Tài liệu hạn chế xem trước, để xem đầy đủ mời bạn chọn Tải xuống
1
/ 11 trang
THÔNG TIN TÀI LIỆU
Thông tin cơ bản
Định dạng
Số trang
11
Dung lượng
448,91 KB
Nội dung
3/16/2015 CHƯƠNG 2: BIẾN NGẪU NHIÊN VÀ CÁC ĐĂC TRƯNG CỦA CHÚNG CHƯƠNG 2: BIẾN NGẪU NHIÊN VÀ CÁC ĐĂC TRƯNG CỦA CHÚNG 2.1.1 Định nghĩa biến ngẫu nhiên 2.1 ĐỊNH NGHĨA VÀ PHÂN LOẠI BIẾN NGẪU NHIÊN Gieo xúc xắc mặt Biến ngẫu nhiên X đại lượng nhận giá trị phụ thuộc vào yếu tố ngẫu nhiên, nghĩa với giá trị thực Ký hiệu A1, A2, A3, A4, A5, A6 biến cố “mặt chấm x “X nhận giá trị nhỏ x”, ký hiệu {X x}, xuất hiện”, “mặt chấm xuất hiện”, …, “mặt chấm xuất hiện” biến cố Tập hợp tất giá trị X gọi miền giá trị X, ký hiệu RX Nếu xét đại lượng X số chấm xuất gieo xúc xắc X nhận giá trị 1, 2, 3, 4, 5, cách ngẫu nhiên X nhận giá trị k biến cố Ak, Ví dụ 2.1: Nếu gọi X tổng số chấm xuất gieo hai xúc xắc X biến ngẫu nhiên có miền giá trị nghĩa {X k} Ak, với k 1, 2, …, RX 2,3, ,12 Ta gọi X biến ngẫu nhiên có miền giá trị RX {1, 2, …, 6} 3/16/2015 X k Ak ; k 2, 3, ,12 3/16/2015 CHƯƠNG 2: BIẾN NGẪU NHIÊN VÀ CÁC ĐĂC TRƯNG CỦA CHÚNG CHƯƠNG 2: BIẾN NGẪU NHIÊN VÀ CÁC ĐĂC TRƯNG CỦA CHÚNG Định nghĩa 2.2: Hai biến ngẫu nhiên X, Y độc lập X Bằng cách sử dụng dãy phép thử Bernoulli ta có kết sau nhận giá trị khơng phụ thuộc Y ngược lại Nói Xác suất bắn trúng bia xạ thủ 0,8 Xạ thủ bắn 10 viên, gọi X số viên bắn trúng bia xác suất để xạ thủ bắn trúng k viên cách khác với số thực x, y; hai biến cố {X x}, {Y y} độc lập k P X k C10 (0,8)k (0, 2)10 k , k 10 2.1.2 Hàm phân bố xác suất Các biến ngẫu nhiên xét phép thử khác (tương ứng với không gian xác suất khác nhau) quy luật phân bố xác suất chúng Quy luật phân bố xác suất nghiên cứu thông qua hàm phân bố xác suất 3/16/2015 Tương tự, giả sử tỷ lệ phẩm lô hàng 0,8 Chọn 10 sản phẩm kiểm tra, gọi Y số phẩm phát xác suất chọn k phẩm k P Y k C10 (0,8)k (0, 2)10 k , k 10 Như X Y có quy luật phân bố xác suất 3/16/2015 CHƯƠNG 2: BIẾN NGẪU NHIÊN VÀ CÁC ĐĂC TRƯNG CỦA CHÚNG Hàm phân bố xác suất (cumulative distribution function, viết tắt CDF) biến ngẫu nhiên X hàm số FX ( x) xác định với x công thức: CHƯƠNG 2: BIẾN NGẪU NHIÊN VÀ CÁC ĐĂC TRƯNG CỦA CHÚNG Các tính chất hàm phân bố FX ( x) với x FX ( x) hàm không giảm, liên tục bên phải Nếu X biến ngẫu nhiên liên tục FX ( x) hàm liên tục FX ( x) P X x ; x FX () lim FX ( x) 0; FX ( ) lim FX ( x) x {X x} ký hiệu biến cố “biến ngẫu nhiên X nhận giá trị nhỏ hay x” x P a X b FX (b) FX (a ) P X a FX (a) P X a FX (a ) lim FX ( x) x a , x a 3/16/2015 3/16/2015 3/16/2015 CHƯƠNG 2: BIẾN NGẪU NHIÊN VÀ CÁC ĐĂC TRƯNG CỦA CHÚNG CHƯƠNG 2: BIẾN NGẪU NHIÊN VÀ CÁC ĐĂC TRƯNG CỦA CHÚNG Miền giá trị RX 1, 2,3 Ví dụ 2.3: Một nguồn thơng tin sinh ký hiệu ngẫu nhiên từ bốn ký tự {a, b, c, d} với xác suất P(a)=1/2, P(b)=1/4 P X 1 P(a) ; P X 2 P(b) ; P(c)=P(d)=1/8 P X 3 P c, d P(c) P(d ) Mã hóa ký hiệu theo mã nhị phân sau FX ( x) Đặt X biến ngẫu nhiên ký hiệu độ dài mã, số bit x 1 0 1/ x FX ( x) 3 / x x3 1 Tìm miền giá trị X Giả sử ký hiệu sinh độc lập Tính xác suất P{X=1}, P{X=2} P{X=3} 3/ 1/ Tìm hàm phân bố xác suất FX ( x) vẽ đồ thị 3/16/2015 kính Ký hiệu X biến ngẫu nhiên đo khoảng cách từ điểm mũi phi tiêu cắm vào đĩa đến tâm đĩa Giả sử mũi phi tiêu cắm vào đĩa đồng khả điểm đĩa x 3/16/2015 CHƯƠNG 2: BIẾN NGẪU NHIÊN VÀ CÁC ĐĂC TRƯNG CỦA CHÚNG Ví dụ 2.4: Xét phép thử ném phi tiêu vào đĩa trịn có bán CHƯƠNG 2: BIẾN NGẪU NHIÊN VÀ CÁC ĐĂC TRƯNG CỦA CHÚNG Miền giá trị RX x x P X x .x .12 x2 FX ( x) Hàm phân bố xác suất Tìm miền giá trị X Tìm hàm phân bố xác suất FX ( x) vẽ đồ thị x x0 0 FX ( x) x x 1 x 1 x2 3/16/2015 CHƯƠNG 2: BIẾN NGẪU NHIÊN VÀ CÁC ĐĂC TRƯNG CỦA CHÚNG x 10 CHƯƠNG 2: BIẾN NGẪU NHIÊN VÀ CÁC ĐĂC TRƯNG CỦA CHÚNG Ví dụ 2.6: 2.1.3 Phân loại Biến ngẫu nhiên rời rạc Biến ngẫu nhiên X rời rạc miền giá trị gồm số hữu hạn vô hạn đếm giá trị, nghĩa liệt kê giá trị miền giá trị thành dãy Do hàm phân bố có đồ thị dạng hình thang Biến ngẫu nhiên liên tục X biến ngẫu nhiên liên tục miền giá trị lấp đầy khoảng hữu hạn vô hạn xác suất biến ngẫu nhiên nhận giá trị điểm (nghĩa P{X = a}=0 với a) Do hàm phân bố xác suất hàm số liên tục 3/16/2015 3/16/2015 11 Gọi X số chấm xuất gieo xúc xắc X biến ngẫu nhiên rời rạc nhận giá trị 1, 2, 3, 4, 5, Gọi T tuổi thọ thiết bị hoạt động T biến ngẫu nhiên liên tục nhận giá trị khoảng Gọi Z số khách hàng vào điểm phục vụ đơn vị thời gian, Z biến ngẫu nhiên rời rạc nhận giá trị 0, 1, 2, … Số gọi đến tổng đài biến ngẫu nhiên rời rạc nhận giá trị 0, 1, 2, … Sai số Y đo lường đại lượng vật lý biến ngẫu nhiên liên tục nhận giá trị khoảng 3/16/2015 12 3/16/2015 CHƯƠNG 2: BIẾN NGẪU NHIÊN VÀ CÁC ĐĂC TRƯNG CỦA CHÚNG Tính chất hàm khối lượng xác suất 2.2 BIẾN NGẪU NHIÊN RỜI RẠC 2.2.1 Hàm khối lượng xác suất bảng phân bố xác suất biến ngẫu nhiên rời rạc Hàm CHƯƠNG 2: BIẾN NGẪU NHIÊN VÀ CÁC ĐĂC TRƯNG CỦA CHÚNG p X ( x) P X x gọi hàm khối lượng xác suất (probability mass function) biến ngẫu nhiên rời rạc X p X ( xk ) , với xk RX p X ( x) , với x RX nÕu x x1 FX ( x ) p X ( x1 ) p X ( xk 1 ) nÕu xk 1 x xk , k p X ( xk ) xk x; xk RX 3/16/2015 13 CHƯƠNG 2: BIẾN NGẪU NHIÊN VÀ CÁC ĐĂC TRƯNG CỦA CHÚNG 3/16/2015 Để trực quan biểu diễn hàm khối lượng xác suất biến ngẫu nhiên rời rạc thông qua bảng phân bố xác suất CHƯƠNG 2: BIẾN NGẪU NHIÊN VÀ CÁC ĐĂC TRƯNG CỦA CHÚNG trắng Gọi X số bi trắng bi vừa chọn X biến ngẫu nhiên rời rạc Tìm bảng phân bố xác suất hàm phân bố xác suất P X 0 Bảng phân bố xác suất có hai hàng, hàng ghi giá trị mà biến ngẫu nhiên nhận được, hàng giá trị hàm khối lượng xác suất tương ứng Bảng phân bố xác suất biến ngẫu nhiên X có dạng X x1 x2 P p X ( x1 ) p X ( x2 ) P X 2 C6 C10 C61C42 C10 C C 15 , P X 1 30 30 C10 C3 , P X 3 34 30 C10 30 Hàm khối lượng xác suất p X (0) 15 , p X (1) , p X (2) , p X (3) 30 30 30 30 p X ( x) với x khác 0, 1, 2, 3/16/2015 15 CHƯƠNG 2: BIẾN NGẪU NHIÊN VÀ CÁC ĐĂC TRƯNG CỦA CHÚNG 3/16/2015 16 CHƯƠNG 2: BIẾN NGẪU NHIÊN VÀ CÁC ĐĂC TRƯNG CỦA CHÚNG 2.2.2 Các phân bố rời rạc thường gặp Bảng phân bố xác suất 5/30 15/30 9/30 1/30 2.2.2.1 Phân bố Bernoulli Biến ngẫu nhiên rời rạc X nhận hai giá trị 0, với hàm khối lượng xác suất p X (k ) P X k p k q1 k ; k 0,1 Hàm phân bố xác suất 0 5 / 30 FX ( x) 20 / 30 29 / 30 3/16/2015 14 Ví dụ 2.8: Chọn ngẫu nhiên bi từ túi có bi đen, bi Bảng phân bố xác suất X P p X ( xk ) xk RX Nếu RX x1 , x2 , hàm phân bố xác suất có dạng: Hàm phân bố X FX ( x) P X x nÕu x nÕu x gọi có phân bố Bernoulli tham số p nÕu x nÕu x Xét phép thử Bernoulli với thành công phép thử xuất biến cố A với xác suất xuất p Gọi X nÕu < p < 1, q =1− p, số lần thành công lần thử X biến ngẫu nhiên x3 rời rạc có phân bố Bernoulli tham số p 17 3/16/2015 18 3/16/2015 CHƯƠNG 2: BIẾN NGẪU NHIÊN VÀ CÁC ĐĂC TRƯNG CỦA CHÚNG 2.2.2.2 Phân bố nhị thức B(n;p) Thực n phép thử Bernoulli với xác suất thành công Biến ngẫu nhiên rời rạc X nhận giá trị 0, 1, …, n với hàm khối lượng xác suất tương ứng biến cố A lần thử p Với i =1, 2, …, n; lần thử thứ i biến cố A xuất p X (k ) P X k Cnk p k q n k ; k 0,1, , n ta cho X i nhận giá trị 1, biến cố A không xuất ta cho X i nhận giá trị n số tự nhiên < p < 1, q =1 p, gọi có phân bố nhị thức tham số n, p, ký hiệu X ~ B (n ; p) nÕu x m FX ( x) Cnk p k q n k nÕu m x m 1, m n k 0 nÕu x n Hàm phân bố 3/16/2015 19 CHƯƠNG 2: BIẾN NGẪU NHIÊN VÀ CÁC ĐĂC TRƯNG CỦA CHÚNG Ví dụ 2.11: Một nguồn nhị phân phát hai ký số (digit) cách ngẫu nhiên với xác suất tương ứng 0,6 0,4 Tính xác suất có hai ký số ba ký số dãy có năm ký số Tính xác suất có ba ký số ba ký số dãy có năm ký số Giải: Gọi X số ký số dãy có năm ký số X ~ P X 2 C52 0, CHƯƠNG 2: BIẾN NGẪU NHIÊN VÀ CÁC ĐĂC TRƯNG CỦA CHÚNG Như X i biến ngẫu nhiên rời rạc có phân bố Bernoulli tham số p Gọi X số thành cơng n phép thử Bernoulli X X1 X X n ~ B (n ; p ) 3/16/2015 CHƯƠNG 2: BIẾN NGẪU NHIÊN VÀ CÁC ĐĂC TRƯNG CỦA CHÚNG 2.2.2.3 Phân bố Poisson Biến ngẫu nhiên X gọi có phân bố Poisson tham số > 0, ký hiệu X ~ P (), X nhận giá trị k = 0,1, … với hàm khối lượng xác suất p X (k ) P X k e B (5; 0, 6) 0, 3 0, 2304 k k! ; 0; k 0,1, 2, Hàm phân bố xác suất k , n x n 1 k 0 k ! n 2 P X 2 20 FX ( x) e k 5 k C5k 0, 0, 0, 31744 k 0 P X 3 P X 2 0,31744 0,68256 3/16/2015 21 CHƯƠNG 2: BIẾN NGẪU NHIÊN VÀ CÁC ĐĂC TRƯNG CỦA CHÚNG Trong thực tế với số giả thiết thích hợp biến ngẫu nhiên trình đếm sau: 3/16/2015 22 CHƯƠNG 2: BIẾN NGẪU NHIÊN VÀ CÁC ĐĂC TRƯNG CỦA CHÚNG Ví dụ 2.12: Ở tổng đài điện thoại gọi đến cách ngẫu nhiên, độc lập Ký hiệu X(t) số gọi đến tổng Số gọi đến tổng đài, đài khoảng thời gian t phút Số khách hàng đến điểm phục vụ, Có thể chứng minh X(t) có phân bố Poisson tham số t, số gọi trung bình phút Số xe cộ qua ngã tư, Giả sử trung bình có gọi phút Tìm xác suất: Số tai nạn (xe cộ); số cố xảy địa điểm … Có gọi đến phút (biến cố A) khoảng thời gian xác định có phân bố Poisson với tham số , tốc độ trung bình diễn khoảng thời gian 3/16/2015 23 Khơng có gọi 30 giây (biến cố B) Có gọi 10 giây (biến cố C) 3/16/2015 24 3/16/2015 CHƯƠNG 2: BIẾN NGẪU NHIÊN VÀ CÁC ĐĂC TRƯNG CỦA CHÚNG 2.3 BIẾN NGẪU NHIÊN LIÊN TỤC Giải: Theo giả thiết =2, ta có X ( 2) ~ 2.3.1 Hàm mật độ xác suất biến ngẫu nhiên liên tục P (4) , P ( A) PX ( 2) 5 e 4 X (1 / 2) ~ 0,156 5! Giả sử X biến ngẫu nhiên liên tục có hàm phân bố xác suất FX ( x) P (1) , Hàm f X ( x) thỏa mãn P ( B ) PX (1 / 2) 0 e X (1 / 6) ~ 1 0,3679 x FX ( x) P (1 / 3) , 3/16/2015 25 CHƯƠNG 2: BIẾN NGẪU NHIÊN VÀ CÁC ĐĂC TRƯNG CỦA CHÚNG 3/16/2015 26 CHƯƠNG 2: BIẾN NGẪU NHIÊN VÀ CÁC ĐĂC TRƯNG CỦA CHÚNG X có dạng f X ( x) điểm x mà f X ( x ) liên tục 0 FX ( x ) kx2 1 f X ( x )dx 0 f X ( x ) 2 x 0 Hàm mật độ xác suất b P a X b Pa X b Pa X b P a X b f X ( x)dx a 3/16/2015 27 CHƯƠNG 2: BIẾN NGẪU NHIÊN VÀ CÁC ĐĂC TRƯNG CỦA CHÚNG Ví dụ 2.14: Biến ngẫu nhiên liên tục X với hàm mật độ xác suất có dạng víi x x0 víi x víi x 1 28 CHƯƠNG 2: BIẾN NGẪU NHIÊN VÀ CÁC ĐĂC TRƯNG CỦA CHÚNG 2.3.2 Các phân bố liên tục thường gặp 2.3.2.1 Phân bố U(a; b) Biến ngẫu nhiên X gọi có phân bố khoảng (a; b) hàm mật độ xác suất xác định víi x k a k f X ( x)dx dx lim k k 1 a x x 1 víi x x FX ( x ) f X (t )dt 1 x víi x f X ( x) b a nÕu a x b ngược lại Hm phõn b xỏc sut x FX ( x) 1 1 P 2 X 3 FX (3) FX (2) 3 3/16/2015 víi 3/16/2015 Hãy xác định: Hệ số k; Hàm phân bố xác suất FX ( x) P2 X 3 víi x Giải: Từ tính chất liên tục hàm phân bố xác suất biến ngẫu nhiên liên tục, ta có k=1 0 f X ( x) k x2 víi x víi x Xác định hệ số k tìm hàm mật độ xác suất f X ( x) với x x gọi hàm mật độ xác suất biến ngẫu nhiên X (probability density function, viết tắt PDF) Vậy hàm phân bố xác suất biến ngẫu nhiên liên tục nguyên hàm hàm mật độ, hàm mật độ xác suất đạo hàm hàm phân bố xác suất f X (t )dt , với Ví dụ 2.13: Hàm phân bố xác suất biến ngẫu nhiên liên tục Tính chất hàm mật độ xác suất P(C) P X (1/ 6) 1 1 P X (1/ 6) 0 1 e1/3 0,2835 FX' ( x) CHƯƠNG 2: BIẾN NGẪU NHIÊN VÀ CÁC ĐĂC TRƯNG CỦA CHÚNG 29 3/16/2015 xa f X (t )dt b a nÕu x a nÕu a x b nÕu x b 30 3/16/2015 CHƯƠNG 2: BIẾN NGẪU NHIÊN VÀ CÁC ĐĂC TRƯNG CỦA CHÚNG f X (x) CHƯƠNG 2: BIẾN NGẪU NHIÊN VÀ CÁC ĐĂC TRƯNG CỦA CHÚNG 2.3.2.2 Phân bố mũ FX (x) Biến ngẫu nhiên liên tục X gọi có phân bố mũ tham số > hàm mật độ xác suất xác định sau FX (x) ba ba O a x b x O e x f X ( x) a x b Hàm phân bố xác suất Quy luật phân bố có nhiều ứng dụng thống kê tốn Chẳng hạn mơ thống kê, đặc biệt phương pháp phi tham số Trong số lý thuyết kết luận thống kê người ta thường xuất phát từ quy tắc sau đây: Nếu ta khơng biết giá trị tham số cần ước lượng giá trị có tham số đồng khả Điều dẫn đến việc quan niệm tham số cần ước lượng biến ngẫu nhiên có quy luật phân bố 3/16/2015 31 CHƯƠNG 2: BIẾN NGẪU NHIÊN VÀ CÁC ĐĂC TRƯNG CỦA CHÚNG FX ( x) x nÕu x nÕu x 1 ex f X (t )dt nÕu x nÕu x Phân bố mũ thường xuất toán thời gian sống loài sinh vật, tuổi thọ thiết bị … khoảng thời gian hai lần xuất biến cố E mà số lần xuất E tuân theo luật phân bố Poisson 3/16/2015 32 CHƯƠNG 2: BIẾN NGẪU NHIÊN VÀ CÁC ĐĂC TRƯNG CỦA CHÚNG Ví dụ 2.15: Tuổi thọ mạch điện tử máy tính biến ngẫu nhiên có phân bố mũ tham số Giả sử tuổi thọ trung bình mạch điện tử 6, 25 (năm) (xem kỳ vọng phân bố mũ mục 2.5.3) Thời gian bảo hành năm Hỏi có phần trăm mạch điện tử bán phải thay thời gian bảo hành Giải: Gọi X tuổi thọ mạch điện tử Xác suất để mạch điện tử bị hỏng thời gian bảo hành là: 2 P X 2 e2 e 6,25 e 0,32 0, 726 0, 274 Vậy có khoảng 27,4% số mạch điện tử bán phải thay thời gian bảo hành 3/16/2015 33 CHƯƠNG 2: BIẾN NGẪU NHIÊN VÀ CÁC ĐĂC TRƯNG CỦA CHÚNG Ví dụ 2.16: Giả sử thời gian gọi điện thoại (tính theo phút) biến ngẫu nhiên X với phân bố mũ tham số 1/10 Một bốt điện thoại phục vụ người giả sử A vào bốt điện thoại trước B đến Tính xác suất B phải chờ đến lượt khoảng thời gian: a) Ít phút b) Trong khoảng từ đến 10 phút 3/16/2015 CHƯƠNG 2: BIẾN NGẪU NHIÊN VÀ CÁC ĐĂC TRƯNG CỦA CHÚNG 2.3.2.3 Phân bố Erlang Định nghĩa 2.10: Biến ngẫu nhiên X gọi có phân bố Erlang tham số ( k ; ) ; k số tự nhiên , hàm mật độ xác suất có dạng: ( x)k 1 x e f X ( x) (k 1)! Giải: a) Vì tính chất “khơng nhớ” phân bố mũ thời gian chờ B thời gian A tiếp tục hoàn thành gọi tính từ lúc B đến khơng phụ thuộc A gọi thời gian Vì xác suất B phải chờ phút P 5 X 10 FX (10) FX (5) (1 e ) (1 e 3/16/2015 )e 0,5 e nÕu x nhiên độc lập có phân bố mũ tham số b) Lập luận tương tự ta xác suất B phải chờ khoảng từ đến 10 phút 0,5 nÕu x Có thể chứng minh X , X , , X k k biến ngẫu P X 5 P X 5 FX (5) e0,5 0,394 1 34 1 0, 239 35 X X1 X X k có phân bố Erlang tham số (k ; ) 3/16/2015 36 3/16/2015 CHƯƠNG 2: BIẾN NGẪU NHIÊN VÀ CÁC ĐĂC TRƯNG CỦA CHÚNG 2.3.2.4 Phân bố chuẩn N( ; ) Phân bố chuẩn Gauss tìm năm 1809 nên cịn gọi phân bố Gauss Phân bố chuẩn thường thấy toán sai số gặp phải đo đạc đại lượng vật lý, thiên văn Biến ngẫu nhiên liên tục X có phân bố chuẩn N( ; ) , ký hiệu X ~ N ( ; ), hàm mật độ xác suất có dạng fX(x) 1 đó, điểm thi thí sinh, suất trồng, mức lãi suất công ty, nhu cầu tiêu thụ mặt hàng biến ngẫu nhiên có phân bố chuẩn x x O 37 3/16/2015 CHƯƠNG 2: BIẾN NGẪU NHIÊN VÀ CÁC ĐĂC TRƯNG CỦA CHÚNG 38 3/16/2015 CHƯƠNG 2: BIẾN NGẪU NHIÊN VÀ CÁC ĐĂC TRƯNG CỦA CHÚNG Giá trị U gọi giá trị tới hạn mức phân bố chuẩn tắc Phân bố chuẩn tắc N (0;1) U 1 (1 ) Hàm mật độ xác suất Nghĩa ( x ) Chẳng hạn tra bảng phụ lục ta x2 ( x) 2 e , x 2 (U ) 2 U 0,05 1,64 U 0,025 1,96 Hàm phân bố xác suất x ( x ) (t ) dt 2 x e t2 dt 1 , x O 3/16/2015 39 CHƯƠNG 2: BIẾN NGẪU NHIÊN VÀ CÁC ĐĂC TRƯNG CỦA CHÚNG 3/16/2015 Nếu X ~ N ( ; ) Nếu X ~ N(0;1) a 0, P X a 2(1 (a )) P X U 1(a) a 3/16/2015 O a x 40 X ~ N(0;1) X x x FX ( x) P X x P P X a 2 (a ) (a) x CHƯƠNG 2: BIẾN NGẪU NHIÊN VÀ CÁC ĐĂC TRƯNG CỦA CHÚNG Các tính chất hàm phân bố xác suất (x) (x)+ (x) = 1, (x) = 1 (x) U b a P a X b P a X b P X U 2 P X U 1 2 X P X P 2 41 3/16/2015 1 42 3/16/2015 CHƯƠNG 2: BIẾN NGẪU NHIÊN VÀ CÁC ĐĂC TRƯNG CỦA CHÚNG Ví dụ 2.17: Giả sử X ~ N ( ; ); 2100, 200 Hãy tìm: P{X < 2400} , P{1700 < X < 2200} Xác định a để P{X > a} = 0,03 Giải: 2400 2100 P X 2400 P X 2400 (1, 5) 0, 9332 200 2200 2100 1700 2100 P 1700 X 2200 200 200 Φ(0,5) Φ( 2) 0, 6688 CHƯƠNG 2: BIẾN NGẪU NHIÊN VÀ CÁC ĐĂC TRƯNG CỦA CHÚNG 2.3.2.5 Phân bố “khi bình phương” Biến ngẫu nhiên liên tục X có phân bố “khi bình phương” n bậc tự do, ký hiệu X ~ 2n hàm mật độ xác suất có dạng x / n / 21 e ( x / 2) f X ( x) ( n / 2) nÕu x nÕu x đó, ( x) t x 1 t e dt , x hàm Gamma Nếu X , X , , X n biến ngẫu nhiên độc lập có phân bố chuẩn tắc N(0;1) a 2100 a 2100 P X a 0, 03 0,97 200 200 n X i2 X 12 X 22 X n2 ~ n2 i 1 3/16/2015 43 CHƯƠNG 2: BIẾN NGẪU NHIÊN VÀ CÁC ĐĂC TRƯNG CỦA CHÚNG 3/16/2015 44 CHƯƠNG 2: BIẾN NGẪU NHIÊN VÀ CÁC ĐĂC TRƯNG CỦA CHÚNG Giá trị tới hạn “khi bình phương” n bậc tự mức , ký hiệu 2 ( n) , Nhận xét 2.5: Trong thực tế ta thường sử dụng phân bố “khi bình phương” dạng tổng bình phương biến ngẫu nhiên độc lập có phân bố chuẩn tắc mà xét đến hàm mật độ xác suất Từ tính chất suy X , X , , X k biến ngẫu định nghĩa sau: P X 2 (n) , X 2 (n ) Bảng giá trị tới hạn ( n ) tính sẵn bảng Phụ lục IV f X ( x) nhiên độc lập có phân bố “khi bình phương” với bậc tự n1 , n2 , …, nk X1 X X k biến ngẫu nhiên có phân bố “khi bình phương” n1 n2 nk bậc tự X1 X X k ~ n21 n2 nk Nếu X , X hai biến ngẫu nhiên độc lập, X có phân bố “khi bình phương” với n1 bậc tự X1 X có phân bố O “khi bình phương” với n bậc tự do, n n1 X biến ngẫu x Hình 2.14: Giá trị tới hạn phân bố “khi bình phương” nhiên có phân bố “khi bình phương” với n n1 bậc tự 3/16/2015 2 ( n) 45 CHƯƠNG 2: BIẾN NGẪU NHIÊN VÀ CÁC ĐĂC TRƯNG CỦA CHÚNG 3/16/2015 46 CHƯƠNG 2: BIẾN NGẪU NHIÊN VÀ CÁC ĐĂC TRƯNG CỦA CHÚNG fT ( x) 2.3.2.6 Phân bố Student T( n ) Biến ngẫu nhiên liên tục T có phân bố Student n bậc tự do, ký N(0;1) hiệu T ~ T( n ) , hàm mật độ xác suất có dạng n 1 n 1 1 x , x fT ( x ) n n n / Có thể chứng minh Z ~ N (0;1) , V ~ Z V độc lập T 3/16/2015 2n n4 n 1 ; Z ~ T( n ) V n O x Hình 2.15: Đồ thị hàm mật độ phân bố Student 47 3/16/2015 48 3/16/2015 CHƯƠNG 2: BIẾN NGẪU NHIÊN VÀ CÁC ĐĂC TRƯNG CỦA CHÚNG Giá trị tới hạn mức phân bố Student n bậc tự do, ký hiệu t ( n), xác định sau P T t (n) CHƯƠNG 2: BIẾN NGẪU NHIÊN VÀ CÁC ĐĂC TRƯNG CỦA CHÚNG 2.4 CÁC THAM SỐ ĐẶC TRƯNG CỦA BIẾN NGẪU NHIÊN 2.4.1 Kỳ vọng tốn Bảng tính giá trị tới hạn t ( n) cho Phụ lục III Kỳ vọng biến ngẫu nhiên X ký hiệu EX xác định sau EX xi p X ( xi ) X rời rạc xi RX EX xf X ( x)dx X liên tục x O Giá trị tới hạn mức α phân bố Student 3/16/2015 49 3/16/2015 50 CHƯƠNG 2: BIẾN NGẪU NHIÊN VÀ CÁC ĐĂC TRƯNG CỦA CHÚNG CHƯƠNG 2: BIẾN NGẪU NHIÊN VÀ CÁC ĐĂC TRƯNG CỦA CHÚNG Ví dụ 2.19: Theo thống kê việc người Mỹ 25 tuổi sống thêm năm có xác suất 0,992, cịn xác suất để người chết vịng năm tới 0,008 Một chương trình bảo hiểm đề nghị người bảo hiểm sinh mạng cho năm với số tiền chi trả 1000 la, cịn tiền đóng 10 đô la Hỏi lợi nhuận công ty bảo hiểm nhận bao nhiêu? Giải: Lợi nhuận biến ngẫu nhiên X với giá trị +10 đô la (nếu người bảo hiểm không chết) 990 la (nếu người chết) Bảng phân bố xác suất tương ứng Ví dụ 2.20: Tuổi thọ loại trùng biến ngẫu nhiên X (đơn vị tháng) với hàm mật độ xác suất sau X P 990 0,008 kx (4 x) nÕu x f X ( x) ngược lại Tỡm tuổi thọ trung bình lồi trùng Giải: x (4 x)dx Tuổi thọ trung bình +10 0,992 EX E X ( 990) 0,008 10 0,992 3/16/2015 51 CHƯƠNG 2: BIẾN NGẪU NHIÊN VÀ CÁC ĐĂC TRƯNG CỦA CHÚNG 3 x5 x (4 x)dx x 64 64 3/16/2015 12 (tháng) 52 CHƯƠNG 2: BIẾN NGẪU NHIÊN VÀ CÁC ĐĂC TRƯNG CỦA CHÚNG 2.4.2 Phương sai Tính chất kỳ vọng E(C)=C với số C E(CX)=C E(X) với số C E X X n E X E X n Nếu X , , X n độc lập E X X n E X E X n Cho hàm số g(x), kỳ vọng biến ngẫu nhiên Y=g(X) Phương sai (variance) hay độ lệch (deviation) bình phương trung bình biến ngẫu nhiên X đại lượng đo phân tán bình phương trung bình X xung quanh giá trị trung bình EX Nói cách khác phương sai X kỳ vọng (X EX )2 Phương sai X ký hiệu DX VarX tính theo cơng thức DX E X E X g ( xi ) p X ( xi ) nÕu X rêi r¹c víi p X ( xi ) P X x i x R i X EY g ( x ) f ( x) dx nÕu X liªn tơc cã hµm mËt đé f ( x) X X 3/16/2015 64 k 64 53 Độ lệch chuẩn X : X DX Khai triển vế phải công thức áp dụng tính chất kỳ vọng ta tính phương sai theo cơng thức sau DX E X E X 3/16/2015 54 3/16/2015 CHƯƠNG 2: BIẾN NGẪU NHIÊN VÀ CÁC ĐĂC TRƯNG CỦA CHÚNG E X xi2 p X ( xi ) CHƯƠNG 2: BIẾN NGẪU NHIÊN VÀ CÁC ĐĂC TRƯNG CỦA CHÚNG X rời rạc Tính chất phương sai i EX2 x D(a)=0 với số a X liên tục f X ( x )dx D(aX b) a D( X ) với số a, b Ví dụ 2.24: Tính phương sai biến ngẫu nhiên xét ví dụ 2.19 2 Nếu X , , X n độc lập có phương sai hữu hạn D a1 X1 an X n a12D X1 a 2n D X n E X (990) 0, 008 10 0, 992 7940 DX EX EX 7940 7936 Nói riêng: Nếu X, Y độc lập DX, DY hữu hạn X DX 7936 89, 08 D X Y DX DY Điều nói lên kinh doanh bảo hiểm có lãi rủi ro lớn 3/16/2015 55 3/16/2015 CHƯƠNG 2: BIẾN NGẪU NHIÊN VÀ CÁC ĐĂC TRƯNG CỦA CHÚNG 56 CHƯƠNG 2: BIẾN NGẪU NHIÊN VÀ CÁC ĐĂC TRƯNG CỦA CHÚNG Phân vị Phân vị mức biến ngẫu nhiên X, ký hiệu phân chia miền giá trị X thỏa mãn y v , giá trị P X v P X v 1 FX (v ) FX (v ) Nghĩa Trung vị Phân vị mức 1/2 gọi median hay trung vị X, ký hiệu Med X v x Như trung vị điểm phân chia phân bố xác suất thành hai phần 3/16/2015 57 3/16/2015 CHƯƠNG 2: BIẾN NGẪU NHIÊN VÀ CÁC ĐĂC TRƯNG CỦA CHÚNG CHƯƠNG 2: BIẾN NGẪU NHIÊN VÀ CÁC ĐĂC TRƯNG CỦA CHÚNG Mốt FX(x) FX(x) 58 Mốt (Mode) biến ngẫu nhiên X , ký hiệu Mod X , giá trị mà biến ngẫu nhiên X nhận với xác suất lớn Một biến ngẫu nhiên có nhiều Mốt • Mốt biến ngẫu nhiên rời rạc X xi0 Mod X xi xi1 x xi xi1 x • Mốt biến ngẫu nhiên liên tục X c Mod X v m 3/16/2015 p X ( xi0 ) max p X ( x1 ), p X ( x2 ), f X (c) max f X ( x), x v xi1 59 3/16/2015 60 10 3/16/2015 CHƯƠNG 2: BIẾN NGẪU NHIÊN VÀ CÁC ĐĂC TRƯNG CỦA CHÚNG CHƯƠNG 2: BIẾN NGẪU NHIÊN VÀ CÁC ĐĂC TRƯNG CỦA CHÚNG Moment, hệ số bất đối xứng, hệ số nhọn Hàm khối lượng p X ( xk ) Phân bố xác suất X Kỳ vọng mật độ f X ( x) EX Bernoulli tham số p p X (k ) p k q1 k ; k 0,1 p pq Nhị thức B ( n ; p ) p X ( k ) Cnk p k q nk ; k 0,1, , n np npq k Moment cấp k mk EX ; k 1, 2, k Moment quy tâm cấp k k E X E X ; k 1, 2, Hệ số bất đối xứng 3 3 ; DX 3 44 Hệ số nhọn Poisson đo mức độ bất đối xứng luật phân bố đặc trưng cho độ nhọn đồ thị hàm mật độ xác suất 3/16/2015 P () k ; 0; k 0,1, 2, k! Đều U( a, b ) , a xb ba ( a b) / (b a) /12 Phân bố mũ tham số ex , x 1/ 1/ 2 Phân bố chuẩn N( ; ) 61 p X ( k ) e Phương sai D X 3/16/2015 f X ( x) 2 e ( x ) 2 2 ; x 62 CHƯƠNG 2: BIẾN NGẪU NHIÊN VÀ CÁC ĐĂC TRƯNG CỦA CHÚNG Hàm khối lượng p X ( xk ) Phân bố xác suất X Kỳ vọng mật độ f X ( x) EX Phân bố Erlang tham số (x)k 1 x e , x ( k 1)! k / (k ; ) “Khi bình phương” n bậc tự x / n / 21 (n / 2) ( x / 2) e , x0 Gamma ( , ) 3/16/2015 (n 1)/ 2 x2 1 n n/2 n , x (x)1 x e , x ( ) k 2 n 2n n n2 2 (n1)/2 Student n bậc tự do, n Phương sai D X 63 11 ... 3/16/2015 CHƯƠNG 2: BIẾN NGẪU NHIÊN VÀ CÁC ĐĂC TRƯNG CỦA CHÚNG x 10 CHƯƠNG 2: BIẾN NGẪU NHIÊN VÀ CÁC ĐĂC TRƯNG CỦA CHÚNG Ví dụ 2.6: 2.1.3 Phân loại Biến ngẫu nhiên rời rạc Biến ngẫu nhiên X rời... 3/16/2015 CHƯƠNG 2: BIẾN NGẪU NHIÊN VÀ CÁC ĐĂC TRƯNG CỦA CHÚNG CHƯƠNG 2: BIẾN NGẪU NHIÊN VÀ CÁC ĐĂC TRƯNG CỦA CHÚNG Mốt FX(x) FX(x) 58 Mốt (Mode) biến ngẫu nhiên X , ký hiệu Mod X , giá trị mà biến ngẫu. .. thụ mặt hàng biến ngẫu nhiên có phân bố chuẩn x x O 37 3/16/2015 CHƯƠNG 2: BIẾN NGẪU NHIÊN VÀ CÁC ĐĂC TRƯNG CỦA CHÚNG 38 3/16/2015 CHƯƠNG 2: BIẾN NGẪU NHIÊN VÀ CÁC ĐĂC TRƯNG CỦA CHÚNG Giá trị