Một số phương pháp tìm nguyên hàm hàm số hữu tỉ

Trung tâm GDTX Đồng Hỷ nghiệm Sáng kiến kinh BO CO SNG KIN I LI GII THIU Qua nhiu nm ging dy mụn Toỏn lp 12 Tụi rt tõm c vi phn nguyờn hm ca b mụn gii tớch Vỡ phn nguyờn hm cú cỏc phng phỏp v cỏc phộp bin i rt a dng v phong phỳ, chớnh iu ny l ng c v cng l ng lc to nờn s hng thỳ v sỏng to i vi c giỏo viờn v hc sinh c bit nú c th hin cỏc bi toỏn: Tỡm nguyờn hm cỏc hm s hu t Hn na bi toỏn nguyờn hm cũn l tin ht sc quan trng cho bi toỏn tớnh tớch phõn v ng dng tớch phõn hỡnh hc v õy cng l dng toỏn thng xuyờn xut hin cỏc k thi tt nghip THPT v tuyn sinh i hc cao ng Ngoi ra, quỏ trỡnh ging dy tụi nhn thy hc sinh rt lỳng tỳng v khú khn vic nh hng gii quyt bi toỏn tỡm nguyờn hm cỏc hm hu t, bi cỏc em khụng bit xỏc nh cỏc dng v ỏp dng cỏc dng ú Nhm mc ớch giỳp cỏc em nh hng cỏc dng nguyờn hm ca nhúm hm s hu t v s dng linh hot cỏc phng phỏp tớnh nguyờn hm ca cỏc hm s ú ng thi cỏc em cú cỏi nhỡn tng quan v bi toỏn tỡm nguyờn hm cỏc hm s hu t Vỡ vy tụi mnh dn trỡnh by sỏng kin kinh nghim bn thõn m tụi ó thc hin quỏ trỡnh ging dy ca mỡnh nm hc va qua II TấN SNG KIN Mt s phng phỏp tỡm nguyờn hm cỏc hm s hu t Ngời thực hiện: Đào Minh Bằng Năm học 2015 -2016 Trung tâm GDTX Đồng Hỷ nghiệm Sáng kiến kinh III TC GI H v tờn: a ch: S in thoi: Email: IV LNH VC P DNG Lnh vc sỏng kin cú th ỏp dng dy nguyờn hm chng trỡnh gii tớch 12 cỏc trng THPT v cỏc Trung tõm GDTX cú h b tỳc húa V THI GIAN P DNG SNG KIN LN U ti ny c thc hin nm hc 2015-2016 Trung tõm GDTX ng H VI Mễ T SNG KIN Tỡnh trng thc t cha thc hin Trong nm hc 2015-2016 tụi c phõn cụng ging dy mụn Toỏn lp 12 Khi dy v phn nguyờn hm tụi nhn thy cỏc em thc hin tng i tt nhng bi toỏn nguyờn hm dng c bn ỏp dng bng nguyờn hm cỏc hm s thng gp Tuy nhiờn gp nhng bi toỏn cn cú nhng phộp bin i thỡ tụi thy cỏc em rt lỳng tỳng v rt ớt em lm c S liu iu tra trc thc hin ti ly s liu cho ti tụi cho hc sinh lm bi kim tra nh sau: Ngời thực hiện: Đào Minh Bằng Năm học 2015 -2016 Trung tâm GDTX Đồng Hỷ nghiệm Sáng kiến kinh kim tra: Tỡm cỏc nguyờn hm sau: a) x 2x + 4x dx x c) ( x + 2) 2x + dx dx x + 12 b) x d) cos sin x dx x ỏp ỏn bi kim tra: x4 +C x3 a) x3 x + x ln x + C b) ln c) + ln x + C x2 d) cos x + ln +C cos x Kt qu: Kim tra trờn hai lp 12A1 v 12A2 tụi thu c s liu nh sau: Lp Gii Trung Khỏ bỡnh Yu Kộm 3(12,5% 12A1 ) 12A2 4(16%) 11(45,8%) 8(33,3%) 13(52%) 7(28%) 2(8,4%) 1(4%) Nhng bin phỏp thc hin Ni dung ti gm cỏc mc sau: - Phõn tớch hm s tớnh nguyờn hm - Phng phỏp i bin s - Phng phỏp nguyờn hm tng phn Ngời thực hiện: Đào Minh Bằng Năm học 2015 -2016 Trung tâm GDTX Đồng Hỷ nghiệm Sáng kiến kinh 3.1 Phõn tớch hm s tớnh nguyờn hm I= Dng 1: P ( x)dx ax + b a0 p(x) l a thc bc n Bc 1: Dựng phộp chia a thc nu n Bc 2: Tớnh nguyờn hm tỡm c Vớ d 1: Tỡm cỏc nguyờn hm sau: a) x x + 3x dx x2 b) x 3x + x dx 2x Gii: a) Chia a thc ta c: 3 x x + 3x x dx = ( x + + ) dx = + x + ln x + C x2 x2 3 Dng 2: 2 x 3x + x x 5x = + 2x 8(2 x 1) b) Chia a thc ta c: x x + 3x 2 = x +3+ x2 x2 x 3x + x x 5x 3x dx = + ln x + C 2x 8 x n dx I= (ax + b) ú a 0, n N , R Vi n=2 ta cú: x2 (ax + b b) = = [(ax + b) 2b(ax + b)1 + (ax + b) ] (ax + b) a (ax + b) a Chỳ ý: n vi xn ta phõn tớch: x = a n [(ax + b) b] n v dựng cụng thc nh thc Newton khai trin Vớ d 2: Tỡm cỏc nguyờn hm sau: Ngời thực hiện: Đào Minh Bằng Năm học 2015 -2016 Trung tâm GDTX Đồng Hỷ nghiệm a) c) Sáng kiến kinh xdx 2x + b) x dx (1 x) 20 d) x dx (1 x)100 x dx x +1 Gii: b) x dx [(1 x) 1]2 1 = (1 x)100 (1 x)100 dx = 97(1 x) 97 + 49(1 x) 98 99(1 x) 99 + C c) x dx [(1 x) 1]3 1 = (1 x) 20 8(1 x) 20 dx = 126(1 x)16 + 136(1 x)17 48(1 x)18 + 152(1 x)19 + C Cõu a) cú th chia a thc gii Cõu d) ỏp dng tng t cõu b Dng 3: I= (x + )dx , ax + bx + c a0 Trng hp 1: Nu = b 4ac > , gi x1 , x l nghim x + A B = + dựng phng phỏp ng ax + bx + c x x1 x x Phõn tớch nht h s hoc giỏ tr riờng tỡm A, B Trng hp 2: Nu = b 4ac = , gi x0 l nghim kộp x + A B = + ax + bx + c ( x x ) ( x x ) Phõn tớch dựng phng phỏp ng nht h s tỡm A, B Chỳ ý: Trng hp < ta cú th ỏp dng bi toỏn bng phộp t x=atant Tng quỏt: I= P ( x)dx ax + bx + c a , P(x)l a thc bc n ca x Bc 1: chia a thc nu n Bc 2: Tớnh nguyờn hm ó phõn tớch Vớ d 3: Tỡm cỏc nguyờn hm sau: Ngời thực hiện: Đào Minh Bằng Năm học 2015 -2016 Trung tâm GDTX Đồng Hỷ nghiệm a) x b) x 2 Sáng kiến kinh dx 5x + 2x + dx 4x + x 10 x + 16 x dx c) x 5x + Gii: a) Ta cú: b) Gi s: x dx 1 1 x5 = ( )dx = ln +C x 5x + x x 2x + A B = + x x + x ( x 2) 2 Ta cú 2x+1 = A(x-2) +B ng nht h s ta c: x A = A = A + B = B = 2x + 5 dx = ( + )dx = ln x +C x ( x 2) x2 4x + c) Chia a thc v dựng ng nht thc ta c: x 10 x + 16 x 4x A B 11 = 2x + = 2x + + = 2x + x3 x2 x3 x2 x 5x + x 5x + x 2x + dx = x + 11 ln x ln x + C 4x + a1 x + b1 x + c1 dx Dng 4: I= ( x )(ax + bx + c) a0 Trng hp 1: Nu = b 4ac > , gi x1 , x l nghim Phõn tớch a1 x + b1 x + c1 A B D = + + ( x )(ax + bx + c ) x x x1 x x dựng phng phỏp ng nht h s hoc giỏ tr riờng tỡm A, B, D Trng hp 2: Nu = b 4ac = , gi x0 l nghim kộp Phõn tớch: a1 x + b1 x + c1 A B D = + + ( x )(ax + bx + c) x ( x x ) ( x x0 ) dựng phng phỏp ng nht h s tỡm A, B, D Ngời thực hiện: Đào Minh Bằng Năm học 2015 -2016 Trung tâm GDTX Đồng Hỷ nghiệm Sáng kiến kinh Trng hp3: Nu = b 4ac < a1 x + b1 x + c1 A B (2ax + b) D = + + 2 ( x )(ax + bx + c ) x ax + bx + c ax + bx + c Phõn tớch: Vớ d 4: Tỡm cỏc nguyờn hm sau: a) x + 3x + ( x 1)( x x + 6) dx b) x + 2x x + dx Gii: a) Dựng phng phỏp ng nht thc ta cú: x + 3x + A B D = + + ( x 1)( x x + 6) x x x Gi s: x + x + = A( x 2)( x 3) + B ( x 1)( x 3) + D( x 1)( x 2) Cho x=1 A=3 ; x=2 B= - 15 ; x=3 D=14 x + 3x + ( x 1)( x x + 6) dx = ln x 15 ln x + 14 ln x + C x + 2x A B( x 1) D = + + x +1 x x +1 x x +1 x +1 b) Gi s: x + x = A( x x + 1) + B (2 x 1)( x + 1) + D ng nht cỏc h s cựng bc v gii h ta c: A= -1 ; B=1; D=0 Dng 5: x + 2x x2 x +1 dx = ln x + + ln x x + + C = ln +C x3 + x +1 dx I= ( x + a) ( x + b) 2 ( x + a ) ( x + b) 1 1 = = ( ) Phõn tớch: 2 ( x + a ) ( x + b) (a b) ( x + a )( x + b) ( a b) x + b x + a Tng quỏt dx I= ( x + a) n ( x + b) n , vi n N Ngời thực hiện: Đào Minh Bằng Năm học 2015 -2016 Trung tâm GDTX Đồng Hỷ nghiệm Sáng kiến kinh dx ( x + 1) ( x + 3) Vớ d 5: tớnh Gii: Phõn tớch: 1 ( x + 3) ( x + 1) 1 = [ ] = ( ) ( x + 3)( x + 1) x +1 x + ( x + 3) ( x + 1) dx 1 = ( + ) dx 2 ( x + 1) ( x + 1)( x + 3) ( x + 3) ( x + 1) ( x + 3) = 1 x +1 ln +C 4( x + x + 4( x + 3) Chỳ ý: Nu gp nguyờn hm dng: P ( x) Q( x) dx m bc ca t ln hn hoc bng bc ca mu thỡ ta chia phõn thc sau ú mi ỏp dng tớnh 3.2 Phng phỏp i bin s I= Dng 1: P ( x k ) x k dx Q( x k ) t t=xk P (t ) dt I= k Q(t ) Vớ d 6: Tỡm cỏc nguyờn hm sau: a) e x3 x dx b) (x 4) 2 x dx Gii a) t t=x3 dt=3x2dx x e x dx = t 1 t 1 x3 e dt = e + C = e +C 3 b) t t=x4 dt=4x3dx x dx dt dt ( x 4) = (t 4) = (t 2) (t + 2) Ngời thực hiện: Đào Minh Bằng p dng dng5 Năm học 2015 -2016 Trung tâm GDTX Đồng Hỷ nghiệm Sáng kiến kinh x dx (t + 2) (t 2) 1 t2 ( x 4) = 64 [ (t + 2)(t 2) ] dt = 64(t 2) 128 ln t + 64(t + 2) + C = Dng 2: M rng I= P ( ( x)) ' ( x)dx Q( ( x)) P(t )dt I= Q(t ) t t= (x) Vớ d 7: Tỡm nguyờn hm sau: t t=sinx cosx 1 x4 ln +C 4 64( x 2) 128 x + 64( x + 2) (sin x + cos x)dx (sin x cos x) dt=(sinx+cosx)dx (sin x + cos x)dx dt t 1 sin x cos x = = ln + C = ln +C 2 sin x cos x + 1 t t +1 (sin x cos x) Bi toỏn ny ta cú th dng cỏc phộp bin i lng giỏc gii bng cỏch phõn tớch: (sin x cos x) = sin x cos x , sau ú a v nguyờn hm ca hm s lng giỏc tớnh Tuy nhiờn cỏch ú phc v di hn so vi cỏch trờn 3.3 Phng phỏp nguyờn hm tng phn u = P( x) Q' ( x)dx t dv = Q n ( x) P( x )Q' ( x)dx I= Q n ( x) Vớ d 8: x dx I= (x 1) Tỡm nguyờn hm sau: Gii t u = x xdx dv = (x 1) Ngời thực hiện: Đào Minh Bằng du = x dx v = 4( x 1) Năm học 2015 -2016 Trung tâm GDTX Đồng Hỷ nghiệm Sáng kiến kinh x3 x2 x3 I= + dx = + I1 4( x 1) ( x 1) 4( x 1) t u = x xdx dv = (x 1) du1 = dx v = 2( x 1) x dx x x + = + ln 2 2( x 1) 2( x 1) 2( x 1) x + I1 = x3 3x x + ln +C I= 4( x 1) 8( x 1) 16 x + Nh chỳng ta u bit khụng cú mt cụng c hay mt phng phỏp nng gii mi bi toỏn Do vy ta khụng nờn ỏp dng ri rc mt phng phỏp cho mi bi toỏn m phi cú s phi kt hp chỳng vi cú s a dng cỏch gii toỏn ú cng chớnh l s phong phỳ v iu thỳ v toỏn hc Th nờn ngoi cỏc phng phỏp trờn ta cũn phi s dng kt hp cỏc phng phỏp cựng vi s linh hot bin i gii quyt Cỏch gii quyt ú c th hin mt s vớ d sau: Vớ d 9: Tỡm cỏc nguyờn hm sau: a) xdx x x 2 x dx b) x4 x2 c) ( x 3)dx x ( x + x + 2) Gii a) Ta cú: x xdx xdx = 2 2x ( x 1) Ngời thực hiện: Đào Minh Bằng 10 Năm học 2015 -2016 Trung tâm GDTX Đồng Hỷ nghiệm t Sáng kiến kinh dt = xdx t = x2 xdx dt t x2 x x = t = ln t + + C = ln x + + C x dx x4 x2 = b) Ta cú: t t = x2 x dx (x )2 x2 = t + ; dt = xdx t x dx tdt dt dt = +C = + = ln t + ln 2 9 4 12 x x 2 t t t t+ 4 t+ 1 x2 2 = ln ( x ) + ln +C 4 12 x + c) Ta cú: t ( x 3)dx ( x 3) xdx x( x + 3x + 2) = x ( x + 3x + 2) t = x2 dt = xdx ( x 3)dx (t 3)dt = x ( x + x + 2) t (t + 3t + 2) Phõn tớch ỏp dng dng ta cú: (t 3) A B D = + + t (t + 3t + 2) t t t 2 t = A(t 1)(t 2) + Bt (t 2) + Dt (t 1) ng nht h s ta c: A=-3/2 ; B=2 ; D=-1/2 ( x 3) dx 3 = ( + ) dt = ln t + ln t ln t + C 2t t t 2 x( x + 3x + 2) = ln x + ln x ln x + C 3.4 Mt s bi cng c Bi Tỡm cỏc nguyờn hm sau: a) dx x + x 15 Ngời thực hiện: Đào Minh Bằng b) 11 4x x x + dx Năm học 2015 -2016 Trung tâm GDTX Đồng Hỷ nghiệm Sáng kiến kinh c) 15 x + x + x + dx e) x + 5x + x( x + x + 1) dx d) x + 41x 91 ( x 1)( x x 12) dx f) x dx (1 x) ỏp ỏn: x3 +C a) ln x+5 b) ln x ln x + C c) ln x + +C 3x + d) ln x + ln x ln x + + C e) x + ln x ln x + f) +C x +1 1 + +C (1 x ) 4(1 x ) 9(1 x) Bi Tỡm cỏc nguyờn hm sau: x dx a) (x 1) x dx b) x 3x c) x(x dx + 1) 10 ỏp s: a) 1 ln x + + +C 4( x + 1) b) ln x + + ln x + C x 10 (ln 10 + 10 ) + C c) 10 x +1 x +1 VII IU KIN P DNG Hc sinh ó c trang b cỏc kin thc v Nguyờn hm chng trỡnh Gii tớch 12 Ngời thực hiện: Đào Minh Bằng 12 Năm học 2015 -2016 Trung tâm GDTX Đồng Hỷ nghiệm Sáng kiến kinh VIII NH GI KT QU THC HIN V KIN NGH Kt qu thc hin ti ny c thc hin lp 12A1 so sỏnh vi lp 12A2 Sau thc hin tụi ó cho kim tra nh sau: KIM TRA Tỡm cỏc nguyờn hm sau: 3x dx 4x + x 3x + a) dx x+3 b) 2x + dx c) ( x + 1)( x 2) ex d) x dx e x ỏp ỏn bi kim tra x2 a) x + 20 ln x + + C c) b) x2 ln + +C x +1 x Ngời thực hiện: Đào Minh Bằng d) 13 ln x ln x + c 2 e x ln x +C e +1 Năm học 2015 -2016 Trung tâm GDTX Đồng Hỷ nghiệm Sáng kiến kinh Kt qu thu c nh sau: Lp 12A1 Gii Khỏ Trung bỡnh Yu Kộm 9(37,5%) 5(20,9%) 0% 12(48%) 7(28%) 1(4%) 2(8,3%) 8(33,3%) 12A2 0% 5(20%) Sau ỏp dng ti ny nm hc 2015-2016 tụi thy cú hiu qu tt, cỏc em hc sinh ó khụng cũn lỳng tỳng vic nh hng phng phỏp tớnh nguyờn hm na Mt khỏc cỏc em cũn cú c cỏi nhỡn khỏi quỏt tng th v cỏc dng nguyờn hm ca hm s hu t Vy nờn cỏc em t tin hn gii bi toỏn tớnh nguyờn hm Trờn õy l mt s kinh nghim tụi ỳc kt c quỏ trỡnh ging dy v tham kho cỏc ti liu cng nh ý kin úng gúp ca cỏc thy cụ b mụn toỏn Tuy nhiờn vỡ thi gian v kh nng bn thõn nờn chc ti khụng trỏnh thiu sút Tụi rt mong nhn c s úng gúp ý kin ca cỏc thy cụ Kin ngh - Vi nh trng: Duy trỡ v phỏt trin cỏc lp bi dng chuyờn nhng cng cn quan tõm n vic ph o cho hc sinh yu Ngời thực hiện: Đào Minh Bằng 14 Năm học 2015 -2016 Trung tâm GDTX Đồng Hỷ nghiệm Sáng kiến kinh kộm Thc hin nghiờm tỳc hn na cỏc t thi ỏnh giỏ ỳng cht lng dy v hc nh trng - Vi S Giỏo dc: Cn cú c ch khen thng hp lý thỳc y mnh m hn na phong tro thi ua Dy tt Hc tt cỏc nh trng i vi cỏc ti t gii cú tớnh ng dng thc tin cn nhanh chúng ph bin rng rói ỏp dng vo thc tin ging dy Xin trõn thnh cm n! ng H, ngy 23 thỏng 05 nm 2016 TC GI o Minh Bng Ngời thực hiện: Đào Minh Bằng 15 Năm học 2015 -2016 Trung tâm GDTX Đồng Hỷ nghiệm Sáng kiến kinh NHN XẫT V NH GI XP LOI CA HI NG KHOA HC TRUNG TM GDTX NG H Tng im: , Xp loi: TM HI NG KHOA HC CH TCH Trn Quang Hnh Ngời thực hiện: Đào Minh Bằng 16 Năm học 2015 -2016