Chủ đề 2 Đại lượng ngẫu nhiên một số luật phân phối thông dụng

Phân loại:a Đại lượng ngẫu nhiên rời rạc Biến ngẫu nhiên được gọi là rời rạc nếu tập các giá trị của nó là hữu hạn hoặc... b Đại lượng ngẫu nhiên liên tụcBiến ngẫu nhiên được gọi là liê

ĐẠI LƯỢNG NGẪU NHIÊN

& MỘT SỐ LUẬT PHÂN

I. Khái niệm đại lượng ngẫu

nhiên và phân loại đại lượng ngẫu nhiên

II. Các tham số đặc trưng của đại

lượng ngẫu nhiên

III. Một số luật phân phối rời rạc

thông dụng

IV. Một số luật phân phối liên tục

thông dụng

Đặt vấn đề

I. Khái niệm đại lượng ngẫu nhiên và

phân loại đại lượng ngẫu nhiên:

hiệu {X}, là một biến cố ngẫu nhiên

• Nói cách khác, đại lượng ngẫu nhiên hay biến ngẫu nhiên là một đại lượng có thể nhận giá trị này hay giá trị khác phụ

thuộc vào phép thử.

• Ký hiệu: X, Y, Z,

  

viên đỏ và 4 viên xanh Bốc ngẫu nhiên 5 viên

X là số bi đỏ có trong 5 viên lấy ra, Y là số bi

xanh trong 5 viên lấy ra

X là đại lượng ngẫu nhiên, nhận các giá trị

D=( 0,1,2,3,4,5)

Y là đại lượng ngẫu nhiên, nhận các giá trị

D=( 0,1,2,3,4)

Ví dụ

2 Phân loại:

a) Đại lượng ngẫu nhiên rời rạc

 Biến ngẫu nhiên được gọi là rời rạc nếu tập các giá trị của nó là hữu hạn hoặc

b) Đại lượng ngẫu nhiên liên tục

Biến ngẫu nhiên được gọi là liên tục nếu tập các giá trị của nó là một khoảng (hay một đoạn) trên trục số thực.

- Nhiệt độ không khí ở mỗi thời điểm nào đó.

- Chiều cao của con người.

- Thời gian sống của một loại cây trồng.

Ví dụ

3 Quy luật phân phối xác suất của định

luật ngẫu nhiên

• Để xác định một đại lượng ngẫu nhiên, trước hết

ta phải biết đại lượng ngẫu nhiên ấy có thể nhận các giá trị nào Nhưng mặt khác ta phải biết nó nhận các giá trị trên với xác suất tương ứng là bao nhiêu.

• Bất kỳ một hình thức nào cho phép biểu diễn

mối quan hệ giữa các giá trị có thể có của đại

lượng ngẫu nhiên và các xác suất tương ứng đều được gọi là quy luật phân phối xác suất của đại lượng ngẫu nhiên ấy.

• Để thiết lập quy luật phân phối xác suất của một

đại lượng ngẫu nhiên ta có thể dùng: bảng

phân phối xác suất, hàm phân phối xác

suất và hàm mật độ xác suất.

a) Bảng phân phối xác suất

Bảng phân phối xác suất dùng để thiết lập quy luật phân phối xác suất của đại lượng ngẫu nhiên rời rạc.

Giả sử đại lượng ngẫu nhiên rời rạc X có thể nhận một trong các giá trị có thể có là x1, x2, …,

xn với các xác suất tương ứng là p1, p2, …, pn

Bảng phân phối xác suất của X có dạng:

Trong đó các xác suất pi (i = 1, 2, …, n) phải thoả mãn các điều kiện:

và

Điều kiện thứ nhất là hiển nhiên vì theo tính chất của xác suất, còn điều kiện thứ hai là do các

biến cố (X = x 1 ), (X =x 2 ), …, (X = x n ) tạo nên một

nhóm biến cố đầy đủ, nên tổng xác suất của chúng bằng một

b) Hàm mật độ xác suất:

Hàm mật độ f(x) của ĐLNN liên tục X là một hàm không âm xác định trên toàn trục số sao cho

F(x) = P(X)

 

 Ý nghĩa hàm mật độ:

- Từ định nghĩa của hàm mật độ, ta có P(x X x + ) f(x)

- Xác suất để X nhận giá trị thuộc lân cận khá

bé (x, x + ) gần như tỷ lệ với f(x).

c) Hàm phân phối xác suất:

Hàm phân phối của biến ngẫu nhiên X tại R xác định như sau:

• Nếu X là ĐLNN rời rạc thì F(x) =

• Nếu X là ĐLNN liên tục có hàm mật độ xác suất

là f(t) thì F(x) =

  

Gieo đồng thời 2 đồng xu cân đối đồng chất Gọi X là

- Đồ thị F(x):

khoảng

(-  

II. Các tham số đặc trưng của ĐLNN

X P

E(X) =

 

 Ý nghĩa: Kỳ vọng là giá trị trung bình theo xác suất hay là giá trị trọng tâm của ĐLNN, dùng kỳ vọng để xác định vị trí của phân bố

 Tính chất:

i) Với C là một hằng số và X là ĐLNN tùy ý, ta có E(C) = C và E(CX) = C E(X)

ii) Với X và Y là hai ĐLNN tùy ý, ta có:

E(XY) = E(X) E(Y)

iii) Nếu X và Y là hai DDLNN độc lập, nghĩa là:

P[(X = )(Y = )] = P(X = ).P(Y = ) ,

  

Tuổi thọ của một loại côn trùng nào đó là một biến ngẫu nhiên X (đơn vị là tháng) với hàm mật độ xác suất như sau: F(x) =

Tính hàm phân bố xác suất và tìm tuổi thọ trung bình của loài côn trùng trên

2. Phương sai:

Định nghĩa: Phương sai của biến ngẫu nhiên X , ký hiệu D(X) (hay Var(X)) , là đại lượng không âm được xác định bởi:

 Tính chất:

a) D(X) 0

b) Với C là một hằng số và X là một ĐLNN tùy ý, ta có: D(X) = 0 và D(CX) = D(X)

c) Nếu X và Y là hai ĐLNN phân phối độc lập nhau thì D(XY) = D(X) D(Y)

 Ý nghĩa

- Phương sai của biến ngẫu nhiên X dùng để đo mức độ phân tán của các giá trị của X xung quanh giá trị trung bình EX của nó.

- Var(X) nhỏ thì mức độ phân tán nhỏ, độ tập trung lớn.

- Var(X) càng lớn thì độ phân tán càng cao.

  

Tuổi thọ của một loại côn trùng nào đó là một biến ngẫu nhiên X (đơn vị là tháng) với hàm mật độ xác suất như sau:

3. Độ lệch chuẩn

Độ lệch chuẩn của ĐLNN X được kí hiệu là và được xác định bởi =

Khái niệm độ lệch chuẩn giải quyết vấn đề đơn vị đo

Kì vọng E(X) của ĐLNN X có đơn vị đo = đơn vị đo của

X, còn phương sai D(X) có đơn vị đo = bình phương đơn

vị đo của X Suy ra, độ lệch chuẩn có đơn vị đo = đơn vị

đo của X

Tham số mode của ĐLNN X có n giá trị được viết là

Mod(X) và được hiểu là một giá trị của X có khả năng xảy ra cao nhất, còn được gọi là giá trị tin chắc nhất

+ Nếu X là ĐLNN rời rạc thì Mod(X) = có xác suất lớn nhất (với 0

+ Nếu X là ĐLNN liên tục có hàm mật độ f(x) thì

Mod(X)= sao cho f(x) đạt giá trị lớn nhất tại x=

  

III. Một số luật phân phối rời rạc thông dụng

Định nghĩa:

ĐLNN rời rạc X = {0, 1, 2, ,n} được gọi là có phân phối nhị

thức nếu tồn tại số p (0;1) sao cho:

Một người trồng 100 cây, xác suất cây chết là 0.02 Gọi X

là số cây chết Tính xác suất có từ 3 đến 4 cây chết, trung bình số cây chết và phương sai của X

Trung bình số cây chết: E(X) = np = 100.0,02 = 2

Phương sai của X: D(X) = npq = 100.0,02.(1-0.02) = 1.96

  

Ví dụ

2. Phân phối Poisson P(a)

Quan sát 5 phút thấy có 18 người ghé vào một đại lí bưu điện Tìm xác suất trong 7 phút có 25 người vào đại lí bưu điện đó

3. Phân phối siêu bội H(N;M;n)

Một nhóm 100 người có 70 kỹ sư Chọn ngẫu nhiên 40

người từ nhóm người này Gọi X là số kỹ sư có được từ 40 người được chọn ra Tính xác suất để chọn được 27 kỹ sư Tính kì vọng, phương sai của X

IV. Một số luật phân phối liên tục thông dụng

1. Phân phối chuẩn N()

 Đồ thị của hàm phân phối chuẩn

• Dạng như một cái chuông

• Có tính đối xứng

• Trung bình = trung vị = mode

• Vị trí của phân phối được xácđịnh bởi kỳ vọng,

• Độ phân tán được xác định bởi

độ lệch tiêu chuẩn,

• Xác định từ +

  

2. Phân phối chuẩn hóa

Đại lượng ngẫu nhiên X được gọi là có phân phối chuẩn tắc nếu X N(0) Khi đó:

E(X) = 0D(X) = 1 (X) =

Hàm mật độ phân phối xác suất của X có dạng

và được gọi là hàm mật độ Gauss

Ta có

  

 Đồ thị của hàm mật độ phân phối chuẩn hóa

Có dạng hình chuông, đối xứng qua trục tung Như vậy f(u) là một hàm chẵn f(-u) = f(u)

Tạo với trục hoành một miền phẳng có giá trị diện tích bằng 1

Hàm phân phối xác suất của U có dạng

dt

  

3. Phân vị chuẩn tắc

 Định nghĩa

Phân vị chuẩn tắc mức xác suất được ký hiệu là

và được định nghĩa là một giá trị của ĐLNN U ~

N(0,1) thỏa mãn điều kiện P(U < =

Các giá trị phân vị chuẩn tắc c cho trong bảng phụ lục 3

 Chú ý:

  

Một công ty trong X tháng sản xuất đạt chuẩn A có phân phối xác suất N(8;3) Tính tỉ lệ sản xuất đạt chuẩn A của công ty từ 6 đến 8,2 tháng.

Giải:

Ta có:

Þ

0,04776 +0,37493 (tra trong bảng Laplace)

*Cách tra: 0,12

0,1 ⟶ 18 người tra theo dòng

0,02 ⟶ 18 người tra theo cột

   Ví dụ

4. Phân phối khi bình phương (n)

Cho các ĐLNN Ui, i = c lập với nhau cùng có luật phân phối chuẩn hóa Xét ĐLNN sau đây V=c gọi là

có luật phân phối khi bình thường với bậc tự do n

  

x 0

 

 Đặc trưng: Nếu V (n) thì

• E(V) = n

• D(V) = 2n

 Phân vị khi bình phương (n)

Phân vị khi bình phương mức xác suất và bậc tự do

là số sao cho

P(V< ) = Các giá trị thường dùng của phân vị khi bình

phương được cho trong bảng phụ lục số 4

  

5. Phân phối Student T(n):

Biến ngẫu nhiên liên tục T có phân bố Student n bậc tự do, ký hiệu T ~ T(n) , nếu hàm mật độ có dạng:

, -<t<

Trong đó: (x) =

(Hàm Gamma, (1) = 1, (x+1)=x (x))

  

 Đồ thị của hàm mật độ f(x)

Hàm mật độ dưới đây là hàm chẵn nên đồ thị đối xứng qua trục tung Khi số bậc tự do tăng lên, phân bố

Student hội tụ rất nhanh về phân bố chuẩn tắc N(0;1)

Do đó khi n đủ lớn ( n 30) có thể dùng phân bố chuẩn tắc thay cho phân bố Student Tuy nhiên khi n nhỏ ( n < 30) việc thay thế như trên sẽ gặp sai số lớn

  

6. Phân phối mũ E()

Số khách hàng đến một quầy dịch vụ với tỷ lệ là 15

người một giờ Hỏi xác suất thời gian giữa 2 khách

hàng liên tiếp đến quầy dịch vụ ít hơn 3 phút là bao

7. Phân phối đều R[a;b]

THE END

Cảm ơn thầy cô và các bạn đã chú ý

lắng nghe.