 3) 2) 4) ( x9x + 52 )+( 90x x + 6+) (225 x +−10( x) ( −x7+) 12 ) − 3x Câu (6 điểm) P= 1) Tính giá trị biểu thức: 2) Cho x y hai số thực thỏa 2016 + + + + 2016 2 2 Px 2=+xy6 2+=y16 mãn: Tìm giá trị bé biểu thức 3) Tìm x : 4) Với a b số nguyên +a+b dương cho a + b + 2019 số chia hết cho Chứng minh số chia hết cho Câu (4 điểm) 1) Chứng minh với số nguyên x y : số ( + x ) ( + y2 ) + 4xy + ( x + y ) ( + xy ) phương f (x) f (x)= = (x(x + a)(x + b)(x − 4) + c) −7 2) Tìm số nguyên a, b, c cho đa thức phân tích thành thừa số Câu (4,0 điểm) (x − 4x + 1)3 = (x − x − 1)3 − (3x − 2)3 a Cho tam giác ABC Vẽ điểm D, E, F cho B trung điểm AD, C trung điểm BE, A trung điểm CF Gọi G giao điểm đường trung tuyến AM tam giác ABC với đường trung tuyến DN tam giác DEF I K trung điểm vủa GA GD Chứng minh rằng: 1) Tứ giác MNIK hình bình hành 2) Trọng tâm tam giác ABC tam giác DEF trùng Câu 5: (2 điểm) Cho tam giác ABC Lấy điểm D E theo thứ tự thuộc tia đối tia BA, CA cho BD = CE = BC Gọi O giao điểm BE CD Qua O vẽ đường thẳng song song với tia phân giác góc A, đường thẳng cắt AC K Chứng minh AB = CK - Hết HƯỚNG DẪN CHẤM VnDoc - Tải tài liệu, văn pháp luật, biểu mẫu miễn phí Câu Hướng dẫn giải Câu 1) x + 15x + 10x = 5x(x + 3x + 2) = 5x(x + 1)(x + 2) 2 9x + 90x + 225 − ( x − ) = 9(x + 5) − ( x − ) = (3x + 15 + x − 7)(3x + 15 − x + 7) (4,0) Điểm 1đ 1đ 2 = (4x + 8)(2x + 22) = 8(x + 2)(x + 11) 2) 1đ 4x − 21x y + y = 4x + y + 4x y − 25x y = (2x + y ) − (5x y ) = (2x + y − 5x y )(2x + y + 5x y ) 2 3) 2 2 2 2 2 4) ( x + ) ( x + ) ( x + 10 ) ( x + 12 ) − 3x 1đ = 4(x + 17x + 60)(x + 16x + 60) 2− 3x 2= A A = 4t(t + x) − 3x = 4t + 4tx − 3x = 4t + 4tx + x − 4xx22 + 16x + 60 = t Đặt = (2t + x) − 4x = (2t + 3x)(2t − x) = (2x + 35x + 120)(2x + 31x + 120) 23 2016 1) Tính giá trị biểu 1,5đ P = + = 2(2x + 3++35x ++ 120)(2x + 15)(x + 8) 2 22016 thức: Câu (6,0) k k +1 k + +) Số hạng tổng quát: với = − k 2k 2k −1 k nguyên dương +) Áp dụng cho k từ 1đến 2016 ta được: k=1 = − 21 k=2 k=3 = 2− 3 2 k=4 ……………………… 2016 2017 2018 K=2016 = 1− 2 2 = 3− 4 2 = 2015 − 2016 2016 2 2018 32 2016 1009 Cộng vế với P = + + + + 2016 = − 2016 = − 2015 2 2 2 vế đẳng thức ta có Px 2=+xy6 2+=y16 2) Cho x y hai số thực thỏa mãn: Tìm giá trị bé biểu thức P = x + y6 = (x + y )(x − x y + y ) = 1.(x − x y + y ) = (x + y ) − 3x y = − 3x y = − 3x (1 − x ) = 3x − 3x + = x − ÷ + 12 2 1 1 1 = x − ÷ + ≥ x − ÷ ≥ 0∀x ∈ R 2 4 2 1,5đ VnDoc - Tải tài liệu, văn pháp luật, biểu mẫu miễn phí 1 Dấu = xảy ⇔ x =y = ⇔ ± x=± 2 1 1 1 1 P = ⇔ (x; y) = ( ; );( − ; − );( − ; );( ; − ) 2 2 2 2 KL: (x − 4x + 1)3 = (x − x − 1)3 − (3x − 2)3 3) Tìm x : 1,5đ Đặt ta được: x − 4x + = a ⇒ 3x − = b − a a = b3 − (b − a)3 ⇔ a = b3 − b + 3a b − 3ab + a x − x −1 = b ⇔ 3a b − 3ab = ⇔ 3ab(a − b) = x = ± Kl… x − 4x + = a = 1± 2nguyên 1,5đ b số 4a + a + b 4) Với a ⇔ b = ⇔ x − x − = ⇔ x = dương cho a + b + 2019 số chia hết cho minh aChứng =b 3x − = x= số chia hết cho 4a + a + b = (4a + 2) + (a + 1) + (b + 2019) − 2022 +) chia hết cho (4a + 2) 4a + = (4a − 1) + = (4 − 1)(4a −1 + a − + + 1) + +) nên chia hết cho Câu (4 điểm ) 4a + a + b Vậy chia hết cho 1) ( + x ) ( + y2 ) + 4xy + ( x + y ) ( + xy ) Là số = (x + y + 2xy) + (1 + x y + 2xy) + ( x + y ) ( + xy ) phương với x y 2 = ( x + y ) + ( + xy ) + ( x + y ) ( + xy ) nguyên = ( x + y + + xyf )(x) f (x)= =(x(x+ + a)(x b)(x − 4) + c) − 2)Tìm số nguyên a, b, c cho đa thức phân tích thành thừa số Ta phải tìm a,b,c nguyên cho: = + x + x y + y + 4xy + ( x + y ) ( + xy ) (x + a)(x − 4) − = (x + b)(x + c) ∀x ⇔ x + (a − 4)x − 4a − = x + (b + c)x + bc ∀x a − = b + c a − = b + c ⇔ ⇔ −4a − = bc −4a − = bc a = b+c+4 ⇔ (b + 4)(c + 4) = −39 Câu 2đ … KL: (a; b;c) = (-42;-43;-3); (42;-3;-43); (34;35;-5); (34;-5;35); (6;-7;9) ;(6;9;-7); );(-14;-1;-17) (-14;-17;-1) Câu Cho tam giác ABC Vẽ điểm D, E, F cho B trung điểm AD, C trung điểm BE, A trung điểm CF Gọi G giao điểm 2đ VnDoc - Tải tài liệu, văn pháp luật, biểu mẫu miễn phí đường trung tuyến AM tam giác ABC với đường trung tuyến DN tam giác DEF I K trung điểm vủa GA GD Chứng minh rằng: 1) Tứ giác MNIK hình bình hành 2) Trọng tâm tam giác ABC tam giác DEF trùng (4,0 điểm F A N I G C B E M K D 1)Tứ giác MNIK hình bình hành +) Giải thích AN// = BM suy tứ giác ANMB hình bình hành 2đ ⇒ MN // = AB +) Giải thích IK//= AB Suy tứ giác MNIK hình bình hành 2)Trọng tâm tam giác ABC tam giác DEF trùng +) G nằm trung tuyến AM tam giác ABC +)AI= IG (Do I trung điểm vủa GA) GI=GM ( Do tứ giác MNIK hình bình hành ⇒ AI= IG= GM Câu 5: (2 điểm) Vậy G trọng tâm tam giác ABC Chứng minh tương tự G trọng tâm tam giác DEF Câu 5: (2 điểm) Cho tam giác ABC Lấy điểm D E theo thứ tự thuộc tia đối tia BA, CA cho BD = CE = BC Gọi O giao điểm BE CD Qua O vẽ đường thẳng song song với tia phân giác góc A, đường 2đ VnDoc - Tải tài liệu, văn pháp luật, biểu mẫu miễn phí thẳng cắt AC K Chứng minh AB = CK A K B x C 2 O M E D +)Vẽ hình bình hành ABMC ⇒ AB = CM (1) +) BM//AE ⇒ góc E1 = góc B2 CB = CE ⇒∆CBE cân C ⇒ góc E1 = góc B1 ⇒ góc B1 = góc B1 ⇒ BO phân giác tam giác MBC Tương tự CO phân giác tam giác MBC ⇒ MO phân giác tam giác MBC ⇒ MO phân giác góc BMC hình bình hành ABMC +) Chỉ MO // phân giác Ax góc BAC ⇒ M, O, K thẳng hàng +) Chỉ tam giác CMK cân C ⇒ CK = CM (2) Từ (1) (2) suy AB = CK 2đ VnDoc - Tải tài liệu, văn pháp luật, biểu mẫu miễn phí