Một số phép biến đổi trên tam giác

B GIO DC V O TO I HC NNG NGUYN TH THANH HUYN MT S PHẫP BIN I TRấN TAM GIC Chuyờn ngnh: Phng phỏp Toỏn s cp Mó s: 60.46.01.13 TểM TT LUN VN THC S KHOA HC Nng Nm 2016 Cụng trỡnh c hon thnh ti I HC NNG Ngi hng dn khoa hc: TS TRNH O CHIN Phn bin 1: TS CAO VN NUễI Phn bin 2: PGS TS HUNH TH PHNG Lun ó c bo v ti Hi ng chm Lun tt nghip thc s Khoa hc chuyờn ngnh Phng phỏp Toỏn s cp ti i hc Nng vo ngy 13 thỏng nm 2016 Tỡm hiu lun ti: - Trung tõm Thụng tin-Hc liu, i hc Nng - Th vin trng i hc S phm, i hc Nng é ỵ t q tở q trồ tr ữỡ tr tổ t ự q t rt ú ỏ ọ ỳ ổ tr ự s ứ tứ ổ tr trữợ õ ứ ỳ s ỡ ợ ởt ỹ õ t ởt số ữợ t ỏ ữủ t t tố õ t t tố t ởt số tr t t r t ợ s tr ú t õ t ữủ ởt số ợ t q t s t ữủ tự t tự tứ ởt tự t tự t õ ự tr t tt õ ỵ t tỹ t ũ ủ ợ Pữỡ sỡ t ự s ởt số tr t ú ởt số t q t ởt số t tờ ủ t tr ý t ồ s ọ ữợ ỹ t qố t ụ s t ởt số t tỹ s t ử ổ t ỗ ữù s ọ tổ t ố ợ ố tữủ ự ố tữủ ự ởt số tr t P ự Pữỡ t sỡ Pữỡ ự ứ t sữ t ữủ ữợ sỹ ữợ ữớ ữợ s ởt số tr t ú ị tỹ t t ợ ự tr õ ỵ t tỹ t ũ ủ ợ Pữỡ sỡ õ t sỷ ữ t t s q t ổ t ỗ ữù s ọ trú t t t ữủ t ữỡ ữỡ tự ữỡ ỳ tự ỡ sỷ ỳ ữỡ t t ữ Pữỡ tr Pr tự t tự ỡ tr t t tự rsr ữỡ P t õ tr t ữỡ ởt số t tố õ tr t ú tứ ởt tự t tự t q õ ởt t t õ t t q õ s t r t ú t õ õ t õ ữ t t ởt ữủ t r tứ ữỡ s t t ữỡ ởt số tr t ữỡ ởt số tr t tứ t tự t t tự rsr t t r t tự ợ t tố t ì ữỡ ỳ tự ỡ sỷ ỳ ữỡ t t , i ữủt t ABC, AiBiCi (i = 0, 1, 2, 3) t t ợ õ ự ợ Ai, Bi, Ci ụ ữủ tữỡ ự Ai, Bi, Ci t ai, bi, ci ữớ ự ợ , hb , hc ữớ tr t ự ợ ma , mb , mc ữớ trỏ t ữớ trỏ t Ri ri ữớ trỏ t , rb , rc M ởt tr t t i i i i i i i i i tứ M Ra , Rb , Rc tứ M da , db , dc M A1, B1, C1 t ABC, M BC, M CA, M AB ữủt S, a, Ra, t a = a + b + c Ra = Ra + Rb + Rc, i i i i i i Pì P tử Pữỡ tr Pr f (x) = ax + c1 + c2 g(x) = ax + c1 , x R h(x) = ax + c2 Sa , Sb , Sc tự ỡ tr t số s r t ABC t õ b c a = = = 2R sin A sin B sin C số ổs r t ABC t õ a2 = b2 + c2 2bc cos A, b2 = c2 + a2 2ca cos B, c2 = a2 + b2 2ab cos C ổ tự t t t ABC ữủ t t ởt tr ổ tự s 1 aha = bhb = chc 2 1 = bc sin A = ca sin B = ab sin C 2 = pr abc = 4R S = = p(p a)(p b)(p c) ổ tự rổ tự ữủ ỡ ợ A, ởt t t ổ õ tự s B, C A B C cos cos 2 sin 2A + sin 2B + sin 2C = sin A sin B sin C A B C cos A + cos B + cos C = + sin sin sin 2 cos 2A + cos 2B + cos 2C = cos A cos B cos C sin A + sin B + sin C = cos tan A + tan B + tan C = tan A tan B tan C õ t tự ỡ õ tr t t tự ữủ ỡ ợ A, B, C õ ởt t t ổ õ t tự s < sin A + sin B + sin C , t ABC < sin A + sin B + sin C + 2, t ABC tũ < sin2 A + sin2 B + sin2 C , t ABC sin A + sin B + sin C sin 2A + sin 2B + sin 2C sin A sin B sin C < sin A sin B sin C B C A < sin + sin + sin 2 2 A B C < sin2 + sin2 + sin2 2 2 2 < cos A + cos B + cos C 3, t ABC tũ cos A cos B cos C 1 < cos A cos B cos C < cos A cos B cos C , t ABC A B C < cos + cos + cos 2 2 tan A + tan B + tan C 3, t ABC A B C A B C sin + sin + sin cos2 + cos2 + cos2 2 2 2 < sin A + sin B + sin C t tự t số ữỡ a, t |b c| < a < b + c a + b > c, b + c > a, c + a > b b, c t ABC M tr t õ t ổ õ t tự b c Ra db + dc a a M tự r t ABC M tr t M ố ự ợ M q AK õ t ổ õ t tự c b Ra dc + db a a tự r M t tự rsr t ABC M tr t õ t ổ õ t tự Ra + Rb + Rc (da + db + dc ) tự r ABC M trỹ t t ABC t ABC M tr t õ t ổ õ t tự aRa + bRb + cRc (ada + bdb + cdc ) tự r M trỹ t t ABC t ABC M tr t õ t ổ õ t tự a Rb Rc Ra +b +c 2(a + b + c) da db dc tự r ABC M trỹ t t ABC ợ x, y > t ổ õ t tự s (x + y) x + y , 1; (x + y) 21 (x + y ), < ì PP P ệ ữỡ ởt số t tố õ tr t ú t r t ợ ú tự tr ữỡ ữủ t tr t [1] [3] PP ởt số t tố õ tr t tỹ tử A A1 , B B1 , C C1 ữỡ tr A1 + B1 + C1 = , A + B + C = , ợ ú tọ A1 = kA + l, B1 = kB + m, C1 = kC + n, tr õ k + l + m + n = ữợ ởt số k = 2, l = 1, m = 1, õ õ n = A1 = 2A + ; B1 = 2B + ; C1 = 2C + k = 1, l = 21 , m = 12 , n = A1 = A + ; B1 = B + ; C1 = C + 2 tỹ tử A A1 , B B1 , C C1 ữỡ tr A1 + B1 + C1 = ; A1 , B1 , C1 0, A + B + C = ; A, B, C 0, ợ ú tọ A1 = kA + l, B1 = kB + m, C1 = kC + n tr õ k + l + m + n = l, m, k + l, k + m 0; l + m, k + l + m l 0, m 0, n 0; k + l 0, k + m 0, k + n ữợ ởt số k = 12 , l = 12 , õ 1 m= , n= 2 B C A + , B1 = + , C1 = + 2 2 2 1 k = , l = 0, m = 0, n = 2 A1 = õ A1 = A B C , B1 = , C1 = + 2 2 t r t t t q ữủ t ỡ t s ổ t ợ t t ữ s ố ợ ợ t K = {(A, B, C) : A, B, C 0, A + B + C = } K = {(A, B) : A, B 0, A + B } ữợ ởt số k = 13 , l = 41 , m = 14 , õ A1 = (A, B, C) K0 B1 = C = n= A + B + K C + k = 18 , l = 83 , m = 13 , n = 61 A A1 = + 8 B (A, B, C) K B1 = + K0 C = C + A1, B1, C1 ữủ õ tữỡ l = m = n = ự tứ K0 K k = 2, A1 = 2A, B1 = 2B, C1 = 2C A1, B1 , C1 tứ K KC 1 l 0, m 0, k + l 0, k + m 0, l + m , k + l + m 2 1 l 0, m 0, n ; k + l 0, k + m 0, k + n 2 A1, B1 , C1 l 0, m 0, tứ KC K k k k + l 0, + m 0, l + m 1, + l + m 2 k k k + l 0, + m 0, + n 0, k + n 2 l 0, m 0; ữợ ởt số k = 14 , l = 14 , m = 41 , õ õ n= A A = + 4 B (A, B, C) K B1 = + KC 4 C = C + 4 k = 1, l = 12 , m = 12 , n = A = A + (A, B, C) KC B1 = B + K C1 = C + A1, ữủ tữỡ ự tứ K KC k = 21 , l = m = A1 = A1, l, m, B1 , C1 B1 , C A B C + , B1 = , C1 = 2 ữủ tứ K0 KC k k k + l, + m 0; + l + m, k + l + m 2 2 k k k l 0, m 0, n ; + l 0, + m 0, + n 2 2 A1, B1 , C1 l, m, ữủ tứ KC K0 k k k + l, + m ; + l + m, l + m 2 2 k k k 1 l, m ; + l, + m, + n ; k + n 2 2 2 ữợ k = 12 , l = 0, õ m = 0, n = A1 = (A, B, C) K0 B1 = C = A B KC C + 2 k = 21 , l = 12 , m = 12 , n = 12 A A = + 2 B (A, B, C) KC B1 = + K0 2 C = C + 2 õ A1, ữủ tữỡ ự 1 tứ K0 KC l = m = , k = A1 = A, B1 = B, C1 = C A = A1 , B = B1 , C = C1 2 2 B1 , C1 ởt số ứ tự ữủ t t õ t t r ỳ tự õ ố ợ tự ứ õ tr tố sỷ ữủ t õ t t sỷ t õ tr t sỷ (A, B, C) K0 2.3 t õ ( 2A, 2B, 2C) K t q t tự ố ữ t tự (1.11) (1.15) (1.24) (1.26) t õ t ự t tự ợ s t ự r ợồ t ABC t õ < sin 2A + sin 2B + sin 2C 23 sin 2A + sin 2B + sin 2C + sin4A + sin 4B + sin 4C < sin A + sin B + sin C 23 (cos A + cos B + cos C)2 sin2 A + sin2 B + sin2 C sỷ (A, B, C) K 2.4, t õ A2 , B2 , C2 + KC t q t tự ố ữ t tự (1.13) (1.15) (1.20) t õ t ự t tự ợ s t ự r ợồ t ABC t ổ õ < sin A2 + sin B2 + cos C2 < + sin A2 + sin B2 + cos C2 sin A + sin B sin C < cos2 A2 + cos2 B2 cos2 C2 < sỷ (A, B, C) KC 2.4, t õ (2A, 2B, 2C ) K t q t tự ố ữ t tự (1.18) (1.19) (1.24) (1.22) t õ t ự t tự ợ s t ự r ợ t ABC tũ t ổ õ < sin A + sin B cos C 23 34 < sin2 A + sin2 B cos2 C < < cos A + cos B + sin C < 23 18 cos 2A cos 2B cos 2C < sỷ (A, B, C) KC 2.5, t õ (A + , B + , C + ) K0 t q t tự ố ữ t tự (1.12) (1.14) (1.23) (1.25) t õ t ự t tự ợ s t ự rợ t ABC tũ t ổ õ < cos A + cos B + sin C 23 < cos2 A + cos2 B + sin2 C 94 18 sin A sin B cos C < cot A + cot B tan C 3 sỷ (A, B, C) K 2.3 t õ A , B , C K0 t q tự (1.7) t tự (1.21) ố ủ t q tr tự (1.6) t r t ự t tự ợ t ự r ợ t ABC t ổ õ sin A sin B sin C cos A2 cos B2 cos C2 sin A sin B sin C sin A + sin B + sin C ổ t ợ s ữủ t r t t tử t q tr ợ ởt số t t q ữợ ởt số t tữỡ tỹ t ự r ợ t ABC õ õ t õ sin A + sin B + sin C (tan A tan B tan C) cos A + cos B + cos C t ự r ợ t ABC A B C + cos + cos 2 = cot A cot B cot C A B C 2 sin + sin + sin 2 cos t t ABC ổ ổ ự r tan2 A tan2 B tan2 C tan2 A + tan2 B + tan2 C + tan2 A tan2 B + tan2 B tan2 C + tan2 C tan2 A t ự r ợ t ABC t ổ õ a) cot2 B C A B C A cot2 cot2 cot2 + cot2 + cot2 2 2 2 + cot2 A B B C C A cot2 + cot2 cot2 + cot2 cot2 2 2 2 A A B C B C tan2 cot2 tan2 + tan2 + cot2 2 2 2 A B B C A C + tan2 tan2 + tan2 cot2 + tan2 cot2 2 2 2 b) tan2 t t t ự r t ABC õ õ t ổ õ tan5 A + tan5 B + tan5 C tan A + tan B + tan C t ự r ợ t ABC t ổ õ A B C + cot5 + cot5 2 B C A cot + cot + cot 2 cot5 t õ t t ABC t tan A tan B tan C = 3(cot A + cot B + cot C) t t t t ABC õ p, R, r tữợ ự ỳ ữớ trỏ t t ự s tữỡ ữỡ cot A B C A B C cot cot = tan + tan + tan 2 2 2 3r(4R + r) = p (1) (2) õ t t ABC õ (1) (2) t ự r t ABC õ õ tọ tự sin A = sin B cos C t ự r t ABC õ õ tọ tự sin 2A = sin 2B cos 2C PP ởt số t tố tr t a, b, c ởt t t số s ụ ởt t a, b, c a, b, c n ữỡ a2, b2, c2 t a (p a) , b (p b) , c (p c) p ỷ ma, mb, mc h1 , h1 , h1 n n a b n c 1 , , b+ c c + a a + b ab, bc, ca ợ min(A, B, C) 12 a, b, c số ữỡ tọ ka2 +qb2 > kqc2 ợ k, q s k + q = t a, b, c ởt t sỷ ai, bi, ci t AiBiCi (i = 1, 2) t a3 = a21 + a22, b3 = b21 + b22, c3 = c21 + c22 ụ ởt t ỗ t ởt t ợ ữớ ha, hb, hc ha ha + , h h h h b c b c sỷ r1, r2, r3 số ữỡ tũ ỵ t tỗ t t ởt t ợ ữớ trỏ t r1, r2, r3 õ ữủ ợ a, b, c ữ s a= r1 (r2 + r3 ) , r2 r3 + r3 r1 + r1 r2 t t f (x), x > tọ t t s f (x) > 0, x > < x < y f (x) < f (y) f (x + y) f (x) + f (y), x, y > F t ủ tt f (x) tọ t t tr õ t q s sỷ f (x) F a, b, c ởt t t f (a), f (b), f (c) ụ ởt t A, B, C õ ởt t t số s ụ ởt t sin A, sin B, sin C cos A2 , cos B2 , cos C2 sin 2A, sin 2B, sin 2C ợ õ A, B, C cos A, cos B, sin C ợ õ A, B sin A2 , sin B2 , cos C2 a sin A, b sin B, c sin C ợ õ A, B, C a cosA, b cosB, c cosC ợ õ A, B, C ởt số ứ ởt tự t tự t q ởt t t õ t t q s t r t ú t õ õ t õ ữ t t ởt ữủ t r tứ ữỡ s t t ữợ ởt số t ha, hb, hc s h1b + h1c h1a t s ổ tỗ t t õ ữớ ha, hb, hc t s t ữủ t s t ự r ổ tỗ t t õ ữớ = 1, hb = 5, hc = + t r a, b, c ởt t t a2 + b2 + c2 < (ab + bc + ca) t tự tr t õ ữủ ởt số t ợ s t ự r ma, mb, mc ữớ tr t ởt t t m2a + m2b + m2c < 2(ma mb + mb mc + mc ma ) t ự r ha, t t hb , hc ữớ ởt 1 1 1 + + < + + hb hb hc hc ha hb hc t t ự r A, B, C õ ởt t sin2 A + sin2 B + sin2 C < 2(sin A sin B + sin B sin C + sin C sin A) t r S = rp = r a + 2b + c ợ r ữớ trỏ t t = r2 1 + + hb hc 4r2 hb , hc hb hb hc hc + > + hb hb + hc hc + ữớ ởt t q tờ qt ợ ộ f F t t õ f (a), f (b), f (c) ởt t õ t õ ữủ ởt t ợ ữợ ởt số f F t t f (x) = x +x , x > t õ ữủ t s t ự r a, b, c ởt t t a b c , , a+1 b+1 c+1 ụ t t ự r a, ha, hb, hc ữớ tữỡ ự t b, c ởt t 1 , , + + hb + hc ụ t sỷ k số trữợ tọ < k t f (x) = xk , x > 2.11 t õ t s t ự r a, b, c ởt t t ak , bk , ck ợ < k ụ t t ợ k = n1 ữỡ t q t t t õ a, b, c t õ 2.8 t õ t s t ự r a, b, c ởt t t a2 + 1, b2 + 1, c2 + ụ t ổ t ợ s ữủ t r t t tử t q tr ợ ởt số t t q ì PP ữỡ ởt số tr t tứ t tự t t t r t tự ợ t tố t tự tr ữỡ ữủ t tr t [1] [2] PP M H C1B1, (H C1B1) s t sỹ ỳ t ABC A1B1C1 ữ s ứ (3.1), (3.2), (3.4) tố tr t A1B1C1 ữủ t t tố tr t ABC ữ s Ra1 = da , Rb1 = db , Rc1 = dc , db dc dc da da db , db1 = , dc1 = , da1 = Ra Rb Rc aRa bRb cRc a1 = , b1 = , c1 = , 2R 2R 2R ữớ trỏ t t ABC tr õ R ứ (3.1), (3.3), (3.5) tố tr t ABC ữủ t t tố tr t A1B1C1 ữ s Rb1 Rc1 Rc Ra Ra Rb , Rb = 1 , Rc = 1 , da1 da1 dc1 da = Ra1 , db = Rb1 , dc = Rc1 , a1 da1 b1 db1 c1 dc1 a= , b= , c= , Rb1 Rc1 Rc1 Ra1 Ra1 Rb1 Ra = tr õ = 2R PP P t t M A1, tọ M B1 , M C tr õ A2, B2 , C2 tr õ k ổ trữợ õ t A2 tở M A1 ữớ M A, M B, M C t t A2B2C2 ữủt t D1, E1, F1 t r D1, E1, F1 ữớ ổ õ tứ M ố B2C2, C2A2, A2B2 ỡ ỳ t õ tự M A.M D1 = M B.M E1 = M C.M F1 = k k = t õ sỹ ỳ t ABC A2B2C2 ữ s tố tr t A2B2C2 ữủ t t tố tr t ABC ữ s 1 Ra = , Rb = , Rc = , d d d M A1 M A2 = M B1 M B2 = M C1 M C2 = k 2 a b c 1 , db2 = , dc2 = , Ra Rb Rc ada bdb cdc a2 = 2R2 , b2 = 2R2 , c2 = 2R2 Rb Rc Rc Ra Ra Rb tr t ABC ữủ t t tố tr da2 = tố A2 B2 C2 ữ s Ra = 1 , Rb = , Rc = , da2 db2 dc2 t 1 , db = , dc = , Ra2 Rb2 Rc2 b2 Rb2 c2 Rc2 a2 Ra2 , b= , c= a= 2R2 db2 dc2 2R2 dc2 da2 2R2 da2 db2 da = ệ P ệ t ABC M tr t A1, B1, C1 ữủt ữớ ổ õ tứ M BC, CA, AB t M A = Ra , M B = Rb , M C = Rc , M A1 = da , M B1 = db , M C1 = dc ỵ 1.8 t tự rsr sỹ ỳ t ABC A1B1C1 õ ữủ t ợ s t ự t tự s RaRbRc(da + db + dc) 2(RbRcdbdc + RcRadcda + RaRbdadb) RbRc + RcRa + RaRb 2(Rada + Rbdb + RcRdc) Rada + Rbdb + Rcdc 2(dbdc + dcda + dadb) ỵ 1.9 sỹ ỳ t ABC A1 B1 C1 õ ữủ t ợ s t ự t tự s a+b+c2 aRa da bRb db cRc dc + + Rb Rc Rc Ra Ra Rb P tự t t t sỹ ỳ t ABC A2B2C2 t tự (1.31) t t t sỹ ỳ t ABC A1B1C1 t q õ t õ ữủ t ợ s t ự t tự s a b c a b c + + + + Ra da Rb db Rc dc Rb Rc Rc Ra Ra Rb P tự t t t t sỹ ỳ t ABC A1B1C1 t tự (1.31) t õ ữủ t ợ s t ự t tự s aRb Rc + bRc Ra + cRa Rb 2(aRa da + bRb db + cRc dc ) 1.2 t tự (1.32) t õ t s t ự t tự s Ra + Rb + Rc 2(da + db + dc) ợ tự r t ABC M trỹ t t Ra + Rb + Rc 2(da + db + dc) ợ < tự r t ABC M trỹ t t ổ t ợ s ữủ t r t t tử t q P tr t tr ợ ởt số t t q t ữủ ỳ t q s ữ r ự ữủ ỳ ởt số t tố õ ởt số tr t ữ r t q õ ữủ tứ ởt t tự tự õ t s t r t tự tự ợ ụ ữủ ởt ữỡ t t t r ố t r t õ ú t t ữủ ố ỳ tự ữủ tr t t q t tố tr t ởt số tứ ởt t tự tự tố t t r t tự tự ợ õ t s t ữủ t ợ ụ ữủ ởt ữỡ t t t r ố t r t t q õ ỵ t tỹ t ũ ủ ợ Pữỡ sỡ õ t sỷ ữ t t s tổ ỳ q t t õ õ r