Đề thi khảo sát học sinh giỏi môn Toán lớp 8 huyện Vũ Thư, Thái Bình năm học 2016 - 2017

Đề thi khảo sát học sinh giỏi môn Toán lớp 8 huyện Vũ Thư, Thái Bình năm học 2016 - 2017 tài liệu, giáo án, bài giảng ,...

PHÒNG GD – ĐT VŨ THƯ

Ngày 28 tháng 8 năm 2016

ĐỀ KHẢO SÁT HỌC SINH GIỎI NĂM 2016 - 2017

Môn: Toán - Lớp 8

(Thời gian làm bài 120 phút) Câu 1 (4,0 điểm) Phân tích các đa thức sau thành nhân tử

1) 5 x3 + 15x2+10x 3) 4x4  21x y2 2  y4

9x  90x 225   x 7  4) 4 x 5 x 6 x 10 x 12           3x2

Câu 2 (6 điểm)

1) Tính giá trị của biểu thức: P 1 22 33 20162016

2) Cho x và y là hai số thực thỏa mãn: x2y2 1 Tìm giá trị bé nhất của biểu thức

6 6

P x y

3) Tìm x nếu : (x24x 1) 3 (x2 x 1)3(3x 2) 3

4) Với a và b là các số nguyên dương sao cho a + 1 và b + 2019 là các số chia hết cho 6 Chứng minh rằng số 4a   a b cũng chia hết cho 6

Câu 3 (4 điểm)

1) Chứng minh rằng với mọi số nguyên x và y thì :

1 x  21 y  2 4xy 2 x y 1 xy      là số chính phương 2) Tìm các số nguyên a, b, c sao cho đa thức f (x) (x a)(x 4) 7     phân tích thành thừa

số được f (x) (x b)(x c)   

Câu 4 (4,0 điểm)

Cho tam giác ABC Vẽ điểm D, E, F sao cho B là trung điểm của AD, C là trung điểm của BE, A là trung điểm của CF Gọi G là giao điểm của đường trung tuyến AM của tam giác ABC với đường trung tuyến DN của tam giác DEF I và K lần lượt là trung điểm vủa GA và GD Chứng minh rằng:

1) Tứ giác MNIK là hình bình hành

2) Trọng tâm của tam giác ABC và tam giác DEF trùng nhau

Câu 5: (2 điểm)

Cho tam giác ABC Lấy các điểm D và E theo thứ tự thuộc các tia đối của các tia BA,

CA sao cho BD = CE = BC Gọi O là giao điểm của BE và CD Qua O vẽ đường thẳng song song với tia phân giác của góc A, đường thẳng này cắt AC ở K Chứng minh rằng

AB = CK

Hết

-HƯỚNG DẪN CHẤM

Câu

1

(4,0)

1) 5 x  15x 10x 5x(x  3x 2) 5x(x 1)(x 2)    1đ

2)

(4x 8)(2x 22) 8(x 2)(x 11)

1đ

3)

4 2 2 4 4 4 2 2 2 2

2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2

1đ

4) 4 x 5 x 6 x 10 x 12 3x

4(x 17x 60)(x 16x 60) 3x A

Đặt 2

x  16x 60 t   thì

2

A 4t(t x) 3x 4t 4tx 3x 4t 4tx x 4x

(2t x) 4x (2t 3x)(2t x) (2x 35x 120)(2x 31x 120)

(2x 35x 120)(2x 15)(x 8)

         

1đ

Câu

2

(6,0)

1) Tính giá trị của biểu thức: P 1 22 33 20162016

+) Số hạng tổng quát: kk k 1 k 2k 1 k

  với mọi k nguyên dương

+) Áp dụng cho k từ 1đến 2016 ta được:

k=1 thì 1 2 31

2   1 2 k=2 thì 22 31 43

2  2  2 k=3 thì 33 42 53

2  2  2 k=4 thì 44 53 64

2  2  2

………

K=2016 thì 20162016 2017 20182015 2016

Cộng vế với vế của các đẳng thức trên ta có

2 3 2016 2016 2015

1,5đ

2) Cho x và y là hai số thực thỏa mãn: x2y2 1 Tìm giá trị bé nhất của

biểu thức P x 6y6

1,5đ

6 6 2 2 4 2 2 4 4 2 2 4

2 2 2 2 2 2 2 2 2

2

P x y (x y )(x x y y ) 1.(x x y y )

(x y ) 3x y 1 3x y 1 3x (1 x )

2

 

KL: P min 1 (x; y) ( 1; 1);( 1; 1);( 1; 1);( 1; 1)

3) Tìm x nếu : (x24x 1) 3 (x2 x 1)3(3x 2) 3

Đặt

2

2

3x 2 b a



  

2 2

2 2

3a b 3ab 0 3ab(a b) 0

2

x 3



 













 Kl…

1,5đ

4) Với a và b là các số nguyên dương sao cho a + 1 và b + 2019 là các số

chia hết cho 6 Chứng minh rằng số a

4   a b cũng chia hết cho 6

4   a b (4     2) (a 1) (b 2019) 2022

+) (4a2) chia hết cho 2

+) 4a  2 (4a  1) 3 (4 1)(4 a 1 4a 2    1) 3 nên chia hết cho 3

Vậy 4 a   a bchia hết cho 6

1,5đ

Câu

3 (4

điểm) 1)

2 2

2 2 2 2

2

(x y 2xy) (1 x y 2xy) 2 x y 1 xy

x y 1 xy

2đ

Là số chính phương với mọi x và y nguyên.

2)Tìm các số nguyên a, b, c sao cho đa thức f (x) (x a)(x 4) 7     phân

tích thành thừa số được f (x) (x b)(x c)   

Ta phải tìm a,b,c nguyên sao cho:

(x a)(x 4) 7 (x b)(x c) x

a b c 4 (b 4)(c 4) 39

  





…

KL: (a; b;c) = (-42;-43;-3); (-42;-3;-43); (34;35;-5); (34;-5;35);

(6;-7;9) ;(6;9;-7); );(-14;-1;-17) (-14;-17;-1)

2đ

Câu

4.

(4,0

điểm

Câu 4 Cho tam giác ABC Vẽ điểm D, E, F sao cho B là trung điểm của

AD, C là trung điểm của BE, A là trung điểm của CF Gọi G là giao điểm của đường trung tuyến AM của tam giác ABC với đường trung tuyến DN của tam giác DEF I và K lần lượt là trung điểm vủa

GA và GD Chứng minh rằng:

1) Tứ giác MNIK là hình bình hành 2) Trọng tâm của tam giác ABC và tam giác DEF trùng nhau

1)Tứ giác MNIK là hình bình hành

+) Giải thích AN// = BM suy ra tứ giác ANMB là hình bình hành

 MN // = AB

2 đ

+) Giải thích IK//= AB

Suy ra tứ giác MNIK là hình bình hành

2)Trọng tâm của tam giác ABC và tam giác DEF trùng nhau

+) G nằm trên trung tuyến AM của tam giác ABC

+)AI= IG (Do I là trung điểm vủa GA) GI=GM ( Do tứ giác MNIK là hình bình hành

 AI= IG= GM

Vậy G là trọng tâm của tam giác ABC

Chứng minh tương tự G là trọng tâm của tam giác DEF

2 đ

Câu

5: (2

điểm)

Câu 5: (2 điểm)

Cho tam giác ABC Lấy các điểm D và E theo thứ tự thuộc các tia đối của các tia BA, CA sao cho BD = CE = BC Gọi O là giao điểm của BE và CD Qua O vẽ đường thẳng song song với tia phân giác của góc A, đường thẳng này cắt AC ở K Chứng minh rằng AB = CK

+)Vẽ hình bình hành ABMC AB = CM (1)

+) BM//AE  góc E1= góc B2

CB = CECBE cân tại C  góc E1= góc B1

 góc B1= góc B1

 BO là phân giác của tam giác MBC

2 đ

Tương tự CO là phân giác của tam giác MBC

 MO là phân giác của tam giác MBC

 MO là phân giác của góc BMC của hình bình hành ABMC

+) Chỉ ra MO // phân giác Ax của góc BAC

 M, O, K thẳng hàng

+) Chỉ ra tam giác CMK cân tại C  CK = CM (2)

Từ (1) và (2) suy ra AB = CK