UBND TNH BC NINH S GIO DC V O TO CHNH THC THI CHN HC SINH GII CP TNH NM HC 2016 2017 Mụn thi: Toỏn Lp Thi gian lm bi: 150 phỳt (khụng k thi gian giao ) ( thi cú 01 trang) Cõu (3,0 im) 1) Rỳt gn biu thc B = 13 + 30 + 9+ 2) Cho cỏc s thc a, b, c tha a + b + c = 0, a + b2 c 2, b2 + c a , c + a b2 a2 b2 c2 Tớnh giỏ tr biu thc P = + + a - b - c b - c - a c - a - b2 Cõu (4,0 im) 1) Trong h trc ta Oxy , tỡm trờn ng thng y = 2x + nhng im M ( x ; y ) cho y - 5y x + 6x = a b c 2) Cho a, b, c l cỏc s thc tha + + = Chng minh rng phng trỡnh ax + bx + c = luụn cú nghim Cõu (4,0 im) 1) Cho cỏc s thc dng a, b, c Chng minh rng 8 8 8 2 + + + a + b + c + + a + b+ c+ (a + b)2 + 4abc (b + c )2 + 4abc (a + c )2 + 4abc 2) Tỡm cỏc s nguyờn t a, b, c v s nguyờn dng k tha phng trỡnh a + b2 + 16c = 9k + Cõu (6,0 im) Cho on thng A B = 2a cú trung im l O Trờn cựng na mt phng b A B dng na ng trũn tõm O ng kớnh A B v na ng trũn tõm O ' ng kớnh A O im M thay i trờn na ng trũn ( O ') (M khỏc A v O ), tia OM ct ng trũn ( O ) ti C Gi D l giao im th hai ca CA vi ng trũn ( O ') 1) Chng minh rng tam giỏc A DM cõn 2) Tip tuyn ti C ca ng trũn ( O ) ct tia OD ti E , chng minh EA l tip tuyn chung ca hai ng trũn ( O ) v ( O ') 3) ng thng A M ct OD ti H , ng trũn ngoi tip tam giỏc COH ct ng trũn ( O ) ti im th hai l N Chng minh rng ba im A, M , N thng hng 4) Tớnh di on OM theo a bit ME song song vi A B Cõu (3,0 im) 1) Cho hỡnh vuụng MNPQ v im A nm tam giỏc MNP cho ã N A M = A P + 2A N Tớnh gúc PA 2 2) Cho cỏc a thc P ( x ) = x + ax + bx + c; Q ( x ) = x + 2016x + 2017 tha ( ) P ( x ) = cú ba nghim thc phõn bit v P Q ( x ) = vụ nghim Chng minh rng P ( 2017 ) > 1008 -HT - UBND TNH BC NINH S GIO DC V O TO HNG DN CHM THI CHN HC SINH GII CP TNH NM HC 2016 - 2017 Mụn: Toỏn - Lp ỏp ỏn Cõu 1.1 (1.5 im) B = 13 + 30 + + = 13 + 30 + = 13 + 30 + ( + 1) = 13 + 30 + 8+ 8+ im 0.75 8+1 = 13 + 30 + 2 + = 13 + 30 ( + 1)2 = 18 + 18.5 + 25 0.75 = ( 18 + 5) = + 1.2 (1.5 im) P = a2 (b + c) 2 - b2 - c 2 + b2 (c + a) 3 - c2 - a2 + c2 ( a + b) - a - b2 0.75 a b c a +b +c + + = 2bc 2ca 2ab 2abc 3 2 Ta cú a + b + c - 3abc = ( a + b + c ) a + b + c - ab - bc - ca = = ( ) ị a + b + c = 3abc Do vy, P = 2.1 (2.0 im) 0.75 ộy = x Ta cú y - 5y x + 6x = ờy = x Vi y = x ị 2x + = x x + ( 1.0 ) x - = , khụng cú x tha ộx =1 Vi y = x ị 2x + = x ờx = ộx = ờ ờx = ổ 3ử ữ ; ữ ỗ T ú tỡm c cỏc im tha l M ( 1; 3) hoc M ỗ ữ ỗ ữ ố4 ứ 1.0 2.2 (2.0 im) 5 c ta c cx = c 4 c = 0, Nu phng trỡnh nghim ỳng vi mi x ẻ Ă Nu c 0, phng trỡnh cú nghim x = a 0, Vi ổ4 16 16 64 ữ D = b2 - 4ac = b2 - 4a ỗ =b + ab + a = b2 + ab + a + a ỗ- a - bữ ữ ữ ỗ ứ 5 25 75 ố Vi a = ị b = - ổ ữ =ỗ + a > 0, " a 0, " b Suy ra, phng trỡnh luụn cú hai nghim phõn bit ỗb + a ữ ữ ữ ỗ ố ứ 75 Vy phng trỡnh luụn cú nghim 3.1 (2.0 im) 1.0 1.0 Ta cú 8 (a + b)2 2 = ; a + b nờn (a + b)2 + 4abc (a + b)2 + c(a + b)2 (c + 1) (a + b)2 a + b2 (a + b)2 + + (a + b)2 + 4abc (c + 1)(a + b)2 2 c+1 = 2 ( c + 1) 2 c+1 c+ 0.5 0.5 0.5 a + b2 + Do ú, 2 c+ (a + b) + 4abc b2 + c 8 a + c2 + + , 2 a + (a + c ) + 4abc b+ (b + c ) + 4abc T ú suy iu phi chng minh Du bng xy v ch a = b = c = 3.2 (2.0 im) Vỡ VP chia d nờn VT chia d M bỡnh phng ca s nguyờn t chia d hoc nờn hai ba s a, b, c phi bng TH1: a = b = ta cú 18 + 16c = 9k + ị 17 = 9k - 16c = (3k - 4c )(3k + 4c ) Tng t ỡù 3k - 4c = ỡù k = (tha món) ị ùớ ị ùớ ùù 3k + 4c = 17 ùù c = ợ ợ 0.5 0.5 0.5 Vy ta c ( a ;b; c; k ) = ( 3; 3;2; 3) TH2: Nu c = ; a = hoc b = Vi a = ta cú 32 + b2 + 16 ì32 = 9k + ị 152 = 9k - b2 = (3k - b)(3k + b) = 23 ì19 Vỡ 3k - b, 3k + b cựng tớnh chn l m tớch l chn nờn chỳng cựng chn Ta c cỏc trng hp: ỡù 3k - b = ỡù k = 13 ù ù (tha món) ớ ùù 3k + b = 76 ùùợ b = 37 ợ Ta c cỏc b ( a ;b; c; k ) tha l (a, b, c, k ) = (3, 37, 3,13) 1.0 ỡù 3k - b = ỡù k = ù ù (tha món) ớ ùù 3k + b = 38 ùù b = 17 ợ ợ Ta c cỏc b ( a ;b; c; k ) tha l (a, b, c, k ) = (3, 17, 3, 7) Tng t ta cú cỏc b (a, b, c, k ) = (37, 3, 3,13),(17, 3, 3, 7) 4.1 (1.0 im) Tam giỏc A OC cõn ti O , cú OD l ng cao nờn l phõn giỏc gúc ã Aã OC , ú Aã OD = COD 0.5 ẳ nờn DA = DM ị Aẳ D = DM Vy tam giỏc A MD cõn ti D 0.5 4.2 (1.0 im) ã E = OCE ã D OEA = D OEC ( c.g.c ) ị OA = 900 0.5 Do ú, A E ^ A B Vy A E l tip tuyn chung ca ( O ) v ( O ') 0.5 4.3 (2.0 im) Gi s A M ct ( O ) ti N ' D OA N ' cõn ti O , cú OM ^ A N ' nờn OM l ng trung trc ca A N ' ị CA = CN ' ã M = DOM ã ã ' A = CA ã M m CA ã ' H = COH ã Ta cú CN , ú CN Bn im C , N ',O , H thuc mt ng trũn Suy ra, N ' thuc ng trũn ngoi tip D CHO Do vy, N ' trựng vi N Vy ba im A, M , N thng hng 4.4 (2.0 im) Vỡ ME / / A B v A B ^ A E nờn ME ^ A E Ta cú hai tam giỏc MA O , EMA ng dng nờn MO MA AO = = ị MA = A O EM (*) EA EM MA D thy D MEO cõn ti M nờn ME = MO Thay vo (*) ta c MA = OA MO (**) t MO = x > ta cú MA = OA - MO = a - x T (**) suy a - x = ax x + ax - a = T ú tỡm c OM = ( 1.0 1.0 1.0 1.0 ) 5- 1a 5.1 (1.5 im) Dng tam giỏc A NB vuụng cõn ti N ( A, B nm khỏc phớa i vi NP ) ã N = 450 v Ta cú A B = 2A N , BA D A MN = D BNP ( c.g.c ) ị A M = BP 1.0 Do ú, A P + A B = A P + 2A N = A M = BP ịD A BP vuụng ti A ã N = PA ã B + BA ã N = 900 + 450 = 1350 Nờn PA 5.2 (1.5 im) Gi x 1, x 2, x l ba nghim ca P ( x ) ta cú P ( x ) = ( x - x ) ( x - x ) ( x - x ) ( ) ( )( )( Suy ra, P Q ( x ) = Q ( x ) - x Q ( x ) - x Q ( x ) - x ( ) ) Do P Q ( x ) = vụ nghim nờn cỏc phng trỡnh Q ( x ) - x i = ( i = 1, 2, 3) vụ nghim Hay cỏc phng trỡnh x + 2016x + 2017 - x i = ( i = 1, 2, 3) vụ nghim 0.5 0.5 2 Do ú, cỏc bit thc tng ng D i ' = 1008 - ( 2017 - x i ) < 2017 - x i > 1008 Suy ra, P ( 2017 ) = ( 2017 - x ) ( 2017 - x ) ( 2017 - x ) > 1008 1.0 Chỳ ý: Hc sinh lm ỳng n õu giỏm kho cho im n ú, tng ng vi thang im HS trỡnh by theo cỏch khỏc m ỳng thỡ giỏm kho cho im tng ng vi thang im Trong trng hp m hng lm ca HS kt qu nhng n cui cũn sai sút thi giỏm kho trao i vi t chm gii quyt Tng im ca bi thi khụng lm trũn -Ht - ...UBND TNH BC NINH S GIO DC V O TO HNG DN CHM THI CHN HC SINH GII CP TNH NM HC 2016 - 2017 Mụn: Toỏn - Lp ỏp ỏn Cõu 1.1 (1.5 im) B = 13 + 30 +... ( 3; 3;2; 3) TH2: Nu c = ; a = hoc b = Vi a = ta cú 32 + b2 + 16 ì32 = 9k + ị 152 = 9k - b2 = (3k - b)(3k + b) = 23 ì 19 Vỡ 3k - b, 3k + b cựng tớnh chn l m tớch l chn nờn chỳng cựng chn Ta c... phng ca s nguyờn t chia d hoc nờn hai ba s a, b, c phi bng TH1: a = b = ta cú 18 + 16c = 9k + ị 17 = 9k - 16c = (3k - 4c )(3k + 4c ) Tng t ỡù 3k - 4c = ỡù k = (tha món) ị ùớ ị ùớ ùù 3k + 4c =