Tóan Quan hệ vuông góc trong không gian

Quan hệ vng góc khơng gian MỤC LỤC II Cơ sở lý thuyết 2.1 Các định nghĩa 2.2 Các định lý thường sử dụng B NỘI DUNG I Chứng minh đường thẳng vng góc với mặt phẳng, đường thẳng vng góc với đường thẳng, mặt phẳng vng góc với mặt phẳng 1.1 Dạng 1: Chứng minh đường thẳng vng góc với mặt phẳng 1.2 Dạng 2: Chứng minh hai đường thẳng vng góc 1.3 Dạng 3: Chứng minh hai mặt phẳng vng góc II Các dạng tốn góc .11 2.1 Dạng 1: Góc hai đường thẳng 11 2.2 Dạng 2: Góc đường thẳng mặt phẳng 13 2.3 Dạng 3: Góc hai mặt phẳng .14 III Các dạng tốn khoảng cách .17 3.1.Dạng 1: Khoảng cách từ điểm tới mặt phẳng 17 3.2.Dạng 2: Khoảng cách hai đường thẳng chéo 22 Quan hệ vng góc khơng gian II Cơ sở lý thuyết 2.1 Các định nghĩa +) Định nghĩa 1: Hai đường thẳng gọi vng góc với góc chúng 900 a ⊥ b ⇔ (a, b) = 900 +) Định nghĩa 2: Một đường thẳng gọi vng góc với mặt phẳng vng góc với đường thẳng nằm mặt phẳng a ⊥ (α ) ⇔ ∀b ⊂ (α ) : a ⊥ b +) Định nghĩa 3: Hai mặt phẳng gọi vng góc với góc chúng 900 (α ) ⊥ ( β ) ⇔ ((α ),( β )) = 900 +) Định nghĩa 4: Góc hai đường thẳng a b góc hai đường thẳng a’ b’ qua điểm song song (hoặc trùng) với a b +) Định nghĩa 5: Nếu đường thẳng a vng góc với mặt phẳng (α) ta nói góc đường thẳng a mặt phẳng (α) 900 Nếu đường thẳng a khơng vng góc với mặt phẳng (α) góc a hình chiếu a’ mặt phẳng (α) gọi góc đường thẳng a mặt phẳng (α) +) Định nghĩa 6: Góc hai mặt phẳng góc hai đường thẳng vng góc với hai mặt phẳng +) Định nghĩa 7: Khoảng cách từ điểm M đến mặt phẳng (α) (hoặc đến đường thẳng ∆) khoảng cách hai điểm M H, H hình chiếu vng góc M mặt phẳng (α) (trên đường thẳng ∆) +) Định nghĩa 8: Khoảng cách đường thẳng a đến mặt phẳng (α) song song với a khoảng cách từ điểm a đến mặt phẳng (α) +) Định nghĩa 9: Khoảng cách hai mặt phẳng song song khoảng cách từ điểm mặt phẳng đến mặt phẳng +) Định nghĩa 10: Khoảng cách hai đường thẳng chéo độ dài đoạn vng góc chung hai đường thẳng 2.2 Các định lý thường sử dụng a ∩b   Định lý 1: a, b ⊂ ( P )  ⇒ d ⊥ ( P ) d ⊥ a, d ⊥ b  a ⊂ (P)   Định lý 2: d ⊥ ( P )  ⇒ d ⊥ a ∀a ⊂ ( P)  d ⊥ (P)  ⇒ d ' ⊥ ( P) d '/ / d  ( P ) / /(Q)  +  ⇒ d ⊥ (Q ) d ⊥ (P)  Định lý 3: + Quan hệ vng góc khơng gian + d / /( P )  ⇒d'⊥d d ' ⊥ ( P)  d ⊥ ( P)   ⇒ ( P) ⊥ (Q) d ⊂ (Q )  ( P ) ⊥ (Q )  ( P) ∩ (Q) = ∆  Định lý 5:  ⇒ d ⊥ (Q) d ⊂ ( P)   d ⊥∆ ( P ) ∩ (Q) = ∆   Định lý 6: ( P ) ⊥ ( R )  ⇒ ∆ ⊥ ( R)  (Q) ⊥ ( R)  Định lý 4: Quan hệ vng góc khơng gian B NỘI DUNG I Chứng minh đường thẳng vng góc với mặt phẳng, đường thẳng vng góc với đường thẳng, mặt phẳng vng góc với mặt phẳng 1.1 Dạng 1: Chứng minh đường thẳng vng góc với mặt phẳng 1.1.1 Phương pháp: Ta thường vận dụng định lý để chứng minh Hoặc sử dụng định lý 3, định lý 5, định lý số trường hợp đặc biệt 1.1.2 Các ví dụ mẫu: Ví dụ 1: Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC tam giácvvng C, SA ⊥ ( ABC ) a) Chứng minh rằng: BC ⊥ ( SAC ) b) Gọi E hình chiếu vng góc A SC Chứng minh rằng: AE ⊥ ( SBC ) c) Gọi mp(P) qua AE vng góc với (SAB), cắt SB D Chứng minh rằng: SB ⊥ ( P) d) Đường thẳng DE cắt BC F Chứng minh rằng: AF ⊥ ( SAB ) Giải: a) Ta có: BC ⊥ AC ( gt ) (1) Mặt khác, SA ⊥ ( ABC )   ⇒ SA ⊥ BC (2) BC ⊂ ( ABC )  Từ (1) (2) suy ra: BC ⊥ ( SAB ) b) Ta có: AE ⊥ SC (3) (gt) Theo a) BC ⊥ ( SAB ) ⇒ AE ⊥ BC (4) Từ (3) (4) suy ra: AE ⊥ ( SBC ) c) Ta thấy: ( P ) ≡ ( ADE ) Theo b) AE ⊥ ( SBC ) ⇒ BC ⊥ AE (5) Trong mp(ADE) kẻ EH ⊥ AD, H ∈ AD Vì ( ADE ) ⊥ ( SAB )   ( ADE ) ∩ ( SAB ) = AD  ⇒ EH ⊥ ( SAB) ⇒ SB ⊥ EH (6)  EH ⊥ AD  Từ (5) (6) suy ra: SB ⊥ ( ADE ) hay SB ⊥ ( P) SA ⊥ ( ABC )  d) Từ  ⇒ AF ⊥ SA (7) AF ⊂ ( ABC )  Theo c) SB ⊥ ( ADE ) ⇒ AF ⊥ SB (8) Từ (7) (8) suy ra: AF ⊥ ( SAB ) Quan hệ vng góc khơng gian Ví dụ 2: Cho hình chóp S.ABCD, đáy ABCD hình vng, tam giác SAB tam giác đều, ( SAB ) ⊥ ( ABCD) Gọi I, F trung điểm AB AD Chứng minh rằng: FC ⊥ ( SID) Giải: Ta có: SI ⊥ AB   ( SAB ) ⊥ ( ABCD)  ⇒ SI ⊥ ( ABCD)  SI ⊂ ( SAB )  ⇒ SI ⊥ CF (1) Mặt khác, xét hai tam giác vng ADI DFC có: AI=DF, AD=DC Do đó, ∆AID = ∆DFC từ ta có: µ Iµ1 = F ¶ =C ¶ D   µ ¶  ⇒ F1 + D2 = 90 2 ¶ = 900  Iµ1 + D  · ⇒ FHD = 900 Hay CF ⊥ ID (2) Từ (1) (2) suy ra: FC ⊥ ( SID ) 1.2 Dạng 2: Chứng minh hai đường thẳng vng góc 1.2.1 Phương pháp: Ta thường sử dụng định lý cách chứng minh vng góc có hình học phẳng 1.2.2 Các ví dụ mẫu: Ví dụ 1: (D-2007) Cho hình chóp S.ABCD đáy ABCD hình thang vng A B, SA ⊥ ( ABCD ) , AD=2a, AB=BC=a Chứng minh rằng: tam giác SCD vng Giải: Ta có: SA ⊥ ( ABCD )   ⇒ SA ⊥ CD (1) CD ⊂ ( ABCD )  + Gọi I trung điểm AD Tứ giác ABCI hình vng Do đó, ·ACI = 450 (*) Mặt khác, ∆CID tam giác vng cân I nên: · BCI = 450 (*) Từ (*) (**) suy ra: ·ACD = 900 hay AC ⊥ CD (2) Từ (1) (2) suy ra: CD ⊥ ( SAC ) ⇒ CD ⊥ SC hay ∆SCD vng C Quan hệ vng góc khơng gian Ví dụ 2: (B-2007) Cho hình chóp S.ABCD đáy ABCD hình vng, E điểm đối xứng D qua trung điểm SA Gọi M, N trung điểm AE BC CMR: MN ⊥ BD Giải: Gọi I, P trung điểm AB SA, O giao điểm AC BD Ta có: IN / / AC   ⇒ BD ⊥ IN (1) AC ⊥ BD  IM / / BE   ⇒ IM / / PO(*) BE / / PO  Mà PO ⊥ BD (**) (vì: BPD tam giác cân Mặt khác, P O trung điểm BD) Từ (*) (**) ta có: BD ⊥ IM (2) Từ (1) (2) ta có: BD ⊥ ( IMN ) ⇒ BD ⊥ MN Các điểm cần ý giải ví dụ 2: + Chọn mp(IMN) với I trung điểm AB ( BD ⊥ AC nên chọn mp chứa MN vng góc với BD mp(IMN)) + Sử dụng giả thiết trung điểm để chứng minh song song + Sử dụng định lý: a / /b  ⇒b ⊥c a ⊥ c Ví dụ 3: (A-2007) Cho hình chóp S.ABCD đáy ABCD hình vng, tam giác SAD đều, ( SAD) ⊥ ( ABCD) Gọi M, N, P trung điểm SB, BC CD Chứng minh rằng: AM ⊥ BP Giải: Gọi I giao diểm AN BP, H trung điểm AD, K giao điểm AN BH Xét hai tam giác vng ABN BCP có: AB=BC, BN=CP Suy ra, ∆ABN = ∆BCP · · · mà ⇒ BAN = CBP , ·ANB = BPC · · BAN + ·ANB = 900 ⇒ CBP + ·ANB = 900 hay AN ⊥ BP (1) Vì ∆SAD nên: SH ⊥ AD   ( SAD) ⊥ ( ABCD)  ⇒ SH ⊥ BP(*) BP ⊂ ( ABCD )  Quan hệ vng góc khơng gian Mặt khác, tứ giác ABNH hình chử nhật nên K trung điểm HB hay MK / / SH (**) Từ (*) (**) suy ra: BP ⊥ MH (2) Từ (1), (2) suy ra: BP ⊥ ( AMN ) ⇒ BP ⊥ AM 1.3 Dạng 3: Chứng minh hai mặt phẳng vng góc 1.3.1 Phương pháp: Sử dụng định lý 1.3.2.Các ví dụ mẫu: Ví dụ 1: Cho hình chóp S.ABCD đáy ABCD hình thoi , SA=SC Chứng minh rằng: ( SBD) ⊥ ( ABCD) Giải:+ Ta có: AC ⊥ BD (1) (giả thiết) + Mặt khác, SO ⊥ AC (2) (SAC tam giác cân A O trung điểm AC nên SO đường cao tam giác) + Từ (1) (2) suy ra: AC ⊥ ( SBD ) mà AC ⊂ ( ABCD ) nên ( SBD) ⊥ ( ABCD) Ví dụ 2: (B-2006) Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình chữ nhật, AB=a, AD = a , SA ⊥ ( ABCD ) Gọi M trung điểm AD, I giao điểm AC BM Chứng minh rằng: ( SAC ) ⊥ ( SMB ) Giải: + Ta có: SA ⊥ ( ABCD ) ⇒ SA ⊥ BM (1) + Xét tam giác vng ABM có: AB = Xét tam giác vng AM CD · = = ACD có: tan CAD Ta có: AD · cot ·AIM = cot(1800 − ( ·AMB + CAD )) = · = cot( ·AMB + CAD )=0 tan ·AMB = ⇒ ·AIM = 900 Hay BM ⊥ AC (2) + Từ (1) (2) suy ra: BM ⊥ ( SAC ) mà BM ⊂ ( SAC ) nên ( SAC ) ⊥ ( SMB) 1.4 Bài tập: Bài tập 1: Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC tam giác cạnh a Gọi I trung điểm BC, D điểm đối xứng với A qua I, SD ⊥ ( ABC ), SD = a) ( SBC ) ⊥ ( SAD) b) ( SAB ) ⊥ ( SAC ) a Chứng minh rằng: Quan hệ vng góc khơng gian Bài tập 2: Cho hình chóp SABCD, có đáy hình vuông tâm O SA ⊥ (ABCD) Gọi H, I, K hình chiếu vuông góc A SB, SC, SD a) CMR: BC ⊥ (SAB), CD ⊥ (SAD), BD ⊥ (SAC) b) CMR: AH, AK vuông góc với SC Từ suy đường thẳng AH, AI, AK nằm mặt phẳng c) CMR: HK ⊥ (SAC) Từ suy HK ⊥ AI Bài tập 3: Cho tứ diện SABC có tam giác ABC vuông B; SA ⊥ (ABC) a) Chứng minh: BC ⊥ (SAB) b) Gọi AH đường cao ∆SAB Chứng minh: AH ⊥ SC Bài tập 4: Cho hình chóp SABCD, có đáy ABCD hình thoi tâm O Biết: SA = SC, SB = SD a) Chứng minh: SO ⊥ (ABCD) b) Gọi I, J trung điểm cạnh BA, BC CMR: IJ ⊥ (SBD) Bài tập 5: Cho tứ diện ABCD có ABC DBC tam giác Gọi I trung điểm BC a) Chứng minh: BC ⊥ (AID) b) Vẽ đường cao AH ∆AID Chứng minh: AH ⊥ (BCD) Bài tập 6: Cho tứ diện OABC có OA, OB, OC đôi vuông góc với Gọi H hình chiếu vuông góc điểm O mp(ABC) Chứng minh rằng: a) BC ⊥ (OAH) b) H trực tâm tam giác ABC c) OH = OA2 + OB + OC d) Các góc tam giác ABC nhọn Bài tập 7: Cho hình chóp SABCD, có đáy hình vuông cạnh a Mặt bên SAB tam giác đều; SAD tam giác vuông cân đỉnh S Gọi I, J trung điểm AB CD a) Tính cạnh ∆SIJ chứng minh SI ⊥ (SCD), SJ ⊥ (SAB) b) Gọi H hình chiếu vuông góc S IJ CMR: SH ⊥ AC c) Gọi M điểm thuộc đường thẳng CD cho: BM ⊥ SA Tính AM theo a Bài tập 8: Cho hình chóp SABCD có đáy hình vuông cạnh a, mặt bên SAB tam giác SC = a Gọi H K trung điểm cạnh AB AD a) CMR: SH ⊥ (ABCD) b) Chứng minh: AC ⊥ SK CK ⊥ SD Bài tập 9: Cho hình chóp SABCD, có đáy hình chữ nhật có AB = a, BC = a , mặt bên SBC vuông B, mặt bên SCD vuông D có SD = a a) Chứng minh: SA ⊥ (ABCD) tính SA Quan hệ vng góc khơng gian b) Đường thẳng qua A vuông góc với AC, cắt đường thẳng CB, CD I, J Gọi H hình chiếu A SC Hãy xác đònh giao điểm K, L SB, SD với mp(HIJ) CMR: AK ⊥ (SBC), AL ⊥ (SCD) c) Tính diện tích tứ giác AKHL Bài tập 10: Gọi I điểm đường tròn (O;R) CD dây cung (O) qua I Trên đường thẳng vuông góc với mặt phẳng chứa đường tròn (O) I ta lấy điểm S với OS = R Gọi E điểm đối tâm D đường tròn (O) Chứng minh rằng: a) Tam giác SDE vuông S b) SD ⊥ CE c) Tam giác SCD vuông Bài tập 11: Cho ∆MAB vuông M mặt phẳng (P) Trên đường thẳng vuông góc với (P) A ta lấy điểm C, D hai bên điểm A Gọi C′ hình chiếu C MD, H giao điểm AM CC′ a) Chứng minh: CC′ ⊥ (MBD) b) Gọi K hình chiếu H AB CMR: K trực tâm ∆BCD Bài tập 12: Cho tam giác ABC, cạnh a Gọi D điểm đối xứng với A qua BC Trên đường thẳng vuông góc vơi mp(ABC) D lấy điểm S cho SD = a Chứng minh hai mặt phẳng (SAB) (SAC) vuông góc với Bài tập 13: Cho hình tứ diện ABCD có hai mặt (ABC) (ABD) vuông góc với đáy (DBC) Vẽ đường cao BE, DF ∆BCD, đường cao DK ∆ACD a) Chứng minh: AB ⊥ (BCD) b) Chứng minh mặt phẳng (ABE) (DFK) vuông góc với mp(ADC) c) Gọi O H trực tâm tam giác BCD ADC CMR: OH ⊥ (ADC) Bài tập 14: Cho hình chóp SABCD, đáy ABCD hình vuông, SA ⊥ (ABCD) a) Chứng minh (SAC) ⊥ (SBD) b) Gọi BE, DF hai đường cao ∆SBD CMR: (ACF) ⊥ (SBC), (AEF) ⊥ (SAC) Bài tập 15: Cho hình chóp SABCD có đáy ABCD hình vuông cạnh a, SA ⊥ (ABCD) Gọi M, N điểm cạnh BC, DC cho BM = a 3a , DN = Chứng minh mặt phẳng (SAM) (SMN) vuông góc với Bài tập 16: Cho tam giác ABC vuông A Vẽ BB′ CC′ vuông góc với mp(ABC) a) Chứng minh (ABB′) ⊥ (ACC′) b) Gọi AH, AK đường cao ∆ABC ∆AB′C′ Chứng minh mặt phẳng (BCC′B′) (AB′C′) vuông góc với mặt phẳng (AHK) Bài tập 17: Cho tam giác ABC vuông A có AB = c, AC = b Gọi (P) mặt phẳng qua BC vuông góc với mp(ABC); S điểm di động (P) cho SABC hình chóp Quan hệ vng góc khơng gian có mặt bên SAB, SAC hợp với đáy ABC hai góc có số đo α π − α Gọi H, I, J hình chiếu vuông góc S BC, AB, AC a) Chứng minh rằng: SH2 = HI.HJ b) Tìm giá trò lớn SH tìm giá trò α Bài tập 18: Cho hình tứ diện ABCD có AB = BC = a, AC = b, DB = DC = x, AD = y Tìm hệ thức liên hệ a, b, x, y để: a) Mặt phẳng (ABC) ⊥ (BCD) b) Mặt phẳng (ABC) ⊥ (ACD) Bài tập 19: Cho hình chóp SABCD, đáy ABCD hình vuông cạnh a, SA ⊥ (ABCD) ; M N hai điểm nằm cạnh BC, CD Đặt BM = x, DN = y a) Chứng minh điều kiện cần đủ để hai mặt phẳng (SAM) (SMN) vuông góc với MN ⊥ (SAM) Từ suy hệ thức liên hệ x y b) Chứng minh điều kiện cần đủ để góc hai mặt phẳng (SAM) (SAN) có số đo 300 a(x + y) + xy = a2 Bài tập 20: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình thoi tâm I cạnh a có góc A 600, cạnh SC = a SC ⊥ (ABCD) a) Chứng minh (SBD) ⊥ (SAC) b) Trong tam giác SCA kẻ IK ⊥ SA K Tính độ dài IK · c) Chứng minh BKD = 900 từ suy (SAB) ⊥ (SAD) 10 Quan hệ vng góc khơng gian · đó: SB hình chiếu vng góc SC mp(SAB) ⇒ ( SC ,(SAB )) = BSC Ta có: · ⇒ sin( SC ,( SAB )) = sin BSC = BC a = = SC SA2 + AC b) + Trong mp(SAB) kẻ AH ⊥ SB (H ∈ SB) Theo a) BC ⊥ ( SAB ) ⇒ AH ⊥ BC nên AH ⊥ ( SBC ) hay CH hình chiếu vng góc AC mp(SBC) ⇒ ( AC ,( SBC )) = ·ACH = 1 = + = ⇒ AH = a 2 AH AB SA 6a AH 21 + Vậy sin( AC ,( SBC )) = sin ·ACH = = AC + Xét tam giác vng SAB có: 2.3 Dạng 3: Góc hai mặt phẳng 2.3.1.Phương pháp xác định góc hai mặt phẳng cắt (P) (Q) + Tìm giao tuyến ( P) ∩ (Q) = ∆ + Trong (P) tìm a vng góc với ∆, (Q) tìm b vng góc với ∆ a,b cắt I + ((P),(Q))=(a,b) Chú ý: Trong số trường hợp u cầu tính góc hai mặt phẳng áp dụng cơng thức hình chiếu để tính Cơng thức hình chiếu: Gọi hình (H) có diện tích S; hình (H’) hình chiếu (H) mặt phẳng (α) có diện tích S’; φ góc mặt phẳng chứa (H) mp(α) Lúc đó, ta có cơng thức sau: S ' = S cos ϕ 2.3.2 Các ví dụ mẫu Ví dụ 1: Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ có cạnh a Tính số đo góc (BA’C) (DA’C) Giải: + Kẻ BH ⊥ A ' C , (H ∈ A'C) (1) + Mặt khác, ta có: BD ⊥ AC (gt) , AA ' ⊥ ( ABCD) ⇒ AA ' ⊥ BD ⇒ BD ⊥ ( ACA ') ⇒ BD ⊥ A ' C (2) Từ (1) (2) suy ra: A ' C ⊥ ( BDH ) ⇒ A ' C ⊥ DH Do đó, (( BA ' C ),( DA ' C )) = ( HB, HD) + Xét tam giác vng BCA’ có: 1 = + = 2 2 BH BC BA ' 2a ⇒ BH = a 2 ⇒ DH = a 3 14 Quan hệ vng góc khơng gian · + Ta có: cos BHD = BH − BD · = − ⇒ BHD = 1200 Vậy (( BA ' C ),( DA ' C )) = 60 2 BH Ví dụ 2: Cho hình lăng trụ đứng ABC.A’B’C’, đáy ABC tam giác cân AB=AC=a, · BAC = 1200 , BB’=a, I trung điểm CC’ Tính cosin góc hai mp(ABC) (AB’I) Giải: + Ta thấy tam giác ABC hình chiếu vng góc tam giác AB’I lên mặt phẳng (ABC) Gọi φ góc hai mặt phẳng (ABC) (AB’I) Theo cơng thức hình chiếu ta có: cos ϕ = S ABC S AB ' I + Ta có: a2 S ABC = AB AC.sin120 = a AI = AC + CI = , AB ' = AB + BB '2 = a 2, IB ' = B ' C '2 + IC '2 = A nên S AB ' I = AB ' AI = Vậy cos ϕ = a 13 Suy ra: Tam giác AB’I vng a 10 S ABC = S AB ' I 10 2.4 Bài tập Bài tập 1: (B-2008) Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình vng cạnh 2a, SA = a, SB = a 3,( SAB) ⊥ ( ABCD ) Gọi M, N trung điểm AB BC Tính cosin góc hai đường thẳng SM DN? Bài tập 2: Cho hình chóp S.ABC cạnh đáy a, cạnh bên 2a Tính góc SA mp(ABC) Bài tập 3: Cho hình chóp S.ABC, SA ⊥ ( ABC ) a) Xác định góc (ABC) (SBC) b) Giả sử tam giác ABC vng B xác định góc hai mp (ABC) (SBC) Bài tập 4: Cho hình chóp tứ giác S ABCD đáy ABCD hình vng cạnh a, SA=SB=SC=SD=a Tính cosin góc (SAB) (SAD) Bài tập 5: Cho hình chóp SABCD, có đáy ABCD hình vuông cạnh a, tâm O; SO ⊥ (ABCD) Gọi M, N trung điểm cạnh SA BC Biết · ,( ABCD )) = 60 ( MN 15 Quan hệ vng góc khơng gian a) Tính MN SO b) Tính góc MN (SBD) Bài tập 6: Cho hình chóp SABCD, có đáy ABCD hình vuông cạnh a; SA ⊥ (ABCD) SA = a Tính góc giữa: a) SC (ABCD) b) SC (SAB) c) SB (SAC) d) AC (SBC) Bài tập 7: Cho lăng trụ ABC.A′B′C′, có đáy tam giác cạnh a, AA′ ⊥ (ABC) Đường chéo BC′ mặt bên BCC′B′ hợp với (ABB′A′) góc 300 a) Tính AA′ b) Gọi N trung điểm cạnh BB′ Tính góc MN (BA′C′) Bài tập 8: Cho lăng trụ ABC.A′B′C′, có đáy ABC tam giác vuông cân A; AA′ ⊥ (ABC) Đoạn nối trung điểm M AB trung điểm N B′C′ có độ dài a, MN hợp với đáy góc α mặt bên BCC′B′ góc β a) Tính cạnh đáy cạnh bên lăng trụ theo a α b) Chứng minh rằng: cosα = sinβ Bài tập 9: Cho hình chóp SABC, có đáy ABC tam giác vuông cân với BA = BC = a; SA ⊥ (ABC) SA = a Gọi E, F trung điểm cạnh AB AC a) Tính góc hai mặt phẳng (SAC) (SBC) b) Tính góc mặt phẳng (SEF) (SBC) Bài tập 10: Cho hình chóp SABCD, có đáy ABCD nửa lục giác nội tiếp đường tròn đường kính AB = 2a; SA ⊥ (ABCD) SA = a a) Tính góc mặt phẳng (SAD) (SBC) b) Tính góc mặt phẳng (SBC) (SCD) Bài tập 11: Cho hình vuông ABCD cạnh a, SA ⊥ (ABCD) SA = a Tính góc cặp mặt phẳng sau: a) (SBC) (ABC) b) (SBD) (ABD) c) (SAB) (SCD) Bài tập 12: Cho hình thoi ABCD cạnh a, tâm O, OB = a a ; SA ⊥ (ABCD) SO = 3 · a) Chứng minh ASC vuông b) Chứng minh hai mặt phẳng (SAB) (SAD) vuông góc c) Tính góc hai mặt phẳng (SBC) (ABC) 16 Quan hệ vng góc khơng gian III Các dạng tốn khoảng cách 3.1.Dạng 1: Khoảng cách từ điểm tới mặt phẳng 3.1.1 Cách xác định khoảng cách từ điểm M đến mp(P) Cách 1: + Tìm mp(Q) chứa M vng góc với mp(P) theo giao tuyến ∆ + Từ M hạ MH vng góc với ∆ ( H ∈ ∆ ) + MH = d(M,(P)) Cách 2: + Kẻ ∆//(P) Ta có: d(M,(P))= d(∆,(P)) + Chọn N ∈ ∆ Lúc đó, d M, ( P ) = d( ∆,(P))=d N , ( P ) Cách 3: ( + Nếu MN ∩ ( P ) = I Ta có: ( ) + Tính d N , ( P ) + d ( M, ( P ) ) = ) d ( M, ( P ) ) d( N,( P) ) ( = ) MI NI MI NI MI d ( N , ( P ) ) NI Chú ý: Điểm N ta phải chọn cho tìm khoảng cách từ N đến mặt phẳng (P) dễ tìm khoảng cách từ M đến mp(P) 3.1.2 Các ví dụ mẫu *) Ví dụ cho cách 1: Ví dụ 1: Cho hình chóp S.ABC, đáy ABC có cạnh a, mặt bên tạo với đáy góc α Tính d ( A,( SBC )) theo a α 17 Quan hệ vng góc khơng gian Giải: + Gọi I trung điểm BC SI ⊥ BC  ¶ =α  ⇒ BC ⊥ ( SAI ) SIA AI ⊥ BC  + Kẻ AH ⊥ SI (H ∈ SI) mà SI = ( SAI ) ∩ ( SBC ) nên AH ⊥ ( SBC ) Do đó, d ( A,( SBC )) = AH + Ta có: + Mặt khác, xét tam giác vng AHI có: AH = AI sin α = Vậy, d ( A,( SBC )) = AH = a sin α a sin α Ví dụ 2: Cho hình chóp S.ABCD đáy ABCD hình vng cạnh a, SA ⊥ ( ABCD ) , SA=2a, a) Tính d ( A,( SBC )) b) Tính d ( A,( SBD )) Giải: a) Kẻ AH ⊥ SB (H ∈ SB) (1) Ta có: SA ⊥ ( ABCD ) ⇒ SA ⊥ BC (*) AB ⊥ BC (gt) (**) Từ (*) (**) suy ra: BC ⊥ ( SAB ) ⇒ BC ⊥ AH (2) Từ (1) (2) ta có: AH ⊥ ( SBC ) hay d ( A,( SBC )) = AH + Mặt khác, xét tam giác vng SAB có: 1 2a = + = ⇒ AH = AH AB SA2 4a 2a Vậy, d ( A,( SBC )) = b) Gọi O = AC ∩ BD Kẻ AK ⊥ SB (K ∈ SO) (1) Ta có: SA ⊥ ( ABCD ) ⇒ SA ⊥ BD (*) AC ⊥ BD (gt) (**) Từ (*) (**) suy ra: BD ⊥ ( SAC ) ⇒ BC ⊥ AK (2) Từ (1) (2) ta có: AK ⊥ ( SBD ) hay d ( A,( SBD )) = AK 1 2a = + = ⇒ AK = + Mặt khác, xét tam giác vng SAO có: 2 AK AO SA 4a 2a Vậy, d ( A,( SBD )) = 18 Quan hệ vng góc khơng gian Ví dụ 3: Cho hình chóp S.ABCD đáy ABCD hình vng cạnh a, tam giác SAB đều, ( SAB ) ⊥ ( ABCD) Gọi I, F trung điểm AB AD Tính d ( I ,( SFC )) Giải: Gọi K = FC ∩ ID + Kẻ IH ⊥ SK (H ∈ K) (1) + Ta có: ( SAB ) ⊥ ( ABCD)  ( SAB ) ∩ ( ABCD ) = AB   ⇒ SI ⊥ ( ABCD ) SI ⊂ ( SAB )   SI ⊥ AB ⇒ SI ⊥ FC (*) + Mặt khác, Xét hai tam giác vng AID DFC có: AI=DF, AD=DC Suy ra, ∆AID = ∆DFC · · mà ⇒ ·AID = DFC , ·ADI = DCF ·AID + ·ADI = 900 ⇒ DFC · + ·ADI = 900 hay FC ⊥ ID (**) + Từ (*) (**) ta có: FC ⊥ ( SID ) ⇒ IH ⊥ FC (2) Từ (1) (2) suy ra: IH ⊥ ( SFC ) hay d ( I ,( SFC )) = IH SI = + Ta có: a a 1 a , ID = , = + = ⇒ DK = 2 2 DK DC DF a 3a 10 1 32 3a 3a Do đó, Vậy, d ( I ,( SFC )) = = + = ⇒ IH = IH SI IK 9a 8 ⇒ IK = ID − DK = *) Ví dụ cho cách 2: Ví dụ 1: (B-2011) Cho lăng trụ ABCD.A’B’C’D’, ABCD hình chữ nhật, AB = a, AD = a Hình chiếu vng góc A’ (ABCD) trùng với giao điểm AC BD Tính d ( B ',( A ' BD )) Giải: + Gọi O giao điểm AC BD Vì B’C//A’D nên B’C//(A’BD) Do đó, 19 Quan hệ vng góc khơng gian d ( B ',( A ' BD)) = d ( B ' C ,( A ' BD)) = d (C ,( A ' BD)) + Trong mặt phẳng (ABCD) kẻ A ' O ⊥ ( ABCD ) CH ⊥ BD, (H ∈ BD) (1) Mặt khác, ⇒ A ' O ⊥ CH (2) Từ (1) (2) suy ra: CH ⊥ ( A ' BD ) ⇒ d ( B ',( A ' BD )) = CH 1 a = + = ⇒ CH = CH BC CD 3a a Vậy: d ( B ',( A ' BD )) = CH = + Xét tam giác vng BCD có: Ví dụ 2: (A-2013) Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC tam giác vng A, ·ABC = 300 , ∆SBC tam giác cạnh a, ( SBC ) ⊥ ( ABC ) Tính d (C ,( SAB)) Giải: + Trong mặt phẳng (ABC) vẽ hình chữ nhật ABDC Gọi M, I, J trung điểm BC, CD AB Lúc đó, CD//(SAB) hay d (C ,( SAB )) = d (CD,( SAB )) = d ( I ,( SAB )) + Trong mặt phẳng (SIJ) kẻ IH ⊥ SJ , (H ∈ SJ) (1) IJ ⊥ AB   Mặt khác, ta có: SM ⊥ ( ABC ) ⇒ AB ⊥ SM  ⇒ AB ⊥ ( SIJ ) ⇒ AB ⊥ IH (2) Từ (1) (2) suy ra: IH ⊥ ( SAB ) hay d (C ,( SAB )) = IH 1 SM IJ + Xét tam giác SIJ có: S SIJ = IH SJ = SM IJ ⇒ IH = Với: 2 SJ a a a 13 IJ = AC = BC.sin 300 = , SM = , SJ = SM + MJ = 2 20 Quan hệ vng góc khơng gian Do đó: IH = SM IJ a 39 a 39 Vậy d (C ,( SAB )) = = SJ 13 13 *) Ví dụ cho cách 3: Ví dụ 1: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình thang vng A D, AB=AD=a, CD=2a, SD ⊥ ( ABCD ) , SD=a a) Tính d ( D,( SBC )) b) Tính d ( A,( SBC )) Giải: Gọi M trung điểm CD, E giao điểm hai đường thẳng AD BC a) Trong mặt phẳng (SBD) kẻ DH ⊥ SB, (H ∈ SB) (1) CD ⇒ Tam giác BCD vng B hay BC ⊥ BD (*) Mặt khác, SD ⊥ ( ABCD ) ⇒ SD ⊥ BC (**) Từ (*) + Vì BM = AD = (**) ta có: BC ⊥ ( SBD) ⇒ BC ⊥ DH (2) Từ (1) (2) suy ra: DH ⊥ ( SBC ) hay d ( D,( SBC )) = DH + Xét tam giác vng SBD có: 1 2a = + = ⇒ DH = DH SD BD 2a Vậy, d ( D,( SBC )) = 2a 3 b) Ta có: d ( A,( SBC )) AE AB 1 a = = = ⇒ d ( A,( SBC )) = d (d ,( SBC )) = d ( D,( SBC )) DE CD 2 Vậy, d ( A,( SBC )) = a 3 Ví dụ 3: (D-2011) Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC tam giác vng B, BA=3a, · BC=4a, ( SBC ) ⊥ ( ABC ), SB = a 3, SBC = 300 Tính d ( B,( SAC )) Giải: + Trong mặt phẳng (SBC) kẻ SM ⊥ BC (M ∈ BC) ; mặt phẳng (ABC) kẻ MN ⊥ AC (N ∈ AC) ; mặt phẳng (SMN) kẻ MH ⊥ SN (N ∈ SN ) Suy ra, MH ⊥ ( SAC ) ⇒ d ( M ,( SAC )) = MH 21 Quan hệ vng góc khơng gian + Ta có: SM = SB.sin 300 = a , BM = SB.cos300 = 3a ⇒ CM = a , AB.CM 3a MN = = Xét tam giác vng AC SMN có: 1 28 3a = + = ⇒ MH = MH SM MN 9a 28 3a ⇒ d ( M ,( SAC )) = 28 + Mặt khác, ta có: d ( B,( SAC )) BC = =4 d ( M ,( SAC )) MC ⇒ d ( B,( SAC )) = 4.d ( M ,( SAC )) = Vậy d ( B,( SAC )) = 6a 6a 3.2.Dạng 2: Khoảng cách hai đường thẳng chéo 3.2.1 Cách tính khoảng cách hai đường thẳng chéo d d’ Cách 1: + Xác định đường thẳng vng góc chung d d’ + Tính độ dài đoạn vng góc chung Cách 2: +Tìm mp(P) chứa d’ song song với d + Khi d ( d , d ') = d (d ,( P )) = d ( A,( P)) với A điểm thuộc d Chú ý: mp(P) có sẵn phải dựng (Cách dựng: qua điểm B ∈ d ' dựng đường thẳng ∆ song song với d, lúc mp(P)≡(d’,∆)) 3.2.2 Các ví dụ mẫu *) Ví dụ cho cách Ví dụ 1: Cho tứ diện ABCD có AB=a, tất cạnh lại 3a Tính d ( AB, CD) Giải: + Gọi I, J trung điểm CD AB 22 Quan hệ vng góc khơng gian + Vì ACD ACD tam giác nên: CD ⊥ AI , CD ⊥ BI ⇒ CD ⊥ ( AIB ) ⇒ CD ⊥ IJ (1) Mặt khác, ∆ACD = ∆ACD nên tam giác AIB cân I Do đó, IJ ⊥ AB (2) + Từ (1), (2) suy ra: IJ đường vng góc chung AB CD  3a   a  a 26 + Ta có: IJ = AI − AJ =  ÷ − ÷ = 2     a 26 Vậy d ( AB, CD) = Ví dụ 2: (A_2010) Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình vng cạnh a Gọi M, N trung điểm AB AD, H giao điểm CN DM, SH ⊥ ( ABCD ), SH = a Tính 2 d ( DM , SC ) Giải: + Trong mp(SCH) kẻ HK ⊥ SC (1), (K ∈ SC) + Mặt khác, SH ⊥ ( ABCD)   ⇒ SH ⊥ DM (*) DM ⊂ ( ABCD )  Xét hai tam giác vng AMD DNC có AM=DN, AD=DC ⇒ ∆AMD = ∆DNC Từ ta có: ·AMD = DNC · ·ADM = DCN ·   0 · · ·  ⇒ DNC + ADM = 90 ⇒ NHD = 90 hay DM ⊥ CN (**) ·AMD + ·ADM = 900   Từ (*), (**) suy ra: DM ⊥ ( SCH ) ⇒ DM ⊥ HK (2) Từ (1), (2) suy ra: HK đoạn vng góc chung DM SC CD a2 2a = = + Ta có: ∆HCD : ∆DCN ⇒ HC = 2 CN CD − DN Xét tam giác vng SHC ta có: Vậy d ( DM , SC ) = HK = HK = HC + HS = 3a ⇒ HK = a 15 a 15 *) Ví dụ cho cách 23 Quan hệ vng góc khơng gian Ví dụ 1: Cho hình lăng trụ đứng ABC.A’B’C’, đáy ABC tam giác cạnh a, AA ' = a Tính d ( AB, CB ') Giải: + Gọi I, J trung điểm AB A’B’ + Ta có: AB / /(CA ' B ') ⇒ d ( AB, CB ') = d ( AB,(CA ' B ')) = + Trong mp(CIJ) kẻ = d ( I ,(CA ' B ')) IH ⊥ CJ (1), (H ∈ CJ) Ta có: A ' B ' ⊥ ( IJ ) (vì ABC A’B’C’ hình lăng trụ đứng) IC ⊥ A ' B ' (vì ∆ABC tam giác đều) nên A ' B ' ⊥ (CIJ ) ⇒ IH ⊥ A ' B ' (2) Từ (1), (2) suy ra: IH ⊥ (CA ' B ') hay d ( AB, CB ') = IH 1 10 a 30 = + = + = ⇒ IH = + Xét tam giác vng CIJ có: 10 IH IC IJ 3a a 3a a 30 Vậy d ( AB, CB ') = IH = 10 Ví dụ 2: Cho hình chóp tứ giác S.ABCD có đáy ABCD hình vng cạnh a, cạnh bên a Tính d ( AD, SB ) Giải: + Vì AD / / ( SBC ) ⇒ d ( AD, SB) = d ( AB,( SBC )) + Gọi O giao điểm AC BD I, J trung điểm AD BC 24 Quan hệ vng góc khơng gian + Trong mp(SIJ) kẻ IH ⊥ SJ ,( H ∈ SJ ) (1) SO ⊥ ( ABCD) ⇒ SO ⊥ BC   ⇒ BC ⊥ ( SIJ ) Theo giả thiết ta có: IJ / / AB ⇒ IJ ⊥ BC Từ (1), (2) suy ra:  ⇒ IH ⊥ BC (2) IH ⊥ ( SBC ) hay d ( AD, SB) = IH 1 SO.IJ + Xét tam giác SIJ có: S SIJ = IH SJ = SO.IJ ⇒ IH = Với: IJ=a, 2 SJ a SO.IJ 2a 21 SO = SA2 − AO = a , SJ = SB − BJ = Suy ra: IH = = SJ 2a 21 Vậy d ( AD, SB ) = IH = Ví dụ 3: Cho hình chóp S.ABCD, có đáy ABCD hình vng cạnh a, tam giác SAD tam giác đều, (SAD) vng góc với mặt phẳng đáy Tính d ( SA, BD ) Giải: + Qua A kẻ đường thẳng d song song với BD Gọi O giao điểm AC BD; I, M trung điểm AD OD; N giao điểm d IM + Ta có: d ( SA, BD) = d (( SA, d ), BD ) = = d ( M ,( SA, d )) + Trong mp(SMN) kẻ MH ⊥ SN (1), (H ∈ SN) Theo giả thiết: SI ⊥ AD   ⇒ SI ⊥ ( ABCD ) ⇒ SI ⊥ d (*) Mặt khác ta có: ( SAD ) ⊥ ( ABCD )  d / / BD   BD ⊥ AO  ⇒ d ⊥ MN (**) Từ (*), (**) suy ra: AO / / MN  d ⊥ ( SMN ) ⇒ d ⊥ MH (2) Từ (1), (2) suy ra: MH ⊥ ( SA, d ) + Xét tam giác SMN có: 1 SI MN S SMN = MH SN = SI MN ⇒ MH = với 2 SN 25 Quan hệ vng góc khơng gian SI = a a a 10 SI MN a 15 Do đó, MH = , MN = AO = , SN = SI − IN = = 2 SN Vậy d ( SA, BD) = a 15 Ví dụ 4: (A-2011) Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC tam giác vng tai B, AB=BC=2a, hai mặt phẳng (SAB) (SAC) vng góc với mặt phẳng (ABC) Gọi M trung điểm AB, mặt phẳng qua SM song song với BC cắt AC N, góc hai mặt phẳng (SBC) (ABC) 600 Tính d ( AB, SN ) Giải: + Gọi I trung điểm BC Do MN//BC nên N trung điểm AC Do đó, IN//AB hay d ( AB, SN ) = d ( AB,( SNI )) + Trong mp(ABC) kẻ AJ ⊥ IN ,( J ∈ IN ) (*) Trong mp(SAJ) kẻ AH ⊥ SJ ,( H ∈ SJ ) (1) ( SAB) ⊥ ( ABC )  + Theo giải thiết ta có:  ⇒ SA ⊥ ( ABC ) ⇒ SA ⊥ IN (**) ( SAC ) ⊥ ( ABC )  Từ (*), (**) ta có: IN ⊥ ( SAJ ) ⇒ IN ⊥ AH (2) Từ (1), (2) ta có: AH ⊥ ( SIN ) ⇒ d ( AB, SN ) = AH · + Ta có: (( SBC ),( ABC )) = SBA = 600 ⇒ SA = AB.tan 600 = a ; AJ = BI = a + Xét tam giác vng SAJ có: AH a 156 Vậy d ( AB, SN ) = AH = 13 3.3 Bài tập = SA2 + AJ = 13 12a ⇒ AH = a Bài tập 1: Cho hình chóp S.ABCD, SA=a, cạnh lại SA ⊥ SC Tính d ( S ,( ABCD)) 12 13 a Chứng minh: Bài tập 2: (D-2009) Cho hình lăng trụ đứng ABC.A’B’C’, đáy ABC tam giác vng B, AB=a, AA’=2a Gọi M trung điểm A’C’, I giao điểm AM A’C Tính d ( A,( IBC )) Bài tập 3: Cho hình chóp SABC, SA = 3a, SA ⊥ ( ABC ), AB = 2a, ·ABC = 1200 Tính d ( A,( SBC )) Bài tập 4: (D-2007) Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình thang , ·ABC = BAD · = 900 , BA=BC=a, AD=2a, SA ⊥ ( ABCD ) , SA = a Gọi H hình chiếu A SB Chứng minh tam giác SCD vng tính d ( H ,( SCD)) · Bài tập 5: Cho hình chóp S.ABCD, có đáy ABCD hình thoi tâm O cạnh a, BCD = 600 đường cao SO=a Tính d ( AD, SB ) Bài tập 6: (D-2008) Cho hình lăng trụ đứng ABC.A’B’C’ có đáy ABC tam giác vng cân B, BA=BC=a, AA ' = a Gọi M trung điểm BC Tính d ( AM , B ' C ) 26 Quan hệ vng góc khơng gian Bài tập 7: (B-2007) Cho hình chóp tứ giác S.ABCD có đáy ABCD hình vng cạnh a, E điểm đối xứng với D qua trung điểm SA Gọi M, N trung điểm AE BC Chứng minh rằng: MN ⊥ BD Tính d ( MN , AC ) Bài tập 8: Cho hình tứ diện OABC, OA, OB, OC = a Gọi I trung điểm BC Hãy dựng tính độ dài đoạn vuông góc chung cặp đường thẳng: a) OA BC b) AI OC Bài tập 9: Cho hình chóp SABCD, đáy ABCD hình vuông tâm O, cạnh a, SA ⊥ (ABCD) SA = a Tính khoảng cách hai đường thẳng: a) SC BD b) AC SD Bài tập 10: Cho tứ diện SABC có SA ⊥ (ABC) Gọi H, K trực tâm tam giác ABC SBC a) Chứng minh ba đường thẳng AH, SK, Bc đồng qui b) Chứng minh SC ⊥ (BHK), HK ⊥ (SBC) c) Xác đònh đường vuông góc chung BC SA Bài tập 11: a) Cho tứ diện ABCD Chứng minh AC = BD, AD = BC dường vuông góc chung AB CD đường nối trung điểm I, K hai cạnh AB CD b) Chứng minh đường thẳng nối trung điểm I, K hai cạnh AB CD tứ diện ABCD đường vuông góc chung AB CD AC = BD, AD = BC Bài tập 12: Cho hình vuông ABCD cạnh a, I trung điểm AB Dựng IS ⊥ (ABCD) IS = a Gọi M, N, P trung điểm cạnh BC, SD, SB Hãy dựng tính độ dài đoạn vuông góc chung cặp đường thẳng: a) NP AC b) MN AP Bài tập 13: Cho hình chóp SABCD, có SA ⊥ (ABCD) SA = a , đáy ABCD nửa lục giác nội tiếp đường tròn đường kinh AD = 2a a) Tính khoảng cách từ A B đến mặt phẳng (SCD) b) Tính khoảng cách từ đường thẳng AD đến mặt phẳng (SBC) c) Tính diện tích thiết diện hình chóp SABCD với mặt phẳng (P) song song với mp(SAD) cách (SAD) khoảng a Bài tập 14: Cho hình lăng trụ ABC.A′B′C′ có AA′ ⊥ (ABC) AA′ = a, đáy ABC tam giác vuông A có BC = 2a, AB = a a) Tính khoảng cách từ AA′ đến mặt phẳng (BCC′B′) b) Tính khoảng cách từ A đến (A′BC) c) Chứng minh AB ⊥ (ACC′A′) tính khoảng cách từ A′ đến mặt phẳng (ABC′) Bài tập 15: Cho hình chóp SABCD có đáy ABCD hình vuông cạnh a, SA ⊥ (ABCD) SA = 2a a) Tính khoảng cách từ A đến mp(SBC), từ C đến mp(SBD) 27 Quan hệ vng góc khơng gian b) M, N trung điểm AB AD Chứng minh MN song song với (SBD) tính khoảng cách từ MN đến (SBD) c) Mặt phẳng (P) qua BC cắt cạnh SA, SD theo thứ tự E, F Cho biết AD cách (P) khoảng a , tính khoảng cách từ S đến mặt phẳng (P) diện tích tứ giác BCFE Bài tập 16: Cho hai tia chéo Ax, By hợp với góc 60 0, nhận AB = a làm đoạn vuông góc chung Trên By lấy điểm C với BC = a Gọi D hình chiếu C Ax a) Tính AD khoảng cách từ C đến mp(ABD) b) Tính khoảng cách AC BD · Bài tập 17: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình thoi cạnh a BAD = 60 Gọi O giao điểm AC BD Đường thẳng SO ⊥ (ABCD) SO = điểm BC, F trung điểm BE a) Chứng minh (SOF) ⊥ (SBC) b) Tính khoảng cách từ O A đến (SBC) 3a Gọi E trung 28 ... có AB = a, BC = a , mặt bên SBC vuông B, mặt bên SCD vuông D có SD = a a) Chứng minh: SA ⊥ (ABCD) tính SA Quan hệ vng góc khơng gian b) Đường thẳng qua A vuông góc với AC, cắt đường thẳng CB,... (AB′C′) vuông góc với mặt phẳng (AHK) Bài tập 17: Cho tam giác ABC vuông A có AB = c, AC = b Gọi (P) mặt phẳng qua BC vuông góc với mp(ABC); S điểm di động (P) cho SABC hình chóp Quan hệ vng góc. .. ⊥ (ABCD) SO = 3 · a) Chứng minh ASC vuông b) Chứng minh hai mặt phẳng (SAB) (SAD) vuông góc c) Tính góc hai mặt phẳng (SBC) (ABC) 16 Quan hệ vng góc khơng gian III Các dạng tốn khoảng cách 3.1.Dạng