Tài liệu Toán 11 97 Câu trắc nghiệm Phép biến hình File word có lời giải chi tiết

Một hình có vô số trục đối xứng thì hình đó phải là hình gồm những đường tròn đồng tâm?. Một hình có vô số trục đối xứng thì hình đó phải là hình gồm hai đường thẳng vuông góc.[r]

PHÉP BIẾN HÌNH

Câu 1: Trong mặt phẳng Oxycho điểm A2;5 Phép tịnh tiến theo vectơ v1;2



biến A thành điểm có tọa độ là:

A 3;1 B 1;6 C 3;7 D 4;7 Lời giải

Chọn C.

Nhắc lại: Trong mặt phẳng

Oxycho điểm M x y ; 

điểm M x y' '; ', va b; 



cho:

  ' v

M T M

.Ta có: ' '

x x a y y b

  



  

Áp dụng công thức ta có: Ảnh Aqua phép tịnh tiến theo vectơ v1;2



A' 3;7 

Câu 2: Trong mặt phẳng Oxycho điểm A2;5 Hỏi A ảnh điểm điểm sau qua phép tịnh tiến theo vectơ v1;2



?

A 3;1 B 1;6 C 4;7 D 1;3 Lời giải

Chọn D.

A ảnh điểm M qua phép tịnh tiến theo vectơ v1;2



Áp dụng công thức biểu thức tọa dộ phép tịnh tiến ta có:  

2 1

1;3

A M M

A M M

x x a x

M

y y b y

    

 

 

 

    

 

Câu 3: Trong mặt phẳng tọa độOxy, phép tịnh tiến theo vectơ v  3;2



biến điểm A1;3 thành điểm điểm sau:

A 3;2 B 1;3 C 2;5 D 2; 5  Lời giải

Chọn C

Nhắc lại: Trong mặt phẳng

Oxycho điểm M x y ; 

điểm M x y' '; ', va b; 



cho:

  ' v

M T M

.Ta có: ' '

x x a y y b

  



  

Áp dụng cơng thức ta có: Ảnh A1;3qua phép tịnh tiến theo vectơ v  3;2



 

' 2;5

A 

Câu 4: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, phéptịnh tiến theo vectơ v1;3



biến điểm A1;2 thành điểm điểm sau ?

Lời giải Chọn A

Nhắc lại: Trong mặt phẳng

Oxycho điểm M x y ; 

điểm M x y' '; ' , va b; 



cho:

  ' v

M T M

.Ta có: ' '

x x a y y b

  



  

Áp dụng cơng thức ta có: Ảnh A1;2 qua phép tịnh tiến theo vectơ v1;3



 

' 2;5 A

Câu 5: Có phép tịnh tiến biến đường thẳng cho trước thành nó? A Khơng có. B Chỉ có một. C Chỉ có hai. D Vô số

Lời giải Chọn D

Câu 6: Có phép tịnh tiến biến đường trịn cho trước thành nó?

A Khơng có. B Một. C Hai. D Vơ số Lời giải

Chọn B

Câu 7: Có phép tịnh tiến biến hình vng thành nó?

A Khơng có. B Một. C Bốn. D Vơ số Lời giải

Chọn B

Câu 8: Giả sử qua phép tịnh tiến theo vectơ v0, đường thẳng d biến thành đường thẳng d' Câu

nào sau sai?

A d trùng d' v vectơ phương d

B dsong song với d' v vectơ phương d

C d song song với d' v vectơ phương d D d không cắt d'

Lời giải Chọn B

Câu 9: Cho hai đường thẳng song song d d' Tất phép tịnh tiến biến d thành d' là: A Các phép tịnh tiến theo v, với vectơ v0 không song song với vectơ phương của

d

B Các phép tịnh tiến theo v, với vectơ v0 vng góc với vectơ phương d.

Lời giải Chọn C

Câu 10: Cho ,P Q cố định Phép tịnh tiến T biến điểm M thành M2 cho MM2 2PQ

                            A T phép tịnh tiến theo vectơ PQ



B T phép tịnh tiến theo vectơ MM2



C T phép tịnh tiến theo vectơ 2PQ



D T phép tịnh tiến theo vectơ 2PQ



Lời giải

Chọn C

Câu 11: Cho phép tịnh tiến Tu biến điểm M thành M1và phép tịnh tiến Tv biến M1 thành M2 A Phép tịnh tiến Tu v  biến M1 thành M2

B Một phép đối xứng trục biến M thành M2.

C Khơng thể khẳng định có hay khơng phép dời hình biến M thành M2. D Phép tịnh tiến Tu v  biến M thành M2.

Lời giải Chọn D

u T

biến điểm M thành M1 ta có MM1u

                            v T

biến M1 thành M2 ta có M M1 v

                           

Phép tịnh tiến Tu v  biến M thành M2

2 1 2 2

u v MM   MM  M M MM  MM MM

                                                                       ( đúng)

Câu 12: Cho phép tịnh tiến vectơ v biến A thành 'A M thành M' Khi đó: A AM  A M' '. B AM  'A M'. C AM A M' '

 

D 3AM  'A M'.

Lời giải Chọn C

Tính chất 1: Nếu Tv(M)M', Tv(N)N' M'N'MN Hay phép tịnh tiến bảo toàn

khoảng cách hai điểm bất kì.

Câu 13: Trong mặt phẳng Oxy , cho va b; 



Giả sử phép tịnh tiến theo v biến điểm M x y ;  thành

 

' '; ' M x y

Ta có biểu thức tọa độ phép tịnh tiến theo vectơ v là: A

' '

x x a y y b

  



 

 . B

' ' x x a y y b

  



 

 . C

' '

x b x a y a y b

  

 

  

 . D

' '

x b x a y a y b

Câu 14: Trong mặt phẳng Oxy, cho phép biến hình f xác định sau: Với M x y ; ta có  

' f

M  M cho M x y' '; ' thỏa mãn 'x  x 2, 'y  y 3 A f phép tịnh tiến theo vectơ v2;3



B f phép tịnh tiến theo vectơ v  2;3



C f phép tịnh tiến theo vectơ v  2; 3 



D f phép tịnh tiến theo vectơ v2; 3 



Lời giải

Chọn D

Áp dụng câu 13

Câu 15: [1H1-1] Trong mặt phẳngOxy, ảnh đường tròn:    

2

2 16

x  y 

qua phép tịnh tiến theo vectơ v1;3



là đường trịn có phương trình:

A    

2

2 16

x  y 

B.   

2

2 16

x  y 

.

C    

2

3 16

x  y  . D x32y42 16.

Lời giải Chọn C.

Theo định nghĩa ta có biểu thức tọa độ phép tịnh tiến :

3 x x a x y y b y

     



     

1 x x y y



 

  



 



Thay vào phương trình đường trịn ta có :    

2

2 16

x  y 

x 22 y 32 16

        x 32y 42 16

Vậy ảnh đường tròn cho qua phép tịnh tiến theo vectơ v1;3



là đường trịn có phương trình:

x 32 y 42 16.

Câu 16: [1H1-1] Trong mặt phẳng Oxycho điểm A1;6 ; B1; 4  Gọi C, D ảnh A B qua phéptịnh tiến theo vectơv1;5



.Tìm khẳng định khẳng định sau: A ABCD hình thang. B ABCD hình bình hành.

C ABDC hình bình hành. D Bốn điểm A, B, C, D thẳng hàng. Lời giải

Chọn D.

Ta có :       2; 10 1;5 AB     v

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Do C, D ảnh A B qua phéptịnh tiến theo vectơ   1;5 v

thì  2

AC BD v

  

Câu 17: [1H1-1] Trong mặt phẳngOxy, ảnh đường tròn :   

2

1

x  y 

qua phép tịnh tiến theo vectơ v3;2



là đường trịn có phương trình:

A    

2

2

x  y  .B x 22y 52 4.

C.   

2

1

x  y 

. D    

2

4

x  y 

Lời giải

Chọn B.

Theo định nghĩa ta có biểu thức tọa độ phép tịnh tiến :

2 x x a x y y b y

             x x y y          

Thay vào phương trình đường trịn ta có :    

2

1

x  y 

x 12 y 32

        x 22 y 52 4

Vậy ảnh đường tròn :   

2

1

x  y  qua phép tịnh tiến theo vectơ

3;2 v 

là đường trịn có phương trình:    

2

2

x  y  .

Câu 18: [1H1-1] Tìm mệnh đề sai mệnh đề sau:

A Phép tịnh tiến bảo toàn khoảng cách hai điểm bất kì.

B Phép tịnh tiến biến ba điểm thẳng hàng thành ba điểm thẳng hàng C Phép tịnh tiến biến tam giác thành tam giác tam giác cho

D Phép tịnh tiến biến đường thẳng thành đường thẳng song song với đường thẳng cho Lời giải

Chọn D.

Phép tịnh tiến biến đường thẳng thành đường thẳng song song với đường thẳng cho véctơ tịnh tiến vcùng phương với véctơ phương đường thẳng cho

Câu 19: [1H1-1] Trong mặt phẳng Oxy cho điểm A(1; 1) B (2; 3) Gọi C, D ảnh A B qua phép tịnh tiến v = (2; 4) Tìm khẳng định khẳng định sau:

A ABCD hình bình hành B ABDC hình bình hành

C ABDC hình thang D Bốn điểm A, B, C, D thẳng hàng Lời giải

Chọn D.

Ta có :

1;2  1 AB  v

                           

Do C, D ảnh A B qua phéptịnh tiến theo vectơ   1;5 v

thì  2

AC BD v

                                         

Câu 20: [1H1-1] Cho hai đường thẳng d d song song Có phép tịnh tiến biến d

thành d?

A 1. B 2. C 3. D Vơ số.

Lời giải Chọn D.

Vì d / /dnên lấy điểm hai đường thẳng Md N d;  thì phép tịnh tiến theo

véctơ: v MN luôn biến đường thẳng d thành đường thẳng d Câu 21: [1H1-1] Khẳng định sau phép tịnh tiến ?

A Phép tịnh tiến theo véctơ v biến điểm M thành điểm Mthì v M M .

B Phép tịnh tiến phép đồng véctơ tịnh tiến v0.

C Nếu phép tịnh tiến theo véctơ v biến điểm M N, thành hai điểm M N, thì MNN M là

hình bình hành

D Phép tịnh tiến biến đường tròn thành elip Lời giải Chọn B.

A sai Phép tịnh tiến theo véctơ v biến điểm M thành điểm Mthì vMM 

B phép tịnh tiến theo véctơ tịnh tiến v0biến điểm M thành nên là

phép đồng C sai MN v;

                           

là hai véctơ phương MM NNv nên MN MM NN; ; 

                                         

là véctơ phương thẳng hàng tứ giác MNN M khơng thể hình bình hành.

D sai phép tịnh tiến biến đường tròn thành đường tròn.

Câu 22: [1H1-1] Cho hình bình hành ABCD, M điểm thay đổi cạnh AB Phép tịnh tiến theo vt BC biến điểm M thành điểm M khẳng định sau khẳng định ?

A Điểm M trùng với điểm M . B Điểm Mnằm cạnh BC.

C Điểm Mlà trung điểm cạnh CD. D Điểm Mnằm cạnh DC.

Lời giải Chọn D.

Vì phép tịnh tiến bảo tồn tính chất thẳng hàng Khi : TBC :A D B;  Cnên TBC :AB CD Vì TBC M Mvà MAB MDC

Câu 23: [1H1-1] Cho phép tịnh tiến theo vt v0 Phép tịnh tiến theo vt v0 biến hai điểm M N,

thành hai điểm M N, khi khẳng định sau ? A Điểm M trùng với điểm N. B Vt MN vt 0 C Vt MM   NN' 0 . D MM   0.

Lời giải Chọn C.

A sai hai điểm M N, phân biệt B sai hai điểm M N, phân biệt

D sai thiếu điều kiện NN' 0 .

Câu 24: [1H1-1] Trong mặt phẳng với hệ trục tọa độ Oxy, phép tịnh tiến theo vt v1;2



biến điểm  1;4

M  thành điểm Mcó tọa độ ?

A.M0;6. B.M6;0. C.M0;0. D M6;6 Lời giải

Chọn A.

Theo định nghĩa ta có biểu thức tọa độ phép tịnh tiến : 1

4 x x a

y y b

      



     

  M0;6.

Câu 25: [1H1-1] Trong mặt phẳng với hệ trục tọa độ Oxy.Cho điểm M10;1 M3;8 Phép tịnh tiến theo vt v biến điểm M thành điểm M, tọa độ vt v ?

A.v  13;7



. B.v13; 7 



. C.v13;7



D v  13; 7 



Lời giải

Chọn C.

Phép tịnh tiến theo vt v biến điểm M thành điểm Mnên ta có : v MM 13;7 

 

Câu 26: [1H1-1] Trong mặt phẳng với hệ trục tọa độ Oxy Cho phép tịnh tiến theo v1;1



, phép tịnh tiến theo vt v biến đường thẳng :x 0 thành đường thẳng  Khi phương trình đường thẳng  ?

A.:x 0 . B.:x 0 . C.:x y  0 . D : y 0 .

Lời giải Chọn B.

Theo định nghĩa ta có biểu thức tọa độ phép tịnh tiến :

1 x x a x y y b y

     



     

1 x x y y



 

  



 



Thay vào phương trình đường thẳng  ta có : 10110xx x 0

Khi phương trình đường thẳng là ảnh đường thẳng  qua phép tịnh tiến theo vt vcó

phương trình x 0 .

Câu 27: [1H1-1] Trong mặt phẳng với hệ trục tọa độ Oxy Cho phép tịnh tiến theo v2; 1 



, phép tịnh tiến theo vt v biến parabol  P : yx2 thành parabol  P Khi phương trình  P ?

A yx2 4x5 B yx24x C.yx24x3 D yx2 4x5. Lời giải

Chọn C.

2 x x a x y y b y

     



     

2 x x y y



 

  



 

 .

Thay vào phương trình đường thẳng  P ta có :  

2 ' 1 2

y x  y   x  y'x24x3

Vậy : phép tịnh tiến theo vt v biến parabol  P :yx2 thành parabol  P :yx24x3

Câu 28: [1H1-1] Trong mặt phẳng với hệ trục tọa độ Oxy Cho phép tịnh tiến theo v3; 2 



, phép tịnh tiến theo vt v biến đường tròn    

2

: 1

C x  y 

thành đường tròn  C Khi phương trình đường trịn  C ?

A.     

2

: 1

C x  y  . B.  C : x 32 y12 1.

C.     

2

:

C x  y  . D.  C : x 32y 12 4.

Lời giải Chọn B.

Theo định nghĩa ta có biểu thức tọa độ phép tịnh tiến :

2 x x a x y y b y

     



     

3 x x y y



 

  



 

 .

Thay vào phương trình đường thẳng   C

ta có :      

2 2

2 1 1 3 2 1 1

x  y   x  y  

x 32 y 12

    

Vậy phép tịnh tiến theo vt v biến đường tròn     2

: 1

C x  y 

thành đường tròn   C : x32y121.

BÀI PHÉP ĐỐI XỨNG TRỤC.

Câu 29: Trong mặt phẳng Oxy cho điểm M2;3 Hỏi bốn điểm sau điểm ảnh M qua phép đối xứng trục Ox?

A 3;2 B 2; 3  C 3; 2  D 2;3 Lời giải

Gọi M x y  ;  ảnh điểm M x y ;  qua phép đối xứng trục Ox ta có:

2

x x x

y y y

 

 



 

 

  .

Câu 30: Trong mặt phẳng Oxy cho điểm M2;3 Hỏi M ảnh điểm điểm sau qua phép đối xứng trục Oy ?

A 3;2 B 2; 3  C 3; 2  D 2;3 Lời giải

Gọi M x y  ;  ảnh điểm M x y ;  qua phép đối xứng trục Oy ta có:

2

x x x

y y y

 

 



 

 

  .

Vậy M  2;3 Chọn D

Câu 31: Trong mặt phẳng Oxy cho điểm M2;3 Hỏi bốn điểm sau điểm ảnh M qua phép đối xứng qua đường thẳng : –x y0 ?

A 3;2 B 2; 3  C 3; 2  D 2;3 Lời giải

Gọi M x y  ;  ảnh điểm M x y ;  qua phép đối xứng qua : –x y 0

Gọi d đường thẳng qua điểm M2;3 vng góc : –x y 0 ta có:

:

d x y   .

Gọi I   d

5 ; 2 I 

 .

Khi I trung điểm MM nên suy M3;2 .

Chọn A

Câu 32: Hình gồm hai đường trịn có tâm bán kính khác có trục đối xứng?

A Khơng có. B Một. C Hai. D Vô số.

Lời giải

Chọn B

Câu 33: Hình gồm hai đường thẳng d d vng góc với có trục đối xứng?

A 0 B 2 C 4 D Vô số.

Ta có trục đối xứng đường thẳng đường phân giác tạo đường thẳng Chọn C

Câu 34: Trong mệnh đề sau mệnh đề đúng? A Đường trịn hình có vơ số trục đối xứng.

B Một hình có vơ số trục đối xứng hình phải hình trịn.

C Một hình có vơ số trục đối xứng hình phải hình gồm đường trịn đồng tâm. D Một hình có vơ số trục đối xứng hình phải hình gồm hai đường thẳng vng góc.

Lời giải Các đường kính đường trịn trục đối xứng Chọn A

Câu 35: Xem chữ in hoa A,B,C,D,X,Y hình Khẳng định sau đậy đúng? A Hình có trục đối xứng: A,Yvà hình khác khơng có trục đối xứng

B Hình có trục đối xứng: A, B,C, D, Y Hình có hai trục đối xứng: X C Hình có trục đối xứng: A,B hình có hai trục đối xứng: D,X

D Hình có trục đối xứng: C,D,Y Hình có hai trục đối xứng: X Các hình khác khơng có trục đối xứng

Lời giải

Hình có trục đối xứng: A, B,C, D, Y Hình có hai trục đối xứng: X Chọn B

Câu 36: Giả sử qua phép đối xứng trục Đa (a trục đối xứng), đường thẳng d biến thành đường thẳng d Hãy chọn câu sai câu sau:

A Khi d song song với a d song song với d.

B d vng góc với a d trùng với d.

C Khi d cắt a d cắt d Khi giao điểm d d nằm a. D Khi d tạo với a góc 450 d vng góc với d.

Lời giải

Ta có d vng góc với a d trùng với d Ngược lại d trùng với d a trùng d. Chọn B

A x2 24y B x2 24y C y2 24x D y2 24x Lời giải

Gọi M x y  ;  ảnh điểm M x y ;  qua phép đối xứng trục Oy ta có:

x x x x

y y y y

  

 



 

  

  .

 P :x2 24y

   

Vậy  P :x2 24y Chọn A

Câu 38: Trong mặt phẳng Oxy , cho parabol  P : y2 x Hỏi parabol sau ảnh parabol  P

qua phép đối xứng trục Oy ?

A y2 x B y2  x C x2  y D x2 y Lời giải

Gọi M x y  ;  ảnh điểm M x y ;  qua phép đối xứng trục Oy ta có:

x x x x

y y y y

  

 



 

  

  .

 P :y2 x

   

Vậy  P :y2 x Chọn B

Câu 39: Trong mặt phẳng Oxy cho parabol  P có phương trình x2 4y Hỏi parabol parabol sau ảnh  P qua phép đối xứng trục Ox ?

A x2 4y B x2 4y C y2 4x D y2 4x Lời giải

Gọi M x y  ;  ảnh điểm M x y ;  qua phép đối xứng trục Oy ta có:

x x x x

y y y y

  

 



 

  

  .

 P :x2 4y

Vậy  P :x2 4y Chọn B

Câu 40: Trong mặt phẳng Oxy, qua phép đối xứng trục Oy Điểm A3;5 biến thành điểm điểm sau?

Gọi A x y  ;  ảnh điểm A x y ;  qua phép đối xứng trục Oy ta có:

5

x x x

y y y

 

 



 

 

  .

Vậy A  3;5 Chọn B

Câu 41: Cho đường trịn có bán kính đơi tiếp xúc ngồi với tạo thành hình  H

Hỏi  H có trục đối xứng?

A 0 B 1 C 2 D 3

Lời giải

Gọi I J K, , tâm đường trịn có bán kính

nhau đơi tiếp xúc ngồi với tạo thành hình  H Trục đối xứng hình  H đường cao tam giác IJK

Chọn D

Câu 42: Tìm mệnh đề sai mệnh đề sau:

A Phép đối xứng trục bảo tồn khoảng cách hai điểm bất kì.

B Phép đối xứng trục biến đường thẳng thành đường thẳng song song hoăc trùng với đường thẳng cho

C Phép đối xứng trục biến tam giác thành tam giác tam giác cho. D Phép đối xứng trục biến đường tròn thành đường tròn đường tròn cho

Lời giải

Dựa vào tính chất phép đối xứng trục ta có câu B sai Chọn B

Câu 43: Phát biểu sau phép đối xứng trục d :

A Phép đối xứng trục d biến M thành M  MI IM (I giao điểm MM trục d).

B Nếu M thuộc d ĐdM M .

C Phép đối xứng trục khơng phải phép dời hình.

D Phép đối xứng trục d biến M thành M MMd.

Lời giải

A Chiều ngược lại sai MM khơng vng góc với d

B Đúng, phép đối xứng trục giữ bất biến điểm thuộc trục đối xứng C Sai, phép đối xứng trục phép dời hình

Câu 44: Cho hình vng ABCD có hai đường chéo AC BDcắt I Hãy chọn phát biểu phát biểu sau

A Hai điểm A B đối xứng qua trục CD B Phép đối xứng trục AC biến A thành C C Phép đối xứng trục AC biến D thành B

D Hình vng ABCD có trục đối xứng AC BD Lời giải:

A Sai

B Sai, phép đối xứng trục AC biến điểm A thành C Đúng

D Hình vng có trục đối xứng

Câu 45: Trong mặt phẳng với hệ trục tọa độ Oxy, cho phép đối xứng trục Ox Với bất kì, gọi M là

ảnh M qua phép đối xứng trục Ox Khi tọa độ điểm M là:

A. A  

' ; M x y

B M  x y,  C M  x, y D M x , y Lời giải:

Hai điểm đối xứng qua trục Oxcó hồnh độ tung độ đối

Câu 46: Trong mặt phẳng với hệ trục tọa độ Oxy Cho phép đối xứng trục Oy, với M x y , gọi M là

ảnh M qua phép đối xứng trục Oy Khi tọa độ điểm M là:

A   ,

M x y

B M  x y,  C M  x, y D M x , y Lời giải:

Hai điểm đối xứng qua trục Oycó tung độ hồnh độ đối Câu 47: Hình sau có trục đối xứng (mỗi hình chữ in hoa):

A G B Ơ C N D M

Câu 48: Hình sau có trục đối xứng:

A Tam giác bất kì B Tam giác cân

C Tứ giác bất kì D Hình bình hành.

Câu 49: Cho tam giác ABC Hỏi hình tam giác ABCcó trục đối xứng: A Khơng có trục đối xứng. B Có trục đối xứng. C Có trục đối xứng. D Có trục đối xứng.

Câu 50: Trong mặt phẳng với hệ trục tọa độ Oxy, cho phép đối xứng trục Ox Phép đối xứng trục Ox biến đường thẳng d x y:   0 thành đường thẳng d có phương trình là:

A x y  0 B x y  2 C x y  0 D x y  2 Lời giải:

Gọi M x y ;  ảnh M x y ;  qua phép đối xứng trục Ox Khi đó:

x x x x

y y y y

  

 



 

  

 

2 2

Md  xy   x  y    x y 

Vậy M thuộc đường thẳng d có phương trình x y  0

Câu 51: Trong mặt phẳng với hệ trục tọa độ Oxy Phép đối xứng trục Ox biến đường tròn   C : x12y22 4 thành đường tròn  C

có phương trình là:

A    

2

1

x  y  B x12y22 4

C    

2

1

x  y 

D    

2

1

x  y 

Lời giải:

Gọi M x y  ;  ảnh M x y ;  qua phép đối xứng trục Ox Khi đó:

x x x x

y y y y

  

 



 

  

 

   12  22

M C  x  y   x12   y22 4

Vậy M thuộc đường tròn  

C

có phương trình    

2

1

x  y 

Câu 52: Trong mặt phẳng với hệ trục tọa độ Oxy, cho phép đối xứng trục d y x:  0 Phép đối xứng trục d biến đường tròn      

2

:

C x  y  thành đường trịn  C

có phương trình là:

A    

2

1

x  y 

B    

2

4 1

x  y 

C    

2

4 1

x  y 

D    

2

4 1

x  y 

Lời giải:  C

có tâm I1;4 bán kính

Gọi I ảnh I1;4 qua phép đối xứng trục d y x:  0 Khi đó, d trung trực II Gọi

 ;  H x y

trung điểm II

3

1

d

H d x y

x y

x y

IH u



  



   

 

   



 



                           

Do I4; 1 

Phép đối xứng trục biến đường trịn thành đường trịn có bán kính nên ảnh ( )C :     

2

: 1

BÀI PHÉP ĐỐI XỨNG TÂM

Câu 53: Cho hai điểm I1;2 M3; 1  Hỏi điểm M có tọa độ sau ảnh M qua phép đối xứng tâm I ?

A 2;1 B 1;5 C 1;3 D 5; 4  Lời giải:

I trung điểm MM nên ta chọn câu B.

Câu 54: Trong mặt phẳng Oxy cho đường thẳng d có phương trình x2 Trong đường thẳng sau

đường thẳng ảnh d qua phép đối xứng tâm O?

A x2 B y2 C x2 D y2

Lời giải

Ảnh đường thẳng song song với d (vì tâm đối xứng O khơng thuộc d) nên ta chọn A Câu 55: Trong mệnh đề sau mệnh đề đúng?

A Qua phép đối xứng tâm khơng có điểm biến thành nó. B Qua phép đối xứng tâm có điểm biến thành nó. C Có phép đối xứng tâm có hai điểm biến thành nó.

D Có phép đối xứng tâm có vơ số điểm biến thành nó.

Lời giải

Chọn B, phép đối xứng tâm giữ bất biến tâm đối xứng

Câu 56: Trong mặt phẳng Oxy, cho đường thẳng d có phương trình x y  4 Hỏi đường thẳng sau đường thẳng biến thành d qua phép đối xứng tâm?

A 2x y  0 B x y 1 0 C 2x 2y 1 D 2x2y 0

Lời giải

Phép đối xứng tâm biến đường thẳng thành đường thẳng song song trùng với đường thẳng ban đầu, nên ta chọn đáp án C có đường thẳng câu C song song với d

Câu 57: Hình gồm hai đường trịn phân biệt có bán kính có tâm đối xứng?

A Khơng có B Một C Hai D Ba

Lời giải Đáp án B.

Hình gồm hai đường trịn phân biệt có bán kính có tâm đối xứng, tâm đối xứng trung điểm đoạn nối tâm

     

     

2 2

1 1

2 2

2 2

: ;

:

C x x y y R

C x x y y R

   

   

Trung điểm đoạn nối tâm có tọa độ 2;

2

x x y y C   

 

Lấy điểm        

2 2

0; 1

M x y  C  x  x  y  y R

Điểm đối xứng với M qua C có tọa độ M x 1x2 x y0; 1y2 y0

Ta chứng minh MC2        

2 2 2

1 2 2 1

x x  x  x  y y  y  y  x  x  y  y R

Với điểm M xác đinh điểm M nên C tâm đối xứng hai đường tròn.

Câu 58: Trong hệ trục tọa độ Oxy cho điểm I a b ;  Nếu phép đối xứng tâm I biến điểm M x y ;  thành M x y  ;  ta có biểu thức:

A

x a x y b y

   



  

 . B

2 x a x y b y

  

 

  

 . C

x a x y b y

   



  

 . D

2 x x a y y b

         . Lời giải Đáp án B.

Phép đối xứng tâm I biến điểm M x y ;  thành M x y  ;  I trung điểm MM

2

2

x x

a x a x

y y y b y

b                        

Câu 59: Trong mặt phẳng Oxy, cho phép đối xứng tâm I1;2 biến điểm M x y ;  thành M x y  ;  Khi đó: A 2 x x y y        

 . B

2 x x y y        

 C

2 x x y y        

 D

Phép đối xứng tâm I biến điểm M x y ;  thành M x y  ;  I trung điểm MM

1 2

2

4

2 x x

x x

y y y y

  



    



   

 

   

 



 .

Câu 60: Một hình  H có tâm đối xứng nếu:

A Tồn phép đối xứng tâm biến hình  H thành

B. Tồn phép đối xứng trục biến hình  H thành

C Hình  H hình bình hành

D. Tồn phép dời hình biến hình  H thành

Lời giải Đáp án A.

Câu 57: [1H1-1] Hình sau khơng có tâm đối xứng?

A Hình vng. B Hình trịn. C Hình tam giác đều. D Hình thoi Lời giải.

Chọn C.

Hình tam giác khơng có tâm đối xứng

Câu 58: [1H1-2] Trong mặt phẳng Oxy , tìm ảnh điểm A5;3 qua phép đối xứng tâm I4;1

A 5;3 . B 5; 3  . C 3; 1 . D

;2

 

 

 .

Lời giải. Chọn C.

Gọi A x y  ;  ảnh A5;3 qua phép đối xứng tâm I4;1

Ta có:

 

2 2.4

3;

2 2.1

I A I A

x x x

A

y y y

     





 



     



Câu 59: [1H1-2] Trong mặt phẳng Oxy cho đường thẳng d có phương trình x y  0 , tìm phương trình đường thẳng d ảnh d qua phép đối xứng tâm I1;2.

Lời giải. Chọn B.

Lấy M x y ; d Gọi M x y  ;  ảnh M qua phép đối xứng tâm I1;2

Ta có:

2.1 2

2.2 4

x x x x x

y y y y y

      

 



 

      

  .

Do M x y ; d nên ta có: x y  0  2 x 4 y 0  xy 0

Mà M x y  ; d nên phương trình d là: x y  0

Câu 60: [1H1-2] Trong mặt phẳng Oxy , tìm phương trình đường trịn  C ảnh đường tròn  C : x 32 y12 9 qua phép đối xứng tâm O0;0

A    

2

3

x  y  . B x32y12 9.

C    

2

3

x  y 

D    

2

3

x  y 

Lời giải.

Chọn D.

Đường tròn  C :    

2

3

x  y  có tâm I3; 1  có bán kính R3.

Điểm đối xứng với I3; 1  qua O0;0 I  3;1

Vậy phương trình  C là:    

2

3

x  y 

Câu 61: [1H1-2] Tìm mệnh đề sai mệnh đề sau:

A Phép đối xứng tâm bảo tồn khoảng cách điểm bất kì. B Nếu IM IM §IM M.

C Phép đối xứng tâm biến đường thẳng thành đường thẳng song song trùng với đường thẳng cho

D Phép đối xứng tâm biến tam giác tam giác cho. Lời giải.

Chọn B.

Câu 62: [1H1-1] Trong mặt phẳng Oxy, cho điểm I x y 0; 0 Gọi M x y ;  điểm tùy ý và  ; 

M x y  

ảnh M qua phép đối xứng tâm I Khi biểu thức tọa độ phép đối xứng tâm I là:

A

0 ' '

x x x

y y y

 

 

 

 . B

0 ' '

x x x

y y y

 

 

 

 .

C

0

2 '

2 '

x x x

y y y

 

 

 

 . D

0

' '

x x x

y y y

  



 

 .

Lời giải. Chọn A.

Vì I trung điểm MM

Câu 63: [1H1-2] Trong mặt phẳng Oxy , tìm phương trình đường trịn  C ảnh đường tròn  C : x2y2 1 qua phép đối xứng tâm I1;0

A  

2 2

2

x y  . B x22y2 1.

C  

2

2 2 1

x  y 

. D  

2

2 2 1

x  y 

Lời giải.

Chọn A.

Đường tròn  C : x2 y2 1 có tâm O0;0 có bán kính R1.

Điểm đối xứng với O0;0 qua I1;0 O x y  ; 

Ta có:

  2.1

2;0 2.0 0

x

O y

   



  

   



Vậy phương trình  C là:  

2 2

2

x y 

Câu 64: [1H1-2] Trong mặt phẳng Oxy , cho đường tròn      

2

: 16

C x  y  Giả sử qua

phép đối xứng tâm I điểm A1;3 biến thành điểm B a b ;  Tìm phương trình đường trịn  C

ảnh đường tròn  C qua phép đối xứng tâm I

A    

2

1

x a  y b  B.

C    

2

9 x a  y b 

D    

2

16 x a  y b 

Lời giải.

Chọn D.

Đường tròn      

2

: 16

C x  y  có tâm A1;3

có bán kính R4.

Qua phép đối xứng tâm I biến A1;3 thành B a b ;  nên B a b ;  tâm  C Phép đối xứng tâm phép dời hình nên  C có tâm R  R 4

Phương trình  C là:    

2

16 x a  y b 

Câu 65: [1H1-1] Trong mặt phẳng với hệ trục tọa độ Oxy Cho phép đối xứng tâm O0;0 biến điểm  2;3

M  thành M có tọa độ là:

A M  4;2. B M  2; 3 . C M2; 3  . D M2;3. Lời giải.

Chọn C.

Ta có:

 

 

2.0 2

2; 2.0 3

M M x

M y





   





 



  



Câu 66: [1H1-2] Trong mặt phẳng với hệ trục tọa độ Oxy Cho phép đối xứng tâm I1; 2  biến điểm M2;4 thành M có tọa độ là:

A M4;2 . B M  4;8. C M0;8 D M0; 8  . Lời giải.

Chọn D.

Ta có:  

 

2 2.1

0;

2 2

M I M

M I M

x x x

M

y y y





    





 



     



Câu 67: [1H1-2] Trong mặt phẳng với hệ trục tọa độ Oxy Cho phép đối xứng tâm I1;1 biến đường thẳng d x y:   2 thành đường thẳng d có phương trình là:

A x y  4 0. B x y  6 0. C x y  0 . D x y 0. Lời giải.

Chọn C.  ; 

Ta có:

2.1 2

2.1 2

x x x x x

y y y y y

      

 



 

      

  .

Do M x y ; d nên ta có: x y   2 2 x 2 y  2 xy 0

Mà M x y  ; d nên phương trình d là: x y  0

Câu 68: [1H1-2] Trong mặt phẳng với hệ trục tọa độ Oxy Cho phép đối xứng tâm

;2 I 

  biến

đường tròn      

2

:

C x  y  thành đường trịn  C

có phương trình là:

A    

2

1

x  y  . B x12y 22 4.

C    

2

1

x  y  . D x 22 y 22 4

Lời giải. Chọn D.

Đường tròn      

2

:

C x  y 

có tâm J1;2 , bán kính R2.

Gọi J x y  ;  ảnh J qua phép đối xứng tâm

1 ;2 I 

  Ta có:

 

 

2

2;2

2.2 2 x

J y



      

  

    



Vậy phương trình  C    

2

2

x  y 

. Câu 69: [1H1-1] Hình sau có tâm đối xứng:

A Hình thang. B Hình trịn. C Parabol. D Tam giác bất kì. Lời giải.

Chọn B.

Tâm đối xứng đường trịn tâm đường trịn

Câu 70: [1H1-1] Hình sau có tâm đối xứng (một hình chữ in hoa):

A Q B P. C N . D E.

Lời giải. Chọn C.

BÀI PHÉP QUAY Câu 71: Khẳng định sau phép đối xứng tâm:

A Nếu OM OM M ảnh M qua phép đối xứng tâm O. B Nếu OM  OM M ảnh M qua phép đối xứng tâm O. C Phép quay phép đối xứng tâm.

D Phép đối xứng tâm phép quay. Lời giải Chọn B.

M ảnh M qua phép đối xứng tâm O OM OM    0.

Phép đối xứng tâm phép quay, phép quay chưa phép đối xứng tâm Câu 72: Trong mặt phẳng Oxy, cho điểm M1;1 Hỏi điểm sau điểm ảnh M qua phép

quay tâm O, góc 45?

A.1;1. B.1;0. C  2;0. D 0; 2 . Lời giải

Chọn D.

Dựa vào hình vẽ chọn đáp án D

Chú ý: đáp án có đáp án điểm nằm trục Oy nên chọn đáp án D

Câu 73: Cho tam giác tâm O Hỏi có phép quay tâm O góc  , 0 2 , biến tam

giác thành nó?

A Một. B Hai. C Ba. D Bốn.

Lời giải Chọn D.

Với điều kiện 0 2 có giá trị tìm  0, 3 

,

3



2 .

Câu 74: Cho tam giác tâm O Hỏi có phép quay tâm O góc  , 0 2 , biến tam

giác thành nó?

A Một. B Hai. C Ba. D Bốn.

Lời giải Chọn D.

O x

y

1

1 M1;1

Với điều kiện 0 2 có giá trị tìm  0, 3 

,

3



2 .

Chú ý: giống câu 77.

Câu 75: Cho hình chữ nhật có O tâm đối xứng Hỏi có phép quay tâm O góc  ,

0 2 , biến hình chữ nhật thành nó?

A Khơng có. B Hai. C Ba. D Bốn.

Lời giải Chọn C.

Với điều kiện 0 2 có 3 giá trị tìm  0,  2 .

Câu 76: Có điểm biến thành qua phép quay tâm O góc  k2 , k số ngun?

A Khơng có. B Một. C Hai. D Vô số. Lời giải

Chọn B.

Với góc  k2, k số ngun có điểm O.

Câu 77: Phép quay Q(O;) biến điểm M thành M Khi đó:

A OM  OM OM OM,   . B OM OM OM OM,   .

C OM  OM MOM  . D OM OM MOM  .

Lời giải Chọn B.

Theo định nghĩa Câu 78: Phép quay Q(O;) với

2 ,

2 k k



     

biến điểm A thành M Khi đó: (I): O cách A M

(II): O thuộc đường trịn đường kính AM

(III): O nằm cung chứa góc  dựng đoạn AM Trong câu câu là:

A Cả ba câu. B (I) (II). C (I). D (I) (III). Lời giải

Chọn C.

(I) theo định nghĩa có OA OM .

(II) k2 ,k



    

(III) 0 180 Câu 79: Chọn câu sai câu sau:

A Qua phép quay Q(O;) điểm O biến thành nó.

C Phép quay tâm O góc quay 90 phép quay tâm O góc quay 90  hai phép quay giống

nhau

D Phép đối xứng tâm O phép quay tâm O, góc quay 180 Lời giải

Chọn C. Câu A

Phép quay tâm O, góc quay 180 

phép quay tâm O, góc quay 180 phép đối xứng tâm O, nên câu B, D

Câu 80: Trong mặt phẳng Oxy, cho điểm A3;0 Tìm tọa độ ảnh A điểm A qua phép quay

; O

Q 

   

A A0; 3 . B A0;3. C A  3;0. D A2 3;2 3 Lời giải

Chọn B.

Dựa vào hình vẽ chọn đáp án B

Câu 81: Trong mặt phẳng Oxy, cho điểm A3;0 Tìm tọa độ ảnh A điểm A qua phép quay

; O

Q 

    

A A  3;0. B A3;0 C A0; 3 . D A  3;2 3 Lời giải

Chọn C.

Dựa vào hình vẽ chọn đáp án C

O x

y

3

3;0 A



3



Câu 82: Khẳng định sau phép quay?

A Phép biến hình biến điểm O thành điểm O điểm M khác điểm O thành điểm M sao

cho OM OM,    gọi phép quay tâm O với góc quay 

B Nếu QO;90 :M  MM O OM OM .

C Phép quay phép dời hình. D Nếu QO;90 :M  MM O OM OM.

Lời giải

Chọn B.

Đáp án A thiếu OM OM .

Đáp án C sai Đáp án D sai

Câu 83: Cho tam giác ABC, với góc quay sau phép quay tâm A biến điểm B thành điểm C?

A  30. B  90. C  120. D  150.

Lời giải

Chọn C.

Câu 84: Trong mặt phẳng với hệ trục tọa độ Oxy, cho điểm M2;0 điểm N0;2 Phép quay tâm O biến điểm M thành điển N , góc quay là:

A  30. B  30  45

C  90. D  90  270

Lời giải

O x

y

3

3;0 A



3



Chọn D.

BÀI PHÉP DỜI HÌNH

Câu 85: [1H1-3] Trong mặt phẳng Oxy cho điểm M2;1 Hỏi phép dời hình có cách thực liên tiếp phép đối xứng tâm O phép tịnh tiến theo vectơ v2;3



biến điểm M thành điểm điểm sau?

A. 1;3 B. 2;0 C. 0;2 D. 4;4

Lời giải

Chọn C.

   ;  O

MD M  x y  với

2 M

M

x x

y y

   



  

 , M  2; 1 .

;

v

MTMxy





với

2 2

3

x x y y

    

 

    

 , M0;2

Vậy phép dời hình có cách thực liên tiếp phép đối xứng tâm O phép tịnh tiến theo vectơ v2;3



biến điểm M thành điểm M0;2

Câu 86: [1H1-3] Trong mặt phẳng Oxy đường trịn  C có phương trình    

2

1

x  y 

Hỏi phép dời hình có cách thực liên tiếp phép đối xứng qua trục Oy phép tịnh tiến theo vectơ v2;3



biến  C thành đường tròn đường trịn có phương trình sau?

A. x2 y2 4 B.    

2

2

x  y  .

C.    

2

2

x  y 

D.    

2

1

x  y 

Lời giải

Chọn D.

Đường tròn  C có tâm I1; 2  có bán kính R2

   ;  Oy

ID I  x y 

với

1 I I

x x

y y

   



  

 , I  1; 2  .

   ;  v

IT I   x y 

với

2121

3231

xx

yy





, I1;1

Vậy phép dời hình có cách thực liên tiếp phép đối xứng qua trục Oy phép tịnh tiến theo vectơ v 2;3



biến  C thành đường trịn có tâm I1;1, bán kính R 2 có

phương trình    

2

1

x  y 

Câu 87: [1H1-3] Trong mặt phẳng Oxy cho đường thẳng d có phương trình x y  0 Hỏi phép dời hình có cách thực liên tiếp phép đối xứng tâm O phép tịnh tiến theo vectơ v 2;3



biến đường thẳng d thành đường thẳng đường thẳng có phương trình sau?

A. 3x3y 0 B. x y  2 C. x y  2 D. x y  0

Lời giải

Chọn D.

Xét điểm M x M;yMd

   ;  O

MD M  x y 

với

M M

M M

x x x x

y y y y

  

 



 

  

  .

 M; M M M 2

M x y d  x y     x y   xy  .

Vậy Md x y:   2 0, với d D dO . Xét điểm M x y  ; d

;

v

MTMxy





với

2

3

x x x x

y y y y

   

 



 

   

  .

 ;  2 3

M x y   d xy   x y    xy 

Vậy Md:x y  0 , với dT dv  .

Vậy phép dời hình có cách thực liên tiếp phép đối xứng tâm O phép tịnh tiến theo vectơ v2;3



biến đường thẳng d thành đường thẳng d có phương trình

3 x y   .

Câu 88: [1H1-1] Trong mệnh đề sau mệnh đề đúng?

A Thực liên tiếp hai phép tịnh tiến phép tịnh tiến.

C Thực liên tiếp phép đối xứng qua tâm phép đối xứng trục phép đối xứng qua tâm

D Thực liên tiếp phép quay phép tịnh tiến phép tịnh tiến.

Lời giải

Chọn A.

Phép tịnh tiến phép dời hình (Sách giáo khoa trang 19)

Phép dời hình có cách thực liên tiếp hai phép dời hình phép dời hình (Sách giáo khoa trang 19)

Vậy thực liên tiếp hai phép tịnh tiến phép tịnh tiến Câu 89: [1H1-1] Trong mệnh đề sau mệnh đề đúng?

A Có phép tịnh tiến theo vectơ khác khơng biến điểm thành nó.

B Có phép đối xứng trục biến điểm thành nó.

C Có phép đối xứng tâm biến điểm thành nó.

D Có phép quay biến điểm thành nó.

Lời giải

Chọn D.

Với k số ngun ta ln có phép quay QO k,2 phép đồng (Sách giáo khoa trang 17)

Vậy có phép quay biến điểm thành

Câu 89: [1H1-1] Trong mệnh đề sau mệnh đề sai?

A Phép tịnh tiến phép dời hình B Phép đồng phép dời hình

C Phép quay phép dời hình D Phép vị tự phép dời hình

Lời giải

Chọn D.

Phép dời hình phép biến hình bảo tồn khoảng cách hai điểm (Sách giáo khoa trang 19)

Các phép đồng nhất, tịnh tiến, phép quay phép dời hình (Sách giáo khoa trang 19) Phép vị tự khơng bảo tồn khoảng cách hai điểm nên khơng phải phép dời hình

BÀI PHÉP VỊ TỰ

Câu 90: [1H1-2] Trong măt phẳng Oxy cho điểm M2;4 Phép vị tự tâm O tỉ số k 2 biến điểm

M thành điểm điểm sau?

Lời giải

Chọn C.

O, 2   2 2;4  4; 8 4; 8

MV  M OM  OM      M 

Câu 91: [1H1-2] Trong măt phẳng Oxy cho đường thẳng d có phương trình 2x y  0 Phép vị tự tâm O tỉ số k 2 biến d thành đường thẳng đường thẳng có phương trình sau? A 2x y  3 B 2x y  0 C 4x 2y 0 D 4x2y 0

Lời giải

Chọn B.

Xét điểm M x M;yMd

O,2   ; 

MV M  x y 

với 2 2 M M M M x x x x OM OM

y y y

y                                                 

 ;  3

2

M M M M

x y

M x y d  x y        xy 

Vậy Md: 2x y  0 , với d TO,2 d .

Câu 92: [1D1-2] Trong măt phẳng Oxy cho đường thẳng d có phương trình x y  0 Phép vị tự tâm O tỉ số k2 biến d thành đường thẳng đường thẳng có phương trình sau? A 2x2y0 B 2x2y 0 C x y  4 D x y  0

Lời giải

Chọn C.

Xét điểm M x M;yMd

O, 2   ; 

MV  M  x y 

với 2 2 M M M M x x x x OM OM

y y y

y                                                 

 ;  2

2

M M M M

x y

M x y d  x y         xy 

Câu 93: [1H1-2] Trong mặt phẳng Oxy cho đường trịn  C có phương trình    

2

1

x  y 

Phép vị tự tâm O tỉ số k 2 biến  C thành đường tròn đường trịn có phương

trình sau?

A    

2

2 16

x  y  . B x 42y 22 4.

C    

2

4 16

x  y 

D    

2

2 16

x  y 

Lời giải

Chọn D.

Đường tròn  C có phương trình    

2

1

x  y  có tâm I1;2

bán kính R2.

Ta có  C VO, 2  C với IVO, 2   I  x y ;  thỏa mãn OI 2OI

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2 2.1

2 2.2

I I

x x

y y

    

 

   

 , I  2; 4   C có bán kính R  2 R4.

Vậy      

2

: 16

C x  y 

Câu 94: [1H1-2] Trong mặt phẳng Oxy cho đường trịn  C có phương trình    

2

1

x  y  .

Phép vị tự tâm O tỉ số k 2 biến  C thành đường trịn đường trịn có phương

trình sau?

A    

2

1

x  y 

B    

2

2

x  y 

C    

2

2 16

x  y 

D    

2

2 16

x  y 

Lời giải

Chọn C.

Đường tròn  C có phương trình    

2

1

x  y 

có tâm I1;1 bán kính R2.

Ta có  C VO,2 C với IVO,2  I  x y ;  thỏa mãn OI   2OI

2 2.1

2 2.1

I I

x x

y y

   

  

   

 ,

vậy I2;2  C có bán kính R 2 R4

Vậy      

2

: 2 16

C x  y 

A

1

OM OM

k 



 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

B OM  kOM'. C OM  kOM'. D OM'OM

 

Lời giải

Chọn A.

Phép vị tự tâm O tỉ số k (k 0) biến điểm M thành điểm M cho OM   kOM .

(Sách giáo khoa trang 24)

Vậy

1

OM OM

k 



 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Câu 96: [1H1-1] Trong mệnh đề sau mệnh đề sai?

A Qua phép vị tự có tỉ số k1, đường thẳng qua tâm vị tự biến thành nó. B Qua phép vị tự có tỉ số k 0, đường trịn qua tâm vị tự biến thành nó. C Qua phép vị tự có tỉ số k1, khơng có đường trịn biến thành nó.

D Qua phép vị tự VO,1 đường tròn tâm O biến thành nó.

Lời giải

Chọn B.

Qua phép vị tự có tỉ số k1, đường thẳng qua tâm vị tự biến thành nó.

Đường trịn  C biến thành đường trịn  C có tâm tâm vị tự có tỉ số vị tự 1.

Câu 97: [1H1-1] Nếu phép vị tự tỉ số k biến hai điểm M , N thành hai điểm M N A M N   k MN M N  kMN . B M N  k MN

 

M N  k MN

C M N  k MN

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

M N  kMN . D M N   / /MNvà

1 M N   MN

Lời giải

Chọn B.

Nếu phép vị tự tỉ số k biến hai điểm M , N tùy ý thành hai điểm M N thì

M N  k MN

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

O x y

2

2;0 M

2



u