các phép biến đổi bảo toàn độ đo và độ đô ergodic

Khoỏ lun tt nghip Trng i hc S phm H Ni LI CM N Em xin chõn thnh cm n s giỳp ca cỏc thy giỏo, cụ giỏo t Gii tớch, cỏc thy giỏo cụ giỏo khoa toỏn, cỏc thy giỏo cụ giỏo trng HSP H Ni v cỏc bn sinh viờn c bit em xin by t lũng bit n sõu sc ca mỡnh ti T.S T Ngc Trớ ngi ó tn tỡnh giỳp em sut quỏ trỡnh hon thnh khúa lun ny Do ln u tiờn lm quen vi cụng tỏc nghiờn cu khoa hc, hn na thi gian v nng lc ca bn thõn cũn hn ch, mc dự rt c gng nhng chc chn khụng trỏnh nhng thiu sút Em kớnh mong nhn c s úng gúp ý kin ca cỏc thy cụ v cỏc bn khúa lun ca em c hon thin hn v cú nhiu ng dng thc t Em xin chõn thnh cm n ! H ni, ngy 11 thỏng nm 2011 Sinh viờn Nguyn Th Hin Nguyn Th Hin K33C - Khoa Toỏn Khoỏ lun tt nghip Trng i hc S phm H Ni LI CAM OAN Khúa lun ny l kt qu ca bn thõn em qua quỏ trỡnh hc v nghiờn cu Bờn cnh ú em c s quan tõm v to iu kin ca cỏc thy giỏo cụ giỏo khoa toỏn Trng i hc s phm H Ni 2, c bit s hng dn tn tỡnh ca T.S T Ngc Trớ Trong nghiờn cu hon thnh khúa lun ny em cú tham kho mt s ti liu ó ghi phn ti liu tham kho Em xin cam oan rng khúa lun ny l trung thc, tờn ti khụng trựng lp vi bt c tờn ti no khỏc H Ni, ngy11 thỏng nm 2011 Sinh viờn thc hin Nguyn Th Hin Nguyn Th Hin K33C - Khoa Toỏn Khoỏ lun tt nghip Trng i hc S phm H Ni MC LC LI CM N LI CAM OAN MC LC LI M U CHNG 1: CC KIN THC C S 1.1 Gii thiu 1.2 Khụng gian o 1.2.1 Cỏc nh ngha 1.2.2 inh lý m rng Kolomogorov 1.2.3 Cỏc vớ d ca khụng gian o 1.3 Tớch phõn 1.3.1 Cỏc nh ngha 1.3.2 Cỏc khụng gian LP 10 1.3.3 Cỏc nh lý hi t .11 1.3.4 nh lý biu din Riesz 11 1.4 o xỏc sut 12 CHNG II: CC PHẫP BIN I BO TON O 14 2.1 o bt bin vi phộp bin i liờn tc 14 2.1.1 o bt bin 14 2.1.2 o bt bin vi cỏc phộp bin i liờn tc 15 2.2 Khụng gian ca cỏc o bt bin 16 2.2.1 S tn ti ca cỏc o bt bin 16 2.2.2 Cỏc tớnh cht ca M(X, T) 17 2.3 Cỏc vớ d v cỏc phộp bin i bo ton o 18 2.3.1 S dng nh lý m rng Kolmogorov 18 2.3.2 S dng chui Fouries 22 Nguyn Th Hin K33C - Khoa Toỏn Khoỏ lun tt nghip Trng i hc S phm H Ni CHNG 3: ERGODIC 25 3.1 nh ngha ca Ergodic 25 3.2 c trng ca Ergodic 26 3.3 Cỏc vớ d 27 3.4 S tn ti ca cỏc o Ergodic 30 3.5 Phộp truy toỏn v Ergodic n tr 33 3.5.1 nh lý phộp truy toỏn ca Poincare 33 3.5.2 Ergodic n tr 34 3.5.3 Vớ d 36 3.6 nh lý Ergodic ca Birkhoff 37 3.6.1 Kỡ vng cú iu kin 37 3.6.2 nh lý Ergodic ca Birkhoff theo tng im 39 3.7 Cỏc h qu ca nh lý Ergodic ca Birkhoff 45 3.7.1 Cỏc h qu 45 3.7.2 ng dng 47 Nguyn Th Hin K33C - Khoa Toỏn Khoỏ lun tt nghip Trng i hc S phm H Ni LI M U Lý chn ti Gii tớch hm l mt ngnh toỏn hc c xõy dng u th k XX v n c xem nh l mt ngnh toỏn hc c in Trong quỏ trỡnh phỏt trin, gii tớch hm ó tớch ly c mt s ni dung ht sc phong phỳ, nhng kt qu mu mc, tng quỏt ca gii tớch hm ó xõm nhp vo tt c cỏc ngnh toỏn hc cú liờn quan v s dng n cụng c gii tớch v khụng gian vect Chớnh iu ú ó m rng phm vi nghiờn cu cho cỏc ngnh toỏn hc Vi mong mun c nghiờn cu, tỡm hiu sõu sc v b mụn ny v bc u tip cn vi cụng vic nghiờn cu khoa hc cựng vi s giỳp ca T.S T Ngc Trớ, em ó chn ti : Cỏc phộp bin i bo ton o v o Ergodic Cu trỳc ca khúa lun Khúa lun ny gm chng Chng 1: Cỏc kin thc c s Chng 2: Cỏc phộp bin i bo ton o Chng 3: o Ergodic Mc ớch nghiờn cu Bc u lm quen vi cụng vic nghiờn cu khoa hc v tỡm hiu sõu hn v gii tớch hm, c bit l lý thuyt Ergodic Nghiờn cu v cỏc phộp bin i bo ton o, o Ergodic, mt s nh lý liờn quan v ng dng ca nú Phng phỏp nghiờn cu c ti liu, phõn tớch, so sỏnh tng hp Nguyn Th Hin K33C - Khoa Toỏn Khoỏ lun tt nghip Trng i hc S phm H Ni CHNG 1: CC KIN THC C S 1.1 Gii thiu Cho X l mt khụng gian toỏn hc Xột ỏnh x T : X X Ly x X v lp li ng dng ca ỏnh x T i vi x ta c mt dóy {x, T(x), T2(x), T3(x), } õy gi l qu o ca x Nu Tn(x) = x thỡ im x c gi l tun hon vi chu kỡ n Ta xột bi toỏn nh sau: Cho Cho T: [0, 1] on [a, b] [0, 1] v c nh mt [0, 1] Tn s m cỏc qu o ca x nm [0, 1], cho x [a,b] l gỡ? Trc ht, ta ó bit hm c trng A ca A c xỏc nh bi nu x A nu x A = A Thỡ s ln n im u tiờn qu o ca x nm [a, b] l n [a, b] (T j (x)) j Do ú, t l ca n im u tiờn qu o ca x nm [a, b] l n n [a, b] (T j (x)) j Do o, tn s m qu o ca x nm [a, b] l 1n lim n nj [a, b] (T j (x)) Mt kt qu khỏ quan trng, ú l nh lý Ergodic ca Birkhoff s ch cho chỳng ta rng: T l ergodic thỡ tn s trờn bng di ca on [a, b] Tc l (Trong trng hp ca o Ergodic): lim n 1n nj [a, b] (T j (x)) = b - a vi x X h.k.n Nguyn Th Hin K33C - Khoa Toỏn Khoỏ lun tt nghip Trng i hc S phm H Ni Mt cỏch tng quỏt ca nh lý ny l: nu xột vi hm o c f bt kỡ thỡ tn s m qu o ca x nm mt A lim n n n f (Tjx) j Khi T l Ergodic i vi o lim n n X l: thỡ gii hn ny l: n f (Tjx) = f d j Trc nghiờn cu c th nh lý ny, chỳng ta nhc li mt s kin thc: 1.2 Khụng gian o 1.2.1 Cỏc nh ngha nh ngha Mt lp i cỏc ca X c gi l i s nu: ; ii Nu A,B thỡ A thỡ Ac iii Nu A nh ngha: Mt lp i B ; cỏc ca X c gi l - i s nu: ; ii Nu E B thỡ phn bự ca nú X \ E iii Nu En ; , n=1,2,3 l dóy m c cỏc hp UE thỡ n n nh ngha: Cho X l mt khụng gian metric compact Mt hp s Borel (X) c xỏc nh l - i - i s nh nht cỏc ca X m bao hm tt c cỏc m ca X Cho X l mt v l mt nh ngha: Mt hm s i ( : - i s cỏc ca X, ta cú: Ă { } c gi l mt o nu : ) = 0; Nguyn Th Hin K33C - Khoa Toỏn Khoỏ lun tt nghip Trng i hc S phm H Ni ii Nu En l cỏc hp m c , ụi mt phõn bit UE (E n ) n n n Ta gi (X, , ) l khụng gian o Nu thỡ (X) < Nu (X) = thỡ thỡ: l o hu hn l o xỏc sut nh ngha: Ta núi mt tớnh cht ỳng hu khp ni nu hp cỏc im m khụng cú tớnh cht ú cú o 1.2.2 inh lý m rng Kolomogorov nh lý 1.2 ( nh lý m rng Kolmogorov) Cho l mt i s cỏc hp ca X Gi s i ( Ă tha món: : )=0; ii Tn ti hu hn hoc m c cỏc Xn cho X = UX n n v (Xn) < ; iii Nu En ,n 1, ụi mt phõn bit v nu UE thỡ n n (UE n ) n Thỡ cú mt o nht (E n ) n Ă : ( ) m l m rng ca : Ă 1.2.3 Cỏc vớ d ca khụng gian o o Lebesgue trờn [0,1] Ly X=[0,1] v ly l lp ca cỏc hp hu hn tt c cỏc khong ca [0,1] Vi mi on [a,b], nh ngha: ([a,b])= b - a l o Lebesgue Nguyn Th Hin K33C - Khoa Toỏn Khoỏ lun tt nghip Trng i hc S phm H Ni o Lebesgue trờn Ă /  Ly X= Ă /  =[0,1) mod v ly l lp ca cỏc hp hu tt c cỏc khong ca [0,1) Vi mt on [a,b], nh ngha: ([a,b]) = b - a l o Lebesge trờn ng trũn o Dirac Cho X l khụng gian xỏc sut v X nh ngha o Cho x x Thỡ x x - i s bt kỡ bi: nu x nu x (A) = l mt A A l o xỏc sut Nú c gi l o Dirac ti x 1.3 Tớch phõn Cho (X, , ) l khụng gian o 1.3.1 Cỏc nh ngha nh ngha: Mt hm s f : X Ă l o c nu f (D) Borel D ca Ă , hoc tng ng, nu f (c, ) nh ngha : Mt hm s f : X vi c vi mi Ă Ă l n gin nu nú cú th vit nh t hp tuyn tớnh cỏc hm c trng ca cỏc , ngha l r f Ai i vi Ă , Ai , Ai ụi mt phõn bit Vi mt hm n gin Ă , ta nh ngha f :X r a i (A i ) fd = i Chỳ ý: Tớch phõn ca hm o c f : X Nguyn Th Hin Ă : K33C - Khoa Toỏn Khoỏ lun tt nghip + Nu f n Trng i hc S phm H Ni thỡ tn ti mt dóy hmn gin tng f n cho f n f , ta cú: f d = lim f nd n + Nu f cú du bt kỡ , ta t f = f vi f = max{ f ,0} v f f = max{ f ,0} thỡ ta nh ngha: fd = f f d d nh ngha: f c gi l kh tớch nu: fd < + 1.3.2 Cỏc khụng gian LP Hai hm o c f , g : X Ê tng ng nu f = g -h.k.n Ta vit L1(X, , ) hp cỏc lp tng ng ca cỏc hm kh tớch trờn (X, , ) Ta nh ngha f Thỡ d( f ,g) = f g 1 = f d l metric trờn L1(X, , ) Vi p bt kỡ, ta nh ngha khụng gian Lp(X, , ) cha cỏc hm o c Ê cho | f f :X f g p p l kh tớch Metric trờn Lp(X, , ) l d( f ,g) = , ú f ( f p d )1/ p Nu (X, , ) l khụng gian o hu hn v nu p< q thỡ q L (X, , ) Lp(X, , ) 1.3.3 Cỏc nh lý hi t Nguyn Th Hin K33C - Khoa Toỏn 10 Khoỏ lun tt nghip Vi E( f | ) c xỏc nh bi yờu cu: i E( f | ii A Trng i hc S phm H Ni ) l fd = A - o c; vi A E( f |A)d 3.6.2 nh lý Ergodic ca Birkhoff theo tng im t = { B -i s ca cỏc T- bt bin | T B = B} l nh lý 3.12 (nh lý Ergodic ca Birkhoff) Cho (X, , ) l khụng gian xỏc sut v T : X i bo ton o Cho biu th -i s ca cỏc T- bt bin Thỡ vi L1(X, , ) , ta cú mi f n vi X l mt phộp bin -h.k.n x n f ( T j x) E( f | ) j X chng minh c nh lý ny chỳng ta da vo kt qu ca nh lý sau nh lý 3.13.( Bt ng thc cc i) Cho (X, , ) l khụng gian xỏc sut, cho T : X i bo ton o v cho f fn Vi n f X l mt phộp bin L1(X, , ) nh ngha f = v vi n f oT n f oT 1, lp Fn = max f j j n (vỡ vy Fn 0) Thỡ {x| Fn ( x ) 0} f d Nguyn Th Hin K33C - Khoa Toỏn 38 Khoỏ lun tt nghip Trng i hc S phm H Ni L1(X, , ) Vi j Chng minh Rừ rng Fn Fn oT n, ta cú Fn f j , nh vy f j oT Do ú Fn oT + f f j oT + f = f j v ú Fn oT(x) + f (x) max f j (x) j n Nu Fn(x) > thỡ max f j (x) = max f j (x) = Fn(x) j n j n nh vy ta cú f Fn Fn oT trờn A = { x | Fn(x) > } Do ú A fd = A Fn d - A Fn oTd X Fn d - A Fn oTd X Fn d - X Fn oTd = ú chỳng ta cú s dng i Fn = trờn X \ A; ii Fn oT 0; iii l T-bt bin H qu 3.14 Nu g L1(X, , ) v nu B = x X |sup n thỡ vi tt c A 1n g(T jx) nj vi T A = A, ta cú Nguyn Th Hin K33C - Khoa Toỏn 39 Khoỏ lun tt nghip Trng i hc S phm H Ni B A gd (B A) Chng minh Trc tiờn gi s A = X Cho f = g - , thỡ n U B = g(T jx) x| j n U x | f ( x) = n U x| F (x) = n n ( vỡ f (x) > Vit Cn = {x | Fn(x) > }, ta thy Cn vy f Cn hi t n f nh lý hi t tri Cn fd f j (x) > vi j Fn(x) > v Fn(x) > = A B f Cn Cn+1 Do ú Hn na | f n d X f d = B p dng bt ng thc cc i, ta cú, vi n fd Cn Cn B n) hi t n | fd v nh B | f | Do ú, theo n Cn Do ú B fd Ngha l B gd (B ) Vi trng hp tng quỏt, chỳng ta lm vi s hn ch ca T trờn A, T : A A, v ỏp dng bt ng thc cc i trờn cỏc cú c B A gd (B A) theo yờu cu Chng minh nh lý Ergodic ca Birkhoff t f (x) = lim sup n n n f (T j x ) * v f* (x) = lim inf n n j n f (T j x ) j Nguyn Th Hin K33C - Khoa Toỏn 40 Khoỏ lun tt nghip Trng i hc S phm H Ni t an(x) = n n f (T j x ) j Ta thy n+1 an + 1(x) = an(Tx) + f (x) n n , ta c f * o T = f * v f* o T = f* Khi n Chỳng ta phi ch rng: i f * ii f * iii -h.k.n; f* L1(X, , ); f *d = f d Chng minh (i) Cho , E = {x , ch rng f * f* X | f * (x) < f* (x)} = , , E , Ô , = E , < Vỡ Nu vit 1n x X |sup g(T jx) n n j B = , U -h.k.n cn ch rng ( E , ) = vi f o T = f * v f* oT = f* nờn T E thỡ E Ă , nh ngha Bn = E , p dng h qu 3.14 ta cú E fd , = E , (E B , fd B )= Nguyn Th Hin (E , ) K33C - Khoa Toỏn 41 Khoỏ lun tt nghip Thay f , v Trng i hc S phm H Ni bi f , v s dng gi thit ( f )* v f* v f * , ta c ( f )* E d (E , ) , Do ú (E , ) Vỡ < nờn lim n (E , ) (E , ) = Do ú f * 1n nj f* -h.k.n v f (Tjx) = f * (x) -h.k.n (1) Chng minh (ii) t 1n gn = nj thỡ gn f oT j 0 v | f |d gn d Theo b Fatous cú lim gn = | f * | l o c, tc f * L1(X, , ) n Chng minh (iii) Vi n Dkn = x Vi mi X| k n Ơ v k f * (x) <  , nh ngha k+1 n > 0, ta cú Dkn Bk n - = Dnk Vỡ T Dkn = Dnk nờn ta c Dkn fd k n (Dnk) Nguyn Th Hin K33C - Khoa Toỏn 42 Khoỏ lun tt nghip Trng i hc S phm H Ni Vỡ > bt kỡ, ta cú Dkn k (Dkn) n fd Do ú Dkn k+1 (Dnk) n f*d (Dkn) + n Vỡ X = UD n k Dkn fd D (hp tỏch nhau) nờn ta cú k  X (X) + n f*d = + n X Vỡ iu ny ỳng vi tt c n X Tng t i vi fd X fd 1, ta cú f*d X fd f cú X ( f )* d X fd M f *d = f* d f *d = fd fd Vỡ vy Tha yờu cu Cui cựng ta i chng minh f * = E( f \ ) Trc ht chỳ ý rng f * l T-bt bin, nú l o c i vi Hn na, nu I bt kỡ l T-bt bin thỡ I fd = I f*d Nguyn Th Hin K33C - Khoa Toỏn 43 Khoỏ lun tt nghip Do ú f * Trng i hc S phm H Ni E( f \ I ) (2) T (1) v (2) ta c lim n n n f (Tjx) = E( f \ I) j 3.7 Cỏc h qu ca nh lý Ergodic ca Birkhoff 3.7.1 Cỏc h qu H qu 3.15 Cho (X, , ) l khụng gian xỏc sut v cho T : X X l mt phộp bin i bo ton o Ergodic Cho f L1(X, , ) Thỡ n1 fd n f (Tjx) n j vi -h.k.n x X Chng minh Theo nh lý Ergodic ca Birkhoff vi l -i s ca cỏc T- bt bin, ta cú gii hn lim n n n f (Tjx) = E( f | ) j tn ti v E( f | ) tha E( f | ) T = E( f | ) h.k.n Do T l ergodic nờn E( f | ) l hm hng h.k.n Gi s ú l hng s c, ta cú E( f | ) d = c (X) = c Li cú E( f | ) d = f d Do ú f d =c Vy lim n n n f (Tjx) = f d j H qu 3.16 Nguyn Th Hin K33C - Khoa Toỏn 44 Khoỏ lun tt nghip Trng i hc S phm H Ni Nu T l Ergodic v nu B thỡ vi -h.k.n x X, tn s m cỏc qu o ca x nm B c a bi (B), ngha l lim n card{ j n {0, 1, , n - 1}| Tjx B} = (B) -h.k.n Chng minh Ta cú tn s m cỏc qu o ca x nm B c a bi lim n card{0 n n B} = lim n nj n - 1}| Tjx j p dng nh lý Ergodic ca Birkhoff vi f = n lim n nj B (Tj(x)) = B d B B (Tj(x)) ta c = (B) nh lý 3.17 Cho (X, , ) l khụng gian xỏc sut v cho T : X X l mt phộp bin i bo ton o Cỏc mnh sau õy l tng ng: i T l Ergodic; ii Vi A,B 1n nj (T jA B) (A) (B) n Chng minh (i) (ii): Gi s rng T l Ergodic Vỡ A L1(X, , ), nh lý Ergodic ca Birkhoff núi rng 1n nj Nhõn c hai v cho B n A oT j (A) n -h.k.n c j = n-1 A Tj B (A) B n -h.k.n j=0 Nguyn Th Hin K33C - Khoa Toỏn 45 Khoỏ lun tt nghip Trng i hc S phm H Ni Vỡ v trỏi b chn (bi 1), ỏp dng nh lý hi t tri ta c 1n nj j (T A 1n B) = nj = (ii) oT j A B d 1n nj A oT j B d (A) (B) n (i) Gi s T A = A v ly B = A Thỡ (TjA 1n nj B) = (A) Vy (A)2 (A) n iu ny cho (A) = (A)2 Do ú (A) = hoc v vỡ vy T l Ergodic 3.7.2 ng dng a) Cỏc s tm thng Mt s x [0, 1) c gi l tm thng vi c s nu nú cú mt khai trin nh phõn nht, ch s xut hin khai trin vi tn s 1/2, v ch s xut hin vi tn s 1/2 Chỳng ta s ch rng hu ht x [0, 1) l tm thng vi c s Tht vy, ta ó bit rng hu ht vi mi x phõn nht x = x1x2 , xi [0, 1) cú khai trin nh {0, 1} Xột ỏnh x kộp T(x) = 2x mod Khi ú xn = nu Tn-1 (x) [0, 1/2), xn = nu Tn-1 (x) [1/2, 1) Do ú 1n card{ i n | xi = 0} = n nj [0,1/2] (T jx) Vỡ T l ergodic ( i vi o Lebesgue) nờn ỏp dng nh lý Ergodic ca Birkhoff cho f = lim n [0, 1/2) ta c 1n card{ i n | xi = 0} = lim n n nj = [0, 1/2) [0,1/2] (T jx) d = ([0, 1/2) = 1/2 Nguyn Th Hin K33C - Khoa Toỏn 46 Khoỏ lun tt nghip Trng i hc S phm H Ni iu ny ngha l ch s xut hin vi tn s 1/2 Tng t, ch s cng xut hin vi tn s l 1/2 Theo nh ngha thỡ hu ht cỏc im x [0, 1) l tm thng b) Ch s hng u n Xột dóy (2 )n Ơ : 1, 2, 4, 8, 16, 32, 64, 128, 256, 512, 1024, 2048, Ch s u tiờn ca s n Ơ l s ( gia s v s 9) xut hin u tiờn bờn trỏi ca n c vit c s 10 Vớ d, s u tiờn ca 512 l s Xột dóy cỏc ch s hng u: 1, 2, 4, 8, 1, 3, 6, 1, 2, 5, 1, Bõy gi chỳng ta s tỡm xem ch s hng u l ch s 1, 2, xut hin vi tn s l bao nhiờu? Bng nh lý Ergodic ca Birkhoff chỳng ta s ch rng ch s hng u l ch s k xut hin vi tn s c cho bi cụng thc: log10 + k Trc ht chỳ ý rng, ch s hng u ca 2n l k nu v ch nu tn ti s nguyờn r cho 2n < (k + 1) 10r k 10r (Vớ d : 2.100 250 < 3.100 ch rng ch s hng u ca 250 l 2) Suy r log10 (k 10 ) r log10 2n < log10 [( k+ 1) 10 ] Suy log10k + r n log10 < log10 ( k+ 1) + r n log10 Ik = [log10k, log10 ( k+ 1)] Do ú Nguyn Th Hin K33C - Khoa Toỏn 47 Khoỏ lun tt nghip Trng i hc S phm H Ni t log10 = , dóy s (n log10 mod 1)n N = 0, log102 mod 1, 2log102 mod 1, 3log102 mod 1, = 0, log102 mod 1, log102 + log102 mod 1, 2log102 + log102 mod 1, l qu o ca vi phộp quay T theo , Do ú Card { n < N cho ch s u tiờn ca 2n l k} N = Card { n < N cho (n log10 mod 1) N = Card { n < N cho Tn(0) N = N N Ik Ik } Ik } (Tn(0)) n Vỡ log102 l vụ t nờn T l phộp quay vụ t Do ú ỏp dng nh lý Ergodic ca Birkhoff vi f = lim N Ik ta c Card { n < N cho ch s u tiờn ca 2n l k} N = lim N N N Ik n (Tn(0)) = d Ik = ( Ik ) = log10 ( k+ 1) - log10k = log10 + k c) Liờn phõn s Xột x (0, 1) v khai trin liờn phõn s ca nú [x0, x1, x2, ] Chỳng ta s ch rng vi mi x (0, 1) thỡ tn s m ch s k xut hin khai trin liờn phõn s ca nú c a bi (k + 1)2 ln k(k + 2) ln2 Nguyn Th Hin K33C - Khoa Toỏn 48 Khoỏ lun tt nghip Trng i hc S phm H Ni Cho T biu th ỏnh x liờn phõn s Thỡ xn = [1/ Tn-kx] Khi ú xn = k v ch [1/ Tn-kx] = k, ngha l k n-1 T x [...]... i2nx cn e d = n 2 i2nx d n = c0 = f d Nguyn Th Hin K33C - Khoa Toỏn 23 Khoỏ lun tt nghip Trng i hc S phm H Ni 2 CHNG 3: ERGODIC 3.1 nh ngha ca Ergodic nh ngha: Cho (X, , ) l mt khụng gian xỏc sut v cho T : X X l mt phộp bin i bo ton o Ta núi rng T l mt phộp bin i Ergodic (hoc l mt o Ergodic) nu, vi B T 1B = B , cú (B) = 0 hoc 1 Chỳ ý: Nu T 1 A = A vi 0 < (A) < 1 thỡ cú th ct T : X T: A 1 (A) A v T:... j 0i B j i B B j H qu 3.2 Nu T l Ergodic v ( B B ) = 0 thỡ (B) = 0 hoc 1 Nguyn Th Hin K33C - Khoa Toỏn 25 Khoỏ lun tt nghip Trng i hc S phm H Ni 2 3.2 c trng ca Ergodic Tớnh cht 3.3 Cho T l mt phộp bin i bo ton o ca (X, , ) Cỏc mnh sau l tng ng: i T l Ergodic; L1(X, , ) tha món f oT = f ii Bt kỡ f hm hng - h.k.n ta cú f l - h.k.n Chng minh (i) (ii) Gi s rng T l Ergodic v f - h.k.n Vi k X(k, n)... ch ly giỏ tr 1 h k n Vỡ vy = 0 hoc 1 d Vy T l ergodic 3.3.Cỏc vớ d a)Cỏc phộp quay mt ng trũn Ă v nh ngha T: Ă /  C nh Ă /  bi T(x) = x + mod 1 Ta ó bit rng T bo ton o Lebesgue nh lý 3.4 Cho T(x) = x + mod 1 Ô thỡ T khụng l Ergodic i Nu Ô thỡ T l Ergodic ii Nu Chng minh (i) Gi s Ô v vit = p vi p, q q 2 iqx 0 nh ngha  v q L2(X, , ) f (x) = e Gi s T l Ergodic Khi ú ta cú 2 iq(x + p/q) f (Tx) = e... f cú chui Fourier l a0 v phi l mt hng s h.k.n Vy T l Ergodic c)nh x liờn phõn s nh x liờn phõn T : [0, 1) [0, 1) c xỏc nh bi: 0 nu x = 0 1 1 x = x mod 1 nu 0 < x < 1 T(x) = Ta ó bit rng T bo ton o Gauss xỏc nh bi 1 ln2 (B) = 1 B 1 x dx ta cú tớnh cht sau: Tớnh cht 3.6.: Cho T biu th ỏnh x Gauss thỡ T l Ergodic i vi o Gauss 3.4 S tn ti ca cỏc o Ergodic nh ngha: M(X, T) c gi l im cc tr nu cú = vi 1,... tng trờn cú cựng giỏ tr hng (F) Tc phi cú (F) = 0 Vy (A \ E) = 0 3.5.2 Ergodic n tr nh ngha Cho (X, ) l khụng gian o v cho T : X X l mt phộp bin i o c Nu cú duy nht o xỏc sut T- bt bin thỡ ta núi rng T l Ergodicn tr nh lý 3.10 Cho X l khụng gian metric compact v cho T : X X l mt phộp bin i liờn tc Cỏc mnh sau õy l tng ng: i T l Ergodic n tr; ii Vi mi f C ( X ) tn ti mt hng s c( f ) sao cho 1 n vi... nh ngha: M(X, T) c gi l im cc tr nu cú = vi 1, 1 M (X, T) , 0 < 2 + (1 - ) 2 < 1 thỡ ta cú = 1 = 2 nh lý 3.7 Cỏc mnh sau õy l tng ng: i o xỏc sut T- bt bin ii l Ergodic; l mt im cc tr ca M(X, T) Chng minh i ii Hin nhiờn ii i Gi s khụng l Ergodic Nguyn Th Hin K33C - Khoa Toỏn 29 Khoỏ lun tt nghip Khi ú tn ti B o xỏc sut 1 1(A) Rừ rng v sao cho T 1 B = B v 0 < (B) < 1 Ta nh ngha 2 trờn X bi (A B)... cựng thuc M(X, T) Tuy nhiờn, chỳng ta cú th vit = (B) Vỡ vy 2(A) 1 nh t hp li khụng tm thng + (1 - (B)) 2 khụng l cc tr iu ny mõu thun vi gi thit Vy l Ergodic nh lý 3.8 Cho T : X X l mt ỏnh x liờn tc ca mt khụng gian metric compact thỡ tn ti ớt nht mt o Ergodic trong M(X, T) Chng minh Theo nh lý 3.7, nú tng ng vi chng minh rng M(X, T) cú im cc tr Nguyn Th Hin K33C - Khoa Toỏn 30 Khoỏ lun tt nghip Trng... khụng l Ergodic (ii) Gi s rng Ô Gi s f L2(X, , ) sao cho f oT = f h.k.n Gi s f cú chui Fourier Nguyn Th Hin K33C - Khoa Toỏn 27 Khoỏ lun tt nghip Trng i hc S phm H Ni 2 c n e2 inx n Thỡ f o T cú chui Fourier c n e2 in e 2 inx n So sỏnh cỏc h s Fourier ta thy rng 2 in cn = cne vi n Ô ,e  Khi 2 in 1 tr khi n = 0 Do ú cn = 0 vi n 0 Do ú f cú chui Fourier c0, ngha l , f l hm hng h.k.n Vy T l Ergodic. .. T*j j 0 xk 1 f dv k = nk nk 1 f ( T j xk) j 0 Khi ú v k cú mt dóy con hi t yu n o v f d v = lim f d v k M(X, T) c bit ta cú fd k Do ú v iu ny mõu thun vi Ergodic n tr 3.5.3 Vớ d Cho T = Ă /  , T : X n tr (v X: x a x + mod 1, l vụ t thỡ T l Ergodic = o Lebesgue l o xỏc sut bt bin n tr) Nguyn Th Hin K33C - Khoa Toỏn 35 Khoỏ lun tt nghip Trng i hc S phm H Ni 2 Chng minh Cho m l mt o xỏc sut bt... Khi 2 in 1 tr khi n = 0 Do ú cn = 0 vi n 0 Do ú f cú chui Fourier c0, ngha l , f l hm hng h.k.n Vy T l Ergodic b) nh x kộp Cho X = Ă /  v nh ngha T : X X bi T(x) = 2x mod 1 Tớnh cht 3.5 nh x kộp T l Ergodic i vi o Lebesgue L2(X, , ) v gi s rng f oT = f Chng minh Cho f - h.k.n Gi s f cú chui Fourier am e f (x) = 2 imx ( trong L2) m Vi mi j 0, f oTj cú chui Fourier am e 2 im2jx m So sỏnh cỏc h s ... CHNG 3: ERGODIC 25 3.1 nh ngha ca Ergodic 25 3.2 c trng ca Ergodic 26 3.3 Cỏc vớ d 27 3.4 S tn ti ca cỏc o Ergodic 30 3.5 Phộp truy toỏn v Ergodic. .. H Ni CHNG 3: ERGODIC 3.1 nh ngha ca Ergodic nh ngha: Cho (X, , ) l mt khụng gian xỏc sut v cho T : X X l mt phộp bin i bo ton o Ta núi rng T l mt phộp bin i Ergodic (hoc l mt o Ergodic) nu,... (x)) Mt kt qu khỏ quan trng, ú l nh lý Ergodic ca Birkhoff s ch cho chỳng ta rng: T l ergodic thỡ tn s trờn bng di ca on [a, b] Tc l (Trong trng hp ca o Ergodic) : lim n 1n nj [a, b] (T j (x))