Tính lồi, lõm và điểm uốn của đồ thị

Y O X M M C A B a c b 1. Khái niệm về tính lồi, lõm và điểm uốn. Xét đồ thò ACB của hàm số y = f(x) biểu diễn trong hình dưới đây. Ta giả thiết rằng tại mọi điểm của nó, đồ thò đã cho đều có tiếp tuyến . Gọi a, b, c tương ứng là hoành độ của các điểm A, B, C . Y O M M C A B a c b AC là một cung lồi, khoảng (a;c) được gọi là khoảng lồi của đồ thò. CB là một cung lõm, khoảng (c;b) được gọi là khoảng lõm của đồ thò. Điểm phân cách giữa cung lồi và cung lõm được gọi là điểm uốn. Điểm C của đồ thò trong hình vẽ trên là một điểm uốn. X 2. Dấu hiệu lồi, lõm và điểm uốn. Đònh lí 1. Cho hàm số y = f(x) có đạo hàm đến cấp hai trên Khoảng (a;b). 1) Nếu f’’(x) < 0 với mọi x  (a;b) thì đồ thò của hàm số lồi trên khoảng đó. 2) Nếu f’’(x) > 0 với mọi x  (a;b) thì đồ thò của hàm số lõm trên Khoảng đó . Đònh lí 2. Cho hàm số y = f(x) liên tục trên một lân cận nào đó của điểm x 0 và có đạo hàm tới cấp hai trong lân cận đó (có thể trừ tại điểm x 0 ). Nếu đạo hàm cấp hai đổi dấu khi x đi qua x 0 thì M 0 (x 0 ; f(x 0 )) là điểm uốn của đồ thò hàm số đã cho. Chứng minh đ/ lí 2 Giả sử f’’(x) đổi dấu từ âm sang dương khi x đi qua x 0 x f’’(x) Đồ thò của hàm số x 0 -  x 0 x 0 +  _ + M 0 (x 0 ;f(x 0 )) lồi lõm Vậy điểm M 0 (x 0 ;f(x 0 )) là điểm uốn của đồ thò . Chú ý: Tại điểm uốn tiếp tuyến phải xuyên qua đồ thò . Ví dụ 1: Tìm các khoảng lồi, lõm và điểm uốn của đồ thò hàm số y = x 3 – 3x 2 – 9x + 2 Giải Tập xác đònh: R. Ta có: y’ = 3x 2 – 6x – 9 y’’ = 6x – 6 ; y’’ = 0  x = 1 . Bảng xét dấu y’’ : x y’’ Đồ thò của hàm số -  1 + _ + Điểm uốn C (1;- 9 ) lồi lõm 0 Ví dụ 2 . Tìm các khoảng lồi, lõm và điểm uốn của đồ thò hàm số y = 3 x Giải Tập xác đònh : R Ta có : y’ = 3 2 1 3 x xác đònh với mọi x  0 . y’’ = 3 2 2 9x x − xác đònh với mọi x  0 . Bảng xét dấu y’’ : x y’’ Đồ thò của hàm số -  0 + + Điểm uốn C (0; 0 ) lồilõm _ Ví dụ 3 . Tìm các khoảng lồi, lõm của đồ thò hàm số y = 2 4 4 1 x x x x x − + = − + Giải Tập xác đònh : R\ { 0} . y’ = 2 4 1 x − xác đònh với mọi x  0 . y’’ = 3 8 x xác đònh với mọi x  0 . Bảng xét dấu y’’ : x y’’ Đồ thò của hàm số -  0 + + lồi lõm _ . khoảng lõm của đồ thò. Điểm phân cách giữa cung lồi và cung lõm được gọi là điểm uốn. Điểm C của đồ thò trong hình vẽ trên là một điểm uốn. X 2. Dấu hiệu lồi,. xét dấu y’’ : x y’’ Đồ thò của hàm số -  1 + _ + Điểm uốn C (1;- 9 ) lồi lõm 0 Ví dụ 2 . Tìm các khoảng lồi, lõm và điểm uốn của đồ thò hàm số y = 3