CHƯƠNG 2: CÁC PHÉP BIẾN ĐỔI TÍCH PHÂN

CHƯƠNG 2: CÁC PHÉP BIẾN ĐỔI TÍCH PHÂN CHƯƠNG 2: CÁC PHÉP BIẾN ĐỔI TÍCH PHÂN 2.1 PHÉP BIẾN ĐỔI LAPLACE  X ' ( s )   (t )e  st x(t )dt X (s)  lim 2.1.1 Phép biến đổi Laplace Re( s )   2.1.1.1 Định nghĩa biến đổi Laplace   L  x(t )  X ( s)   e st x(t )dt Miền giải tích X ( s ) 2.1.1.2 Điều kiện tồn Nếu hàm biến thực x(t) thoả mãn điều kiện sau: x(t) = với t < x(t) liên tục khúc x(t) không tăng nhanh hàm mũ t   Thì tồn biến đổi Laplace X(s) xác định giải tích số phức s ═   i cho    thỏa mãn lim X ( s )  Re( s )   3/16/2015 (1) O 2.1.1.3 Các tính chất phép biến đổi Laplace Tính tuyến tính  nÕu t   nÕu t   (t )   L 1  L  (t )   e  st (2) CHƯƠNG 2: CÁC PHÉP BIẾN ĐỔI TÍCH PHÂN Ví dụ 2.1: Hàm bước nhảy đơn vị (Unit step function)  Tính đồng dạng e dt  s L Ax(t )  By(t )  AL x(t )  BL y(t ) L x(at )  X  s  a  s Tính dịch chuyển ảnh Tính trễ Biến đổi đạo hàm  L sin t  L  (t )sin t  X (s)   e 3/16/2015 sin t dt  a L eat x(t )  X  s  a  L  (t  a) x(t  a)  e sa X  s  Ví dụ 2.4: Biến đổi Laplace hàm sin t  st  3/16/2015 CHƯƠNG 2: CÁC PHÉP BIẾN ĐỔI TÍCH PHÂN  st  0 L  x '(t )  sX  s   x(0) L x(n) (t )  s n X  s   s n1x(0)  s n2 x '(0)    x(n1) (0)  s2 (3) 3/16/2015 (4) CHƯƠNG 2: CÁC PHÉP BIẾN ĐỔI TÍCH PHÂN t  L  x(u )du   X s  Biến đổi Laplace tích phân  Đạo hàm ảnh CHƯƠNG 2: CÁC PHÉP BIẾN ĐỔI TÍCH PHÂN L t n x(t )   1n d ds n L 5  4sin t  5L 1  L sin t   s s  n Ví dụ 2.5:     s 2 s  2   1    at e sin t  L eat  L eat 1  ( s  a)2   sa L sin t   Ví dụ 2.6: X s  Tích phân ảnh L  x(t )    X (u )du  t  Biến đổi Laplace hàm tuần hoàn X ( s )  10 Ảnh tích chập Ví dụ 2.7: T e s L  x(t )   st x (t )dt  e  sT L  x(t )  y(t )  X (s)Y (s) 3/16/2015 L  L cosh at  L  e  Ví dụ 2.9: Hàm xung (Impulse) 0  x(t )   (t ) 0  a s2  a2 (6) x(t )   (t  a ) (t )   (t  b) (t )  a,b (t ) (t ) nÕu t  a nÕu a  t  b nÕu t  b Ví dụ 2.10:  nÕu t  a  a ,b (t )   nÕu a  t  b   (t  a)   (t  b)  nÕu t  b 0  x(t )  sin t 0  nÕu t  nÕu  t   nÕu t   x(t )   (t ) sin t   (t   ) sin t   (t ) sin t   (t   ) sin(t   ) L x(t )  e  as  ebs  a,b (t )  L  (t  a )  L  (t  a )  s 3/16/2015 L sinh at  Hàm xung biểu diễn qua hàm xung đơn vị Hàm xung đơn vị đoạn [a ; b] L  e  at  s  2 s  a2   CHƯƠNG 2: CÁC PHÉP BIẾN ĐỔI TÍCH PHÂN  as s    3/16/2015 CHƯƠNG 2: CÁC PHÉP BIẾN ĐỔI TÍCH PHÂN L  (t  a)  e at   at  at     L sinh at sin t  L  e  e sin t   2 2 (s  a )2     ( s  a )   (5) Ví dụ 2.8: s2   (7) 3/16/2015 s 1  e s s 1   e s s2 1 (8) CHƯƠNG 2: CÁC PHÉP BIẾN ĐỔI TÍCH PHÂN CHƯƠNG 2: CÁC PHÉP BIẾN ĐỔI TÍCH PHÂN 0 2  x (t )   4  '  nÕu  t   s  sin     s2   s  2  t     1  Ví dụ 2.13: L   sinh (3u ) sin( u ) du    2 2 s ( s  3)   ( s  3)       nÕu  t  Ví dụ 2.14: Ví dụ 2.11: Hàm bậc thang Ví dụ 2.12: nÕu t  hoÆc t  nÕu  t  L cos t  L  sin t     s    Ví dụ 2.15: L t n    1n x(t )  20,1(t )  41,2 (t )  2,3 (t ) 0 t  u (t )   a  dn 1 n!  n1 ns ds   s   (t )   (t  1)   2 (t  1)   (t  2)    (t  2)   (t  3)  s  3e  s  e  3s s  3/16/2015 (9) Hàm xung tam giác đơn vị 0 t   (t )   2  t  L u(t )  as   3/16/2015 L (t )  2e e   s2 s s e  nÕu  t  nÕu t  s  1  e as as Ví dụ 2.17: nÕu t  nÕu  t   L  sin t     t  s du  u 1  arctan u s  t Hàm tích phân sin  t (t )  2(t  1) (t  1)  (t  2) (t  2) 2 s as  (10) Si t   s e as CHƯƠNG 2: CÁC PHÉP BIẾN ĐỔI TÍCH PHÂN  (t )  t  (t )   (t  1)  2  t  (t  1)   (t  2) s nÕu t  a 3/16/2015 CHƯƠNG 2: CÁC PHÉP BIẾN ĐỔI TÍCH PHÂN Ví dụ 2.16: nÕu  t  a t t t t ta u (t )  0 a (t )   (t  a )   (t )   (t  a)   (t  a )   (t )   (t  a ) a a a a a  2 (t )  2 (t  1)  3 (t  2)   (t  3) L x(t )   2e nÕu t  t   arctan s  arctan s sin u du , t  u  L   sin u du   arctan  u  s s (11) 3/16/2015 (12) CHƯƠNG 2: CÁC PHÉP BIẾN ĐỔI TÍCH PHÂN Ví dụ 2.18: Không tồn biến đổi Laplace CHƯƠNG 2: CÁC PHÉP BIẾN ĐỔI TÍCH PHÂN Ví dụ 2.19: Tìm biến đổi Laplace hàm gốc tuần hoàn chu kỳ T >0 co s t t Tuy nhiên có biến đổi Laplace  T  L 1  cos at      u  du  ln u  ln(u  a ) t   su u a  u s  u  ln   2  u a    s  ln1  ln     2  u s  s a e T /2  st  x(t )dt    s    ln    2   s a     X (s)  (13) e  sT /  sin(2 t / T ) x (t )    T T /2  st  e x(t )dt   0 X ( s)  3/16/2015 s T  4  1 e   1  e  sT /     s  e  sT / s sT e4 e sT T /2 e  st  s sT  e e  sT k nÕu  t  T / x (t )    k nÕu T /  t  T e  T  sT / T /2  1 s sT sinh   sT   s cosh sT s 4 X ( s)  k sT  s (14) x(t )  sin( t / T ) ,  t  T nÕu T /  t  T  e  sT /  sT e st dt  s 3/16/2015 Ví dụ 2.21: nÕu  t  T /  e  st CHƯƠNG 2: CÁC PHÉP BIẾN ĐỔI TÍCH PHÂN 2 T  2 t  e  st sin   e sT /  dt  2 s T  4  T  2 T 2  dt  T /2 1 s  e  sT CHƯƠNG 2: CÁC PHÉP BIẾN ĐỔI TÍCH PHÂN Ví dụ 2.20: e Tổng quát 3/16/2015 T  st  2 T 2 s T  4  T  1 e  sT / (15) T T  t   st  st  sT  e x(t )dt   e sin  T  dt  s 2T    e 0 X ( s)  3/16/2015  T 2 s T    e sT  e  sT  2 T s 2T  4  coth  sT (16) CHƯƠNG 2: CÁC PHÉP BIẾN ĐỔI TÍCH PHÂN Ví dụ 2.24: Ví dụ 2.25: t    L   sinh 2u cos3(t  u )du   L sinh 2t  cos3t  L cos(t )  sin(t )  L t  sin(t )  CHƯƠNG 2: CÁC PHÉP BIẾN ĐỔI TÍCH PHÂN s  s2  s2  2.1.2 Phép biến đổi Laplace ngược s s 1     L  t sin(t )  s  s  ( s  1) 2  x (t )  L 1  X ( s) , 2 2 1         L t  2cos t  s3 s  ( s  1) s3 s  s s    L et   (t  1)   (t  2)  L t  sin t  e t 1    X ( s )ds   i X ( s) 1 1     L t  sin t s2 s2  s2 s2  3/16/2015 (18) CHƯƠNG 2: CÁC PHÉP BIẾN ĐỔI TÍCH PHÂN Một vài phương pháp tìm hàm ngược Ví dụ 2.27: L    e 4t L  6 s      1 Sử dụng tính chất biến đổi thuận tính biến đổi ngược  s   X     ax ( at )   a  1  L L 1 X (s  a)  eat x(t ) L 1eas X (s)  x(t  a) (t  a) L 1 X (s)  tx(t )  e53 s   e5 L  6   s    1 Ví dụ 2.28:  4t t  6e 5! s  1  e 3s  4 t 3  t    e5 e    (t  3)  6 5!   s    1 s 2 (s  a )   a    2a  s  a  ' t     x(u ) du  s  3/16/2015 st x(t ) CHƯƠNG 2: CÁC PHÉP BIẾN ĐỔI TÍCH PHÂN L e  (17) 1 X ( s )    i   (t  1)  et 2   (t  2) 3/16/2015 L 2i  e  s  e 2 s e  s  e 2 s   s 1 s s( s  1) L x(t )  L 1  X ( s)Y (s)  x(t )  y(t ) (19) L 3/16/2015  1  s  t sin(at )  2  2a  ( s  a )  (20) CHƯƠNG 2: CÁC PHÉP BIẾN ĐỔI TÍCH PHÂN Ví dụ 2.29: Đặt x(t )  L s  a ln    s b 1 CHƯƠNG 2: CÁC PHÉP BIẾN ĐỔI TÍCH PHÂN L  x(t )  ln s  a sb L tx(t )   d d d 1  sa   ln    ln( s  a )  ln( s  b)  ds  s  b  ds ds s b s  a  tx(t )  L 1  bt  at     e e  L s b s  a  1 s  a  ebt  e  at ln  t  s b 1 Cũng với phương pháp ta có L L s  a   L s  t  1 s  a  ln  L s  t   1  1 ln   1 d s  a   ln  L t s   ds 1 d s  a    ln  L ds t s   1 2s 2s     (1  cosh at )   s2  a2 s2  t 2s 2s     (1  cos at )   s  a2 s2  t Khai triển thành chuỗi lũy thừa a a a a a X (s)        s s s3 s s5 a t a t3 a t  x(t )  L 1 X ( s)  a0  a1t     2! 3! 4! Ví dụ 2.30 1 s 1 1 1 1  1 e  1             s s  s 2!s 3!s3 4!s4 2!s3 3!s 4!s5  s s    t2 t3 t4  x (t )  L 1 e s    t     2 s (2!) (3!) (4!)    1 2  t  t  t  t 1! (2!) (3!) (4!)    (1) k  (k !)2  t  2k    J0 t k 0 J0 hàm Bessel bậc 3/16/2015 (21) 3/16/2015 CHƯƠNG 2: CÁC PHÉP BIẾN ĐỔI TÍCH PHÂN (22) CHƯƠNG 2: CÁC PHÉP BIẾN ĐỔI TÍCH PHÂN Sử dụng thặng dư tích phân phức Ví dụ 2.31 Tìm hàm gốc Giả sử hàm X(s) có số hữu hạn điểm bất thường cô lập a1, …, an nửa mặt phẳng Re(s)   ;   0 P(s) s  3s   Q ( s ) ( s  1)( s  2)( s  3) n x (t )  L 1 X (s)   Res est X (s); ak  k 1 có cực điểm đơn 1, 2, 3 Công thức Heaviside P( s )  Q( s ) s 1 n x (t )  L 1 QP((ss))    QP((aak )) ea t k   k 1 k  x (t )  Với Q(s) có không điểm đơn a1, a2, …, an 3/16/2015  s  3s   x(t )  L 1   ( s  1)( s  2)( s  3)  (23) 3/16/2015 P(s )  1 Q '(s ) s 2 P(s)  Q( s ) s 3 t e  e2t  e 3t 4 (24) CHƯƠNG 2: CÁC PHÉP BIẾN ĐỔI TÍCH PHÂN 1 x (t )  L Ví dụ 2.32 Tìm hàm gốc  3s  3s    ( s  2) s  4s    CHƯƠNG 2: CÁC PHÉP BIẾN ĐỔI TÍCH PHÂN    Tìm hàm gốc phân thức hữu tỉ P( s) 3s  3s   Q( s ) ( s  2) s  4s    P( s ) i  1 Q ' ( s ) s    2i P ( s) 1 Q( s ) s 2 có cực điểm đơn: 2, 2  2i, 2 2i  Các phân thức hữu tỉ loại I  P (2  2i)  P( s ) i i   1  1  Q' ( s) s  2  2i  Q ' ( 2  2i)  4    i    e 2t  e  2t e 2it  e  2it  e 2t e 2it  e 2it  e 2t  e 2t  cos2t  sin 2t    3/16/2015 (25) L   L   Trường hợp n      sin t  t cos t  2 2      1     s  t sin t  t cos t   3 2   s      2    t sin t  3t cos t  2 2 8 s   1  L   s2  2  1   2  n s s  n  s  2  n (26) 3s  3s  (s  2) s  4s  2s  2( s  2) X (s)      s  s  s  s  ( s  2)  ( s  2)   L 3/16/2015    t sin t   2  s2      s 1 3/16/2015 Ví dụ 2.33: Tìm hàm gốc  sin t 1    s    Trường hợp n  L  (s  a) CHƯƠNG 2: CÁC PHÉP BIẾN ĐỔI TÍCH PHÂN  Trường hợp n  L L 1 Sử dụng tính chất dịch chuyển ảnh ta đưa phân thức tối giản loại II hai dạng sau CHƯƠNG 2: CÁC PHÉP BIẾN ĐỔI TÍCH PHÂN  s 1    cos t s    at t n 1 e (n  1)!  ( s  a) n  Ms  N   at e s   a L 1  Các phân thức hữu tỉ loại II i i    x(t )  e2t     e 2t  2it  1   e2t 2it  4  4  P( s) phân Q( s ) tích thành tổng phân thức tối giản loại I loại II Mọi phân thức hữu tỉ thực có dạng X ( s)  1 X (s)   x(t )  L  (27)    2 t 2t 2 t   e  2e cos 2t  e sin 2t  s  15s  11 Ví dụ 2.36: Tìm hàm gốc X ( s )  1 ( s  1)( s  2) x(t )  L  3s  3s    ( s  2) s  4s  X ( s)  3/16/2015  5s  15s  11   7    ( s  1)( s  2) s  s  ( s  2) ( s  2)    t 2t 1 5s  15s  11 2t 2t     e  e  4te  t e 3  ( s  1)( s  2)3   (28) CHƯƠNG 2: CÁC PHÉP BIẾN ĐỔI TÍCH PHÂN CHƯƠNG 2: CÁC PHÉP BIẾN ĐỔI TÍCH PHÂN 2.1.3 Ứng dụng biến đổi Laplace Nếu x(t) hàm gốc với số tăng 0  0, thay s=0 ta 2.1.3.1 Ứng dụng biến đổi Laplace để tính tích phân    x(t ) dt   X ( s )ds t   e  at Ví dụ 2.37:   x(t )dt    e  st x(t )dt   X ( s ) s a   0  s a  e 3t sin tdt  L sin t s 3   e 2t Ví dụ 2.39: s  s 3  t cos tdt  L t cos t s 2  s 1 ( s  1)2  10 Ví dụ 2.40: s 2    e t  e 3t   s 1    t  dt    s   s   ds  ln s   ln  0   sin t   dt  ds  t  s   arctan s  0 Ví dụ 2.41:  sin t t2  e  25   3/16/2015 (29) sin t t2  st dt        1  (1  cos 2t )   ets sds  dt     ets (1  cos 2t )dt  sds 0 0    0 s (1  cos2t )dt    s s  s(s  4) dt       s  ds  arctan    sds   2 0  s ( s  4)  2 s  0 3/16/2015 CHƯƠNG 2: CÁC PHÉP BIẾN ĐỔI TÍCH PHÂN (30) CHƯƠNG 2: CÁC PHÉP BIẾN ĐỔI TÍCH PHÂN Hệ phương trình vi phân tuyến tính hệ số 2.1.3.2 Ứng dụng biến đổi Laplace để giải phương trình vi phân tuyến tính Ví dụ 2.45: Tìm nghiệm hệ phương trình vi phân Phương trình vi phân tuyến tính hệ số Ví dụ 2.42: Tìm nghiệm phương trình thỏa mãn điều kiện đầu  x"2 x'2 x  2e cos t   x (0 )    y(0)   sX   X  3Y  ( s  2) X  3Y   X  ( s  1)Y  sY   Y  X  8s  17   X  ( s  1)( s  4)  s   s   3s  22 Y    ( s  1)( s  4) s  s   t sin t x (t )  L 1X ( s )  2e t  te t sin t 3/16/2015 với điều kiện đầu Hệ phương trình ảnh x(0)  x' (0)  2( s  1) 2( s  1) s  2s  X ( s)   X ( s)  ( s  1)  ( s  1)    x'  x  y   y'  y  x t (31) 3/16/2015 t 4t    x(t )  5e t  3e 4t y ( t )  e  e  (32) CHƯƠNG 2: CÁC PHÉP BIẾN ĐỔI TÍCH PHÂN CHƯƠNG 2: CÁC PHÉP BIẾN ĐỔI TÍCH PHÂN 2.1.3.2 Ứng dụng biến đổi Laplace để giải toán mạch điện i L C R   u3 u2 u1 u4 t  di (t ) 1 u2 (t )  u1 (t )  R i (t ), u3 (t )  u2 (t )  L , u4 (t )  u3 (t )    i (t ) dt  q0    dt C  U I ( s )  L i (t ) U ( s)  L u (t ) Z  Z  R ; Z  Ls ; Z  A I Z2 Z1 C B Ví dụ 2.51: Xét mạch RLC nối tiếp với đến thời điểm t ═T(T=1s) ắc quy tách khỏi mạch, lúc mạch RLC đóng không sức điện động Tìm cường độ i(t) dòng điện mạch thời điểm t >0  L i Cs Z  Z1  Z A B I2 t0 1   Z Z1 Z I Z2 t T (33)   (34) CHƯƠNG 2: CÁC PHÉP BIẾN ĐỔI TÍCH PHÂN t  di 1  Ri    i dt   E (t ), E (t )  90  (t )   (t  1)    dt C 0  Ví dụ 2.52: Xét mạch điện Suất điện động E(t)=E0= số Đóng mạch thời điểm t = 1  e s I  90 Cs s Tìm cường độ i1(t), t > I1 cường độ ảnh mạch R1  C  e s    (1  e s )    s  10 s  100  s  110 s  1000  I cường độ ảnh mạch R2  L Z1 trở kháng ảnh mạch R1  C  E0 3/16/2015 CHƯƠNG 2: CÁC PHÉP BIẾN ĐỔI TÍCH PHÂN LsI  RI    3/16/2015 I  90 C R Z1 I1 L R═110 , L═1H, C═0,001F ắc 90V Đóng mạch thời điểm t═0 quy cung cấp sức điện động  i (t )  e 10t  e 100t  e10(t 1)  e 100(t 1)  (t  1) Z trở kháng ảnh mạch R2  L Z1  R1  Cs Z  R2  Ls Z trở kháng ảnh tương đương hai đoạn mạch R1  C R2  L 3/16/2015 (35) 3/16/2015 (36) CHƯƠNG 2: CÁC PHÉP BIẾN ĐỔI TÍCH PHÂN CHƯƠNG 2: CÁC PHÉP BIẾN ĐỔI TÍCH PHÂN 1 ZZ Z Z2   Z    (*) Z Z1 Z Z1  Z Z1 Z1  Z I1Z1  I Z  I Z  I1  Đặt I1  Z I (**) Z1 Áp dụng định luật Kirchoff cho mạch vòng ta có (R  Z ) I  Từ (*), (**) (***) suy   RL  R1L ;   RR1  RR2  R1R2   '   E0 (***) s 3/16/2015 L I1  3/16/2015  2l a0     an cos nt  bn sin nt  n 1 a0  L t R2 a0   n n    an cos t  bn sin n 1 l l 2l  t  2l n n x (t )dt ; an   x(t )cos tdt ; bn   x(t )sin tdt ; n  1, 2, l0 l l0 l l 0 Định lý 2.15 (Định lý Dirichlet): 2 Giả sử hàm x(t) tuần hoàn, đơn điệu khúc bị chặn (gọi điều kiện Dirichlet), điểm gián đoạn ta ký hiệu  x(t )dt x (t )  2  x(t ) cos ntdt ; bn    x(t )sin ntdt ;   e (38) x(t )  2.2.1.1 Khai triển Fourier hàm tuần hoàn chu kỳ 2 an  LE0 2.2.1.2 Khai triển Fourier hàm tuần hoàn chu kỳ T0 = 2l 2.2.1 Chuỗi Fourier 2  i1 (t )  CHƯƠNG 2: CÁC PHÉP BIẾN ĐỔI TÍCH PHÂN 2.2 PHÉP BIẾN ĐỔI FOURIER LE0  L  s   R 2    s   s    3/16/2015 CHƯƠNG 2: CÁC PHÉP BIẾN ĐỔI TÍCH PHÂN  E     t  i1 (t )   L  t  R2  L   e       Nếu s   R2 nghiện (37) a0  E  R  Ls1 s1t R2  Ls s t  i1 (t )   e  e    s1    s2        Z E0 Z E0  Z1 s R  Z s  R  Z1  Z   Z1Z  E0 ( R2  Ls ) I1  L R R  s  RL  R1L   s  RR1  RR2  R1R2     C C C   s  2 s     '      I1  x (t )  E0 ( R2  Ls ) L R R ;   C C C n  1, 2, Khi chuỗi Fourier hội tụ có đẳng thức (39) 3/16/2015 x (t  0)  x(t  0) x (t )  a0   n n    an cos t  bn sin n 1 l l  t  (40) 10 CHƯƠNG 2: CÁC PHÉP BIẾN ĐỔI TÍCH PHÂN CHƯƠNG 2: CÁC PHÉP BIẾN ĐỔI TÍCH PHÂN 2.2.1.3 Dạng cực chuỗi Fourier (Polar Fourier Series) Ví dụ 2.56: Xét hàm số x(t)  | t |,   < t <  ; tuần hoàn chu kỳ 2  bn   t sin ntdt    an       2  t sin nt cos nt   t cos ntdt       0  n n  t 0    n   a0  n n  n    an cos t  bn sin t  A0   An cos  t  n  n1 l l l   n 1 a0 2 cos   an , sin   bn A0  , An  an  bn ; n n An An x(t )  a0   t dt   tdt     0 nÕu n  2k  nÕu n  2k  2.2.1.4 Dạng phức chuỗi Fourier (Complex Fourier Series)  Áp dụng định lý Dirichlet ta có x(t ) ~   cos nt   cos3t cos 5t cos 7t  t       cos t       n1 n  25 49  a0      (t )dt      dt  an      bn    (t )sin ntdt   sin ntdt   n   0 0   1 nÕu  t   0 nÕu    t    (t ) cos ntdt   3/16/2015  m   c c a  c0 a n  cn  c n Hoặc bn  i (cn  c n ) (42) x(t) tuần hoàn chu kỳ T0 = 2l Đẳng thức Parseval: T0   cos ntdt  c  T0 nÕu n  2k     cn x (t ) dt  c n   2.2.2 Phép biến đổi Fourier hữu hạn (qua miền tần số) Biến đổi Fourier hữu hạn dãy tín hiệu rời rạc  x (n) n   nÕu n  2k 2 sin 3t sin 5t sin 7t    sin t      1   2    1 cn   (t )e i nt dt  e i nt dt     2  2   i  e(2 m1)it  in  (t )    (t )  n t l dt , CHƯƠNG 2: CÁC PHÉP BIẾN ĐỔI TÍCH PHÂN  (t )     i x(t )e 3/16/2015 CHƯƠNG 2: CÁC PHÉP BIẾN ĐỔI TÍCH PHÂN chu kỳ 2 xác định sau c  2l 2l c  n  ( a n  ib n ) / (41) Ví dụ 2.57: Xét hàm bước nhảy tuần hoàn cn  c0  a / c n  ( a n  ib n ) /  3/16/2015 n t l ; n   1 1  1      25 49 (2 n  1)2 n 0 Chẳng hạn thay t  0:  i cn e  X ( f )  F  x(n)  nÕu n    x(n)ei 2 nf n  nÕu n ch½n n  Công thức biến đổi ngược nÕu n lÎ x ( n)  2m  F 1  X ( f )   X ( f )ei 2 nf df (43) 3/16/2015 (44) 11 CHƯƠNG 2: CÁC PHÉP BIẾN ĐỔI TÍCH PHÂN CHƯƠNG 2: CÁC PHÉP BIẾN ĐỔI TÍCH PHÂN Tính chất phép biến đổi Fourier hữu hạn Ví dụ 2.61: Tìm biến đổi Fourier hữu hạn tín hiệu rời rạc  nÕu  n  N  rect N (n)    nÕu ng­îc l¹i  X(f )    x(n)e i 2 nf  n  N 1  ei 2 nf   e i 2 Nf n 0 1 e i 2 f  ei ( N 1) f sin( N f ) sin( f ) Tuyến tính F  Ax(n)  By(n)  AF  x(n)  B F  y(n) Trễ  X(f )   X ( )  F  x(n)    x(n)e in  X ( )e  Liên hợp phức i n d Biến số đảo (46) 2.2.3.1 Công thức tích phân Fourier Giả sử hàm x(t) khả tích tuyệt đối toàn trục thực thoả mãn điều kiện Dirichlet, ta có đẳng thức Biến đổi hàm tương quan F  rx, y (n)  X ( f )Y ( f ) l x (t )  i d X( f ) 10 Đạo hàm ảnh  X ( f )  F  x(n)  F  nx(n)   2 df 11 Đẳng thức Parseval   2   x(n) y(n)   X ( f )Y ( f )df  x(n)   X ( f ) df m n  l 1 n n n n  x(u )du    x(u ) cos u cos t  sin u sin 2l l l n 1 l l l l l  l x (t )    X ( f )  F  x( n) 12 Quan hệ với biến đổi Z   X ( f )  X (ei 2 f )   X ( z )  Z  x( n) 3/16/2015 x ( n)ei 2 nf   X ( f ) 2.2.3 Phép biến đổi Fourier F  x(n)  y(n)  F  x(n)  F  y(n) Tích chập ảnh F  x(n)  y (n)  F  x(n)  F  y (n) n  F  x(n)   CHƯƠNG 2: CÁC PHÉP BIẾN ĐỔI TÍCH PHÂN Tích chập x ( m) y ( m  n ) x( n)ei 2 nf   X ( f ) 3/16/2015 CHƯƠNG 2: CÁC PHÉP BIẾN ĐỔI TÍCH PHÂN  F  x(n)   n (45)   n   3/16/2015 rx, y ( n)   n  2 x(n)  F 1  X ( )  2 F  x(n)  F ei 2 nf x(n)  X ( f  f ) F  x(n) cos(2 nf0 )  X ( f  f0 )  X ( f  f0 ) Điều chế  Dịch chuyển ảnh  X(f )  Biến đổi Fourier qua miền tần số góc   F  x(n)  F  x(n  n0 )  ei 2 n f X ( f ) (47)  t  du  l 1 n x(u )du    x(u ) cos (t  u )du 2l l l n1 l l    F ( )   x(u )cos  (t  u )du    x(u ) cos n (t  u )du    F  n  l l    n 0  n1   l Cho l     x(t )   F ( )d   3/16/2015   d   x(u ) cos  (t  u )du   (48) 12 CHƯƠNG 2: CÁC PHÉP BIẾN ĐỔI TÍCH PHÂN x (t )      CHƯƠNG 2: CÁC PHÉP BIẾN ĐỔI TÍCH PHÂN  2.2.3.2 Phép biến đổi Fourier  d   x(u) cos  (t  u )du  2  d   x(u )cos  (t  u )du        1 i (t u) x(t )   d  x(u)  cos (t  u)  i sin (t  u) du  2  d  x(u)e du 2     Đổi biến  X( f )   F  x(t )   x(t )ei 2 ft dt , f   Công thức biến đổi ngược x(t )  F 1  X(f )     2 f    X ( f )e i 2 ft df   x(t )    df    x (u )ei 2 f (t u ) du       x(u )e i 2 fu      du  ei 2 ft df   3/16/2015 (49) Dạng biên độ - pha phép biến đổi  X( f )   X ( f ) ei ( f )  X( f ) X(f)   X ( f ) X ( f ) ,  ( f )   3/16/2015 CHƯƠNG 2: CÁC PHÉP BIẾN ĐỔI TÍCH PHÂN CHƯƠNG 2: CÁC PHÉP BIẾN ĐỔI TÍCH PHÂN Tính chất phép biến đổi Fourier Tuyến tính Trễ F  Ax(t )  By(t )  AF  x(t )  B F  y(t ) F  x(t  Td )  ei 2 T f X ( f ) Dịch chuyển ảnh d F ei 2 f t x(t )  X ( f  f0 )   F  x(t ) cos(2 f0 t )  X ( f  f0 )  X ( f  f0 ) Điều chế Liên hợp phức F x(t )  X ( f )   Đối ngẫu F  X (t )  x( f ) X( f )  x(t) hàm thực chẵn  3/16/2015 (50) F  x(t )  F  X (t )  x( f ) (51) Đồng dạng F  x(at )  Đạo hàm F  d Tích phân F    X ( f / a) |a| n x(t )   (2 if ) n  X(f ) n   dt   t   X(f )  X (0) ( f )   x(u )du     i 2 f n n d X ( f ) t n x(t )   i 2 f  df n 10 Đạo hàm ảnh F 11 Tích chập F  x(t )  y(t )  X ( f )Y ( f ) 12 Tích chập ảnh F  x(t )  y(t )  X ( f )  Y ( f ) 3/16/2015  (52) 13 CHƯƠNG 2: CÁC PHÉP BIẾN ĐỔI TÍCH PHÂN CHƯƠNG 2: CÁC PHÉP BIẾN ĐỔI TÍCH PHÂN 2.2.3.3 Định lý Parseval định lý lượng Rayleigh      Ví dụ 2.62: Biến đổi Fourier xung chử nhật hay hình hộp có độ dài 2a  x1 (t ) x2 (t )dt   X ( f ) X ( f )df  x(t ) dt      nÕu | t |  a  a (t )    nÕu | t |  a , a   X ( f ) df F   a (t )  2a sinc(2af )  2.2.3.4 Biến đổi Fourier hàm đặc biệt x(t )  e Ví dụ 2.64: Hàm phân bố mũ hai phía F e t   2   2 f 2  t , 0 2   e    4 t  F  f , 0 3/16/2015 (53) 3/16/2015 CHƯƠNG 2: CÁC PHÉP BIẾN ĐỔI TÍCH PHÂN (54) CHƯƠNG 2: CÁC PHÉP BIẾN ĐỔI TÍCH PHÂN 2.2.4 Phép biến đổi Fourier rời rạc (Discrete Fourier Tranform) Ví dụ 2.64: Xung tam giác đơn vị Giả sử tín hiệu lấy mẫu tuần hoàn, chu kỳ 2  1 | t | nÕu | t |   (t )   nÕu | t |   F  (t )  sinc Các điểm mẫu tương ứng (f) 2 4 j 2( n  1) , t2  , , t j  , , tn1  n n n n x   x0 , x1, , xn1  , x j  x (t j )  x  j   n  t0  0, t1  Véc tơ mẫu n 1 x(t )  p(t )  c0  c1eit  c2ei 2t   cn1ei ( n1)t   ck eikt k 0 3/16/2015 (55) 3/16/2015 x(t j )  p (t j )  j  0, , n  (56) 14 CHƯƠNG 2: CÁC PHÉP BIẾN ĐỔI TÍCH PHÂN Các hệ số CHƯƠNG 2: CÁC PHÉP BIẾN ĐỔI TÍCH PHÂN c0 , c1, , cn1 tọa độ véc tơ x   x0 , x1, , xn1  sở trực chuẩn ck  x ; k  E  ei 2 /  cos 2  i sin 2  i , E  1, E  i 0 , 1 , , n1 n1 n 1 E k  ei 2k  / n  cos 2k   i sin 2k  , n   3  x0  x(0) , x1  x   , x2  x    , x3  x    2   sở trực chuẩn k  0, , n  0  1,1,1,1 , 1  1, i,  1,  i  , 2  1,  1,1,  1 , 3  1,  i,  1, i  n 1 DFT  x(t )   X ( k )  (c0 , c1, , cn1 ), ck   E  jk x j , x j  x  j   n j 0  n  n 1 IDFT c0 , c1, , cn1   x0 , x1 , , xn1 x j   E jk ck 3/16/2015 c2  x ; 2 (57) 1 ( x0  x1  x2  x3 ), c1  x ; 1  ( x0  ix1  x2  ix3 ) 4 1  ( x0  x1  x2  x3 ), c3  x ; 3  ( x0  ix1  x2  ix3 ) 4 c0  x ; 0  j 0 3/16/2015 CHƯƠNG 2: CÁC PHÉP BIẾN ĐỔI TÍCH PHÂN Xét tín hiệu giá trị mẫu n1 1 ikt ikt  x j e j  n  x j e j  n  E  jk x j n j 0 j 0 j 0 n Ví dụ 2.65: Xét trường hợp n = (58) CHƯƠNG 2: CÁC PHÉP BIẾN ĐỔI TÍCH PHÂN x (t )  2t  t Các giá trị mẫu x0  0; x1  7,4022; x2  9,8696; x3  7,4022 Các hệ số Fourier rời rạc c0  6,1685; c1  2, 4674; c2  1, 2337; c3  2, 4674 Đa thức lượng giác nội suy biến đổi Fourier rời rạc p(t )  1, 2337ei 2t  2, 4674eit  6,1685  2, 4674eit Re p(t )  6,1685  4,9348cos t  1, 2337 cos 2t 3/16/2015 (59) 3/16/2015 (60) 15 ...CHƯƠNG 2: CÁC PHÉP BIẾN ĐỔI TÍCH PHÂN t  L  x(u )du   X s  Biến đổi Laplace tích phân  Đạo hàm ảnh CHƯƠNG 2: CÁC PHÉP BIẾN ĐỔI TÍCH PHÂN L t n x(t )   1n...  s s (11) 3/16/2015 (12) CHƯƠNG 2: CÁC PHÉP BIẾN ĐỔI TÍCH PHÂN Ví dụ 2.18: Không tồn biến đổi Laplace CHƯƠNG 2: CÁC PHÉP BIẾN ĐỔI TÍCH PHÂN Ví dụ 2.19: Tìm biến đổi Laplace hàm gốc tuần hoàn...  (28) CHƯƠNG 2: CÁC PHÉP BIẾN ĐỔI TÍCH PHÂN CHƯƠNG 2: CÁC PHÉP BIẾN ĐỔI TÍCH PHÂN 2.1.3 Ứng dụng biến đổi Laplace Nếu x(t) hàm gốc với số tăng 0  0, thay s=0 ta 2.1.3.1 Ứng dụng biến đổi Laplace