CHƯƠNG 3: VÉC TƠ NGẪU NHIÊN VÀ CÁC ĐẶC TRƯNG CỦA CHÚNG

CHƯƠNG 3: VÉC TƠ NGẪU NHIÊN VÀ CÁC ĐẶC TRƯNG CỦA CHÚNG CHƯƠNG 3: VÉC TƠ NGẪU NHIÊN VÀ CÁC ĐẶC TRƯNG CỦA CHÚNG 3.1.2 Hàm phân bố xác suất đồng thời 3.1 KHÁI NIỆM VÉC TƠ NGẪU NHIÊN 3.1.1 Định nghĩa phân loại Một véc tơ ngẫu nhiên n chiều có thứ tự  X1, X , , X n  với thành phần X 1, X , , X n biến ngẫu nhiên xác định phép thử Ta ký hiệu véc tơ ngẫu nhiên hai chiều (X, Y), X biến ngẫu nhiên thành phần thứ Y biến ngẫu nhiên thành phần thứ hai Véc tơ ngẫu nhiên n chiều rời rạc liên tục tất biến ngẫu nhiên thành phần rời rạc liên tục Hàm phân bố xác suất véc tơ ngẫu nhiên  X1, X , , X n  hay gọi hàm phân bố xác suất đồng thời biến ngẫu nhiên X 1, X , , X n FX1 X n ( x1, x2 , , xn )  P  X1  x1, X  x2 , , X n  xn   X1  x1, X2  x2, , Xn  xn biến cố tích  X1  x1  X2  x2   Xn  xn Các tính chất hàm phân bố xác suất đồng thời  FX X ( x1 , , xn )  1 n lim FX X ( x1, , xn )  , với k thuộc 1, ,n xk  lim n ( x1 , , xn ) (  , ,  ) FX1 X n ( x1 , , xn )  FX X ( x1, , xn ) không giảm theo biến n 3/16/2015 CHƯƠNG 3: VÉC TƠ NGẪU NHIÊN VÀ CÁC ĐẶC TRƯNG CỦA CHÚNG lim FX1 X n ( x1 , , xn )  FX X n ( x2 , , xn ) 3/16/2015 CHƯƠNG 3: VÉC TƠ NGẪU NHIÊN VÀ CÁC ĐẶC TRƯNG CỦA CHÚNG Ví dụ 3.2: Cho véc tơ ngẫu nhiên (X,Y) có hàm phân bố xác suất x1  Tương tự lấy giới hạn hàm phân bố xác suất đồng thời X 1, X , , X n biến xk tiến đến vô cùng, với k thuộc {1, … , n}, hàm phân bố xác suất đồng thời n1 biến ngẫu nhiên lại X 1, , X k 1 , X k 1, , X n Đặc biệt FXY ( x, y ) hàm phân bố xác suất véc tơ ngẫu nhiên hai chiều (X,Y) (1  e  x )(1  e   y ) x  0, y  0; ,   FXY ( x, y )   nÕu ng­îc l¹i 0 Do hàm phân bố xác suất biên 1  e  x x  FX ( x )  FXY ( x, )   x 0 0 lim FXY ( x, y )  P  X  x  FX ( x) y  lim FXY ( x, y )  P Y  y  FY ( y ) x  1  e   y y  FY ( y )  FXY (, y )   y 0 0 F X ( x ) , FY ( y ) gọi hàm phân bố xác suất biên P  x1  X  x2 , y1  Y  y2   FXY ( x2 , y2 )  FXY ( x1, y2 )  FXY ( x2 , y1 )  FXY ( x1, y1) 3/16/2015 CHƯƠNG 3: VÉC TƠ NGẪU NHIÊN VÀ CÁC ĐẶC TRƯNG CỦA CHÚNG Các xác suất 3/16/2015 CHƯƠNG 3: VÉC TƠ NGẪU NHIÊN VÀ CÁC ĐẶC TRƯNG CỦA CHÚNG Ví dụ 3.3: Hàm phân bố xác suất véc tơ ngẫu nhiên ( X , Y ) xác định sau P  X  1, Y  1  FXY (1,1)  (1  e  )(1  e  ) 0 x  hoÆc y   p  x  a,  y  b  FXY ( x, y )   p2 x  a,  y  b  p  x  a, y  b  x  a, y  b 1 P  X  1  FX (1)   e  P Y  1   P Y  1   FY (1)  e  Áp dụng luật De Morgan ta có X  xY  y   X  x  Y  y   X  x  Y  y   P  X  xY  y  P X  x Y  y   P X  x  PY  y  P X  x;Y  y  FX ( x)  FY ( y )  FXY ( x, y )  (1  e x )  (1  e y )  (1  e x )(1  e y )   ex e y Vậy   P  X  x, Y  y   P  X  xY  y  e x e y 3/16/2015 Có hai hàm phân bố xác suất biên 0 x   FX ( x)  FXY ( x, )   p3  x  a 1 x  a  3/16/2015 0 y   FY ( x )  FXY (, y )   p2  y  b 1 y  b  CHƯƠNG 3: VÉC TƠ NGẪU NHIÊN VÀ CÁC ĐẶC TRƯNG CỦA CHÚNG CHƯƠNG 3: VÉC TƠ NGẪU NHIÊN VÀ CÁC ĐẶC TRƯNG CỦA CHÚNG 3.2 BẢNG PHÂN BỐ XÁC SUẤT CỦA VÉC TƠ NGẪU NHIÊN RỜI RẠC HAI CHIỀU Tương tự trường hợp biến ngẫu nhiên rời rạc, quy luật phân bố xác suất véc tơ ngẫu nhiên rời rạc chiều xác định thông qua hàm khối lượng xác suất đồng thời bảng phân bố xác suất đồng thời 3.2.1 Hàm khối lượng xác suất đồng thời  p XY ( xi , y j )  P X  xi , Y  y j   p XY ( xi , y j )  0,  i  1, , n , j  1, , m  thỏa mãn điều kiện  n m   p XY ( xi , y j )   i 1 j 1 Hàm phân bố xác suất đồng thời FXY ( x, y )    p XY ( xi , y j ) xi  x y j  y 3/16/2015 CHƯƠNG 3: VÉC TƠ NGẪU NHIÊN VÀ CÁC ĐẶC TRƯNG CỦA CHÚNG    n  pY ( y j )  P Y  y j   P X  xi , Y  y j   p XY ( xi , y j ); j  1, m i 1 m   i 1 m p X ( xi )  P  X  xi    P X  xi , Y  y j   p XY ( xi , y j ); i  1, n j 1 CHƯƠNG 3: VÉC TƠ NGẪU NHIÊN VÀ CÁC ĐẶC TRƯNG CỦA CHÚNG A, B, C Gọi X số mặt A, B Y số mặt ngửa xuất Ví dụ 3.4: Gieo đồng tiền cân đối 3.2.2 Hàm khối lượng xác suất biên n 3/16/2015 j 1 ngửa xuất đồng tiền đồng tiền A, B, C Hãy lập bảng phân bố xác suất đồng thời X, Y Các kết đồng khả Bảng phân bố xác suất biên Từ bảng phân bố xác suất đồng thời (X,Y), ta cộng xác suất theo cột ta xác suất tương ứng với giá trị Y Nếu ta cộng xác suất theo hàng ta xác suất tương ứng với giá trị X 3/16/2015 CHƯƠNG 3: VÉC TƠ NGẪU NHIÊN VÀ CÁC ĐẶC TRƯNG CỦA CHÚNG Bảng phân bố xác suất đồng thời X Y 3/16/2015 10 CHƯƠNG 3: VÉC TƠ NGẪU NHIÊN VÀ CÁC ĐẶC TRƯNG CỦA CHÚNG Ví dụ 3.5: Có hai hộp, hộp đựng bi Hộp I có bi mang số 1, bi mang số 2, bi mang số Hộp II có bi mang số 1, bi mang số 2, bi mang số Lấy ngẫu nhiên từ hộp bi Gọi X, Y số ghi bi rút từ hộp I hộp II Bảng phân bố xác suất đồng thời X, Y Bảng phân bố xác suất hai biến ngẫu nhiên thành phần 3/16/2015 11 3/16/2015 12 CHƯƠNG 3: VÉC TƠ NGẪU NHIÊN VÀ CÁC ĐẶC TRƯNG CỦA CHÚNG 3.3 HÀM MẬT ĐỘ XÁC SUẤT CỦA VÉC TƠ NGẪU NHIÊN LIÊN TỤC x1 x2  f XY ( x, y )  với ( x, y ) xn f XY ( x, y )dxdy  f XY ( x, y )dxdy với A 3 ,  ( x , y )A RXY X 1, X , , X n 3/16/2015 RXY miền giá trị ( X , Y )  2 FXY ( x, y ) nÕu tån t¹i ®¹o hµm t¹i ( x, y )  f XY ( x, y )   xy  nÕu ng­îc l¹i  hàm mật độ xác suất đồng thời biến ngẫu nhiên 13 CHƯƠNG 3: VÉC TƠ NGẪU NHIÊN VÀ CÁC ĐẶC TRƯNG CỦA CHÚNG 3/16/2015 14 CHƯƠNG 3: VÉC TƠ NGẪU NHIÊN VÀ CÁC ĐẶC TRƯNG CỦA CHÚNG Ví dụ 3.7: Cho véc tơ ngẫu nhiên (X,Y) có hàm mật độ xác suất xác định sau 3.3.2 Hàm mật độ xác suất biên Hàm mật độ xác suất biến ngẫu nhiên thành phần X  k nÕu  y  x  f XY ( x, y )    nÕu ng­îc l¹i Miền giá trị X , Y tam giác R XY   1    f XY ( x, y )dxdy  k  k  2   1 x  2dx  2(1  y) nÕu  y   2dy  2x nÕu  x  f X ( x)  0 fY ( y)  y   nÕu ng­îc l¹i nÕu ng­îc l¹i    f XY ( x, y ) dy  f X ( x)  Hàm mật độ xác suất biến ngẫu nhiên thành phần Y   P ( X , Y )  A   hàm mật độ xác suất véc tơ ngẫu nhiên liên tục  X 1, X , , X n          f X1X2 Xn (t1, t2, , tn ) dt1dt2 dtn   Tính chất hàm mật độ xác suất   Hàm n biến f X X X n ( x1, x2 , , xn )  thoả mãn FX1X X n ( x1, x2 , , xn )  CHƯƠNG 3: VÉC TƠ NGẪU NHIÊN VÀ CÁC ĐẶC TRƯNG CỦA CHÚNG f XY ( x, y ) dx  fY ( y )  P 0  X  1/ 2;  Y  1/ 2  1  f XY ( x, y )dxdy     Rz 3/16/2015 15 CHƯƠNG 3: VÉC TƠ NGẪU NHIÊN VÀ CÁC ĐẶC TRƯNG CỦA CHÚNG Ví dụ 3.8: Cho véc tơ ngẫu nhiên (X,Y) có hàm mật độ xác suất xác định sau y k f XY ( x, y )   0 nÕu x  y 1 nÕu ng­îc l¹i Miền D: x  y  đối xứng qua hai trục toạ độ Ox, Oy Phần D nằm góc phần tư thứ tam giác vuông cân  x,0  y ; x  y  Vậy D hình vuông có độ dài cạnh 1    3/16/2015 16 CHƯƠNG 3: VÉC TƠ NGẪU NHIÊN VÀ CÁC ĐẶC TRƯNG CỦA CHÚNG  1 x dy  f X ( x)    (1 x )   nÕu x  nÕu x  1  x   nÕu x  nÕu x  x Do tính chất đối xứng X Y nên ta có ,   1 3/16/2015 f XY ( x, y )dxdy  kS D  2k  k  1  y nÕu y  fY ( y )   nÕu y   17 3/16/2015 18 CHƯƠNG 3: VÉC TƠ NGẪU NHIÊN VÀ CÁC ĐẶC TRƯNG CỦA CHÚNG CHƯƠNG 3: VÉC TƠ NGẪU NHIÊN VÀ CÁC ĐẶC TRƯNG CỦA CHÚNG 3.4 TÍNH ĐỘC LẬP CỦA CÁC BIẾN NGẪU NHIÊN Hai biến ngẫu nhiên X, Y độc lập X nhận giá trị không phụ thuộc Y ngược lại Nói cách khác với số thực x, y hai biến cố {X  x}, {Y  y} độc lập Véc tơ ngẫu nhiên liên tục (X,Y) có hàm mật độ Các dấu hiệu để nhận biết tính độc lập hai biến ngẫu nhiên Có hai hàm mật độ thành phần 4 xy nÕu  x  1,  y  f XY ( x, y )    nÕu ng­îc l¹i 2 x nÕu  x  f X ( x)    nÕu ng­îcl¹i 2 y nÕu  y  fY ( y )    nÕu ng­îc l¹i Giả sử FXY (x,y) hàm phân bố xác suất véc tơ ngẫu nhiên (X,Y) Khi X, Y độc lập FXY ( x, y )  FX ( x) FY ( y ) Giả sử fXY (x,y) hàm mật độ xác suất véc tơ ngẫu nhiên liên tục (X,Y) Khi X, Y độc lập f XY ( x, y )  f X ( x ) fY ( y ) f XY ( x, y )  f X ( x) fY ( y ) Vậy X Y độc lập 3/16/2015 19 CHƯƠNG 3: VÉC TƠ NGẪU NHIÊN VÀ CÁC ĐẶC TRƯNG CỦA CHÚNG Véc tơ ngẫu nhiên rời rạc hai chiều (X,Y) X nhận giá trị x1, … ,xn, Y nhận giá trị y1, …, ym X, Y độc lập 3/16/2015 20 CHƯƠNG 3: VÉC TƠ NGẪU NHIÊN VÀ CÁC ĐẶC TRƯNG CỦA CHÚNG 3.5 CÁC THAM SỐ ĐẶC TRƯNG CỦA VÉC TƠ NGẪU NHIÊN 3.5.1 Kỳ vọng phương sai biến ngẫu nhiên thành phần a Trường hợp X, Y rời rạc p XY ( xi , y j )  p X ( xi ) pY ( y j )  i  1, , n ; j  1, , m n Một dấu hiệu để nhận biết hai biến ngẫu nhiên rời rạc độc lập bảng phân bố xác suất đồng thời có tính chất: Hai hàng tỉ lệ với Hai cột tỉ lệ với n m EX   xi p X ( xi )   xi p XY ( xi , y j ) i 1 i 1 j 1 m m n EY   y j pY ( y j )   y j p XY ( xi , y j ) j 1 j 1 i 1 n m D X  E X   E X  ; E X   xi2 p XY ( xi , y j ) i 1 j 1 m n D Y  E Y   E Y  ; E Y   y 2j p XY ( xi , y j ) j 1 i 1 3/16/2015 21 CHƯƠNG 3: VÉC TƠ NGẪU NHIÊN VÀ CÁC ĐẶC TRƯNG CỦA CHÚNG b Trường hợp X, Y liên tục  EX  EY       yfY ( y ) dy   CHƯƠNG 3: VÉC TƠ NGẪU NHIÊN VÀ CÁC ĐẶC TRƯNG CỦA CHÚNG Hiệp phương sai (hay gọi Covariance) hai biến ngẫu nhiên X, Y, ký hiệu cov(X,Y), kỳ vọng toán tích sai lệch hai biến ngẫu nhiên với kỳ vọng toán chúng  xf X ( x)dx    xf XY ( x, y)dxdy  22 3.5.2 Hiệp phương sai    3/16/2015  cov( X , Y )  E  X  EX Y  EY  yf XY ( x, y ) dxdy   Khai triển vế phải áp dụng tính chất kỳ vọng ta   D X  E X  E X  ; E X   x cov( X , Y )  E  XY   (E X )(E Y ) f XY ( x, y ) dxdy m n   Nếu X, Y rời rạc   DY  E Y   EY  ; E Y    E  XY     xi y j p XY ( xi , y j ) j 1 i 1 y f XY ( x, y ) dxdy   Nếu X, Y liên tục   E  XY     xyf XY ( x, y )dxdy   3/16/2015 23 3/16/2015 24 CHƯƠNG 3: VÉC TƠ NGẪU NHIÊN VÀ CÁC ĐẶC TRƯNG CỦA CHÚNG CHƯƠNG 3: VÉC TƠ NGẪU NHIÊN VÀ CÁC ĐẶC TRƯNG CỦA CHÚNG 3.5.3 Ma trận hiệp phương sai Tính chất hiệp phương sai Ma trận M  Cij    nn cov( X , Y )  cov(Y , X ) với Cij  cov( X i , X j ); i, j  1, , n cov( X , X )  DX gọi ma trận hiệp phương sai (ma trận covariance) véc tơ ngẫu nhiên X=(X1, X2, … , Xn) cov(aX  c, bY  d )  ab cov(Y , X ) với số a, b, c, d Tính chất ma trận hiệp phương sai Ma trận hiệp phương sai ma trận đối xứng Nếu X , Y độc lập cov( X , Y )  n Với t1 , t2 , , tn 3 có ngược lại chưa  Cijtit j  j i Các định thức M không âm 3/16/2015 25 CHƯƠNG 3: VÉC TƠ NGẪU NHIÊN VÀ CÁC ĐẶC TRƯNG CỦA CHÚNG 3.5.4 Hệ số tương quan 3/16/2015 26 CHƯƠNG 3: VÉC TƠ NGẪU NHIÊN VÀ CÁC ĐẶC TRƯNG CỦA CHÚNG Xét véc tơ ngẫu nhiên (X,Y) có bảng phân bố xác suất Hệ số tương quan hai biến ngẫu nhiên X, Y ký hiệu định nghĩa công thức  X ,Y  cov( X , Y ) D X DY D( X )   X ,Y    D(Y )  Tính chất hệ số tương quan 1   X ,Y  với X , Y  X ,Y  điều ngược lại chưa   X ,Y nÕu ab  Với số a, b, c, d :  aX  c ,bY  d      X ,Y nÕu ab  Nếu X , Y độc lập Y  aX  b , a  3/16/2015 1  1  X ,Y   nÕu a  nÕu a  27 CHƯƠNG 3: VÉC TƠ NGẪU NHIÊN VÀ CÁC ĐẶC TRƯNG CỦA CHÚNG 4 E X     ; E X  02  12  22  8 8 8  D X  E X  (E X )  3 3 E Y      ;E Y   D Y  8 8 1 2 E XY  0.0  0.1  0.2.0  0.3.0  1.0.0  1.1  1.2  1.3.0  2.0.0 8 8 1  2.1.0  2.2  2.3  8 cov( X , Y )  E XY  E X E Y    2 cov( X , Y ) 1/ 2 1/ 1/   X ,Y    M  1/ 3/  D X DY (1/ 2)(3/ 4)   3/16/2015 Bảng phân bố xác suất biên 29 3/16/2015 28 CHƯƠNG 3: VÉC TƠ NGẪU NHIÊN VÀ CÁC ĐẶC TRƯNG CỦA CHÚNG Xét kênh viễn thông nhị phân Ký hiệu X đầu vào Y đầu kênh P  X  0  P  X  1  0,5 p0  P Y  X  0  0,1 p1  P Y  X  1  0,2 3/16/2015 30 CHƯƠNG 3: VÉC TƠ NGẪU NHIÊN VÀ CÁC ĐẶC TRƯNG CỦA CHÚNG CHƯƠNG 3: VÉC TƠ NGẪU NHIÊN VÀ CÁC ĐẶC TRƯNG CỦA CHÚNG E X  0,5, E X  0,5  D X  0,25 (X,Y) véc tơ ngẫu nhiên có bảng phân bố xác suất đồng thời E Y  0, 45, E Y  0, 45  D Y  0, 2475 Hiệp phương sai E XY  0,4  cov( X , Y )  0,  0,5  0, 45  0,175 Hệ số tương quan  X ,Y  Bảng phân bố xác suất thành phần X Y cov( X , Y ) 0,175   0,704 D X DY 0, 25  0, 2475 Ma trận hiệp phương sai  0,25 0,175  M   0,175 0,2475 Ta thấy giá trị X,Y = 0,704 xa 1, Y không phụ thuộc tuyến tính X X Y không độc lập 3/16/2015 31 CHƯƠNG 3: VÉC TƠ NGẪU NHIÊN VÀ CÁC ĐẶC TRƯNG CỦA CHÚNG 3.6 PHÂN BỐ CÓ ĐIỀU KIỆN VÀ KỲ VỌNG CÓ ĐIỀU KIỆN 3.6.1 Phân bố kỳ vọng có điều kiện biến ngẫu nhiên rời rạc Cho biến ngẫu nhiên X rời rạc B biến cố phép thử với X có xác suất P(B) > Biến ngẫu nhiên X xét điều kiện biết B xảy gọi biến ngẫu nhiên với điều kiện B, ký hiệu X|B Hàm khối lượng xác suất X|B P( X  xi  B) P( B ) p X |B ( xi B)  3/16/2015 32 CHƯƠNG 3: VÉC TƠ NGẪU NHIÊN VÀ CÁC ĐẶC TRƯNG CỦA CHÚNG Giả sử X, Y hai biến ngẫu nhiên rời rạc có tập giá trị {x1, x2, … , xn} {y1, y2, … , yn} Với yjRY, biến ngẫu nhiên X với điều kiện biến cố {Y=yj} có hàm khối lượng xác suất có điều kiện p X |Y ( xi | y j )  p XY ( xi , y j ) pY ( y j ) ; i  1, n , j  1, m Tương tự, hàm khối lượng xác suất có điều kiện biến ngẫu nhiên Y với điều kiện {X=xi} Kỳ vọng X với điều kiện B pY | X ( y j xi )  n E  X B    xi p X | B ( xi B) p XY ( xi , y j ) p X ( xi ) ; i  1, n , j  1, m i 1 3/16/2015 33 CHƯƠNG 3: VÉC TƠ NGẪU NHIÊN VÀ CÁC ĐẶC TRƯNG CỦA CHÚNG Tính chất hàm khối lượng xác suất có điều kiện 34 CHƯƠNG 3: VÉC TƠ NGẪU NHIÊN VÀ CÁC ĐẶC TRƯNG CỦA CHÚNG Thống kê dân cư thành phố độ tuổi trưởng thành thu nhập hàng tháng X lứa tuổi Y, thu kết bảng sau  p X |Y ( xi | y j )  ; i  1, n , j  1, m n Với j : 3/16/2015  p X |Y ( xi | y j )  i 1 Nếu X, Y độc lập p X |Y ( xi | y j )  p X ( xi ) pY | X ( y j | xi )  pY ( y j ) Kỳ vọng có điều kiện n E  X Y  y j    xi p X |Y ( xi | y j ) i 1 m E Y X  xi    y j pY | X ( y j | xi ) Tìm thu nhập trung bình theo lứa tuổi j 1 3/16/2015 35 3/16/2015 36 CHƯƠNG 3: VÉC TƠ NGẪU NHIÊN VÀ CÁC ĐẶC TRƯNG CỦA CHÚNG CHƯƠNG 3: VÉC TƠ NGẪU NHIÊN VÀ CÁC ĐẶC TRƯNG CỦA CHÚNG Với Y=30 bảng phân bố xác suất điều kiện tương ứng E  X Y  30   18 89    3     3,069 29 29 29 29 29 E  X Y  45  109  2,9459 37 E  X Y  70  86  2,5294 34 Vậy thu nhập trung bình độ tuổi 30 3.069.000đ/tháng, độ tuổi 45 2.945.900đ/tháng độ tuổi 70 2.529.400 đ/tháng 3/16/2015 37 CHƯƠNG 3: VÉC TƠ NGẪU NHIÊN VÀ CÁC ĐẶC TRƯNG CỦA CHÚNG 3.7.2 Phân bố kỳ vọng có điều kiện biến ngẫu nhiên liên tục Xét biến ngẫu nhiên X biến cố B phép thử thỏa mãn P(B) > Hàm phân bố xác suất, hàm mật độ xác suất X với điều kiện B định nghĩa ký hiệu sau   FX | B ( x | B )  P  X  x B  f X |B ( x | B )  P  X  x  B  dFX |B ( x | B ) Hàm phân bố xác suất Y với điều kiện {X = x} định nghĩa ký hiệu sau y FY | X ( y | x)  dx Tương tự ta có hàm phân bố xác suất hàm mật độ xác suất có điều kiện X với {Y = y}  Giả sử fXY(x,y) hàm mật độ xác suất đồng thời hai biến ngẫu nhiên liên tục X, Y fX(x) hàm mật độ biến ngẫu nhiên thành phần X fY | X ( y | x )  CHƯƠNG 3: VÉC TƠ NGẪU NHIÊN VÀ CÁC ĐẶC TRƯNG CỦA CHÚNG x CHƯƠNG 3: VÉC TƠ NGẪU NHIÊN VÀ CÁC ĐẶC TRƯNG CỦA CHÚNG f XY (u , y ) du , fY ( y )  fY ( y ) Với y thỏa mãn fY ( y )  có Nếu X, Y độc lập   f X |Y ( x | y )dx  40 Kỳ vọng với điều kiện Kỳ vọng Y với điều kiện {X = x} ký hiệu định nghĩa theo công thức sau  E Y X  x    yfY X ( y | x)dy  E[Y|X = x] xác định hàm biến x, gọi hàm hồi qui Y X E[X|Y = y] xác định hàm biến y, gọi hàm hồi qui X Y  f X |Y ( x | y )  f X ( x) fY | X ( y | x)  fY ( y ) 3/16/2015 f XY ( x, y ) với y 3 x thoả mãn f X ( x )  f X ( x) CHƯƠNG 3: VÉC TƠ NGẪU NHIÊN VÀ CÁC ĐẶC TRƯNG CỦA CHÚNG Tính chất mật độ có điều kiện f X |Y ( x | y )  f XY ( x, v) dv , f X ( x)  f X ( x) 3/16/2015 f ( x, y ) f X |Y ( x | y )  XY với x 3 y thoả mãn fY ( y )  fY ( y )   39  38 Đạo hàm hàm phân bố xác suất điều kiện hàm mật độ xác suất có điều kiện P( B) 3/16/2015 FX |Y ( x | y )  3/16/2015 41 3/16/2015 42 CHƯƠNG 3: VÉC TƠ NGẪU NHIÊN VÀ CÁC ĐẶC TRƯNG CỦA CHÚNG Ví dụ 3.20: Giả sử X , Y hai biến ngẫu nhiên liên tục có hàm mật độ xác suất đồng thời cho ví dụ 3.7 nÕu  y  x  2 f X ,Y ( x, y )   0  y  x  1,  x  x Kỳ vọng Y với điều kiện X  x fY | X ( y | x )  E Y X  x   điều kiện y2 x 1 yfY X ( y | x)dy   y   dy   ;  x 1 x x     Kỳ vọng X với điều kiện Y  y Giải: Theo kết ví dụ 3.7 ta có nÕu  x  x x  nÕu ng­îc l¹i Tìm hàm mật độ có điều kiện f X |Y ( x | y ) , fY | X ( y | x ) kỳ vọng f X ( x)  x CHƯƠNG 3: VÉC TƠ NGẪU NHIÊN VÀ CÁC ĐẶC TRƯNG CỦA CHÚNG fY ( y )  2(1  y ) nÕu  y  1  y  x  1,  x  fY | X ( y | x )  x  y  x 1,  y 1 f X |Y ( x | y )  1 y 3/16/2015 f X |Y ( x | y )   y  x 1,  y 1  E  X Y  y     x 1 x2  xf X |Y ( x | y)dx   x   y  dx  2(1  y ) y   x y 1 y Với  y  43 3/16/2015 CHƯƠNG 3: VÉC TƠ NGẪU NHIÊN VÀ CÁC ĐẶC TRƯNG CỦA CHÚNG 3.7 LUẬT SỐ LỚN VÀ ĐỊNH LÝ GiỚI HẠN 3.7.1 Hội tụ theo xác suất hội tụ theo phân bố dãy biến ngẫu nhiên Xét dãy biến ngẫu nhiên  X n  biến ngẫu nhiên X n 1 phép thử  Ta nói dãy biến ngẫu nhiên  X n n 1 hội tụ theo xác P suất biến ngẫu nhiên X, ký hiệu X   X n n  44 CHƯƠNG 3: VÉC TƠ NGẪU NHIÊN VÀ CÁC ĐẶC TRƯNG CỦA CHÚNG  n 1 Dãy biến ngẫu nhiên  X n  gọi hội tụ theo phân bố biến ngẫu nhiên X dãy hàm phân bố xác suất  hội tụ hàm phân bố xác suất FX ( x) F ( x)  Xn n1 lim FX n ( x )  FX ( x ) Tức với x  n   Trường hợp dãy biến ngẫu nhiên rời rạc  X n n1và biến ngẫu nhiên rời rạc X có tập giá trị R  c1, c2 ,    lim P  X n  X    n  Như dãy biến ngẫu nhiên  X n n 1hội tụ theo xác suất biến ngẫu nhiên X với n đủ lớn, thực tế ta coi rằng, X n không khác so với X 3/16/2015 1 y 45 CHƯƠNG 3: VÉC TƠ NGẪU NHIÊN VÀ CÁC ĐẶC TRƯNG CỦA CHÚNG hội tụ theo phân bố tương đương với điều kiện ck  R lim P  X n  ck   P  X  ck  n 3/16/2015 46 CHƯƠNG 3: VÉC TƠ NGẪU NHIÊN VÀ CÁC ĐẶC TRƯNG CỦA CHÚNG 3.7.2 LUẬT SỐ LỚN 3.7.2.2 Bất đẳng thức Trêbưsép 3.7.2.1 Bất đẳng thức Markov Cho Y biến ngẫu nhiên không âm có kỳ vọng hữu hạn Khi với a > ta có P Y  a  yi P Y  yi    EY  yi RY   P  X  EX    a   yfY ( y ) dy   yfY ( y )dy   0 a DX yi P Y  yi   yi R2 2 P  X  EX      yfY ( y ) dy   a DX 2 gọi bất đẳng thức Trêbưsép  P Y  yi   aP Y  a yiR2  3/16/2015 yi P Y  yi   yi R1 yi P Y  yi   a yi R2 EY   EY a Giả sử X biến ngẫu nhiên có kỳ vọng phương sai hữu hạn, với  > ta có  yfY ( y ) dy  a  fY ( y )dy  aP Y  a   P  X  EX    P Y    EY E  X  EX  DX   2 2  a 47 3/16/2015 48 CHƯƠNG 3: VÉC TƠ NGẪU NHIÊN VÀ CÁC ĐẶC TRƯNG CỦA CHÚNG 3.7.2.3 Luật số lớn Trêbưsép Định lý: Giả sử dãy biến ngẫu nhiên độc lập X 1, X , , có kỳ vọng hữu hạn phương sai bị chặn số C( DX i  C ; i  1,2, ) Khi  X    X n E X1    E X n  lim P     n n   n Hệ 1: Giả sử X 1, X , dãy biến ngẫu nhiên độc lập có kỳ vọng  phương sai bị chặn số C ( DX i  C ; i  1,2, ) Khi X1    X n P  n n 3/16/2015 49 CHƯƠNG 3: VÉC TƠ NGẪU NHIÊN VÀ CÁC ĐẶC TRƯNG CỦA CHÚNG Định lý Trêbưsép ứng dụng rộng rãi nhiều lĩnh vực, chẳng hạn sở cho phương pháp đo lường vật lý Để xác định giá trị đại lượng vật lý người ta thường tiến hành đo n lần độc lập lấy trung bình số học kết đo làm giá trị thực đại lượng cần đo Thật vậy, giả sử xem kết n lần đo giá trị nhận n biến ngẫu nhiên độc lập có kỳ vọng giá trị thực đại lượng vật lý (giả sử sai số hệ thống), phương sai chúng bị chặn bình phương độ xác thiết bị đo CHƯƠNG 3: VÉC TƠ NGẪU NHIÊN VÀ CÁC ĐẶC TRƯNG CỦA CHÚNG Hệ 2: Giả sử X 1, X , dãy biến ngẫu nhiên độc lập có phân bố xác suất, có kỳ vọng  phương sai  Khi X1    X n P  n n Định lý Trêbưsép chứng tỏ trung bình số học biến ngẫu nhiên độc lập hội tụ theo xác suất trung bình số học kỳ vọng tương ứng Như biến ngẫu nhiên độc lập nhận giá trị khác nhiều so với kỳ vọng chúng, song trung bình số học số lớn biến ngẫu nhiên lại nhận giá trị gần trung bình số học chúng với xác suất lớn 3/16/2015 50 CHƯƠNG 3: VÉC TƠ NGẪU NHIÊN VÀ CÁC ĐẶC TRƯNG CỦA CHÚNG 3.7.2.4 LUẬT SỐ LỚN BERNOULLI C A biến cố liên quan đến C Tiến hành n lần độc lập phép thử C gọi kn Xét phép thử ngẫu nhiên phép thử tần số xuất biến cố A n phép thử kn gọi tần suất xuất A n phép thử n Định lý: Tần suất fn hội tụ theo xác suất xác suất p biến cố A fn  Nghĩa với  > Do theo định lý Trêbưsép ta cho trung bình số học kết đo sai lệch so với giá trị thực đại lượng vật lý với xác suất gần 3/16/2015 51 CHƯƠNG 3: VÉC TƠ NGẪU NHIÊN VÀ CÁC ĐẶC TRƯNG CỦA CHÚNG lim P  f n  p    n 3/16/2015 52 CHƯƠNG 3: VÉC TƠ NGẪU NHIÊN VÀ CÁC ĐẶC TRƯNG CỦA CHÚNG 3.7.3 ĐỊNH LÝ GIỚI HẠN TRUNG TÂM Giả sử X1, X2, … dãy biến ngẫu nhiên độc lập có phân bố, có kỳ vọng  phương sai  2 2  X    X n  n  X    X n  n   E    D   n n n   n   n X1    X n  X    X n  n n Sn    E Sn  0, D Sn    n n Áp dụng định lý giới hạn trung tâm cho dãy biến ngẫu nhiên độc lập X1, X2, … có phân bố Bernoulli tham số p ta định lý Moivre –Laplace Giả sử X1, X2, … dãy biến ngẫu nhiên độc lập có phân bố Bernoulli tham số p, Với x:  X    X n  np  lim P   x    ( x) n   npq   Khi dãy biến ngẫu nhiên Sn hội tụ theo phân bố phân bố chuẩn tắc N(0; 1), nghĩa là: Với x  : lim P Sn  x  ( x) n 3/16/2015 53 3/16/2015 54 CHƯƠNG 3: VÉC TƠ NGẪU NHIÊN VÀ CÁC ĐẶC TRƯNG CỦA CHÚNG 3.7.4 XẤP XỈ PHÂN BỐ NHỊ THỨC Định lý giới hạn địa phương 3.7.4.1 Xấp xỉ phân bố nhị thức phân bố chuẩn Giả sử X biến ngẫu nhiên có phân bố nhị thức B(n; p), Giả sử X1, X2, … , Xn dãy biến ngẫu nhiên độc lập có phân bố Bernoulli tham số p, U n  X1  X    X n ~ B ( n, p ) Mặc dù ta biết công thức tính xác suất P U n  k  CHƯƠNG 3: VÉC TƠ NGẪU NHIÊN VÀ CÁC ĐẶC TRƯNG CỦA CHÚNG n! p k q n k k !(n  k )! Tuy nhiên n lớn ta áp dụng công thức để tính mà cần đến công thức xấp xỉ 3/16/2015 55 CHƯƠNG 3: VÉC TƠ NGẪU NHIÊN VÀ CÁC ĐẶC TRƯNG CỦA CHÚNG Áp dụng định lý Moivre-Laplace ta có công thức xấp xỉ giá trị hàm phân bố xác suất nhị thức  k  np  P  X  k      n,k   npq  nqp C  n ,k  với C số n Do n đủ lớn ta xấp xỉ   k  np  1 P  X  k    nqp  npq  nqp Người ta thấy xấp xỉ tốt np nq lớn 57 CHƯƠNG 3: VÉC TƠ NGẪU NHIÊN VÀ CÁC ĐẶC TRƯNG CỦA CHÚNG Ví dụ 4.4: Gieo 3200 lần đồng xu cân đối đồng chất Gọi X số lần xuất mặt sấp 3200 lần gieo a) Tìm số lần xuất mặt sấp có khả nhất, tính xác suất tương ứng CHƯƠNG 3: VÉC TƠ NGẪU NHIÊN VÀ CÁC ĐẶC TRƯNG CỦA CHÚNG Khi a = b = k, với ≤ k ≤ n, vế trái công thức P{Un=k}≠0, vế phải  b  1/  np   a  1/  np  P a  U n  b        npq  npq    3/16/2015 Ví dụ: Giả sử Un biến ngẫu nhiên có phân bố nhị thức với tham số n = 36 p = 0,5 Ta có kết tính xác suất P{Un  21} 21 (0)  3200!  0,53200 1600!1600! 40   0,014 X  1600 50   10 P 10  X  1600  50  P       (1, 7678)  (0,3536) 20 20   20  (1, 7678)   (0, 3536)  0, 9616  0, 6406  0,321 3/16/2015 58 CHƯƠNG 3: VÉC TƠ NGẪU NHIÊN VÀ CÁC ĐẶC TRƯNG CỦA CHÚNG b) Tính xác suất P 1610  X  1650 3200  0,5  0,5 56  x  1/  np  P U n  x     npq   npq lớn 20 P3200 (1600; 0,5)  ( k  np )2 npq 3/16/2015  b  np   a  np  P a  U n  b        npq    npq  1600 P3200 (1600; 0, 5)  C3200 0, 51600 (1  0,5)1600  e 2 Điều xảy ta dùng hàm phân bố liên tục để xấp xỉ phân bố rời rạc, để xấp xỉ tốt người ta thường sử dụng công thức có dạng sau U  np x  np   x  np  P U n  x  P  n      npq   npq  npq  3/16/2015  59 P U n  21   36! k  k !(36  k )! (0,5)36  0,8785  21  np   21  18  P U n  21          1  0,8413 npq      21,5  np   21,5  18  P U n  21          1,17   0,879 npq     3/16/2015 60 10 CHƯƠNG 3: VÉC TƠ NGẪU NHIÊN VÀ CÁC ĐẶC TRƯNG CỦA CHÚNG CHƯƠNG 3: VÉC TƠ NGẪU NHIÊN VÀ CÁC ĐẶC TRƯNG CỦA CHÚNG Ví dụ 4.5: Giả sử xác suất để làm đinh ốc không quy cách P = 0,015 Người ta xếp đinh ốc vào hộp, hộp 100 3.7.4.2 Xấp xỉ phân bố nhị thức phân bố Poisson Khi điều kiện xấp xỉ phân bố nhị thức phân bố chuẩn không thỏa mãn (np nq nhỏ 5, npq nhỏ 20), ta xấp xỉ phân bố nhị thức phân bố Poisson a) Tính tỉ lệ hộp chứa toàn đinh ốc quy cách b) Cần phải xếp đinh ốc hộp để tỉ lệ hộp chứa 100 đinh ốc tốt tối thiểu 80% Nếu gọi X số đinh ốc không quy cách hộp chứa 100 đinh ốc Khi n > 50 p < 0,1 người ta xấp xỉ phân bố nhị thức X ~ B ( n ; p ) n  100, p  0, 015 B(n;p) với phân bố Poisson P(np) tham số  = np Tính gần P U n  k  e  np P  X  0  e np (np)0  e 1,5  0, 2231 0! Giả sử hộp chứa 100  k đinh ốc, k số tự nhiên Gọi X số đinh ốc không quy cách hộp chứa 100  k đinh ốc X ~ B (n ; p ) với n  100  k , p  0, 015 Ta phải xác (np)k k! định k nhỏ để k i P  X  k   Cni  0, 015   0,985  n i  0,8 i 0  1,5 1,52 1,5k  1,5 1,52 1,5k e 1,5 1        0,8 e1,5  3,5853   0,8   2! k !  1! 2! k!  1! k 2 3/16/2015 61 3/16/2015 62 11 ... đồng thời biến ngẫu nhiên 13 CHƯƠNG 3: VÉC TƠ NGẪU NHIÊN VÀ CÁC ĐẶC TRƯNG CỦA CHÚNG 3/16/2015 14 CHƯƠNG 3: VÉC TƠ NGẪU NHIÊN VÀ CÁC ĐẶC TRƯNG CỦA CHÚNG Ví dụ 3.7: Cho véc tơ ngẫu nhiên (X,Y) có... 3/16/2015 18 CHƯƠNG 3: VÉC TƠ NGẪU NHIÊN VÀ CÁC ĐẶC TRƯNG CỦA CHÚNG CHƯƠNG 3: VÉC TƠ NGẪU NHIÊN VÀ CÁC ĐẶC TRƯNG CỦA CHÚNG 3.4 TÍNH ĐỘC LẬP CỦA CÁC BIẾN NGẪU NHIÊN Hai biến ngẫu nhiên X, Y độc...CHƯƠNG 3: VÉC TƠ NGẪU NHIÊN VÀ CÁC ĐẶC TRƯNG CỦA CHÚNG CHƯƠNG 3: VÉC TƠ NGẪU NHIÊN VÀ CÁC ĐẶC TRƯNG CỦA CHÚNG 3.2 BẢNG PHÂN BỐ XÁC SUẤT CỦA VÉC TƠ NGẪU NHIÊN RỜI RẠC HAI CHIỀU