30 đề thi học sinh giỏi môn toán lớp 10 của các trường chuyên khu vực duyên hải đồng bằng bắc bộ có đáp án

S GD - T BC GIANG TRNG THPT CHUYấN BC GIANG ( THI XUT) THI DUYấN HI V BBB NM 2015 MễN TON LP 10 Thi gian lm bi 180 phỳt Cõu (4 im) Gii h phng trỡnh x y ( x x 4) y x xy 2 x y x y x xy y 0, ( x, y Ă ) Cõu (4 im) Cho tam giỏc ABC nhn, khụng cõn, trc tõm H, tõm ng trũn ngoi tip l O, v ng cao AD ng thng AO ct BC ti E Gi I, S, F ln lt l trung im AE, AH v BC ng thng qua D song song vi OH ln lt ct AB, AC ti M v N ng thng DI ln lt ct AB, AC ti P, Q ng thng MQ ct NP ti T Chng minh rng: a) SF // AE b) Cỏc im D, O, T thng hng Cõu (4 im) Cho hm s f : Ơ a Ơ , f khỏc hng s v tha a b | f(a) f(b) Chng minh rng cỏc c nguyờn t ca f(c), vi c Ơ l vụ hn Cõu (4 im) Cho ba s thc dng a, b, c chng minh rng a bc b ca c ab 2a b c 2b c a 2c a b Cõu (2 im) Bờn mt hỡnh vuụng cnh cho 2015 im cho khụng cú ba im no thng hng Chng minh rng tn ti mt tam giỏc cú nh ti cỏc im ó cho v din tớch S ca nú tho bt ng thc: S 2013 HT P N BIU IM Cõu Cõu Phng phỏp Kt qu Ly 3pt(2) pt(1) ta c im (2 x 1)[y ( x 1) y x x 2] x 2 y ( x 1) y x x TH1: x x 53 2 TH2: y ( x 1) y x x (3) Cõu 2 Thay vo pt (1) ta c y Lõy pt(1) pt (2) pt(3) ta c: x2 + = (vụ nghim) KL a) Ta cú h thc quen thuc uuur uuur uuur uuur OA OB OC OH uuur uuur uuur Gi L i xng O qua F ta cú OA OL OH Suy t giỏc OLHA l hỡnh bỡnh hnh 1 T ú suy pcm b) Gi K, L ln lt l giao im ca DO v AB, AC Theo phn a) OH,SF, DI cú chung trung im J Do ú D(HOJN) = -1 Suy (ALQN) = -1 v (AKPM) = -1 Do ú (AKMP) = - Vy KL, MQ, PN ng quy Cõu Hay DO, MQ, PN ng quy T ú suy pcm Gi s f ch cú hu hn c nguyờn t Khi ú gi tt c cỏc c nguyờn t ca f l p1, p2, , pn Theo gi thit ta cú a = (a+1) | f(a + 1) f(1) Vỡ f(1) l xỏc nh nờn tn ti vụ s s a cho v pi (a) v pi ( f (1)) M a | f(a + 1) f(1) Nu f(a + 1) f(1) thỡ tn ti ớt nht mt ch s i cho v pi ( f (a 1)) v pi ( f (1)) v pi ( f (a 1) f (1)) v pi ( f (1)) v pi (a) (vụ lớ) Vy f(a + 1) = f(1) Vi mi b ta cú (a + 1) b | f(a + 1) f(b) = f(1) f(b) Do ú (a + 1) b | f(1) f(b) vi mi a iu ú ch xy f(b) = f(1) Hay f l hm hng (mõu thun vi iu kin bi toỏn) Vy cú iu phi chng minh Cõu BT tng ng vi (b c) (c a ) ( a b) 2a b c 2b c a 2c a b 2 Ta cú (b c)2 (b c) b2 c2 2a b c ( a b ) ( a c ) a b a c Tng t vi hai BT cũn li suy pcm Cõu Xột bao li ca 2015 im nm bờn hỡnh vuụng Vỡ khụng cú im no thng hng, nờn bao li cú k nh k 2015 , ngoi cỏc im ó cho hoc l cỏc nh ca a giỏc li, hoc nm hn bờn ca a giỏc bao li Ch cú hai kh nng sau xy ra: A2 A3 A1 An TH1: (H1) Nu k 2015 Khi ú s ng chộo xut phỏt t A1 ca a giỏc bao li to thnh cựng cỏc cnh ca a giỏc 2013 tam giỏc Gi S l din tớch tam giỏc nh nht 2013 tam giỏc y Vỡ tng cỏc din tớch ca 2013 tam giỏc nh hn 1( chỳ ý l din tớch hỡnh vuụng cha chn 2013 tam giỏc ny ), ú suy S 2013 1 A2 Ak+1 A1 Ak TH2 (H2) Nu k 2013 Khi ú bờn a giỏc bao li A1 A2 Ak cũn 2013 k im Ak , Ak , , An Ni Ak vi cỏc nh A1 , A2 , , Ak Khi ú ta cú k tam giỏc Ak A1 A2 , Ak A2 A3 , , Ak Ak A1 Vỡ khụng cú ba im no thng hng, nờn cỏc im phi nm hn k tam giỏc núi trờn Gi s Ak thuc tam giỏc no ú Ni Ak vi ba nh tam giỏc ny, thỡ t mt tam giỏc ta s cú ba tam giỏc mi Sau mi ln lm s tam giỏc tng lờn Nh th ta i n : k 2015 k 2.2015 k 2013 2015 k tam giỏc, m bờn mi tam giỏc ny khụng cú im no thuc 2015 im ó cho Gi S l tam giỏc cú din tớch nht cỏc tam giỏc ny thỡ: S 1 (do n k ) 2013 n k 2013 Bt ng thc S 2013 ó c chng minh Ngi : Nguyn Vn Tho - t: 0983186256 TRNG THPT CHUYấN BC NINH T TON TIN NGH LM CHN HSG KHU VC DUYấN HI HBB 2015 Mụn: Toỏn 10 Cõu xy y y x y Gii h phng trỡnh: 3x 2x y Cõu Cho ng trũn (O) v hai im phõn bit A, B c nh (AB khụng phi l ng kớnh) im C bt kỡ trờn cung ln ằ AB , v ng kớnh CE Gi H l hỡnh chiu ca C trờn AB CF l phõn giỏc ca ACB ng thng EF ct li (O) ti im th hai l K a) Chng minh rng ng thng vuụng gúc vi HK ti K luụn i qua mt im c nh C di ng trờn cung ln ằ AB b) K dõy cung CD ca (O) cho CD||AB Gi P l giao im ca CK vi AB, Q l giao im th hai ca DH v (O) Chng minh rng PQ luụn i qua im c nh C di ng trờn cung ln ằ AB Cõu Cho đa thức P(x) với hệ số thực thoả mãn đồng thời hai điều kiện: +) P(x) nghiệm thực +) P( x).P( y ) P ( x y ); x, y R (*) Chứng minh P(x) có nghiệm Cõu Tỡm b s nguyờn dng cú tng l 2015 v cú tớch ln nht Cõu in 29 s nguyờn dng u tiờn vo cỏc ụ vuụng ca bng x nh sau (bng ): 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 Cho phộp i v trớ cỏc s bng theo quy tc : Mi ln, ly s nm ụ k vi ụ trng ri chuyn s ú sang ụ trng Hi nh vic thc hin liờn tip mt s hu hn ln phộp chuyn s núi trờn i vi bng ban u, ta cú th nhn c bng s sau (bng 2) khụng? 29 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 S GIO DC V O TO H NI TRNG THPT CHU VN AN Bi 1.(4 im) Gii h phng trỡnh { XUT THI HC SINH GII KHU VC DUYấN HI BBB 2015 Mụn: Toỏn Lp 10 + ( )( 2) + = + ( + 1) ( + + (1 )) = Bi 2.(4 im) Cho tam giỏc ABC nhn cú D, E ln lt l tip im ca ng trũn ni tip (I) vi AB, AC v H, K ln lt l hỡnh chiu ca B lờn AC v C lờn AB Chng minh rng tõm ng trũn ni tip ca tam giỏc AHK l trc tõm ca tam giỏc ADE Bi 3.(4 im) Cho sn guyờn t p v ba s nguyờn dng x,y,z tha x