Tài liệu hạn chế xem trước, để xem đầy đủ mời bạn chọn Tải xuống
1
/ 15 trang
THÔNG TIN TÀI LIỆU
Nội dung
CHƯƠNG2:CÁCPHÉPBIẾNĐỔITÍCHPHÂNCHƯƠNG2:CÁCPHÉPBIẾNĐỔITÍCHPHÂN 2.1 PHÉPBIẾNĐỔI LAPLACE X ' ( s ) (t )e st x(t )dt X (s) lim 2.1.1 Phépbiếnđổi Laplace Re( s ) 2.1.1.1 Định nghĩa biếnđổi Laplace L x(t ) X ( s) e st x(t )dt Miền giải tích X ( s ) 2.1.1.2 Điều kiện tồn Nếu hàm biến thực x(t) thoả mãn điều kiện sau: x(t) = với t < x(t) liên tục khúc x(t) không tăng nhanh hàm mũ t Thì tồn biếnđổi Laplace X(s) xác định giải tích số phức s ═ i cho thỏa mãn lim X ( s ) Re( s ) 3/16/2015 (1) O 2.1.1.3 Các tính chất phépbiếnđổi Laplace Tính tuyến tính nÕu t nÕu t (t ) L 1 L (t ) e st (2) CHƯƠNG2:CÁCPHÉPBIẾNĐỔITÍCHPHÂN Ví dụ 2.1: Hàm bước nhảy đơn vị (Unit step function) Tính đồng dạng e dt s L Ax(t ) By(t ) AL x(t ) BL y(t ) L x(at ) X s a s Tính dịch chuyển ảnh Tính trễ Biếnđổi đạo hàm L sin t L (t )sin t X (s) e 3/16/2015 sin t dt a L eat x(t ) X s a L (t a) x(t a) e sa X s Ví dụ 2.4: Biếnđổi Laplace hàm sin t st 3/16/2015 CHƯƠNG2:CÁCPHÉPBIẾNĐỔITÍCHPHÂN st 0 L x '(t ) sX s x(0) L x(n) (t ) s n X s s n1x(0) s n2 x '(0) x(n1) (0) s2 (3) 3/16/2015 (4) CHƯƠNG2:CÁCPHÉPBIẾNĐỔITÍCHPHÂN t L x(u )du X s Biếnđổi Laplace tíchphân Đạo hàm ảnh CHƯƠNG2:CÁCPHÉPBIẾNĐỔITÍCHPHÂN L t n x(t ) 1n d ds n L 5 4sin t 5L 1 L sin t s s n Ví dụ 2.5: s 2 s 2 1 at e sin t L eat L eat 1 ( s a)2 sa L sin t Ví dụ 2.6: X s Tíchphân ảnh L x(t ) X (u )du t Biếnđổi Laplace hàm tuần hoàn X ( s ) 10 Ảnh tích chập Ví dụ 2.7: T e s L x(t ) st x (t )dt e sT L x(t ) y(t ) X (s)Y (s) 3/16/2015 L L cosh at L e Ví dụ 2.9: Hàm xung (Impulse) 0 x(t ) (t ) 0 a s2 a2 (6) x(t ) (t a ) (t ) (t b) (t ) a,b (t ) (t ) nÕu t a nÕu a t b nÕu t b Ví dụ 2.10: nÕu t a a ,b (t ) nÕu a t b (t a) (t b) nÕu t b 0 x(t ) sin t 0 nÕu t nÕu t nÕu t x(t ) (t ) sin t (t ) sin t (t ) sin t (t ) sin(t ) L x(t ) e as ebs a,b (t ) L (t a ) L (t a ) s 3/16/2015 L sinh at Hàm xung biểu diễn qua hàm xung đơn vị Hàm xung đơn vị đoạn [a ; b] L e at s 2 s a2 CHƯƠNG2:CÁCPHÉPBIẾNĐỔITÍCHPHÂN as s 3/16/2015 CHƯƠNG2:CÁCPHÉPBIẾNĐỔITÍCHPHÂN L (t a) e at at at L sinh at sin t L e e sin t 2 2 (s a )2 ( s a ) (5) Ví dụ 2.8: s2 (7) 3/16/2015 s 1 e s s 1 e s s2 1 (8) CHƯƠNG2:CÁCPHÉPBIẾNĐỔITÍCHPHÂNCHƯƠNG2:CÁCPHÉPBIẾNĐỔITÍCHPHÂN 0 2 x (t ) 4 ' nÕu t s sin s2 s 2 t 1 Ví dụ 2.13: L sinh (3u ) sin( u ) du 2 2 s ( s 3) ( s 3) nÕu t Ví dụ 2.14: Ví dụ 2.11: Hàm bậc thang Ví dụ 2.12: nÕu t hoÆc t nÕu t L cos t L sin t s Ví dụ 2.15: L t n 1n x(t ) 20,1(t ) 41,2 (t ) 2,3 (t ) 0 t u (t ) a dn 1 n! n1 ns ds s (t ) (t 1) 2 (t 1) (t 2) (t 2) (t 3) s 3e s e 3s s 3/16/2015 (9) Hàm xung tam giác đơn vị 0 t (t ) 2 t L u(t ) as 3/16/2015 L (t ) 2e e s2 s s e nÕu t nÕu t s 1 e as as Ví dụ 2.17: nÕu t nÕu t L sin t t s du u 1 arctan u s t Hàm tíchphân sin t (t ) 2(t 1) (t 1) (t 2) (t 2) 2 s as (10) Si t s e as CHƯƠNG2:CÁCPHÉPBIẾNĐỔITÍCHPHÂN (t ) t (t ) (t 1) 2 t (t 1) (t 2) s nÕu t a 3/16/2015 CHƯƠNG2:CÁCPHÉPBIẾNĐỔITÍCHPHÂN Ví dụ 2.16: nÕu t a t t t t ta u (t ) 0 a (t ) (t a ) (t ) (t a) (t a ) (t ) (t a ) a a a a a 2 (t ) 2 (t 1) 3 (t 2) (t 3) L x(t ) 2e nÕu t t arctan s arctan s sin u du , t u L sin u du arctan u s s (11) 3/16/2015 (12) CHƯƠNG2:CÁCPHÉPBIẾNĐỔITÍCHPHÂN Ví dụ 2.18: Không tồn biếnđổi Laplace CHƯƠNG2:CÁCPHÉPBIẾNĐỔITÍCHPHÂN Ví dụ 2.19: Tìm biếnđổi Laplace hàm gốc tuần hoàn chu kỳ T >0 co s t t Tuy nhiên có biếnđổi Laplace T L 1 cos at u du ln u ln(u a ) t su u a u s u ln 2 u a s ln1 ln 2 u s s a e T /2 st x(t )dt s ln 2 s a X (s) (13) e sT / sin(2 t / T ) x (t ) T T /2 st e x(t )dt 0 X ( s) 3/16/2015 s T 4 1 e 1 e sT / s e sT / s sT e4 e sT T /2 e st s sT e e sT k nÕu t T / x (t ) k nÕu T / t T e T sT / T /2 1 s sT sinh sT s cosh sT s 4 X ( s) k sT s (14) x(t ) sin( t / T ) , t T nÕu T / t T e sT / sT e st dt s 3/16/2015 Ví dụ 2.21: nÕu t T / e st CHƯƠNG2:CÁCPHÉPBIẾNĐỔITÍCHPHÂN 2 T 2 t e st sin e sT / dt 2 s T 4 T 2 T 2 dt T /2 1 s e sT CHƯƠNG2:CÁCPHÉPBIẾNĐỔITÍCHPHÂN Ví dụ 2.20: e Tổng quát 3/16/2015 T st 2 T 2 s T 4 T 1 e sT / (15) T T t st st sT e x(t )dt e sin T dt s 2T e 0 X ( s) 3/16/2015 T 2 s T e sT e sT 2 T s 2T 4 coth sT (16) CHƯƠNG2:CÁCPHÉPBIẾNĐỔITÍCHPHÂN Ví dụ 2.24: Ví dụ 2.25: t L sinh 2u cos3(t u )du L sinh 2t cos3t L cos(t ) sin(t ) L t sin(t ) CHƯƠNG2:CÁCPHÉPBIẾNĐỔITÍCHPHÂN s s2 s2 2.1.2 Phépbiếnđổi Laplace ngược s s 1 L t sin(t ) s s ( s 1) 2 x (t ) L 1 X ( s) , 2 2 1 L t 2cos t s3 s ( s 1) s3 s s s L et (t 1) (t 2) L t sin t e t 1 X ( s )ds i X ( s) 1 1 L t sin t s2 s2 s2 s2 3/16/2015 (18) CHƯƠNG2:CÁCPHÉPBIẾNĐỔITÍCHPHÂN Một vài phương pháp tìm hàm ngược Ví dụ 2.27: L e 4t L 6 s 1 Sử dụng tính chất biếnđổi thuận tính biếnđổi ngược s X ax ( at ) a 1 L L 1 X (s a) eat x(t ) L 1eas X (s) x(t a) (t a) L 1 X (s) tx(t ) e53 s e5 L 6 s 1 Ví dụ 2.28: 4t t 6e 5! s 1 e 3s 4 t 3 t e5 e (t 3) 6 5! s 1 s 2 (s a ) a 2a s a ' t x(u ) du s 3/16/2015 st x(t ) CHƯƠNG2:CÁCPHÉPBIẾNĐỔITÍCHPHÂN L e (17) 1 X ( s ) i (t 1) et 2 (t 2) 3/16/2015 L 2i e s e 2 s e s e 2 s s 1 s s( s 1) L x(t ) L 1 X ( s)Y (s) x(t ) y(t ) (19) L 3/16/2015 1 s t sin(at ) 2 2a ( s a ) (20) CHƯƠNG2:CÁCPHÉPBIẾNĐỔITÍCHPHÂN Ví dụ 2.29: Đặt x(t ) L s a ln s b 1 CHƯƠNG2:CÁCPHÉPBIẾNĐỔITÍCHPHÂN L x(t ) ln s a sb L tx(t ) d d d 1 sa ln ln( s a ) ln( s b) ds s b ds ds s b s a tx(t ) L 1 bt at e e L s b s a 1 s a ebt e at ln t s b 1 Cũng với phương pháp ta có L L s a L s t 1 s a ln L s t 1 1 ln 1 d s a ln L t s ds 1 d s a ln L ds t s 1 2s 2s (1 cosh at ) s2 a2 s2 t 2s 2s (1 cos at ) s a2 s2 t Khai triển thành chuỗi lũy thừa a a a a a X (s) s s s3 s s5 a t a t3 a t x(t ) L 1 X ( s) a0 a1t 2! 3! 4! Ví dụ 2.30 1 s 1 1 1 1 1 e 1 s s s 2!s 3!s3 4!s4 2!s3 3!s 4!s5 s s t2 t3 t4 x (t ) L 1 e s t 2 s (2!) (3!) (4!) 1 2 t t t t 1! (2!) (3!) (4!) (1) k (k !)2 t 2k J0 t k 0 J0 hàm Bessel bậc 3/16/2015 (21) 3/16/2015 CHƯƠNG2:CÁCPHÉPBIẾNĐỔITÍCHPHÂN (22) CHƯƠNG2:CÁCPHÉPBIẾNĐỔITÍCHPHÂN Sử dụng thặng dư tíchphân phức Ví dụ 2.31 Tìm hàm gốc Giả sử hàm X(s) có số hữu hạn điểm bất thường cô lập a1, …, an nửa mặt phẳng Re(s) ; 0 P(s) s 3s Q ( s ) ( s 1)( s 2)( s 3) n x (t ) L 1 X (s) Res est X (s); ak k 1 có cực điểm đơn 1, 2, 3 Công thức Heaviside P( s ) Q( s ) s 1 n x (t ) L 1 QP((ss)) QP((aak )) ea t k k 1 k x (t ) Với Q(s) có không điểm đơn a1, a2, …, an 3/16/2015 s 3s x(t ) L 1 ( s 1)( s 2)( s 3) (23) 3/16/2015 P(s ) 1 Q '(s ) s 2 P(s) Q( s ) s 3 t e e2t e 3t 4 (24) CHƯƠNG2:CÁCPHÉPBIẾNĐỔITÍCHPHÂN 1 x (t ) L Ví dụ 2.32 Tìm hàm gốc 3s 3s ( s 2) s 4s CHƯƠNG2:CÁCPHÉPBIẾNĐỔITÍCHPHÂN Tìm hàm gốc phân thức hữu tỉ P( s) 3s 3s Q( s ) ( s 2) s 4s P( s ) i 1 Q ' ( s ) s 2i P ( s) 1 Q( s ) s 2 có cực điểm đơn: 2, 2 2i, 2 2i Cácphân thức hữu tỉ loại I P (2 2i) P( s ) i i 1 1 Q' ( s) s 2 2i Q ' ( 2 2i) 4 i e 2t e 2t e 2it e 2it e 2t e 2it e 2it e 2t e 2t cos2t sin 2t 3/16/2015 (25) L L Trường hợp n sin t t cos t 2 2 1 s t sin t t cos t 3 2 s 2 t sin t 3t cos t 2 2 8 s 1 L s2 2 1 2 n s s n s 2 n (26) 3s 3s (s 2) s 4s 2s 2( s 2) X (s) s s s s ( s 2) ( s 2) L 3/16/2015 t sin t 2 s2 s 1 3/16/2015 Ví dụ 2.33: Tìm hàm gốc sin t 1 s Trường hợp n L (s a) CHƯƠNG2:CÁCPHÉPBIẾNĐỔITÍCHPHÂN Trường hợp n L L 1 Sử dụng tính chất dịch chuyển ảnh ta đưa phân thức tối giản loại II hai dạng sau CHƯƠNG2:CÁCPHÉPBIẾNĐỔITÍCHPHÂN s 1 cos t s at t n 1 e (n 1)! ( s a) n Ms N at e s a L 1 Cácphân thức hữu tỉ loại II i i x(t ) e2t e 2t 2it 1 e2t 2it 4 4 P( s) phân Q( s ) tích thành tổng phân thức tối giản loại I loại II Mọi phân thức hữu tỉ thực có dạng X ( s) 1 X (s) x(t ) L (27) 2 t 2t 2 t e 2e cos 2t e sin 2t s 15s 11 Ví dụ 2.36: Tìm hàm gốc X ( s ) 1 ( s 1)( s 2) x(t ) L 3s 3s ( s 2) s 4s X ( s) 3/16/2015 5s 15s 11 7 ( s 1)( s 2) s s ( s 2) ( s 2) t 2t 1 5s 15s 11 2t 2t e e 4te t e 3 ( s 1)( s 2)3 (28) CHƯƠNG2:CÁCPHÉPBIẾNĐỔITÍCHPHÂNCHƯƠNG2:CÁCPHÉPBIẾNĐỔITÍCHPHÂN 2.1.3 Ứng dụng biếnđổi Laplace Nếu x(t) hàm gốc với số tăng 0 0, thay s=0 ta 2.1.3.1 Ứng dụng biếnđổi Laplace để tính tíchphân x(t ) dt X ( s )ds t e at Ví dụ 2.37: x(t )dt e st x(t )dt X ( s ) s a 0 s a e 3t sin tdt L sin t s 3 e 2t Ví dụ 2.39: s s 3 t cos tdt L t cos t s 2 s 1 ( s 1)2 10 Ví dụ 2.40: s 2 e t e 3t s 1 t dt s s ds ln s ln 0 sin t dt ds t s arctan s 0 Ví dụ 2.41: sin t t2 e 25 3/16/2015 (29) sin t t2 st dt 1 (1 cos 2t ) ets sds dt ets (1 cos 2t )dt sds 0 0 0 s (1 cos2t )dt s s s(s 4) dt s ds arctan sds 2 0 s ( s 4) 2 s 0 3/16/2015 CHƯƠNG2:CÁCPHÉPBIẾNĐỔITÍCHPHÂN (30) CHƯƠNG2:CÁCPHÉPBIẾNĐỔITÍCHPHÂN Hệ phương trình vi phân tuyến tính hệ số 2.1.3.2 Ứng dụng biếnđổi Laplace để giải phương trình vi phân tuyến tính Ví dụ 2.45: Tìm nghiệm hệ phương trình vi phân Phương trình vi phân tuyến tính hệ số Ví dụ 2.42: Tìm nghiệm phương trình thỏa mãn điều kiện đầu x"2 x'2 x 2e cos t x (0 ) y(0) sX X 3Y ( s 2) X 3Y X ( s 1)Y sY Y X 8s 17 X ( s 1)( s 4) s s 3s 22 Y ( s 1)( s 4) s s t sin t x (t ) L 1X ( s ) 2e t te t sin t 3/16/2015 với điều kiện đầu Hệ phương trình ảnh x(0) x' (0) 2( s 1) 2( s 1) s 2s X ( s) X ( s) ( s 1) ( s 1) x' x y y' y x t (31) 3/16/2015 t 4t x(t ) 5e t 3e 4t y ( t ) e e (32) CHƯƠNG2:CÁCPHÉPBIẾNĐỔITÍCHPHÂNCHƯƠNG2:CÁCPHÉPBIẾNĐỔITÍCHPHÂN 2.1.3.2 Ứng dụng biếnđổi Laplace để giải toán mạch điện i L C R u3 u2 u1 u4 t di (t ) 1 u2 (t ) u1 (t ) R i (t ), u3 (t ) u2 (t ) L , u4 (t ) u3 (t ) i (t ) dt q0 dt C U I ( s ) L i (t ) U ( s) L u (t ) Z Z R ; Z Ls ; Z A I Z2 Z1 C B Ví dụ 2.51: Xét mạch RLC nối tiếp với đến thời điểm t ═T(T=1s) ắc quy tách khỏi mạch, lúc mạch RLC đóng không sức điện động Tìm cường độ i(t) dòng điện mạch thời điểm t >0 L i Cs Z Z1 Z A B I2 t0 1 Z Z1 Z I Z2 t T (33) (34) CHƯƠNG2:CÁCPHÉPBIẾNĐỔITÍCHPHÂN t di 1 Ri i dt E (t ), E (t ) 90 (t ) (t 1) dt C 0 Ví dụ 2.52: Xét mạch điện Suất điện động E(t)=E0= số Đóng mạch thời điểm t = 1 e s I 90 Cs s Tìm cường độ i1(t), t > I1 cường độ ảnh mạch R1 C e s (1 e s ) s 10 s 100 s 110 s 1000 I cường độ ảnh mạch R2 L Z1 trở kháng ảnh mạch R1 C E0 3/16/2015 CHƯƠNG2:CÁCPHÉPBIẾNĐỔITÍCHPHÂN LsI RI 3/16/2015 I 90 C R Z1 I1 L R═110 , L═1H, C═0,001F ắc 90V Đóng mạch thời điểm t═0 quy cung cấp sức điện động i (t ) e 10t e 100t e10(t 1) e 100(t 1) (t 1) Z trở kháng ảnh mạch R2 L Z1 R1 Cs Z R2 Ls Z trở kháng ảnh tương đương hai đoạn mạch R1 C R2 L 3/16/2015 (35) 3/16/2015 (36) CHƯƠNG2:CÁCPHÉPBIẾNĐỔITÍCHPHÂNCHƯƠNG2:CÁCPHÉPBIẾNĐỔITÍCHPHÂN 1 ZZ Z Z2 Z (*) Z Z1 Z Z1 Z Z1 Z1 Z I1Z1 I Z I Z I1 Đặt I1 Z I (**) Z1 Áp dụng định luật Kirchoff cho mạch vòng ta có (R Z ) I Từ (*), (**) (***) suy RL R1L ; RR1 RR2 R1R2 ' E0 (***) s 3/16/2015 L I1 3/16/2015 2l a0 an cos nt bn sin nt n 1 a0 L t R2 a0 n n an cos t bn sin n 1 l l 2l t 2l n n x (t )dt ; an x(t )cos tdt ; bn x(t )sin tdt ; n 1, 2, l0 l l0 l l 0 Định lý 2.15 (Định lý Dirichlet): 2 Giả sử hàm x(t) tuần hoàn, đơn điệu khúc bị chặn (gọi điều kiện Dirichlet), điểm gián đoạn ta ký hiệu x(t )dt x (t ) 2 x(t ) cos ntdt ; bn x(t )sin ntdt ; e (38) x(t ) 2.2.1.1 Khai triển Fourier hàm tuần hoàn chu kỳ 2 an LE0 2.2.1.2 Khai triển Fourier hàm tuần hoàn chu kỳ T0 = 2l 2.2.1 Chuỗi Fourier 2 i1 (t ) CHƯƠNG2:CÁCPHÉPBIẾNĐỔITÍCHPHÂN 2.2 PHÉPBIẾNĐỔI FOURIER LE0 L s R 2 s s 3/16/2015 CHƯƠNG2:CÁCPHÉPBIẾNĐỔITÍCHPHÂN E t i1 (t ) L t R2 L e Nếu s R2 nghiện (37) a0 E R Ls1 s1t R2 Ls s t i1 (t ) e e s1 s2 Z E0 Z E0 Z1 s R Z s R Z1 Z Z1Z E0 ( R2 Ls ) I1 L R R s RL R1L s RR1 RR2 R1R2 C C C s 2 s ' I1 x (t ) E0 ( R2 Ls ) L R R ; C C C n 1, 2, Khi chuỗi Fourier hội tụ có đẳng thức (39) 3/16/2015 x (t 0) x(t 0) x (t ) a0 n n an cos t bn sin n 1 l l t (40) 10 CHƯƠNG2:CÁCPHÉPBIẾNĐỔITÍCHPHÂNCHƯƠNG2:CÁCPHÉPBIẾNĐỔITÍCHPHÂN 2.2.1.3 Dạng cực chuỗi Fourier (Polar Fourier Series) Ví dụ 2.56: Xét hàm số x(t) | t |, < t < ; tuần hoàn chu kỳ 2 bn t sin ntdt an 2 t sin nt cos nt t cos ntdt 0 n n t 0 n a0 n n n an cos t bn sin t A0 An cos t n n1 l l l n 1 a0 2 cos an , sin bn A0 , An an bn ; n n An An x(t ) a0 t dt tdt 0 nÕu n 2k nÕu n 2k 2.2.1.4 Dạng phức chuỗi Fourier (Complex Fourier Series) Áp dụng định lý Dirichlet ta có x(t ) ~ cos nt cos3t cos 5t cos 7t t cos t n1 n 25 49 a0 (t )dt dt an bn (t )sin ntdt sin ntdt n 0 0 1 nÕu t 0 nÕu t (t ) cos ntdt 3/16/2015 m c c a c0 a n cn c n Hoặc bn i (cn c n ) (42) x(t) tuần hoàn chu kỳ T0 = 2l Đẳng thức Parseval: T0 cos ntdt c T0 nÕu n 2k cn x (t ) dt c n 2.2.2 Phépbiếnđổi Fourier hữu hạn (qua miền tần số) Biếnđổi Fourier hữu hạn dãy tín hiệu rời rạc x (n) n nÕu n 2k 2 sin 3t sin 5t sin 7t sin t 1 2 1 cn (t )e i nt dt e i nt dt 2 2 i e(2 m1)it in (t ) (t ) n t l dt , CHƯƠNG2:CÁCPHÉPBIẾNĐỔITÍCHPHÂN (t ) i x(t )e 3/16/2015 CHƯƠNG2:CÁCPHÉPBIẾNĐỔITÍCHPHÂN chu kỳ 2 xác định sau c 2l 2l c n ( a n ib n ) / (41) Ví dụ 2.57: Xét hàm bước nhảy tuần hoàn cn c0 a / c n ( a n ib n ) / 3/16/2015 n t l ; n 1 1 1 25 49 (2 n 1)2 n 0 Chẳng hạn thay t 0: i cn e X ( f ) F x(n) nÕu n x(n)ei 2 nf n nÕu n ch½n n Công thức biếnđổi ngược nÕu n lÎ x ( n) 2m F 1 X ( f ) X ( f )ei 2 nf df (43) 3/16/2015 (44) 11 CHƯƠNG2:CÁCPHÉPBIẾNĐỔITÍCHPHÂNCHƯƠNG2:CÁCPHÉPBIẾNĐỔITÍCHPHÂN Tính chất phépbiếnđổi Fourier hữu hạn Ví dụ 2.61: Tìm biếnđổi Fourier hữu hạn tín hiệu rời rạc nÕu n N rect N (n) nÕu ngîc l¹i X(f ) x(n)e i 2 nf n N 1 ei 2 nf e i 2 Nf n 0 1 e i 2 f ei ( N 1) f sin( N f ) sin( f ) Tuyến tính F Ax(n) By(n) AF x(n) B F y(n) Trễ X(f ) X ( ) F x(n) x(n)e in X ( )e Liên hợp phức i n d Biến số đảo (46) 2.2.3.1 Công thức tíchphân Fourier Giả sử hàm x(t) khả tích tuyệt đối toàn trục thực thoả mãn điều kiện Dirichlet, ta có đẳng thức Biếnđổi hàm tương quan F rx, y (n) X ( f )Y ( f ) l x (t ) i d X( f ) 10 Đạo hàm ảnh X ( f ) F x(n) F nx(n) 2 df 11 Đẳng thức Parseval 2 x(n) y(n) X ( f )Y ( f )df x(n) X ( f ) df m n l 1 n n n n x(u )du x(u ) cos u cos t sin u sin 2l l l n 1 l l l l l l x (t ) X ( f ) F x( n) 12 Quan hệ với biếnđổi Z X ( f ) X (ei 2 f ) X ( z ) Z x( n) 3/16/2015 x ( n)ei 2 nf X ( f ) 2.2.3 Phépbiếnđổi Fourier F x(n) y(n) F x(n) F y(n) Tích chập ảnh F x(n) y (n) F x(n) F y (n) n F x(n) CHƯƠNG2:CÁCPHÉPBIẾNĐỔITÍCHPHÂNTích chập x ( m) y ( m n ) x( n)ei 2 nf X ( f ) 3/16/2015 CHƯƠNG2:CÁCPHÉPBIẾNĐỔITÍCHPHÂN F x(n) n (45) n 3/16/2015 rx, y ( n) n 2 x(n) F 1 X ( ) 2 F x(n) F ei 2 nf x(n) X ( f f ) F x(n) cos(2 nf0 ) X ( f f0 ) X ( f f0 ) Điều chế Dịch chuyển ảnh X(f ) Biếnđổi Fourier qua miền tần số góc F x(n) F x(n n0 ) ei 2 n f X ( f ) (47) t du l 1 n x(u )du x(u ) cos (t u )du 2l l l n1 l l F ( ) x(u )cos (t u )du x(u ) cos n (t u )du F n l l n 0 n1 l Cho l x(t ) F ( )d 3/16/2015 d x(u ) cos (t u )du (48) 12 CHƯƠNG2:CÁCPHÉPBIẾNĐỔITÍCHPHÂN x (t ) CHƯƠNG2:CÁCPHÉPBIẾNĐỔITÍCHPHÂN 2.2.3.2 Phépbiếnđổi Fourier d x(u) cos (t u )du 2 d x(u )cos (t u )du 1 i (t u) x(t ) d x(u) cos (t u) i sin (t u) du 2 d x(u)e du 2 Đổibiến X( f ) F x(t ) x(t )ei 2 ft dt , f Công thức biếnđổi ngược x(t ) F 1 X(f ) 2 f X ( f )e i 2 ft df x(t ) df x (u )ei 2 f (t u ) du x(u )e i 2 fu du ei 2 ft df 3/16/2015 (49) Dạng biên độ - pha phépbiếnđổi X( f ) X ( f ) ei ( f ) X( f ) X(f) X ( f ) X ( f ) , ( f ) 3/16/2015 CHƯƠNG2:CÁCPHÉPBIẾNĐỔITÍCHPHÂNCHƯƠNG2:CÁCPHÉPBIẾNĐỔITÍCHPHÂN Tính chất phépbiếnđổi Fourier Tuyến tính Trễ F Ax(t ) By(t ) AF x(t ) B F y(t ) F x(t Td ) ei 2 T f X ( f ) Dịch chuyển ảnh d F ei 2 f t x(t ) X ( f f0 ) F x(t ) cos(2 f0 t ) X ( f f0 ) X ( f f0 ) Điều chế Liên hợp phức F x(t ) X ( f ) Đối ngẫu F X (t ) x( f ) X( f ) x(t) hàm thực chẵn 3/16/2015 (50) F x(t ) F X (t ) x( f ) (51) Đồng dạng F x(at ) Đạo hàm F d Tíchphân F X ( f / a) |a| n x(t ) (2 if ) n X(f ) n dt t X(f ) X (0) ( f ) x(u )du i 2 f n n d X ( f ) t n x(t ) i 2 f df n 10 Đạo hàm ảnh F 11 Tích chập F x(t ) y(t ) X ( f )Y ( f ) 12 Tích chập ảnh F x(t ) y(t ) X ( f ) Y ( f ) 3/16/2015 (52) 13 CHƯƠNG2:CÁCPHÉPBIẾNĐỔITÍCHPHÂNCHƯƠNG2:CÁCPHÉPBIẾNĐỔITÍCHPHÂN 2.2.3.3 Định lý Parseval định lý lượng Rayleigh Ví dụ 2.62: Biếnđổi Fourier xung chử nhật hay hình hộp có độ dài 2a x1 (t ) x2 (t )dt X ( f ) X ( f )df x(t ) dt nÕu | t | a a (t ) nÕu | t | a , a X ( f ) df F a (t ) 2a sinc(2af ) 2.2.3.4 Biếnđổi Fourier hàm đặc biệt x(t ) e Ví dụ 2.64: Hàm phân bố mũ hai phía F e t 2 2 f 2 t , 0 2 e 4 t F f , 0 3/16/2015 (53) 3/16/2015 CHƯƠNG2:CÁCPHÉPBIẾNĐỔITÍCHPHÂN (54) CHƯƠNG2:CÁCPHÉPBIẾNĐỔITÍCHPHÂN 2.2.4 Phépbiếnđổi Fourier rời rạc (Discrete Fourier Tranform) Ví dụ 2.64: Xung tam giác đơn vị Giả sử tín hiệu lấy mẫu tuần hoàn, chu kỳ 2 1 | t | nÕu | t | (t ) nÕu | t | F (t ) sinc Các điểm mẫu tương ứng (f) 2 4 j 2( n 1) , t2 , , t j , , tn1 n n n n x x0 , x1, , xn1 , x j x (t j ) x j n t0 0, t1 Véc tơ mẫu n 1 x(t ) p(t ) c0 c1eit c2ei 2t cn1ei ( n1)t ck eikt k 0 3/16/2015 (55) 3/16/2015 x(t j ) p (t j ) j 0, , n (56) 14 CHƯƠNG2:CÁCPHÉPBIẾNĐỔITÍCHPHÂNCác hệ số CHƯƠNG2:CÁCPHÉPBIẾNĐỔITÍCHPHÂN c0 , c1, , cn1 tọa độ véc tơ x x0 , x1, , xn1 sở trực chuẩn ck x ; k E ei 2 / cos 2 i sin 2 i , E 1, E i 0 , 1 , , n1 n1 n 1 E k ei 2k / n cos 2k i sin 2k , n 3 x0 x(0) , x1 x , x2 x , x3 x 2 sở trực chuẩn k 0, , n 0 1,1,1,1 , 1 1, i, 1, i , 2 1, 1,1, 1 , 3 1, i, 1, i n 1 DFT x(t ) X ( k ) (c0 , c1, , cn1 ), ck E jk x j , x j x j n j 0 n n 1 IDFT c0 , c1, , cn1 x0 , x1 , , xn1 x j E jk ck 3/16/2015 c2 x ; 2 (57) 1 ( x0 x1 x2 x3 ), c1 x ; 1 ( x0 ix1 x2 ix3 ) 4 1 ( x0 x1 x2 x3 ), c3 x ; 3 ( x0 ix1 x2 ix3 ) 4 c0 x ; 0 j 0 3/16/2015 CHƯƠNG2:CÁCPHÉPBIẾNĐỔITÍCHPHÂN Xét tín hiệu giá trị mẫu n1 1 ikt ikt x j e j n x j e j n E jk x j n j 0 j 0 j 0 n Ví dụ 2.65: Xét trường hợp n = (58) CHƯƠNG2:CÁCPHÉPBIẾNĐỔITÍCHPHÂN x (t ) 2t t Các giá trị mẫu x0 0; x1 7,4022; x2 9,8696; x3 7,4022 Các hệ số Fourier rời rạc c0 6,1685; c1 2, 4674; c2 1, 2337; c3 2, 4674 Đa thức lượng giác nội suy biếnđổi Fourier rời rạc p(t ) 1, 2337ei 2t 2, 4674eit 6,1685 2, 4674eit Re p(t ) 6,1685 4,9348cos t 1, 2337 cos 2t 3/16/2015 (59) 3/16/2015 (60) 15 ...CHƯƠNG 2: CÁC PHÉP BIẾN ĐỔI TÍCH PHÂN t L x(u )du X s Biến đổi Laplace tích phân Đạo hàm ảnh CHƯƠNG 2: CÁC PHÉP BIẾN ĐỔI TÍCH PHÂN L t n x(t ) 1n... s s (11) 3/16/2015 (12) CHƯƠNG 2: CÁC PHÉP BIẾN ĐỔI TÍCH PHÂN Ví dụ 2.18: Không tồn biến đổi Laplace CHƯƠNG 2: CÁC PHÉP BIẾN ĐỔI TÍCH PHÂN Ví dụ 2.19: Tìm biến đổi Laplace hàm gốc tuần hoàn... (28) CHƯƠNG 2: CÁC PHÉP BIẾN ĐỔI TÍCH PHÂN CHƯƠNG 2: CÁC PHÉP BIẾN ĐỔI TÍCH PHÂN 2.1.3 Ứng dụng biến đổi Laplace Nếu x(t) hàm gốc với số tăng 0 0, thay s=0 ta 2.1.3.1 Ứng dụng biến đổi Laplace