25 đề thi học sinh giỏi môn toán lớp 11 của các trường chuyên khu vực duyên hải đồng bằng bắc bộ có đáp án

HI CC TRNG CHUYấN THI MễN TON KHI 11 VNG DUYấN HI V NG BNG BC B NM 2015 TRNG THPT CHUYấN NGUYN TT THNH TNH YấN BI THI XUT Thi gian lm bi 180 phỳt ( ny cú 01 trang, gm 05 cõu) Cõu (4 im) Gii h phng trỡnh 1 ( x y 1)( )2 x y 3x y 2 2x y y y 2x 3( x y 1) x Cõu (4 im) Cho dóy s (xn) tha món: x x xn ; n n n1 n2 Chng minh dóy s trờn cú gii hn Cõu (4 im) Cho tam giỏc ABC Gi B1 l im i xng ca B qua AC, C l im i xng ca C qua cỏc ng thng AB, O1 l im i xng ca O qua BC Chng minh rng: Tõm ng trũn ngoi tip tam giỏc AB1C1 nm trờn ng thng AO1 Cõu (4 im) Tỡm tt c cỏc a thc h s thc P(x) khụng ng nht khụng tha món: P(2014) = 2046, P( x) P( x 1) 33 32, x Cõu (4 im) Cho 2015 im trờn ng thng, tụ cỏc im bng mt mu xanh, , vng (mi im ch tụ mt mu) Cú bao nhiờu cỏch tụ khỏc cho khụng cú im liờn tip no cựng mu HT Ngi (H tờn, ký tờn -in thoi liờn h) Tụ Minh Trng-0915454109 P N + BIU IM CHM MễN TON KHI 11 Ni dung chớnh cn t Cõu im Cõu Cõu 1Gii h phng trỡnh f 1 ( x y 1)( ) 2(1) x y 3x y 2 2x y y y 2x 3( x y 1)(2) x y iu kin: 2x y y y 2x 4,0 0,5 p dng bt ng thc AM-GM cho v trỏi ca (1) ta cú: x x x y ( ) x y x y x y y 1 2( y 1) x y ( x y 3) x y x 3y 1,0 x y 1 y ( ) 3x y x y Chng minh tng t ta cng cú: Cng li ta c: x y 1 x ( ) x 3y x y x y 3x y Du ng thc xy x=y+1 hay y= x - Th vo (2) ta cú phng trỡnh x2 8x 10 x x x x iu kin xỏc nh ca (4) l: x (*) Vi k (*), ta cú: (4) 0,5 (4) (2 x 2)( x 5) (2 x 2)( x 2) 2x x5 x2 x5 x2 x5 x2 x5 x2 2x 2x x x ( x x 5) ( x 3) x7 x7 2x x x2 1 ( x 7) x 2x x x (tm (*)) ( Vỡ 2x x x 1) x2 1,0 1,0 Vi x y (tha iu kin) Vy h cú nghim nht ( x; y ) (7;6) Cõu x Cõu Cho dóy s (xn) tha món: x x xn ; n n n1 n2 4,0 Chng minh dóy s trờn cú gii hn *) Ta chng minh xn + n2 n n vi mi n (1) Tht vy: n = ỳng Gi s (1) ỳng vi n = k 1: xk + k2 xk k xk = k k xk2 k k2 xk 2 x k k k k2 k k k k k k k k 2 2,0 k k k k (pcm) k 2 *) Ta chng minh (xn) cú gii hn NX: (xn) tng v xn > vi mi n Ta cú 1 xn xn1 xn n n n 2,0 1 x1 xn n xn vi mi n 2 Vy (xn) cú gii hn Cõu Cõu Cho tam giỏc ABC Gi B1 l im i xng ca B qua AC, C1 l im i xng ca C qua cỏc ng thng AB, O1 l im i xng ca O 4,0 qua BC Chng minh rng: Tõm ng trũn ngoi tip tam giỏc AB1C1 nm trờn ng thng AO1 K B1 A Q C1 P H O C B O1 Gi H l trc tõm ABC Gi AB1, CH ct ti P, AC1 v BH ct v ti Q Gi K l tõm ng trũn ngoi tip cỏc tam giỏc AB1C1 D thy O1 l tõm ng trũn ngoi tip tam giỏc HBC 1,0 ã ã ã ã A Vỡ vy 900 CAB ABH HB Xột t giỏc B1AHC Ta cú HCA B1AHC ni tip ng trũn (w1).Tng t C1AHB ni tip ng trũn (w2) 1,0 Trc ng phng ca (K) v (w1) l AB1, Trc ng phng ca (O1) v (w1) l CH Nờn P l tõm ng phng ca (O1), (K) v (w1) v 1,0 nú phi nm trờn trc ng phng ca (O1) v (K) Tng t ta Chng minh c Q nm trờn trc ng phng ca cỏc ng trũn (O1) v (K) Vỡ vy, PQ vuụng gúc O1K ã PA ãBH QB ã P ( cựng chn cung AH ca (w2) Li cú QC 1 nờn PQB1C1 ni tip v tam giỏc AQP ng dng tam giỏc AC1B1 1,0 ã AK 900 C ã KA 900 A ãB C 900 PQA ã Ta li cú C nờn KA l 1 1 ng vuụng gúc PQ Vy KA v O1K vuụng gúc PQ nờn A, K, O1 thng hng Cõu Cõu Tỡm tt c cỏc a thc h s thc P(x) khụng ng nht khụng tha 4,0 P(2014) = 2046, P( x) P( x 1) 33 32, x Gi s P(x) tha u bi Khi ú ta cú P ( x 1) [P( x) 32]2 33, x Suy P(2014 1) (2046 32) 33 2014 33 t x0=2014, ta cú 2 1,0 x0 32 2046, P( x0 ) x0 32 P(2014) = 2046 Xột dóy {xn} nh sau: x0=2014, x1 x02 1, x n1 xn2 1, n=1,2,3 1,0 Khi ú P( x0 ) x0 32 P( x1 ) P( x02 1) [P( x0 ) 32]2 33 x02 33 x02 32 x1 32 P( x2 ) P( x12 1) [P( x1 ) 32]2 33 x12 33 x12 32 x2 32 Bng quy np d dng chng minh c P( xn ) xn 32, n 0,1,2 (*) Xột a thc h s thc 1,0 Q( x) P( x) x 32 T (*) ta cú Q(x) nhn xn lm nghim vi mi n=0,1,2 Mt khỏc dóy {xn } n tng nghiờm ngt nờn Q(x) suy P(x) = x+32 Th li ta cú P(x) tha u bi Vy: Cú nht a thc P(x) = x + 32 1,0 Cõu Cho 2015 im trờn ng thng, tụ cỏc im bng mt mu xanh, , vng (mi im ch tụ mt mu) Cú bao nhiờu cỏch tụ khỏc 4,0 cho khụng cú im liờn tip no cựng mu Gi S n l s cỏch tụ mu tha cho n ( n ) im (bi toỏn ca ta l n 2015 ) Ta s tớnh Sn theo S n , xột hai im cui cựng ca S n cú hai 1,0 trng hp xy ra: +Nu hai im cui cựng mu th thỡ im th n 1khỏc mu im cui +Nu hai im cui khỏc mu thỡ im th n tụ bt kỡ T ú sinh hai s c trng M n l s cỏch tụ n im m hai im cui cựng mu, Pn l s cỏch tụ mu n im m hai im cui khỏc mu v c hai cựng tha im liờn tip khỏc mu 1,0 Ta cú: Sn1 2M n 3Pn , Pn1 2Sn ; M n1 Pn Th thỡ Sn1 Pn1 6Sn1 4Sn2 6Sn1 Vy ta cú h thc truy hi: Sn 6Sn 4Sn Bõy gi ta tớnh S3 , S thy S3 27 24 , S4 4! 12 49 Phng trỡnh c trng X X 1,0 cú nghim l: x1 13, x2 13 Cụng thc xỏc nh Sn ax1n bx2n vi a, b tha món: 24 13 23 a 13(3 13)3 a (3 13) b(3 13) 24 4 24 13 23 a (3 13) b(3 13) 49 b 13(3 13)3 3 1,0 Sau ú cho n 2015 ta c kt qu bi toỏn (H tờn, ký tờn -in thoi liờn h) Tụ Minh Trng-0915454109 S GIO DC V O TO BC GIANG TRNG THPT CHUYấN BC GIANG NP NGN HNG DUYấN HI MễN TON LP 11 Thi gian lm bi: 180 phỳt, khụng k phỏt Cõu (4 im) Ký hiu x l s nguyờn ln nht khụng vt quỏ x Gii phng trỡnh x x x 2015 Cõu (4 im) Gii h phng trỡnh: x y y x x y y x x y Cõu (4 im) Tỡm tt c cỏc hm f : Ơ Ơ tha ng thi hai iu kin sau: i) Vi mi cp a, b nguyờn dng khụng nguyờn t cựng nhau, ta cú f(a).f(b)=f(ab) ii) Vi mi b a, b nguyờn dng tn ti mt tam giỏc khụng suy bin cú di ba cnh l f(a), f(b) v f(a+b-1) Cõu (4 im) Cho tam giỏc nhn ABC khụng cõn Gi H, O ln lt l trc tõm, tõm ng trũn ngoi tip tam giỏc ABC, hai ng cao AD, BE OD ct BE ti K, OE ct AD ti L Gi M l trung im AB Chng minh rng K, L, M thng hng v ch bn im C, D, O, H cựng nm trờn mt ng trũn Cõu (4 im) Cho s nguyờn n Chng minh rng mi h gm ớt nht 2n1 hp khụng rng phõn bit ca 1,2, , n u tỡm c ba hp m mt chỳng l hp ca hai cũn li - Ht Thớ sinh khụng c s dng ti liu Giỏm th coi thi khụng gii thớch gỡ thờm TRNG THPT CHUYấN BC GIANG P N NP NGN HNG DUYấN HI LP 11 NI DUNG CU Ta cú x IM 1,0 x x 2015 x x 2015 x1 x x 2015 x x pt x x a  a 2015 x a x 2015 x Cõu (4 im) a a 8060 * 1,0 Do a 2015 x a x 2015 x a a 8060 2015 (t/ m); a a 8060 a Vy S a a a 1,5 4a 2 8060 2015 loai ; a  ; a 2015 0,5 y iu kin : x x y y 2x x y x xy y x y x y x y x x y y y x x y y x y x 1,5 2 x y Cõu (4im Th vo pt u ta c ) x x x 5x x x x x x x 1 x x x x x x 21 x x 3x y 21 2,0 0,5 T k 2, vi mi b a, b nguyờn dng, ta cú f a f b f a b ; f a f a b f b ; f a b f b f a ; a b 2: f f ; f f 1.0 a 3; b : f f f f f f f f f f f or f Nu f(2)=1 Do 2f(2)>f(1) nờn f(1)=1 Quy np chng minh f(n)=1 vi mi n nguyờn dng Cho a=n; b=2 : f(n+1)=2 Cho a=n-1; b=2 ta cú f(n)=2, gi s cú n +1 khụng rng ca {1,2, ,n+1} Nu ớt nht n-1+1 hp chỳng khụng cha n+1, theo gi thit quy np ta cú pcm Nu ớt nht n-1+2 hp cha n+1 thỡ b n+1 cỏc hp ny v ta ỏp dng gi thit quy np Nu cú ỳng n-1 khụng cha n+1 thỡ cú ỳng n-1 cha n+1 (cú nhiu hn phn t) v {n+1} Loi b n+1 nhng ny ta c n khỏc rng ca {1,2, ,n}, v ú chỳng phi cú hai trựng nhau, gi ú l A Do vy AU{n+1}=B 1, 2, , n (pcm) Ngi : Trn Th H Phng - t: 0983207082 1,5 0.5 1.5 1.0 1,0 ) Ta cú : rm rm rm (mod 2015); rm T rm T rmT (mod 2015) rm rm T (mod 2015) rm rm T Bng quy np ta chng minh c: rm-k = rm+T-k vi k=1;2; ;m-1 (2) (0,5 im) T (1) v (2) suy (rn)n>0 l mt dóy tun hon B sung vo dóy (b n) phn t b = tha b + b1 = b2 suy r0 = Khi ú dóy (rn) l dóy tun hon bt u t phn t u tiờn r0 = Do ú tn ti vụ s phn t dóy (rn) bng 0.Nh vy cõu b c chng minh xong (0,5 im) Cõu (4 im) Cho tam giỏc ABC ni tip ng trũn (O) Tip tuyn ca (O) ti B, C ct ti S Trung trc ca AB, AC ct phõn giỏc gúc BAC th t ti M v N Bit BM ct CN ti P Gi I l tõm ng trũn ni tip tam giỏc MNP Chng minh ba im S, A, I thng hng HD E A N O H I P M C D B E S Khụng mt tớnh tng quỏt ta gi s bi toỏn cú v trớ tng i nh hỡnh v Gi D l trung im ca BC, E l giao ca phõn giỏc gúc A vi (O) khỏc A F l trung im ca MN a) +) Chng minh OP l trung trc ca MN (1 im) Vỡ hai tam giỏc cõn MAB v NAC cú cỏc cp gúc tng ng bng nờn d thy : ã ã ã PMN PNM ,ã OMN ONM suy hai tam giỏc PMN v OMN cõn ti P v O Vy OP l trung trc ca MN +) Chng minh I, H i xng qua d (1 im) 1 ã ã ã ã ã ã ã ã Ta cú: IMF BME BAC , HMF HON BAC IMF HMF Ta c pcm b)+) Chng minh AD, AS i xng qua AE (0,5 im) Gi EK l ng kớnh ca (O) Ta cú (DSEK) = -1 nờn A(DSEK) = -1 m AE v AK vuụng gúc vi suy AE l phõn giỏc gúc SAD Ta cú pcm Da vo tớnh cht ca phộp i xng trc ta thy A, I, S thng hng v ch A, H, D thng hng Ta dựng Melenauyt vi tam giỏc OEF chng minh iu ny (1,5 im) A HO FO cos A ; A A HF FH MF tan sin 2 HO DE AF dpcm HF DO AE MF cot A DE R(1 cos A) DO R cos A cos A 2sin Cõu (4 im): Cho hm f : R R ( R {x R| x 0}) cho: f ( x ) f y f ( x y xf (4 y )) x, y a) Chng minh f l hm tng khụng nghiờm ngt trờn R + b) Tỡm tt c cỏc hm f tha iu kin trờn HD a) Thay x=y=0 ta cú f(0)=0 Xột hm g(x) = x2 + f(4y)x l hm ng bin trờn R + vỡ f(4y)>=0 M: g (0) 0; g () TGT g ( x) [0;+) nờn vi mi s dng a bt k luụn tn ti x0 a= g(x0) > Do ú f(y+a) = f(g(x0)+y) >= f(y) vi mi s a dng Chng t f l hm tng khụng nghiờm ngt.(1 im) x b) Xột hai trng hp sau: TH1: Tn ti t > f(t) = Thay x t f ( y ) f ( y t t f (4 y )) f (t y ) M f (t ) f (t y ) f ( y ) f ( y t ) y f (0) f (t ) f (2t ) f (nt ) n Z Kt hpvi f(x) l hm khụng gim nờn f(x) = vi mi x khụng õm Vỡ nu ngc li tn ti u > f(u) > thỡ luụn tn ti n nguyờn dng nt > u nhng f(nt) = mõu thun vi tớnh khụng gim ca hm f (1 im) TH2: Vi mi s dng t cú f(t) > Theo chng minh trờn suy f l hm tng ngt Thay y bi y2 ta cú: f(x2) + f(y2) = f(x2 + y2 + xf(4y2)) 2 2 Thay x bi y, y bi x2: f ( y ) f x f (y x yf (4 x )) Vỡ f tng ngt nờn: x y xf (4 y ) y x yf (4 x ) x( f (4 y ) yf (4 x ) f (4 y ) f (4 x ) kf x 0; y y x f ( x) k x Th li ta c k=1 (2 im) KL: Bi toỏn cú hai nghim l f ( x) 0; f ( x) x Cõu (4 im): Vi mi s nguyờn dng m, kớ hiu C(m) l s nguyờn dng k ln nht cho luụn tn ti mt tõp S gm m s nguyờn dng mi s nguyờn chy t n k hoc thuc S hoc l tng hai phn t thuc S (hai phn t ny khụng nht thit phõn bit) Chng minh: m(m 6) m(m 3) C ( m) HD Trc tiờn ta tớnh th mt vi giỏ tr ban u ca C(m) cm nhn bi toỏn D thy: C(1)=2; C(2)=4; C(3)=8 Nhn xột: Vic tớnh C(m) quy v vic m s phn t ca A xỏc nh bi: A S ( S S ) ; S S x y | x, y S +) (2 im) Chng minh: C ( m) m(m 3) | A || S | | S S || S | | S | C|2S | | S | (| S | 3) m(m 3) 2 Chỳ ý : ỏnh giỏ s phn t ca S+S ta chia hai trng hp x trựng y v x khỏc y Rừ rng {1;2;3; ;k} l mt ca A nờn ta c pcm +) (2 im) Chng minh: m(m 6) C ( m) Ta s ch mt B cho vi mi s nguyờn chy t n m(m+6)/4 hoc thuc B hoc l tng hai s (khụng nht thit phõn bit) thuc S(m) Khi ú C(m)>=m(m+6)/4 Xột hai trng hp sau: TH1: m = 2n (1 im) Xột B(m) = {1; 2; 3; ; n; 2n+1; 3n+2; ; (n+1)n+n} gm m phn t v d thy B ( B B) cha dóy s liờn tip t n (n+1)n + 2n v rừ rng (n+1)n + 2n = 2n(2n+6)/4 TH2: m = 2n+1(1 im) Khi ú ta xõy dng B(m)={1;2;3; ; n+1;2n+3;3n+5; ;(n+1)n+2n+1}gm m phn t v B ( B B) cha dóy s liờn tip t n (n+1)n+3n+2 v rừ rng (n+1)n+3n+2 > (2n+1)(2n+7)/4 T hai TH trờn ta c pcm D B - THI OLIMPIC TON CP TRNG NM 2013 Bi 1: Gii phng trỡnh: x 24 x 28 x x 20 x Bi 2: Tỡm tt c cỏc hm f tha món: f : R R v f ( x xy f ( y )) f ( x) f ( y ) 1 ( f ( x) f ( y ) ) x, y R Bi 3: Cho a,b,c l ba s dng Chng minh: a bc b ca b bc c c ca a c ab a ab b Bi 4: Cho a,b,c l ba s nguyờn v dóy (an) xỏc nh bi: a0 a; a1 b; a2 c an 2an 2an an Tỡm s nguyờn k cho 4an an+1 + k l mt s chớnh phng Bi 5: Tỡm cỏc s a,b,c,d nguyờn dng v tha món: (2 a + 1)b = (2 c - 1)d Bi 6: Chng minh rng t 2013 s dng phõn bit luụn cú th chn c hai s cho tng v hiu ca chỳng u khụng bng cỏc s cũn li HI CC TRNG CHUYấN THI MễN: TON, KHI: 11 VNG DUYấN HI V NG BNG BC B NM 2015 TRNG PT VNG CAO VIT BC Thi gian lm bi: 180 phỳt THI XUT ( ny gm cú 01 trang, gm 05 cõu) Cõu (4 im) Gii h phng trỡnh sau: x xy y 2 y( xy y y xy ) Cõu (4 im) Cho dóy s an a1 n 1, n Ơ tha món: n 2 a n a n a a n n n n Tỡm lim an Cõu (4 im) T mt im O c nh ta v hai tip tuyn n nhng ng trũn thay i tõm C cho hai tip tuyn ú luụn vuụng gúc vi a) Tỡm hp tõm ca nhng ng trũn (C) i qua mt im A c nh khỏc vi O b) Cho ng trũn cú tõm C chy trờn mt ng thng c nh khụng i qua O Tỡm hp cỏc tip im T v T ca nhng ng trũn ú vi cỏc tip tuyn v t O Cõu (4 im) Tỡm tt c cỏc hm s f : (0; ) Ă tha cỏc iu kin sau õy: f (0) y x v f ( xy ) f ( x) f ( ) f ( y ) f ( ) , x, y (0; ) Cõu (4 im) Tn ti hay khụng hai s nguyờn dng phõn bit p, q cho q n n chia ht cho p n n vi mi s nguyờn dng n ? Ht -Giỏo viờn Phm Th Lan (D: 0982 217 044 ) P N + BIU IM CHM MễN TON KHI 11 Cõu Cõu Ni dung chớnh cn t x xy y (1) 2 y ( xy y y xy ) +) iu kin : y x y im 4,0 (2) 0.5 1.0 + Tr v vi v hai phng trỡnh ca h ta cú: x xy y y xy y y xy x x x x Chia c hai v ca PT cho y , ta cú: y y y y x + t t t 2; ta cú phng trỡnh: y 1.0 2t 5t t t 2t (t 3) t 2( t 1) (1 t 1) t (t 3) 2t t 1 t Vi t 2; thỡ 2t 1.0 t t 1 t x 2 Kt lun: Nghim ca h phng trỡnh l: ; 2 Vi t=3 suy x=3y thay vo PT (1): y y 0.5 4.0 Cõu D thy an 0, n Ơ * T gi thit ta cú n an1 n2 n an 1,0 1 Vi mi n Ơ * , t yn ta cú y1 v an n 2 1,0 1 n2 2 y n y n n y n y y y n n n n1 n n 4 n 4n2 n n n an Do ú yn y1 2 n n 16 n2 n n n2 Vy lim an 2 1,0 1,0 Cõu T " O D ' A C T' I E a)T giỏc OTCT cú gúc vuụng v OT = OT nờn nú l mt hỡnh vuụng Gi R l bỏn kớnh ca ng trũn (C), ta cú CO = R Do ú: 0,5 uuur uuur CA R v OC , OT CO R 2 Vy tõm C trờn ng trũn tõm I l hp nhng im cú t s khong cỏch ti A v O bng ng kớnh DE ca ng trũn tõm I i qua cỏc 0,5 im A v O to nờn mt hng im iu hũa; ta cú (OADE ) Ngc li ly im C bt k trờn ng trũn tõm I, ta cú C'A C 'O 0,5 T O k hai tip tuyn OT v OT ta cú CT1 = CA = OT Vy OT1CT1 l hỡnh vuụng Vy hp cỏc im C l ng trũn tõm I vi I l trung im ca on 0,5 DE ú D, E, O, A l mt hng im iu hũa b) OT uuur uuur OC v (OC , OT ) Vy T l nh ca C phộp ng dng tõm O t s k 0,5 , gúc quay im C chy trờn ng thng nờn im T chy trờn ng thng ' l nh ca phộp ng dng trờn 0,5 Vi im T ta dựng phộp ng dng tõm O t s k , gúc quay 0,5 ta tỡm c hp cỏc im T l ng thng '' nh ca phộp ng dng O, , 0,5 4.0 Cõu 1,0 Cho Thay thay vo (1), cú: 1,0 vo (1) c Khi ú (1) tr thnh Trong (2) thay y bi (2) cú 0,5 Trong (2) thay y = x : Vy vi 0,5 1,0 thỡ Cõu Gi s tn ti hai s p, q nguyờn dng phõn bit cho q n n chia ht cho p n n vi mi s nguyờn dng n, th thỡ q n n > p n n q p Gi s a l mt s nguyờn t ln hn q v n l s t nhiờn tha n ( p 1)(a 1) Khi ú n = (p+1)a p n p (moda ) (1) 0,5 0,5 Vỡ p < q < a nờn (p, a) =(q, a)=1 Theo nh lý nh Fermat, ta cú p a 1(mod a) p ( p 1)( a 1) 1(mod a) p ( p 1)( a 1)1 p(mod a) Do ú p n p(moda) (2) n n T (1) v (2) suy p n 0(mod a) hay p n a (4) Chng minh tng t, ta c q q(mod a) (3) v q n a T (1) v (3) suy q n n q p(moda) (5) T (4) v (5) suy (q p)Ma iu ny khụng th sy vỡ p q a Vy khụng tn ti hai s nguyờn dng phõn bit p, q cho q n n chia ht cho p n n vi mi s nguyờn dng n n 0,5 0,5 n 1 TRNG THPT CHUYấN VNH PHC THI XUT THI CHN HC SINH GII VNG DUYấN HI V NG BNG BC B LN TH VIII- NM 2015 MễN TON - LP 11 Thi gian: 180 phỳt ( khụng k thi gian giao ) Bi (4,0 im) Cho a, b, c l cỏc s thc tha a b c v ab bc ca Chng minh rng 10 a 2b b2c c 2a Bi (4,0 im) Cho trc s thc dng v xột dóy s dng xn tha vi mi n Ơ * xn1 xn Chng minh rng dóy xn hi t v tỡm gii hn ca nú Bi (4,0 im) Cho tam giỏc ABC nhn khụng cõn, ni tip ng trũn O P l im nm tam giỏc cho AP BC ng trũn ng kớnh AP ct cỏc cnh AC, AB ln lt ti E , F v ct ng trũn O ti im G khỏc A Chng minh rng GP, BE, CF ng quy Bi (4,0 im) Cho a1, a2 , , an l cỏc s thc khụng õm v khụng ng thi bng (n Ơ * ) a) Chng minh rng a thc P x x n a1x n1 a2 x n2 an cú nht mt nghim thc dng kớ hiu l m b) Gi x0 l mt nghim thc bt kỡ ca P x Chng minh rng x0 m Bi (4,0 im) Cú cp v chng c xp ngi trờn mt gh di Bit rng mi ngi v ch ngi cnh chng mỡnh hoc ngi cnh mt ngi ph n khỏc Hi cú bao nhiờu cỏch sp xp ch ngi tha Ht -Chỳ ý: Giỏm th coi thi khụng gii thớch gỡ thờm P N THI CHN HSG VNG DUYấN HI V NG BNG BC B LN TH VIII- NM 2015 MễN TON - LP 11 (ỏp ỏn gm trang) Bi (4,0 im) Ni dung trỡnh by im t x a 2b b 2c c a; y ab bc ca ; z abc Khi ú x y ab(a b) bc(b c ) ca (c a ) ab(2 c ) bc (2 a ) ca (2 b) 3z 1,0 xy a b b c c a abc(a b c ) 3a b c z z Do ú x,y l nghim ca phng trỡnh: t (2 3z )t z z (*) Ta cú (2 z ) 4(9 z z 1) z 27 1,0 3 3 3 3 2 2 3z 27 z z Khi ú x, y Vy bi toỏn quy v vic chng minh 3z 27 z z (1) v 1,0 3z 27 z z 10 (2) Thy vy (1) 27 z z z 81z 18 z (9 z 1) (ỳng) V (2) 27 z z 27 z 2916 z 216 z (54 z 2) (ỳng) Vy bi toỏn c chng minh 1,0 Bi (4,0 im) Ni dung trỡnh by im Xột hm s f ( x) x , x x x f '( x ) x x Ta cú f '( x) x ; x x2 Ta cú bng bin thiờn ca hm f(x): x x0 0 f'(x) + f(x0) + + + f(x) Suy f ( x) f x0 1,0 ( 1) 1,0 1 xn1 xn xn1 Suy xn xn hay xn l dóy gim Kt hp vi xn vi mi n ta suy dóy xn hi t Do ú xn1 t lim xn Chuyn qua gii hn ta c Vy lim xn 1 ( 1) x0 0,5 0,5 Bi (4,0 im) Ni dung trỡnh by im A E G F P O Q L K T C B D Gi AD l ng kớnh ca (O), d thy G,P,D thng hng v PE || CD; PF || BD Gi s PE,PF ct DB,DC ti K,L; EF ct BC ti T Theo nh lý Desargues chng minh BE, CF, GP (hay PD) ng quy ta ch cn chng minh T,K,L thng hng TB EC FA TB FB AE p dng nh lý Menelaus ta c: (1) TC EA FB TC EC AF AE BE D thy t giỏc EFBC ni tip nờn (2) AF CF Cng t EFBC ni tip suy FCL FCA ACL EBA 900 EBA ABK KBE T giỏc PKDL l hỡnh bỡnh hnh suy PKB PLC BE KB Suy EBK : FCL (3) CF CL BF PK DL Ta cú BF PL CE.PK S PKDL (4) CE PL DK TB DL KB TB LC KD T ú ỏp dng nh Thay (2), (3), (4) vo (1) ta c TC DK CL TC LD KB lý menelaus cho tam giỏc DBC ta suy T,K,L thng hng Bi toỏn c chng minh 1,0 1,0 1,0 Bi (4,0 im) Ni dung trỡnh by im Xột a thc Q x an x n an1 x n1 an2 x n2 a1 x Khi ú nu y0 l nghim ca Q x thỡ l nghim ca ca P x y0 Xột hm s Q x an x n an1 x n1 an2 x n2 a1 x , x 0; 1,0 Do cỏc s a1 , a2 , , an khụng ng thi bng nờn i 1, 2, , n : suy lim Q x a : Q a x Mt khỏc Q nờn Q Q a x0 0; a : Q x0 (1) Ta cú Q ' x nan x n1 n an1 x n1 a1 0, x 0; Q x ng bin trờn 0; (2) 1,0 T (1) v (2) ta cú Q x cú nghim dng nht hay P x cú nghim dng nht b) Phn chng rng tn ti mt nghim thc ca P x l x0 tha x0 m Ta cú x0n a1 x0n1 a2 x0n2 an x0 a1 x0 n n a2 x0 n2 an , suy P x0 1,0 1,0 Mt khỏc lim P x nờn P x li cú mt nghim dng na ln hn m, mõu thun x vi phn (a) Vy x0 m (pcm) Bi (4,0 im) Ni dung trỡnh by im Trc ht ta cú 4! cỏch xp ch cho ph n Ta c nh mt b ngi ny m * Nu gia n m cú nam thỡ phi cú ớt nht nam, cng vy nu gia hai nam m cú n thỡ phi cú ớt nht n 1,0 * Ta coi nhng ngi ph n l cỏc nhúm, thỡ ta cú cỏc cỏch biu din nhúm nh sau: 11 1111 Nu n to thnh nhúm (1,1,1,1): Khi ú cú ớt nht n phi ngi gia ngi n ụng, khụng tha Nu n to thnh nhúm (2,1,1): Khi ú gia nhúm (2,1) phi cú ớt nht nam; gia nhúm (1,1) phi cú ớt nht nam 0,5 0,5 Nh th ch cú cỏch xp ch nht tha món: GBBGGBBG Nu n to thnh nhúm (2,2): Ta cú cỏc dng sau: + GGBBBBGG: Cú 2! cỏch + BGGBBBGG hoc GGBBBGGB: cú 1.2=2 cỏch + BBGGBBGG hoc GGBBGGBB: cú 1.2=2 cỏch + BGGBBGGB: cú cỏch 0,5 Vy TH ny cú cỏch Nu n to thnh nhúm (3,1): Ta cú cỏc dng sau: + GGGBBBBG hoc GBBBBGGG + BGGGBBBG hoc GBBBGGGB 0,5 + BBGGGBBG hoc GBBGGGBB Tng t s cú 2! cỏch Nu n to thnh nhúm (4): Ta cú cỏc dng sau: + GGGGBBBB hoc BBBBGGGG + BGGGGBBB hoc BBBGGGGB 0,5 + BBGGGGBB Tng t cú 3!.2 2!.2 2! 18 cỏch Vy tng s cỏch xp ch tha l 4!1 18 816 cỏch - Ht - 0,5 ... hn ì 25 = 100, mõu thun Danh sỏch cỏc thy cụ xut bi Thy Nguyn Sn H: Cõu lp 10 v Cõu lp 11 Thy Nguyn Minh H: Cõu lp 11 Thy H Duy Hng: Cõu 2,3,4 lp 10 v Cõu 1,4 lp 11 Biờn son thi: ... tớch m cỏc nhõn t ch khỏc v th t thỡ ch c tớnh ln? P N V BIU IM XUT THI HC SINH GII KHU VC DUYấN HI - BBB 2015 Mụn: Toỏn Lp 11 Cõu 1:(4 im) Cho x, y, z dng tha xy + yz + zx + 2xyz = Chng minh:... khụng ln hn 100 Chng minh rng tn ti hỡnh vuụng 25 ì 25 vi cỏc cnh l cỏc ng li cho tng tt c cỏc s hỡnh vuụng ú cú tr tuyt i khụng ln hn 25 Hng dn gii thi lp 10 u tiờn y = khụng tha Vi y = 0, chia