Tính chất 3.3.
Cho T là một phép biến đổi bảo toàn độ đo của (X, , ). Các mệnh đề sau là tƣơng đƣơng:
i. T là Ergodic;
ii. Bất kì f L1(X, , ) thỏa mãn f oT = f - h.k.n ta có f là hàm hằng - h.k.n.
Chứng minh.
(i) (ii). Giả sử rằng T là Ergodic và f L1(X, , ) với f oT = f - h.k.n . Với k ¢ , n ¥ , định nghĩa X(k, n) = x X | 2kn f (x) k + 1 2n = 1 f k 2n , k +1 2n Vì f đo đƣợc , X(k, n) . Ta có T X(k, n) X(k, n) { x X | 1 f (Tx) f (x) }. Nên (T X(k, n) X(k, n) ) = 0. 1 Do đó (X(k, n) ) = 0 hoặc (X(k, n) ) = 1. Với mỗi n cố định, ta có k X X(k,n) 0 ¢ U
và hợp này là rời nhau. Do đó, ta có k
(X(k,n)) ¢
= (X) =1
và vì vậy có duy nhất kn mà (X(kn, n)) =1. Cho
Y = n
n 1
X(k , n) I
Khoá luận tốt nghiệp Trường Đại học Sư phạm Hà Nội 2
Nguyễn Thị Hiền K33C - Khoa Toán
27
Thì (Y) = 1 và theo cách xây dựng thì f là hàm hằng trên Y, nghĩa là, f là hàm hằng - h. k. n.
(ii) (i). Giả sử B với T B = B thì ta có 1 B L1(X, , ) và
BoT(x) = B(x) x X. Mà B là hàm hằng - h. k. N và B chỉ lấy giá trị 0 và 1 nên B = 0 - h. k. n hoặc B = 1 h. k. n. Vì vậy
(B) = B
B d = 0 hoặc 1.
Vậy T là ergodic.
3.3.Các ví dụ
a)Các phép quay một đƣờng tròn
Cố định ¡ và định nghĩa T: /¡ ¢ /¡ ¢ bởi T(x) = x + mod 1. Ta đã biết rằng T bảo toàn độ đo Lebesgue.
Định lý 3.4.
Cho T(x) = x + mod 1.
i. Nếu ¤ thì T không là Ergodic. ii. Nếu ¤ thì T là Ergodic.
Chứng minh.
(i). Giả sử ¤ và viết = p
q với p, q ¢ và q 0. Định nghĩa
f (x) = e2 iqx L2(X, , ) . Giả sử T là Ergodic. Khi đó ta có
f (Tx) = e2 iq(x + p/q) = e2 i(qx+p) = e2 iqx = f (x) . Mà f không là hàm hằng. Điều này mâu thuẫn với tính chất 3.3. Vậy T không là Ergodic.
(ii). Giả sử rằng ¤ . Giả sử f L2(X, , ) sao cho f oT = f h.k.n. Giả sử f có chuỗi Fourier
Khoá luận tốt nghiệp Trường Đại học Sư phạm Hà Nội 2
Nguyễn Thị Hiền K33C - Khoa Toán
28 n n c e2 inx . Thì f oT có chuỗi Fourier n n c e2 in e2 inx. So sánh các hệ số Fourier ta thấy rằng cn = cne2 in .
với n ¢ . Khi ¤ , e2 in 1 trừ khi n = 0. Do đó cn = 0 với n 0. Do đó f có chuỗi Fourier c0, nghĩa là , f là hàm hằng h.k.n.
Vậy T là Ergodic.
b) Ánh xạ kép
Cho X = ¡ ¢ và định nghĩa T : X X bởi T(x) = 2x mod 1. /
Tính chất 3.5.
Ánh xạ kép T là Ergodic đối với độ đo Lebesgue .
Chứng minh. Cho f L2(X, , ) và giả sử rằng f oT = f - h.k.n. Giả sử f có chuỗi Fourier
f (x) = m
m
a e2 imx ( trong L2). Với mỗi j 0, f oTj có chuỗi Fourier
m m a e2 im2 j x . So sánh các hệ số Fourier ta thấy am = a2j m
Khoá luận tốt nghiệp Trường Đại học Sư phạm Hà Nội 2
Nguyễn Thị Hiền K33C - Khoa Toán
29
với m ¢ , j = 0, 1, 2. . . Bổ đề Riemann - Lebesgue nói rằng an 0 khi |n| . Do đó, nếu m 0, ta có am = a2j
m 0 khi j . Do đó với m 0, ta có am = 0. Tức f có chuỗi Fourier là a0 và phải là một hằng số h.k.n.
Vậy T là Ergodic.
c)Ánh xạ liên phân số
Ánh xạ liên phân T : [0, 1) [0, 1) đƣợc xác định bởi: T(x) = 0 nếu x = 0 1 x = 1 x mod 1 nếu 0 < x < 1 Ta đã biết rằng T bảo toàn độ đo Gauss xác định bởi
(B) = 1 ln2 B
1 1 xdx ta có tính chất sau:
Tính chất3.6.: Cho T biểu thị ánh xạ Gauss thì T là Ergodic đối với độ đo Gauss.