Tính lồi, lõm và điểm uốn

kÝnh chµo kÝnh chµo ThÇy c« gi¸o ThÇy c« gi¸o Vµ c¸c em häc sinh Vµ c¸c em häc sinh • tÝnh låi, lâm vµ ®iÓm uèn cña tÝnh låi, lâm vµ ®iÓm uèn cña • ®å thÞ hµm sè ®å thÞ hµm sè 1. 1. Kh¸i niÖm vÒ tÝnh låi, lâm vµ ®iÓm uèn Kh¸i niÖm vÒ tÝnh låi, lâm vµ ®iÓm uèn O A B C y x a c b Cung AC: cung låi, kho¶ng (a;c): kho¶ng låi Cung CB: cung lâm, kho¶ng (c;b): kho¶ng lâm §iÓm C: ®iÓm uèn 2. 2. DÊu hiÖu låi, lâm vµ ®iÓm uèn DÊu hiÖu låi, lâm vµ ®iÓm uèn • VÝ dô: VÝ dô: TÝnh ®¹o hµm cÊp hai vµ xÐt dÊu ®¹o cÊp hai cña hµm TÝnh ®¹o hµm cÊp hai vµ xÐt dÊu ®¹o cÊp hai cña hµm sè: y = 2x sè: y = 2x 3 3 – 3x – 3x 2 2 • Gi¶i: Gi¶i: • + TX§ : D = R + TX§ : D = R • + y’ = 6x + y’ = 6x 2 2 – 6x – 6x • y’’ = 12x – 6, y’’ = 0 y’’ = 12x – 6, y’’ = 0   x = 1/ 2 f(1/2)=-1/2 x = 1/ 2 f(1/2)=-1/2 • DÊu y’’ DÊu y’’ x -∞ +∞ 1/2 y’’ §å thÞ - + 0 (1/2;-1/2)låi lâm §.uèn Định lý 1 Định lý 1 : : Cho hàm số y=f(x) có đạo hàm đến cấp 2 trên Cho hàm số y=f(x) có đạo hàm đến cấp 2 trên khoảng (a;b) khoảng (a;b) 1. Nếu f(x)<0 với mọi x thuộc (a;b) thì đồ thị hàm số lồi trên 1. Nếu f(x)<0 với mọi x thuộc (a;b) thì đồ thị hàm số lồi trên khoảng đó. khoảng đó. 2. Nếu f(x)>0 với mọi x thuộc (a;b) thì đồ thị hàm số lõm 2. Nếu f(x)>0 với mọi x thuộc (a;b) thì đồ thị hàm số lõm trên khoảng đó. trên khoảng đó. Định lý 2 Định lý 2 : : Cho hàm số y=f(x) liên tục trên một lận cận nào đó Cho hàm số y=f(x) liên tục trên một lận cận nào đó của điểm x của điểm x 0 0 và có đạo hàm cấp 2 trong lân cận đó. Nếu đạo và có đạo hàm cấp 2 trong lân cận đó. Nếu đạo hàm cấp 2 đổi dấu khi x đi qua x hàm cấp 2 đổi dấu khi x đi qua x 0 0 thì điểm M(x thì điểm M(x 0 0 ;f(x ;f(x 0 0 )) là điểm )) là điểm uốn của đồ thị hàm số đã cho. uốn của đồ thị hàm số đã cho. Qui tắc Gồm các bước sau: 1. Tính y 2. Xét dấu y 3. Từ bảng xét dấu y, suy ra tính lồi, lõm và điểm uốn của đồ thị hàm số Bµi tËp 1 Bµi tËp 1 Cho hµm sè y = x Cho hµm sè y = x 3 3 – 6x – 6x 2 2 + 3x + 2, ®å thÞ hµm sè: + 3x + 2, ®å thÞ hµm sè: • A. lu«n lu«n låi trªn R A. lu«n lu«n låi trªn R • B. lu«n lu«n lâm trªn R B. lu«n lu«n lâm trªn R • C. låi trªn kho¶ng (- C. låi trªn kho¶ng (- ∞;2), ∞;2), lâm trªn kho¶ng (2;+ lâm trªn kho¶ng (2;+ ∞) ∞) • D. lâm trªn kho¶ng (- D. lâm trªn kho¶ng (- ∞;2), ∞;2), låi trªn kho¶ng (2;+ låi trªn kho¶ng (2;+ ∞) ∞) C Bài tập 2: Bài tập 2: Cho hàm số y = 2x Cho hàm số y = 2x 3 3 6x 6x 2 2 + 2x, điểm uốn của đồ thị + 2x, điểm uốn của đồ thị hàm số là: hàm số là: A. (1;2) A. (1;2) B. (2;1) B. (2;1) C. (-1;2) C. (-1;2) D. (1;-2) D. (1;-2) Nếu có nhiều điểm thỏa mãn hàm số, phải thử xem hoành độ của điểm nào là nghiệm của PT y''=0. Bài tập 3: Bài tập 3: Tìm các khoảng lồi, lõm và điểm uốn của đồ thị hàm Tìm các khoảng lồi, lõm và điểm uốn của đồ thị hàm số y = x số y = x 4 4 6x 6x 2 2 + 3 + 3 Giải: Giải: + TXĐ: D=R + TXĐ: D=R + y= 4x + y= 4x 3 3 12x 12x y= 12x y= 12x 2 2 12, y=0 12, y=0 x = 1, x = -1 x = 1, x = -1 Dấu y Dấu y x y ĐT - - + + 1 1 -1 -1 0 0 0 0 + + - - + + -2 -2 -2 -2 lõm Lồi lõm Đ.uốn Đ.uốn Xin chân thành cảm Xin chân thành cảm ơn các thầy cô giáo ơn các thầy cô giáo và các em học sinh. và các em học sinh. . số đã cho. Qui tắc Gồm các bước sau: 1. Tính y 2. Xét dấu y 3. Từ bảng xét dấu y, suy ra tính lồi, lõm và điểm uốn của đồ thị hàm số Bµi tËp 1 Bµi tËp. nhiều điểm thỏa mãn hàm số, phải thử xem hoành độ của điểm nào là nghiệm của PT y''=0. Bài tập 3: Bài tập 3: Tìm các khoảng lồi, lõm và điểm uốn