CHƯƠNG 2: CÁC PHÉP BIẾN ĐỔI DÙNG TRONG MÁY ĐIỆN doc

Khái niệm chung: Khi nghiên cứu một hệ thống 3 pha, các biến đổi toán học thường được dùng để giảm bớt số biến, để đơn giản hoá nghiệm của các phương trình có hệ số thay đổi theo thời g

CHƯƠNG 2: CÁC PHÉP BIẾN ĐỔI DÙNG TRONG MÁY ĐIỆN

§1 CÁC PHÉP BIẾN ĐỔI BA PHA

1 Khái niệm chung: Khi nghiên cứu một hệ thống 3 pha, các biến đổi toán học

thường được dùng để giảm bớt số biến, để đơn giản hoá nghiệm của các phương trình có hệ số thay đổi theo thời gian t hay để quy các biến về một hệ toạ độ chung Ví

dụ phương pháp thành phần đối xứng dùng để phân tích các đại lượng pha thành các thành phần thứ tự thuận, nghịch và không:

Trong đó:

012

2

1

3

(2)

2

j

e

a= π và

012

2

1 a a

(3)

Biến đổi thành phần đối xứng được dùng cho cả các vec tơ xác lập lẫn các đại lượng tức thời

Một phép biến đổi thường dùng khác là biến đổi hệ thống nhiều pha thành hệ thống 2 pha vuông góc Khi biến đổi hệ n pha thành hệ 2 pha ta có:

Trong đó:

2 T( )

θ =

L L

(5)

và α là góc độ điện giữa 2 pha cạnh nhau của dây quấn rải n pha Hệ số

n

2 để bảo đảm cho công suất của hệ khi biến đổi không thay đổi

2 Phép biến đổi Clark: Các biến hai pha cố

định của phép biến đổi Clark được kí hiệu là

α và β như hình bên Trục α trùng với trục

pha a và trục β chậm sau trục α góc π/2 như

hình trên Như vậy phép biến đổi là hai

hướng và một biến thứ 3 là thành phần thứ tự

không được thêm vào:

Trong đó ma trận biến đổi [Tαβ0] khi trục α trùng với trục của pha a là:

trục a

trục α trục b

trục c

trục β

1

α β

(7)

và

1 0

−

α β

(8)

3 Phép biến đổi Park: Phép biến đổi Park từ 3 pha thành 2 pha thường được dùng

khi phân tích các máy điện đồng bộ Quan hệ giữa các đại lượng dq và abc được thể hiện trên hình vẽ sau:

Phương trình biến đổi có dạng (hình a):

Trong đó ma trận biến đổi qd0 có dạng:

(10)

dq 0

1

d

−

−

(11)

Phép biến đổi Park thường được dùng để biến đổi các đại lượng stato của máy điện đồng bộ lên hệ toạ độ dq cố định so với roto Chiều dương của trục d được chọn trùng với trục của từ trường của dây quấn kích thích Trong phép biến đổi Park

trục a trục d

trục b

trục c

trục q

θd

trục a trục d

trục b

trục c

trục q

θd

trục a trục q

trục b

trục c

trục d

θq

a b c

nguyên thuỷ chiều dương của trục q được chọn vượt trước chiều dương của trục d góc π/2 Chọn như vậy thì điện áp của dây quấn ωL iakt kt sẽ hướng theo chiều dương của trục q

Ta có thể chọn chiều dương của trục q chậm sau chiều dương của trục d một góc π/2 Lúc đó chiều dương của s.đ.đ cảm ứng trong dây quấn sẽ trùng với chiều dương của trục q và điện áp trên dây quấn sẽ hướng ngược chiều trục q Ma trận của phép biến đổi với trục q chậm sau trục d (hình b) là:

(12)

Ta cũng có thể dùng phép biến đổi qd0 có trục q vượt trước trục d và biểu diễn

nó theo góc θq giữa trục a và trục q như hình c

Trong đó:

(14)

và nghịch đảo của nó là:

qd0

q

−

(15)

Giữa θq và θd có quan hệ:

2

d

q = θ − π

Thay (16) vào [Tqd 0(θq)] và thực hiện một số biến đổi lượng giác ta có:

d

2









d

2









Như vậy hai phép biến đổi [Tdq 0(θq)] và [Tdq 0(θd)] cơ bản giống nhau, chỉ khác ở thứ tự các biến d và q

§2 PHÉP BIẾN ĐỔI qd0 ĐỐI VỚI CÁC PHẦN TỬ CỦA ĐƯỜNG DÂY

1 Phép biến đổi qd0 cho mạch RL nối tiếp: Ta sẽ tìm phương trình trong hệ toạ độ

qd0 quay ở tốc độ ω bất kì của đường dây 3 pha có dây trung tính nối đất mô tả bằng mạch RL nối tiếp như hình sau

Góc θq, tính bằng radian, được xác định bởi:

) 0 ( dt ) ( )

0

Điện áp đầu đường dây so với dây trung tính là:

grgs r

arg

g ag

c ac

b ab

a aa a a

dt

di L dt

di L dt

di L dt

di L r i

Mặt khác ta có:

ig = -(ia + ib + ic)

nên điện áp rơi trên 3 pha được viết dưới dạng ma trận:

Trong đó:

[ ]s asgsbsgs

csgs

u

u

[ ]r arg rbrgr

crgr

u

u

Phương trình điện áp rơi trên đường dây trung tính là:







−

=

−

=

dt

di L dt

di L dt

di L dt

di L r i u

cg

b bg

a ag

g gg g g gsgr

grgs

dt

di L L

dt

di L L i i i r

c cg gg

b bg gg

a ag gg c

b a g

− +

− +

− +

+ +

=

(22) Đối với đường dây đồng nhất hoán vị ta có ra = rb = rc, Lab = Lbc = Lca và Lcg = Lbg = Lag

Laa

ra

Lbb

rb

Lcc

rc

Lgg

Rg

argr

ig

ia

ib

ic

Gọi Ls = Laa + Lgg -2Lag , Lm = Lab + Lgg - 2Lag = Ls - Laa + Lab, rs = ra + rg và rm = rg thì ma trận điện trở và điện kháng sẽ có dạng đơn giản:

Các phương trình qd0 của đường dây đồng nhất hoán vị có thể nhận được riêng rẽ bằng cách khảo sát điện áp rơi trên điện trở và điện kháng trong phương trình của pha a Trước hết ta khảo sát điện áp rơi trên điện trở:

Thay giá trị i0 = (ia + ib + ic)/3 để loại trừ ib và ic ta có:

Biểu diễn ia theo các dòng điện qd0, điện áp rơi trên điện trở pha a sẽ là:

Tương tự, điện áp rơi trên điện kháng của pha a là:

dt

) i i(

d L dt

di

m

a

(26) Loại bỏ ib và ic ta có:

dt

) i(

d L 3 dt

di ) L L

m

a m

Dùng phép biến đổi qd0 theo (13) để biểu diễn ia theo các dòng điện qd0, điện áp rơi trên điện cảm của pha a có dạng:

Tương tự, áp dụng cùng một phép biến đổi qd0 cho điện áp rơi trên đường dây pha a ở vế phải của (21) và lập các phương trình đối với các hệ số cosθq, sinθq và các

số hạng hằng ta có:

dt

d i L L dt

di L L i r r

dt

di L L i r r

m s d m s d

θ

−

−

− +

−

=

dt

di L 2 L i r 2 r

m s

0 m s

Cần chú ý là phương trình điện áp rơi trên đường dây này ở dạng thành phần đối xứng là:

+

(32)

Từ các phương trình qd0 của điện áp rơi trên đường dây ta có sơ đồ thay thế tương đương của đường dây như sau:

ω(Ls-Lm)id

rs-rm

Ls-Lm

Trục d

Trục 0

Theo các thông số ban đầu ta có:

a m

g a m

s 2r r 3r

ab aa m

ab aa

m

Khi hỗ cảm giữa các pha và giữa các pha đất bằng zero, nghĩa là Lab = Lac = Lbc =

0 và Lag = Lbg = Lcg = 0 thì Ls = Laa + Lgg và Lm = Lgg. Mạch tương đương qd0 có dạng như sau:

Trục q

Trục d

Trục 0

Các mạch tương đương này thường được dùng khi tải RL song song và hỗ cảm bằng zero Khi cho điện áp đầu vào, ta tìm được các dòng điện qd0:

aa

1

L

aa

1

L

aa gg

1

Trong đó:

dt

dθq

= ω

id r ω(Ls-Lm)iq

s-rm

Ls-Lm

i0 rs + 2rm

Ls-Lm

a

Laa

aa

Laa

i0 rs + 3rg

Ls+3Lgg

2 Phép biến đổi qd0 cho mạch điện dung song song: Tiếp theo ta tìm các phương

trình qd0 đối với điện áp rơi trên các điện dung nối song song của một hệ đường dây

3 pha như hình vẽ sau:

Trong đó Can, Cbn, Ccn là điện dung giữa các pha và đất và Cab, Cbc, Cac là điện dung giữa các pha Cho Cab = Cbc = Cac, Can = Cbn = Ccn và Cs = Can + 2Cab Phương trình dòng điện pha a theo hình trên là:

dt

) u u ( d C dt

) u u ( d C dt

du C

ac bn

an ab

an an

(40)

dt

du C dt

du C dt

du C C C

m

nn m

an ac ab an

Thay u0 =(uan + ubn + ucn)/3 vào (41) ta có:

dt

du C 3 dt

du C C

m

an m

s

Sử dụng phép biến đổi qd0 vào dòng điện và điện áp pha a ta có:

Lập phương trình với các hệ số cosθq , sinθq và các hệ số hằng ta có phương trình đối với các dòng điện qd0:

du

dt

dt

dt

du C 2 C

m s

Trong đó

dt

dθq

= ω

Can

Cac

Cbc

Cab

0

s 2 Cm

Mạch điện theo trục q Mạch điện theo trục d Mạch điện theo trục 0 Theo các thông số ban đầu ta có:

Từ tập hợp các phương trình đối với dòng điện qd0 ta có mạch tương đương như trên Phương trình dưới dạng tích phân là:

d 1

θ

d 1

θ

∫

−

C 2 C

1

m s

Khi Cm = 0 và Can = Cbn = Ccn = Cs mạch tương đương sẽ có dạng như sau:

§3 VEC TƠ KHÔNG GIAN VÀ PHÉP BIẾN ĐỔI

1 Các vec tơ không gian: S.t.đ trong khe hở không khí tạo bởi dòng điện ia(t) trong dây quấn pha a là:

Wk

S.t.đ Fa1 phân bố hình sin trong khe hở không khí xung quanh trục của dây quấn pha

a Biên độ của nó theo trục dây quấn pha a là i ( )

2

W

a sin Khi ia(t) biến thiên theo t, biên

độ của Fa1 cũng biến thiên Fa1 là một sóng đứng có nút tại αa = ±π/2 Phương trình (52)

có thể viết dưới dạng vec tơ:

sin a1 W a

2

=

(53) Trong đó ira được định nghĩa là vec tơ không gian dòng điện, có biên độ là ia(t) biến thiên theo t Vec tơ này phân bố hình sin trong không gian quanh trục của pha a hay theo hướng αa = 0 Như vậy có thể xem nó là vec tơ có biên độ tỉ lệ với ia(t) theo hướng

αa = 0 Vec tơ không gian Fra1cũng được quan niệm tương tự S.t.đ của dây quấn 3 pha,

có các trục hướng theo αa = 0, αb = 0, αc = 0 là:

s a1 b1 c1

Sử dụng (52) và (53) ta có:

(55)

0

Trong đó αb và αc là các góc có cùng vị trí như αa nhưng được đo từ trục pha b và pha

c Như vậy nghĩa là:

3

2

a

b = α − π

α

3

4

a

c = α − π α

Sử dụng đồng nhất thức Euler ta có thể viết lại Frs như sau:

4

r

(56)

2

j

e

2 j 3

4 j

a = π = − π , phương trình trên trở thành:

sin

sin

W

4

4

α − α

r

Trong đó ri1 và ri2 là các vec tơ không gian dòng điện thứ tự thuận và thứ tự nghịch của dòng điện 3 pha

Ta sẽ khảo sát các thành phần của dòng điện ri1và ri2 Ta có:

r

(58)

r

(59)

Từ (58) và (59) ta thấy các vec tơ ri1vàri2là hai vec tơ phức liên hiệp, nghĩa là ri1= r Do i∗2

2

i

r

là liên hiệp của ri1 nên j a

1

i e− α

r

2

i eα

r trong (57) là một cặp liên hiệp và tổng của chúng là một số thực Nói cách khác, Frs trong (57) là một đại lượng thực Với hệ thống

3 pha đối xứng, nghĩa là:

t cos I











=

3

2 t cos I











=

3

4 t cos I

vec tơ dòng điện thứ tự không là zero và phương trình (58) có dạng:

j t

ω

π

r

(61)

Biểu thức (61) nói rằng vec tơ không gian dòng điện thứ tự thuận có biên độ là 1.5 lần biên độ của dòng điện một pha Nó có thể biểu diễn bằng một lá dòng điện phân bố hình sin trong không gian có biên độ bằng 1.5Im, quay theo hướng dương với tốc độ góc ωe Dòng điện thứ tự nghịch là:

e

j t

2 1 3 m

2

∗

− ω

(62)

có cùng biên độ như dòng điện thứ tự thuận, quay theo chiều ngược với cùng một tốc

độ

Thay các biểu thức (61) và (62) vào (57) ta có:

4  2  α − ω − α − ω  4  2 

r

(63) Biểu thức (63) cho biết s.t.đ tổng Frs trong khe hở không khí có thể coi là vec tơ không gian quay Frs phân bố hình sin trong không gian dọc theo khe hở không khí và quay với tốc độ ωe theo hướng dương của αa Biên độ của nó bằng 1.5 lần biên độ của vec tơ không gian s.t.đ một pha

Để dễ quan sát phép biến đổi, ta đưa thêm một hệ số tỉ lệ sao cho biên độ của vec tơ không gian dòng điện bằng biên độ của dòng điện một pha Khi đó ta định nghĩa:

b c

−

(64) Trong đó i0 tương ứng với vec tơ không gian dòng điện thứ tự không và bằng một phần ba tổng dòng điện 3 pha: i0 =(ia + ib +ic)/3 và là một số thực Từ các quan hệ trên

ta có thể biểu diễn dòng điện pha a theo ir :

a 0

−

r

(66)

b 0

Như mong muốn, vec tơ không gian dòng điện thứ tự thuận, được xác định bởi (64)

là một lá dòng điện phân bố hình sin trong không gian có cùng giá trị biên độ như dòng điện pha và cũng quay theo chiều dương với tốc độ góc ωe

2 Phép biến đổi giữa hệ abc và hệ qd0 đứng yên: Quan hệ giữa các vec tơ dòng điện

không gian ri1,ri2 vàri0với ia, ib và ic có thể biểu diễn dưới dạng giống như phép biến đổi đối xứng cổ điển, nghĩa là:

2

2

c 0

1 a a

=

 

r

r

Từ (62) và (64), ri2=r =1.5i∗1 r , ma trận có thể viết lại dưới dạng:i∗

2 a 2

b

i

1 a a

i

∗

 

 

 

 

 

  =

 

 

 

 

r

r

q d

i i= − ji r

và viết lại các phần thực và phần ảo thành 2 hàng riêng biệt ta có phương trình của phép biến đổi thực:

a q

b d

i

3

 

 

 

 

(71)

s

a q

s

b d

i

 

 

 

 

(72)

Viết gọn lại ta có:

qd0 qd0 abc

Trong đó isqd0 và [ ]iabc là các vec tơ cột của các thành phần dòng điện qd0 và dòng

điện các pha Ma trận Tqd0s  là ma trận hệ số trong phương trình (72) Nó

biến đổi các dòng điện pha abc thành các dòng điện qd0 Phép biến đổi trên là phép biến đổi từ hệ abc thành hệ qd0 đứng yên Chỉ số trên s để nói lên hệ đứng yên Ma trận nghịch đảo, biến đổi từ hệ qd0 đứng yên thành hệ abc, là:

qd0

−

(74)

abc qd0 qd0

i = T   − i 

Khi hệ thống dòng điện 3 pha đối xứng cho bởi:

i = I cos( tω + ϕ )











ω − π + ϕ

=

3

2 t cos I











ω − π + ϕ

=

3

4 t cos I

thì phép biến đổi (72) tạo ra:

s

i = I cos( tω + ϕ )

s

2

π

0

i0 =

Như vậy, vec tơ không gian dòng điện đối với các dòng điện đối xứng là:

( ) ( )

j t

ω + ϕ

r

(77) Trong đó Ia là trị hiệu dụng của dòng điện pha a

Như vậy, với hệ thống dòng điện ba pha cân bằng, các dòng điện qd i và sq s

d

i là trực giao và chúng có cùng giá trị biên độ như dòng điện các pha abc Từ các biểu thức trên ta có thể thấy là s

d

i vượt trước s

q

i góc π/2 và dòng điện tổng ir quay theo chiều âm với tốc độ ωe từ vị trí ban đầu ϕ tới trục pha a tại t = 0 Phương trình (77) cũng chỉ ra quan hệ giữa vec tơ không gian và vec tơ thông thường

3 Phép biến đổi giữa abc và hệ toạ độ quay qd0: Phương trình (77) cho thấy dòng

điện tổng ir quay với tốc độ ωe Do vậy ta có thể suy ra rằng một người quan sát chuyển động với tốc độ này sẽ thấy vec tơ không gian dòng điện ir là vec tơ không gian hằng, chứ không phải là các thành phần qd biến thiên theo thời gian như ở hệ toạ độ cố định qd như trong phương trình (76) Quan hệ hình học giữa hệ toạ độ qd

cố định và qd quay như hình vẽ

ba pha và hệ qd cố định hệ qd cố dịnh và quay

Ta phân tích vec tơ không gian dòng điện đối xứng abc cho trong các phương trình (75) và (76) Các thành phần của nó theo hệ mới là:

s

s

Góc θ giữa các trục q là hàm của tốc độ quay ω(t) của hệ qd được xác định bởi:

) 0 ( dt ) ( )

0

θ + ω

=

Khi các thành phần qd kết hợp thành vec tơ không gian ta có:

j

Biến đổi ngược lại là:

s

s

d d

i



= 

  − θ θ     

Tương ứng, phép biến đổi ngược có thể biểu diễn bằng:

j

qs qs

d

q as

bs cs

θ

Hệ số e có thể xem là toán tử quay Vec tơ nào nhân với nó đều sẽ quay đi một góc j θ θ Như vậy, phương trình (80) chỉ ra rằng để chuyển các biến qd cố định thành các biến

qd quay ta cần quay các thành phần của nó đi một góc -θ Việc lựa chọn tốc độ quay

và góc ban đầu θ0 = θ(0) phụ thuộc vào cách đơn giản hoá phương trình hay vào việc chọn lựa công thức thích hợp cho ứng dụng mà ta đang xét Ngoài hệ cố định có tốc

độ quay ω = 0, người ta còn dùng hệ qd quay đồng bộ với ω = ωe và hệ qd quay với tốc

độ bằng tốc độ của roto

Bây giờ ta sẽ xét bản chất của các thành phần qd khi chọn ω = ωe Ta sẽ dùng chỉ

số e để chỉ những biến trong hệ qd quay này nhằm phân biệt nó với các biến trong hệ

qd cố định có chỉ số s và chú ý là tốc độ quay đồng bộ ωe = const Lúc đó ta có:

) 0 ( t ) 0 ( dt )

0 e

Vec tơ không gian ir trong hệ toạ độ qd mới là:

e

j t (0) j( t ) j t (0)

j (0)

ϕ − θ

Vì ϕ và θe(0) là hằng số nên giá trị i và eq e

q

i trong hệ trục qd quay đồng bộ là cố định Nếu ban đầu (t = 0) ta chọn trục q của hệ trục qd quay đồng bộ trùng với trục của dây quấn pha a thì θe(0) = 0 Trong trường hợp đó, các phương trình (77) và (84) có thể biểu diễn theo cách sau:

i i= − ji = 2I e− ω = (i − ji )e− ω

r

Phương trình (86) chỉ ra rằng các thành phần q và d trong hệ trục quay đồng bộ cũng giống như các phần thực và phần ảo của giá trị biên độ của dòng điện pha a Phép biến đổi đầy đủ từ hệ cố định qd0 sang hệ quay qd0 với thành phần thứ tự không được đưa vào để trọn vẹn là:

s q q

s

i

 

 

 

(87)

Trong đó θ = ωt + θ(0) Biểu diễn dưới dạng ma trận ta có:

s

Theo các dòng điện ban đầu abc:

s

Thay     Tθ Tqd0s  bằng Tqd0 ta có:

qd0 qd0 abc

  =   

Thực hiện phép nhân ma trận và rút gọn ta có:

(91)

Phép biến đổi ngược cho bởi:

1 qd0

−

(92)

Cũng như với Tqd0s  , phép biến đổi Tqd0 không đồng nhất bởi vì Tqd0 ≠T

1

qd0

  , nghĩa là biến đổi không bất biến công suất Ta đưa công suất tổng tức thời vào mạch 3 pha tính theo các đại lượng abc rồi sau đó biến đổi thành các đại lượng qd0:

c c b b a a abc u i u i u i









































=

c b a T

c b a

i i

i u u

u

(93)

T

(94)

q

1

o

i

i

−

 

Như vậy:

1

3 0 0 2

3

2 1

0 0

2

−

−

(96)

Kết quả:

abc 3 q q d d 1 0 0