1 Hệ thức bản: sin 2α + cos2α = ; tanα cotα = ; + tan α = Giá trị lượng giác góc có liên quan đặc biệt cos2 α ; + cot α = sin2 α Góc đối Góc bù Góc phụ cos(−α ) = cos α sin(π − α ) = sin α π sin − α ÷ = cos α 2 sin(−α ) = − sin α cos(π − α ) = − cos α π cos − α ÷ = sin α 2 tan(−α ) = − tan α tan(π − α ) = − tan α π tan − α ÷ = cot α 2 cot(−α ) = − cot α cot(π − α ) = − cot α π cot − α ÷ = tan α 2 Góc π Góc π sin(π + α ) = − sin α π sin + α ÷ = cos α 2 cos(π + α ) = − cos α π cos + α ÷ = − sin α 2 tan(π + α ) = tan α π tan + α ÷ = − cot α 2 cot(π + α ) = cot α π cot + α ÷ = − tan α 2 II Công thức lượng giác Công thức cộng sin(a + b) = sin a.cos b + sin b.cos a tan(a + b) = tan a + tan b − tan a.tan b tan(a − b) = tan a − tan b + tan a.tan b sin(a − b) = sin a.cos b − sin b.cos a cos(a + b) = cos a.cos b − sin a.sin b cos(a − b) = cos a.cos b + sin a.sin b Hệ quả: π + tan α tan + α ÷ = , − tan α π + tan α tan + α ÷ = , − tan α π − tan α tan − α ÷ = 4 + tan α π − tan α tan − α ÷ = + tan α Công thức nhân đôi sin 2α = sin α cos α cos 2α = cos2 α − sin α = cos2 α − = − 2sin α cot α − cot α − tan α Công thức hạ bậc Công thức nhân ba (*) tan 2α = tan α − cos2α + cos 2α cos2 α = − cos 2α tan α = + cos 2α sin2 α = ; cot 2α = sin 3α = 3sin α − 4sin3 α cos3α = cos3 α − 3cos α 3tan α − tan3 α tan 3α = − 3tan α Công thức biến đổi tổng thành tích a+b a−b cos a + cos b = cos cos 2 cos a − cos b = − 2sin a+b a−b sin 2 tan a + tan b = sin(a + b) cos a.cos b tan a − tan b = sin(a − b) cos a.cos b sin a + sin b = 2sin a+b a−b cos 2 cot a + cot b = sin(a + b) sin a.sin b sin a − sin b = cos a+b a−b sin 2 cot a − cot b = sin(b − a) sin a.sin b π π sin α + cos α = 2.sin α + ÷ = 2.cos α − ÷ 4 4 π π sin α − cos α = sin α − ÷ = − cos α + ÷ 4 4 Công thức biến đổi tích thành tổng Bài Cho biết GTLG, tính GTLG lại, với: π b) sin a = , < a < π , 2700 < a < 3600 13 π 3π c) tan α = −2, < α < π d) cot α = 3, π < α < 2 Bài Cho biết GTLG, tính giá trị biểu thức, với: a) cos a = cot a + tan a π sin a = , < a < cot a − tan a 2 tan a + 3cot a − 1 b) B = sin a = , 90 < a < 180 tan a + cot a 2 sin a + 2sin a.cos a − cos a c) C = cot a = −3 2sin a − 3sin a.cos a + cos2 a sin a + 5cos a tan a = d) D = sin a − cos3 a 8cos3 a − 2sin3 a + cos a e) E = tan a = 2 cos a − sin3 a cot a + 3tan a g) G = cos a = − cot a + tan a sin a + cos a h) H = tan a = cos a − sin a Bài Cho sin a + cos a = Tính giá trị biểu thức sau: a) A = sin a.cos a b) B = sin a − cos a c) C = sin3 a − cos3 a a) A = 25 ĐS: ĐS: ĐS: − ĐS: 23 47 55 19 ĐS: 13 ĐS: − ĐS: − Bài Tính sin x , cos x , tan x, cot x b) Cho tan x + cot x = Tính sin x , cos x , tan x, cot x Bài Rút gọn biểu thức sau: π a) A = cos + x ÷+ cos(2π − x ) + cos(3π + x ) 2 7π 3π − x ÷+ cot − x÷ b) B = cos x − 3cos(π − x ) + 5sin π 3π π + x ÷+ cos + x ÷ c) C = 2sin + x ÷+ sin(5π − x ) + sin 2 2 3π 3π + x ÷+ tan − x ÷+ cot(3π − x ) d) D = cos(5π − x ) − sin Bài Rút gọn biểu thức sau: sin(−3280 ).sin 9580 cos(−5080 ).cos(−1022 ) − a) A = cot 5720 tan(−2120 ) b) C = cos 200 + cos 400 + cos 60 + + cos160 + cos180 a) Cho sin x + cos x = ĐS: A = –1 ĐS: C = −1 c) D = cos2 100 + cos2 200 + cos2 30 + + cos2 180 ĐS: D = d) E = sin 20 + sin 40 + sin 60 + + sin 340 + sin 360 ĐS: E = e) 2sin(790 + x ) + cos(12600 − x ) + tan(6300 + x ).tan(1260 − x ) ĐS: F = + cos x Bài Chứng minh đẳng thức sau: a) sin x − cos4 x = − cos2 x b) sin x + cos4 x = − cos2 x.sin x c) sin x + cos6 x = − 3sin x.cos2 x d) sin8 x + cos8 x = − 4sin x.cos2 x + 2sin x.cos4 x e) cot x − cos2 x = cos2 x.cot x h) sin x.tan x + cos2 x.cot x + 2sin x.cos x = tan x + cot x g) + sin x + cos x + tan x = (1 + cos x )(1 + tan x ) f) tan x − sin x = tan x.sin2 x sin x + cos x − cos x = − cos x sin x − cos x + Bài Chứng minh đẳng thức sau: tan a + tan b a) tan a.tan b = cot a + cot b i) sin a cos2 a − = sin a.cos a + cot a + tan a + cos a (1 − cos a)2 e) 1 − = cot a sin a sin2 a c) − k) + sin x − sin x = + tan2 x sin a cos a + cot a − = sin a − cos a cos a − sin a − cot a sin a sin a + cos a d) − = sin a + cos a sin a − cos a tan2 a − b) f) tan a + tan2 a + cot a cot a = + tan a tan a + cot a tan a − tan b sin2 a − sin b g) + sin a − − sin a ÷ = tan2 a h) = tan a.tan b sin a.sin b + sin a − sin a i) sin2 a − tan a = tan a k) cos2 a − cot a Bài Rút gọn biểu thức sau: a) (1 − sin2 x ) cot x + − cot x c) e) sin2 a − cot a + = tan3 a + cot a sin a.cos a cos2 a b) (tan x + cot x )2 − (tan x − cot x )2 cos2 x + cos2 x.cot x tan3 a d) ( x.sin a − y.cos a)2 + ( x.cos a + y.sin a)2 sin x + sin x.tan x sin x − tan x f) cos2 a − cot x sin x − cos2 x + cos4 x cos2 x − sin x + sin x π 3π h) cos x − tan x − sin x ; x ∈ ; ÷ 2 Bài10 Chứng minh biểu thức sau độc lập x: a) 3(sin x + cos4 x ) − 2(sin x + cos6 x ) ĐS: g) sin x (1 + cot x ) + cos2 x(1 + tan x ) b) 3(sin8 x − cos8 x ) + 4(cos6 x − 2sin x ) + 6sin x ĐS: c) (sin x + cos4 x − 1)(tan2 x + cot x + 2) ĐS: –2 d) cos2 x.cot x + 3cos2 x − cot x + sin x Bài 11 Cho tam giác ABC Chứng minh: a) sin B = sin( A + C ) b) cos( A + B) = − cos C ĐS: c) sin A+B C = cos 2 d) cos( B − C ) = − cos( A + 2C ) e) cos( A + B − C ) = − cos 2C −3 A + B + C A + B + 3C A + B − 2C 3C f) cos h) tan = − sin A g) sin = cos C = cot 2 2 Bài 12 Tính giá trị biểu thức lượng giác, biết: π π a) tan α + ÷ sin α = , < α < π 3 π 12 3π < α < 2π b) cos − α ÷ sin α = − , 3 13 1 c) cos(a + b).cos(a − b) cos a = , cos b = Bài 13 Cho tam giác ABC Chứng minh: 38 − 25 11 (5 − 12 3) ĐS: 26 119 ĐS: − 144 ĐS: a) sin C = sin A.cos B + sin B.cos A b) sin C = tan A + tan B ( A, B ≠ 90 ) cos A.cos B c) tan A + tan B + tan C = tan A.tan B.tan C ( A, B, C ≠ 90 ) A B B C C A tan + tan tan + tan tan = 2 2 2 A B C A B C cos C cos B f) cot + cot + cot = cot cot cot g) cot B + = cot C + ( A ≠ 90o ) 2 2 2 sin B.cos A sin C.cos A A B C A B C A B C A B C h) cos cos cos = sin sin cos + sin cos sin + cos sin sin 2 2 2 2 2 2 A B C A B C i) sin + sin + sin = + 2sin sin sin 2 2 2 Bài 14 Tính giá trị biểu thức lượng giác, biết: 3π a) cos 2α , sin 2α , tan 2α cos α = − , π < α < b) cos 2α , sin 2α , tan 2α tan α = 13 π 3π c) sin α , cos α sin 2α = − , < α < 2 Bài 15 Tính giá trị biểu thức sau: a) A = cos 20o.cos 40o.cos 60o.cos80o ĐS: 16 b) D = cos100.cos 500.cos 700 ĐS: c) E = sin 6o.sin 42o.sin 66o.sin 78o ĐS: 16 2π 4π 8π 16π 32π d) G = cos ĐS: cos cos cos cos 31 31 31 31 31 32 e) H = sin 5o.sin15o.sin 25o sin 75o.sin 85o ĐS: 512 π π π π π f) K = 96 sin cos cos cos cos ĐS: 48 48 24 12 π π π h) M = sin cos cos ĐS: 16 16 8 Bài 16 Chứng minh hệ thức sau: a) sin + cos4 x = + cos x b) sin x + cos6 x = + cos x 4 8 x x c) sin x.cos3 x − cos x.sin3 x = sin x d) sin − cos6 = cos x(sin x − 4) 2 − sin x π x = e) − sin x = 2sin − ÷ f) π π 2 cot + x ÷.cos − x ÷ 4 4 π + cos + x ÷ π x π + sin x 2 = g) tan + ÷ h) tan + x ÷ = 2 π 4 cos x sin + x ÷ 2 d) cot A.cot B + cot B.cot C + cot C.cot A = e) tan i) π x cos x = cot − ÷ − sin x 2 k) tan x.tan x = tan 2 x − tan x − tan x.tan2 x m) cot x + tan x = sin x l) tan x = cot x − cot x Bài 17 Rút gọn biểu thức sau: a) A = c) C = cos x − cos8 x − cos x + cos10 x sin x − sin x − sin x + sin10 x + cos x + cos x + cos3 x sin x + 2sin x + sin x sin x + 2sin x + sin x sin x + sin x + sin x d) D = cos x + cos x + cos x b) B = cos x + cos2 x − Bài 18 Chứng minh đẳng thức sau: a) cot x − tan x − tan x = cot x c) cos6 x − tan x = 3tan x cos2 x +1 − 2sin2 x + tan x = − sin x − tan x sin x − cos x d) tan x − = cos x sin x + cos x b) e) tan x − tan x − tan x = tan x.tan x.tan x sin x f) g) cos x.cos3 x + sin x.sin x = cos x.cos x = + cos x + cos x + cos x sin x Bài 19 Cho tam giác ABC Chứng minh: A B C A B C a) sin A + sin B + sin C = cos cos cos b) cos A + cos B + cos C = + 4sin sin sin 2 2 2 c) sin A + sin B + sin 2C = 4sin A.sin B.sin C d) cos A + cos B + cos 2C = − − cos A.cos B.cos C e) cos2 A + cos2 B + cos2 C = − cos A.cos B.cos C f) sin A + sin B + sin C = + cos A.cos B.cos C Bài 20 Chứng minh tam giác ABC, ta có: a) b cos B + c cos C = a cos(B − C ) b) S = R sin A.sin B.sin C c) 2S = R(a cos A + b cos B + c cos C ) d) r = R sin A B C sin sin 2 Bài 21 Chứng minh rằng: sin B + sin C tam giác ABC vuông A cos B + cos C tan B sin B b) Nếu tam giác ABC vuông cân = tan C sin C sin B c) Nếu = cos A tam giác ABC cân sin C a) Nếu sin A = ... biểu thức sau: a) A = cos 20o.cos 40o.cos 60 o.cos80o ĐS: 16 b) D = cos100.cos 500.cos 700 ĐS: c) E = sin 6o.sin 42o.sin 66 o.sin 78o ĐS: 16 2π 4π 8π 16 32π d) G = cos ĐS: cos cos cos cos 31 31... + cos2 180 ĐS: D = d) E = sin 20 + sin 40 + sin 60 + + sin 340 + sin 360 ĐS: E = e) 2sin(790 + x ) + cos(1 260 0 − x ) + tan (63 00 + x ).tan(1 260 − x ) ĐS: F = + cos x Bài Chứng minh đẳng thức... 512 π π π π π f) K = 96 sin cos cos cos cos ĐS: 48 48 24 12 π π π h) M = sin cos cos ĐS: 16 16 8 Bài 16 Chứng minh hệ thức sau: a) sin + cos4 x = + cos x b) sin x + cos6 x = + cos x 4 8 x x c)