Đầu dò bán dẫn và ứng dụng

Trong thời đại củacác đầu dò NaITI, phổ kế tinh thể chủ yếu được dùng để đo chính xác năng lượng củacác tia gamma phát ra từ một số ít đồng vị phóng xạ.. Để chọn một năng lượng gamma làm

NGUYỄN XUÂN HẢI

Đầu dũ bỏn dẫn và ứng dụng

Sách dùng nội bộ và để tặng sinh viên

HÀ NỘI 2010

Mục lục

Chương 1 Một số vấn đề cơ sở 6

1.1 Bức xạ điện từ 6

1.2 Sự phát triển của phép đo phổ tia X và tia γ 7

1.2.1 Sự phát triển của đầu dò bức xạ 7

1.2.2 Các chuẩn năng lượng 10

1.3 Nguồn gốc, đặc điểm của tia X và tia gamma 11

1.3.1 Tia X 11

1.3.2 Tia gamma 14

1.3.2.1 Một số quá trình làm hạt nhân bị kích thích 14

1.3.2.2 Phân rã của hạt nhân kích thích 17

1.4 Tương tác của photon với vật chất 22

1.4.1 Hấp thụ quang điện 22

1.4.2 Tán xạ compton 23

1.4.3 Tạo cặp 25

1.4.4 Các quá trình tương tác khác 26

1.4.5 Sự suy giảm của số photon 26

1.5 Xử lý số liệu thống kê 27

1.5.1 Xác suất phân bố 27

1.5.1.1 Phân bố Gauss 28

1.5.1.2 Phân bố Poisson 29

1.5.2 Giá trị trung bình và độ lệch chuẩn 30

1.5.3 Độ tin cậy của phép đo và số liệu thu được 31

1.5.3.1 Độ tin cậy 31

1.5.3.2 Truyền sai số 32

1.5.3.3 Tương quan giữa các đại lượng 33

1.5.4 Giới hạn phát hiện 34

1.6 Các phương pháp khớp 36

1.6.1 Khớp bình phương tối thiểu tuyến tính 36

1.6.2 Khớp bình phương tối thiểu phi tuyến 39

1.6.3 Nội suy và làm trơn số liệu 40

1.6.4 Chất lượng khớp số liệu 41

Chương 2 Thiết lập thực nghiệm 44

2.1 Đầu dò 44

2.1.1 Đặc điểm chung của đầu dò phôtôn 44

2.1.2 Quá trình vật lý trong các đầu dò bán dẫn 45

2.1.3 Độ phân giải 47

2.1.4 Các kiểu đầu dò 49

2.1.5 Lắp ráp đầu dò 51

2.1.6 Các ảnh hưởng đến biên độ xung của đầu dò 54

2.1.7 Các đặc trưng kỹ thuật của đầu dò 55

2.1.8 Tiêu chuẩn để chọn đầu dò 56

2.2 Các khối điện tử 58

2.2.1 Cao thế 58

2.2.2 Tiền khuếch đại 58

2.2.3 Khuếch đại 60

2.2.4 ADC và lưu trữ số liệu 62

2.2.5 Thời gian tăng và chồng chập xung 63

2.2.6 Sử dụng máy phát xung 64

2.2.7 Sự ổn định của hệ số khuếch đại và ổn định không 64

2.3 Các nguồn tia X và gamma 65

2.3.1 Các loại nguồn 65

2.3.2 Các đặc trưng của nguồn 66

2.3.3 Bức xạ thứ cấp 67

2.3.4 Các nguồn chuẩn 68

2.3.4.1 Các nguồn chuẩn và tài liệu tham khảo 68

2.3.4.2 Các phép đo hoạt độ tuyệt đối 69

2.3.4.3 Các nguồn chuẩn đặc biệt 70

2.4 Bố trí nguồn - đầu dò 71

2.4.1 Vị trí nguồn 71

2.4.2 Hình học các nguồn thể tích 73

2.4.3 Giá để mẫu 74

2.4.4 Hấp thụ 74

2.4.5 Chuẩn trực 76

2.4.6 Che chắn 78

2.5 Kiểm tra hiệu suất 79

2.5.1 Hiệu suất 80

2.5.2 Đánh giá độ phân giải năng lượng và hình dạng đỉnh 80

2.5.3 Kiểm tra tinh thể của đầu dò 82

2.5.4 Cửa sổ và các lớp chết 83

2.5.5 Đánh giá phông 84

2.5.6 Qui trình kiểm tra 88

Chương 3 Phân tích phổ và các phép đo năng lượng 90

3.1 Hình dạng của phổ và các đỉnh 90

3.1.1 Hình dạng của phổ 91

3.1.2 Hình dạng của phổ phông 95

3.1.3 Hình dạng của các đỉnh 99

3.2 Xác định vị trí đỉnh 103

3.3 Đánh giá đỉnh 105

3.3.1 Các phương pháp đánh giá diện tích đỉnh đơn giản 105

3.3.2 Tính diện tích bằng khớp đỉnh 106

3.3.3 Phân tích các đỉnh chập 109

3.3.4 Hình dạng và phân tích các đỉnh tia X 110

3.4 Chuẩn năng lượng 112

3.4.1 Thang năng lượng 112

3.4.2 Hàm chuẩn năng lượng 114

3.5 Các phép đo năng lượng 115

3.5.1 Qui trình đo năng lượng 115

3.5.2 Các phép đo năng lượng chính xác 117

3.5.2.1 Thiết kế thực nghiệm 117

3.5.2.2 Các hiệu ứng do vị trí nguồn 119

3.5.2.3 Khớp sơ đồ phân rã 120

Chương 4 Chuẩn hiệu suất và xác định tốc độ phát 121

4.1 Các phương pháp chuẩn hiệu suất và giá trị các đại lượng vật lý đo được 121

4.1.1 Tính hiệu suất 122

4.1.2 Các phép đo hiệu suất 123

4.2 Chuẩn hiệu suất theo năng lượng 125

4.2.1 Hiệu suất trong vùng từ 60 keV đến 3 MeV 125

4.2.1.1 Nguồn chuẩn 125

4.2.1.2 Các hàm khớp 129

4.2.1.3 So sánh và đánh giá độ tin cậy 131

4.2.2 Hiệu suất dưới 60 keV 132

4.2.2.1 Các nguồn chuẩn 132

4.2.2.2 Các hàm khớp 135

4.2.2.3 Sai số 140

4.2.3 Chuẩn hiệu suất trên 3 MeV 141

4.2.3.1 Các nguồn chuẩn 141

4.2.3.2 Các hàm khớp 144

4.2.3.3 Hiệu suất các đỉnh thoát 144

4.3 Tổng hiệu suất 145

4.3.1 Các tính toán 145

4.3.2 Đo hiệu suất 146

4.4 Sự thay đổi hiệu suất theo hình học giữa nguồn và đầu dò 147

4.4.1 Hiệu suất với nguồn điểm ở các khoảng cách khác nhau 147

4.4.2 Hiệu suất với các nguồn diện tích 150

4.4.3 Các nguồn thể tích 153

4.5 Hiệu chỉnh hiệu ứng trùng phùng tổng 154

4.5.1 Hiệu chỉnh với sơ đồ phân rã đơn giản 154

4.5.2 Hiệu chỉnh với sơ đồ phân rã phức tạp 155

4.5.3 Tính toán cho các nguồn mở rộng 157

4.5.4 Kết quả tính toán hiệu chỉnh trong một số trường hợp đặc biệt 158

4.5.5 Tính tất yếu cần phải hiệu chỉnh của thực nghiệm 161

4.6 Hiệu chỉnh thời gian chết và chồng chập 162

4.6.1 Hiệu chỉnh thời gian chết 162

4.6.2 Hiệu ứng chồng chập 163

4.6.3 Hiệu chỉnh chồng chập dựa vào đo thời gian chết 165

4.6.4 Phương pháp hiệu chỉnh dùng máy phát xung 167

4.7 Hiệu chỉnh sự suy giảm của phôtôn 169

4.8 Xác định tốc độ phát 172

Chương 5 Các ứng dụng 175

5.1 Các chương trình máy tính cho phân tích hạt nhân phóng xạ 175

5.1.1 Đặc điểm chung 175

5.1.2 Các quá trình chuẩn 176

5.1.2.1 Chuẩn năng lượng và độ phân giải 176

5.1.2.2 Các hàm hiệu suất 178

5.1.2.3 Các hàm dạng đỉnh 178

5.1.3 Thư viện các số liệu phân rã 178

5.1.4 Các thao tác trước khi khớp đỉnh 178

5.1.5 Phân tích đỉnh và nhận diện các hạt nhân phóng xạ 180

5.1.6 Tính toán hoạt độ tương ứng với từng hạt nhân phóng xạ 182

5.1.6.1 Phương pháp cơ bản 182

5.1.6.2 Phân tách ma trận hạt nhân-đỉnh và tính hoạt độ 183

5.1.6.3 Đánh giá độ tin cậy 185

5.1.7 Phân tích có lựa chọn 185

5.2 Một số ví dụ về phân tích nguyên tố và hạt nhân phóng xạ 187

5.2.1 Kiểm tra độ sạch phóng xạ 187

5.2.2 Phân tích kích hoạt 189

5.2.3 Phân tích tia X 192

5.2.4 Kiểm tra nhiên liệu hạt nhân 195

5.2.4.1 Đo Uran 195

5.2.4.2 Phân tích Plutôni 196

5.3 Các phương pháp đặc biệt 200

5.3.1 Đo phông thấp 200

5.3.2 Đo trong điều kiện hoạt độ cao 203

5.3.3 Phân tích thành phần phổ 204

Chương 6 Số liệu nguyên tử và hạt nhân 206

6.1 Các hệ số suy giảm 206

6.2 Số liệu liên quan tới các mức nguyên tử 211

6.3 Số liệu hạt nhân 211

Lời tựa:

Quyển sách này được biên soạn trên cơ sở quyển “Gamma-And X-Ray

spectrometry with semiconductor detectors” của tác giả Klaus Debertin và

Richard G Helmer Về cơ bản những nội dung chính và cấu trúc của sách vẫn

được giữ nguyên Những thông tin mới về thiết bị và số liệu cũng được cập nhật.

Theo kinh nghiệm của các tác giả thì đây là một tài liệu tham khảo rất tốt về ghi đo bức xạ với các đầu dò bán dẫn ở mức chuyên sâu đối với các sinh viên đại học, cao học và nghiên cứu sinh ngành vật lý nguyên tử và hạt nhân Quyển sách cũng

có thể xem là một tài liệu cẩm nang về ghi đo bức xạ khi sử dụng các đầu dò bán dẫn ở các phòng thí nghiệm.

Trong lần biên dịch và xuất bản đầu tiên, do thời gian có hạn nên những kiến thức

về sử dụng các chương trình đo và xử lý mới như Geni 2K, Gammavision chưa

được cập nhật Những kiến thức này sẽ được bổ sung cập nhật trong thời gian gần

nhất để đảm bảo tính thời sự của một quyển cẩm nang về sử dụng đầu dò bán dẫn

trong ghi đo bức xạ.

Đà Lạt, 2011

Nguyễn Xuân Hải

Chương 1 Một số vấn đề cơ sở

1.1 Bức xạ điện từ

Phổ của tia γ và tia X là chủ đề được đề cập chính trong chuyên khảo và là một phầnnhỏ của bức xạ điện từ Mỗi bức xạ điện từ được mô tả bằng bước sóng λ, tần sốν hoặc

năng lượng E Trong chân không mối liên hệ giữa các đại lượng này như sau: λ.ν = c và

E = h.ν trong đó c là vận tốc của bức xạ điện từ, h là hằng số Plank Sóng radio thườngđược mô tả theo đơn vị tần số (MHz), các bức xạ trung gian được mô tả theo bước sóng

(cm) còn tia γ và tia X được mô tả theo năng lượng (keV) Để mô tả định lượng bức xạ,

có thể sử dụng tổng năng lượng hoặc số lượng của từng loại bức xạ (các photon)

Hình 1.1 Phân loại bức xạ điện từ

Biểu diễn cường độ bức xạ phát ra từ một nguồn theo bước sóng, tần số hoặc năng

lượng, phân bố (phổ) sẽ có dạng liên tục (hình 1.2a), rời rạc (hình 1.2b) hoặc kết hợp cả

hai dạng (hình 1.2c) Mỗi vạch trong phổ bắt nguồn từ sự dịch chuyển giữa các trạng thái

có năng lượng riêng biệt của hệ (được mô tả trong thuyết lượng tử) Ban đầu, hệ ở trạngthái có mức năng lượng xác định sau đó phân rã về các trạng thái có mức năng lượngthấp hơn

Có hai nguyên nhân chính để tạo ra phổ liên tục Nguyên nhân thứ nhất: các trạng tháinăng lượng của hệ là rời rạc nhưng khoảng cách giữa các mức quá nhỏ, các bức xạ xuất

hiện có năng lượng phân bố gần như liên tục Điều này thường xảy ra đối với các hạtnhân bị kích thích ở năng lượng cao (vài MeV) tại đó khoảng cách giữa các trạng thái cóthể nhỏ hơn rất nhiều so với độ phân giải của thiết bị đo Nguyên nhân thứ hai: bức xạ

được tạo ra từ các quá trình ngẫu nhiên hoặc bức xạ phát ra do các electrôn năng lượng

cao bị hãm rất nhanh trong điện trường

Khi xét một phổ, các thành phần sau thường được đề cập:

1 Năng lượng của bức xạ,

2 Độ rộng của vạch phổ,

3 Biên độ của vạch phổ,

4 Phân bố biên độ trong phần phổ liên tục

Hai nguyên nhân chính đóng góp vào độ rộng của vạch phổ là do bản chất của bức xạ(độ rộng tự nhiên) và do đóng góp của thiết bị đo Mặc dù phổ tất cả các bức xạ đều có

một độ rộng nhất định nhưng độ rộng này nhỏ hơn độ phân giải của thiết bị đo rất nhiều.Trong thực nghiệm vật lý hạt nhân, độ rộng của vạch phổ thu được chủ yếu phụ thuộcvào độ phân giải của thiết bị đo

Hình 1.2 Mô tả chung các phổ bức xạ điện từ: (a) phổ liên tục; (b) phổ vạch; (c) phổvạch và phổ liên tục; (d) phổ vạch b với giới hạn phân giải của thiết bị đo.

Khi thiết bị đo có độ phân giải hạn chế, độ rộng vạch phổ đo được sẽ lớn hơn nhiều sovới độ rộng thực của vạch phổ, các cấu trúc bội có thể không được nhận thấy và số liệu

có thể bị giải thích sai Với thiết bị có độ phân giải cao, các đỉnh thu được hẹp hơn, thông

tin thu được có độ tin cậy cao hơn hơn Tuy nhiên, chế tạo các thiết bị có độ phân giảicao đòi hỏi phải có công nghệ cao và do đó giá thành thiết bị cũng đắt hơn

Biên độ hoặc cường độ (thể hiện qua diện tích đỉnh) của một thành phần trong phổ bịảnh hưởng bởi vùng dưới đỉnh hoặc phân bố liên tục Trong hầu hết trường hợp, diện tíchcác đỉnh phụ thuộc mạnh vào hiệu suất theo năng lượng của thiết bị đo Để thu được giá

trị ban đầu, cần phải hiệu chỉnh diện tích thu được theo hiệu suất ghi của thiết bị đo.Thiết bị đo và các tương tác luôn gây ra sự khác biệt giữa phổ nguyên thủy và phổ thu

được của các thiết bị đo Ví dụ quan sát ánh sáng mặt trời, quang phổ gốc là quang phổ

khi rời khỏi bề mặt mặt trời Ánh sáng từ mặt trời đi qua không gian rồi đến người quansát trên mặt đất nên rất nhiều photon bị tán xạ hoặc hấp thụ bởi các hạt trong không gianhay bầu khí quyển Vì vậy, quang phổ tới dụng cụ đo trên bề mặt trái đất sẽ khác vớiquang phổ gốc Mặt khác, bản thân dụng cụ đo cũng đưa ra một phổ khác với quang phổ

mà nó ghi nhận Về mặt toán học, phổ thu được là tập hợp của các phổ ghi nhận tương

ứng với chức năng của thiết bị Thông thường, thiết bị đo thường đổi một phổ vạch thành

tập hợp các vạch và các thành phần liên tục Nhiệm vụ của người làm thí nghiệm là phảihiệu chỉnh các phổ phức tạp để đưa ra thông tin chính xác về đặc điểm của nguồn phát

hay đối tượng đo

1.2 Sự phát triển của phép đo phổ tia X và tia

Nhờ sự phát triển của thiết bị đo, ngày nay phép đo phổ đã có những tiến bộ đáng kể

Giai đoạn đầu, các đầu dò còn khá thô sơ và chỉ có thể dùng để xác định sự hiện diện của

bức xạ; ở giai đoạn thứ hai các đầu dò có thể đo được cường độ bức xạ nhưng thông tin

về năng lượng cung cấp được còn rất hạn chế Ngày nay, các đầu dò hiện đại có độ phângiải tốt, hiệu suất ghi cao cho phép đo được chính xác cường độ và năng lượng của bứcxạ

1.2.1 Sự phát triển của đầu dò bức xạ

Vào năm 1895 Roentgen đã bắt đầu đo các tia X khi ông phát hiện ra chúng phát ra từ

ống phóng điện chứa khí Những phép đo tia X đầu tiên sử dụng các phương pháp huỳnh

quang, chụp ảnh và buồng ion hoá Do bước sóng của tia X ngắn nên phương pháp tánsắc trong quang phổ không sử dụng được để xác định độ dài bước sóng (bước sóng cỡ 0.1nm) Sau đó Bragg khám phá ra rằng có thể sử dụng mặt phẳng của tinh thể tự nhiên có

độ sạch cao làm tinh thể nhiễu xạ Phương pháp này được gọi là phương pháp nhiễu xạ

Bragg, phương pháp Bragg có thể quan sát được cấu trúc liên tục và cấu trúc vạch củaphổ

Vào thời điểm đó, các nghiên cứu về tia γ cũng được tiến hành Năm 1896, Becquereltình cờ phát hiện ra hiện tượng phóng xạ tự nhiên nhờ sự làm đen phim ảnh của bức xạ

phát ra Năm 1900, Villard thấy rằng tia phóng xạ tự nhiên có tính chất đâm xuyên giốngnhư hạtαvàβnhưng đường đi không bị lệch trong từ trường và điện trường Thành phần

mới này được gọi là tia γ

Sau những quan sát đầu tiên tia X và tiaγ bằng phim ảnh, những tiến bộ trong đo đạc

đã dẫn đến sự phát triển đa dạng của các loại ống đếm chứa khí vào đầu năm 1908

(Rutherford và Geiger 1908) So với chụp ảnh, các ống đếm khí cho phép đo và xác địnhnhanh chóng sự hiện diện của bức xạ (không phải đợi tráng rửa phim) Với các tia X vàtiaγ có năng lượng đủ thấp để có thể gây ra hiệu ứng quang điện, electrôn thứ cấp sinh ra

có thể bị hấp thụ hoàn toàn trong thể tích khí, nên ống đếm tỉ lệ có thể đo phổ của các tia

X và γnăng lượng thấp Nhìn chung các thiết bị ghi nhận này chỉ cho phép xác định được

số sự kiện xảy ra trong ống đếm chứ không xác định được năng lượng của các photon

Hình 1.3 Phổ Co60đo bằng đầu dò bức xạ nhấp nháy NaI(Tl)

Vào khoảng năm 1948 (Hofstadter 1948), đầu dò NaI(Tl) ra đời đã mang lại những

thay đổi căn bản trong phép đo phổ tia X vàγ Các đầu dò nhấp nháy có khả năng đo phổ

năng lượng trên một dải rộng Sau một thời gian phát triển, các nhà sản xuất đã chế tạođược những tinh thể kích thước lớn có khả năng hấp thụ một tỉ lệ lớn các photon tới,

thậm chí với các năng lượng trên 1 MeV Ưu điểm của đầu dò nhấp nháy so với ống đếmchứa khí là độ phân giải tốt hơn (FWHM cỡ 7% ∼ 45 keV ở năng lượng 662 keV của tia

γ), hiệu suất ghi cao, hoạt động ổn định, tinh thể bền vững về mặt vật lý và hoá học Sựphân giải tốt của các đầu dò nhấp nháy cho phép quan sát các đỉnh tách bạch khi năng

lượng của các photon khác nhau rõ ràng Hình 1.3 minh họa phổ biên độ của các tia

gamma từ phân rã của nguồn 60Co, phân bố liên tục ở vùng năng lượng thấp là do tán xạcompton, các tia gamma sau tán xạ đã bay ra khỏi đầu dò nên chỉ có một phần năng

lượng của tia gamma được hấp thụ

Ban đầu, phổ thu từ đầu dò NaI(Tl) được xử lý bằng cách tính diện tích các đỉnh nănglượng toàn phần Sau đó, phương pháp khớp toàn phổ bằng một nhóm các thành phần đã

được xem là phương pháp chuẩn Mỗi thành phần tương ứng với một hoặc một nhóm các

tia gamma phát ra từ nhân phóng xạ (Davidon 1959, Burrus 1960, Salmon 1961, Salmon

1964, Schonfeld 1965 và Helmer 1967)

Song song với sự phát triển đo phổ dùng đầu dò nhấp nháy NaI(Tl), các phương phápkhác cũng được phát triển để nghiên cứu các dịch chuyển gamma Hạt nhân ở trạng tháikích thích khi trở về trạng thái cơ bản ngoài phát tia gamma còn phát electrôn biến hoánnội, do đó các tĩnh điện kế cũng được dùng để nghiên cứu đặc điểm của dịch chuyểngamma Mặc dù vậy, rất ít tĩnh điện kế (electrostatic spectrometers) được thiết kế để đophổ các electrôn năng lượng thấp, các nghiên cứu chủ yếu tập trung vào thiết kế phổ kế

có từ trường biến thiên để hội tụ và tách các electrôn theo các năng lượng khác nhau Ở

giai đoạn này, các phổ kế từ có nhiều ưu điểm hơn so với các phổ kếγ vì:

- Các phổ kế từ có thể tách toàn bộ các electrôn ra khỏi bức xạ gamma, đồng thời vẫn

đảm bảo được tính chất đặc trưng của bức xạ

- Đa số các phổ kế từ có độ phân giải (FWHM) tốt hơn 1% (nhỏ hơn 7 keV ở 662keV), độ phân giải này tốt hơn so với ở các đầu dò NaI(TI)

Vào đầu những năm 60, phổ kế nhiễu xạ được đưa vào sử dụng Nguyên tắc hoạt động

của phổ kế này dựa trên hiện tượng nhiễu xạ Bragg của tia gamma trên bề mặt các tinhthể hình trụ hoặc phẳng Các phổ kế này có độ phân giải rất cao đặc biệt là ở vùng năng

lượng thấp (FWHM cỡ 1 eV ở 100 keV) Hạn chế của phổ kế này là hiệu suất rất thấp

nên chỉ được sử dụng trong các phép đo với các nguồn có hoạt độ lớn Trong thời đại củacác đầu dò NaI(TI), phổ kế tinh thể chủ yếu được dùng để đo chính xác năng lượng củacác tia gamma phát ra từ một số ít đồng vị phóng xạ Có thể tham khảo thêm về sự pháttriển của phổ kế tinh thể trong các tài liệu của Dumond (1955), Piller (1973) hoặcBorchert (1975, 1986)

Đầu dò nhấp nháy đã thu được những thành công nhất định song vẫn tồn tại những hạn

chế cần phải khắc phục Các nghiên cứu chế tạo đầu dò bằng vật liệu có tỉ trọng lớn đãdẫn đến sự ra đời của đầu dò bán dẫn Ge(Li) vào khoảng năm 1962 (tham khảo Pell

1960, Freck và Wakefield 1962, Webb và Williams 1963, Tavendale và Ewan 1963) Để

nâng cao hiệu suất thu góp các hạt mang điện thứ cấp, đầu dò bán dẫn cần được chế tạobằng các vật liệu đơn tinh thể Thực tế, nuôi cấy các đơn tinh thể có thể tích lớn là rất khónên chỉ có các đơn tinh thể Si và Ge được sử dụng trong chế tạo các đầu dò có thể tíchlớn và độ phân giải cao Đầu dò Ge được sử dụng để đo năng lượng trong dải rộng còn

đầu dò Si chủ yếu được sử dụng để đo các photon năng lượng thấp

Các đầu dò bán dẫn đầu tiên có độ phân giải khoảng 5 keV và hiện nay là nhỏ hơn 2keV ở năng lượng 1332 keV Sự cải thiện độ phân giải lên 10 lần của đầu dò bán dẫn sovới đầu dò NaI(Tl) có ý nghĩa rất lớn trong nghiên cứu và ứng dụng của phép đo phổgamma Đầu dò bán dẫn đã cho phép các nhà phổ học phân tích hầu hết các nhóm năng

lượng của các tia gamma đơn năng xuất hiện trong phổ

Sự phát triển của đầu dò Si là song song với đầu dò Ge Tuy nhiên do Si dễ chế tạo

hơn nên trong thực tế đầu dò Si ra đời sớm hơn Các đầu dò Si đầu tiên có kích thước rất

mỏng và sử dụng thế năng hàng rào mặt Các đầu dò này thích hợp cho đo phổ các hạt

mang điện hoặc các photon năng lượng thấp khoảng vài chục keV

Với các đầu dò Ge(Li), hạn chế lớn nhất là chúng cần phải bảo quản thường xuyên ởnhiệt độ nitơ lỏng Hạn chế này đã được khắc phục khi đầu dò bán dẫn Ge siêu tinh khiết

ra đời, các đầu dò này có thể bảo quản được ở nhiệt độ phòng Đầu dò bán dẫn Ge siêu

tinh khiết ra đời đã thay thế các đầu dò Ge(Li) và việc sản xuất các đầu dò này ở Mỹ đã

bị dừng lại vào khoảng năm 1983

Sau sự thành công trong chế tạo các đầu dò bán dẫn Si và Ge, các nghiên cứu chế tạo

đầu dò bán dẫn bằng các vật liệu có số Z cao hơn đã được nghiên cứu Mayer (1966),Sakai (1982) đã đề cập đến chế tạo đầu dò bằng các vật liệu GaAs, CdTe và HgI2 Đầu dòchế tạo bằng các vật liệu này có khả năng hoạt động ở nhiệt độ phòng Tuy nhiên khả

năng ứng dụng của các đầu dò này vẫn còn hạn chế do kích thước nhỏ, độ phân giải và

khả năng sản xuất thương mại

1.2.2 Các chuẩn năng lượng

Trong các phép đo năng lượng, cần thiết phải có một thang năng lượng làm chuẩn để

các vạch đo được căn cứ vào đó tham khảo Với tia X và tia gamma thang năng lượng

được tính theo đơn vị kiloelectrôn volt (keV) Vào thập niên 50 và 60 của thế kỷ trước,

những người sử dụng phổ kế tinh thể (hình trụ) đã sử dụng tỉ số năng lượng giữa tia X vàtia gamma làm thang chuẩn, độ chính xác được đánh giá cao hơn so với thang keV hoặc

thang bước sóng có đơn vị mét Để đảm bảo độ chính xác của các tỉ số năng lượng đođược, bước sóng đã được phân loại dựa trên đơn vị “A0” Các năng lượng đo dựa trênthang đơn vị “A0” có giá trị rất chính xác

Để chọn một năng lượng gamma làm giá trị tham khảo, Marray và cộng sự (1963,1965) đã sử dụng tĩnh điện kế có độ chính xác cao để đo năng lượng của tia gamma phát

ra (411 keV) từ phân rã của 198Au so sánh với gamma 511 keV sinh ra do quá trình huỷelectrôn-pôsitrôn Năng lượng của tia gamma sinh ra do huỷ cặp được xác định bằng cáchằng số cơ bản vì vậy năng lượng 411 keV cũng được biểu diễn theo các hằng số này.Bảng 1.1 trình bày các giá trị đo của vạch 411 keV và 511 keV trong thời gian từ năm

411.795(9)

411.794(8)

411.8044(11)

Murray (1963)Murray (1965)Greenwood (1970)Kessler (1978)

510.976(7)511.006(5)511.0041(16) khôngphụ thuộc m0c2

Cohen (1955) Cohen and DuMond (1963) Taylor (1969)

Tĩnh điện kế và phổ kế tinh thể cong đã cung cấp những kết quả rất chính xác ở vùng

năng lượng thấp Để cung cấp các vạch chuẩn ở vùng năng lượng cao hơn (500 keV đến

3500 keV), cần phải sử dụng các phương pháp khác

Đầu tiên, trong các đầu dò Ge người ta đã sử dụng các đỉnh thoát đơn Eγ-m0c2và thoát

đôi Eγ-2m0c2 để làm các vạch chuẩn xác định năng lượng của tia gamma Eγ Trongtrường hợp thiết bị đo có độ tuyến tính tốt, có thể sử dụng các chuẩn năng lượng dưới

500 keV để xác định chính xác năng lượng của các tia gamma trong dải 3 hoặc 4 MeV

(Gunnink 1968 và White 1968) Hạn chế của phương pháp này là sự tuyến tính của hệ đo

không đảm bảo làm khoảng cách giữa các đỉnh toàn phần, đỉnh thoát đơn và đỉnh thoátđôi Phương pháp này có độ chính xác không cao nên sau đó đã được thay thế bằngphương pháp dùng máy phát xung có biên độ chính xác (Alkemade (1982) và Kennett

(1983))

Phương pháp thứ hai là sử dụng máy phát xung có biên độ xung chính xác Bằng cách

phát ra các xung gần đỉnh gamma quan tâm, ta có thể sử dụng tỉ số biên độ của các đỉnh

phát để xác định tỉ số năng lượng của hai tia gamma Về mặt lý thuyết, phương pháp này

có thể sử dụng để mở rộng thang năng lượng đến giá trị bất kỳ (xem các ví dụ của Strauss1969) Hạn chế của phương pháp là không thể tạo được máy phát các xung có dạng giống

dạng xung của đầu dò bức xạ Vì vậy, phương pháp này vẫn chưa đạt được độ chính xác

như mong muốn

Phương pháp thứ ba trong xây dựng chuẩn năng lượng cao là dùng mối quan hệ nối

tầng giữa các tia gamma trong sơ đồ phân rã Đo năng lượng của các tia gamma nối tầng

có năng lượng thấp sau đó tính ra năng lượng của các tia gamma có năng lượng cao nhờvào sơ đồ phân rã Phương pháp này được Helmer (1971), Warburton và Alburger

(1986), Mucciolo và Helene (1987) và một số nhà nghiên cứu khác khai thác Phương

pháp đã cung cấp được một số lớn năng lượng các gamma chuẩn

1.3 Nguồn gốc, đặc điểm của tia X và tia gamma

Để hiểu và mô tả đầy đủ về nguồn gốc, đặc điểm của tia X và tia gamma cần phải mô

tả chi tiết nguyên tử và hạt nhân bằng cơ học lượng tử Sự mô tả như vậy là tương đốiphức tạp và vượt quá khuôn khổ của một tài liệu chuyên khảo mang tính chất thựcnghiệm Vì vậy, tài liệu này chỉ trình bày tóm lược về nguồn gốc, những tính chất cơ bảncủa tia X và tia gamma để người đọc có thể nắm và vận dụng trong đo đạc thực nghiệm

1.3.1 Tia X

Tia X là bức xạ điện từ phát ra do sự dịch chuyển của electrôn giữa các trạng thái khácnhau trong một nguyên tử Sơ đồ mức năng lượng của các electrôn trong một nguyên tử

được minh họa trong hình 1.4a (nguyên tử Niken có 28 electrôn) K, L, M, là các lớp

electrôn Trừ lớp K, các lớp còn lại tách ra thành một loạt các mức có khoảng cách gầnnhau

Hình 1.4 Mức năng lượng của các electrôn trong nguyên tử Ni: (a) phân bố electrôn ởtrạng thái cơ bản; (b) phân bố electrôn ở trạng thái kích thích (do một electrôn lớp K gâynên); (c) các bước trong quá trình phân rã của nguyên tử

Hình 1.5 Phổ tia X phát ra từ phân rã của207Bi đo bằng đầu dò Ge planar.

Có thể đưa một hay nhiều electrôn của nguyên tử lên trạng thái kích thích bằng bức xạ

điện từ, hạt mang điện hoặc các quá trình hạt nhân Các electrôn liên kết càng mạnh thì

cần năng lượng càng lớn để chuyển chúng sang trạng thái kích thích Hình 1.4b là ví dụ

về một electrôn lớp K trong nguyên tử Ni bị kích thích đến trạng thái tự do Nó để lại một

lỗ trống trong lớp vỏ K Sự dịch chuyển của electrôn từ các lớp khác về lỗ trống này sẽlàm giảm năng lượng của hệ và hệ trở về trạng thái cơ bản Để khử trạng thái kích thích,electrôn có thể dịch chuyển trực tiếp hoặc qua một số trạng thái trung gian khác nhau để

về trạng thái cơ bản Trong thực tế, kiểu phân rã phổ biến là dịch chuyển qua nhiều trạngthái trung gian khác nhau (hình 1.4c) Mỗi dịch chuyển của electrôn trong quá trình khửkích thích của nguyên tử có thể làm phát ra tia X có năng lượng xấp xỉ với năng lượngchênh lệch giữa hai trạng thái của nguyên tử (do định luật bảo toàn năng lượng và xung

lượng, trong quá trình bức xạ một lượng nhỏ năng lượng được truyền cho nguyên tử giật

lùi)

Hình 1.6 Minh hoạ thuật ngữ đặt cho các vạch của tia X (Bambynek 1984b)

Hình 1.5 minh họa cho sự phức tạp của phổ tia X Hình 1.6 minh hoạ cách đặt tên cácvạch của tia X Với mỗi nguyên tố, năng lượng của các tia X là khác nhau và tăng theo Z(hình 1.7).

Đáng lưu ý là một vài chuyển dời về mặt năng lượng cho phép (ví dụ từ lớp L1về lớp

K) nhưng lại có xác suất rất thấp Những dịch chuyển này có thể coi là bị “cấm”, sự cấmnày được giải thích bằng các quy tắc cơ học lượng tử liên quan đến moment góc của

trạng thái nguyên tử và tia X

Ngoài phát tia X, nguyên tử còn có thể phân rã bằng hiệu ứng Auger và dịch chuyểnCoster-Kronig Ví dụ trong nguyên tử chì, khi electrôn lớp L chiếm một lỗ trống lớp K,

trong đa số trường hợp sẽ phát ra tia X Kα Trong một số ít trường hợp tia X không phát

ra, năng lượng này được truyền cho các electrôn khác, electrôn liên kết yếu sẽ bị thoát ra

khỏi nguyên tử sau đó Đây được gọi là hiệu ứng Auger Electrôn thoát ra có động năngbằng năng lượng mà tia X có thể có trừ đi năng lượng liên kết của electrôn trước khithoát ra Hiệu ứng Auger tạo thêm một lỗ trống trong nguyên tử Chẳng hạn khi electrôn

ở lớp L chiếm lỗ trống trên lớp K, nó để lại một lỗ trống trong lớp L; sau đó nếu electrôn

lớp M bị phát ra trong quá trình Auger, một hoặc cả hai lỗ sẽ được lấp đầy bằng quá trìnhAuger khác và các lỗ mới sẽ được tạo ra Quá trình lấp đầy vô số các lỗ trống có thể tạo

ra một phổ X và electron phức tạp năng lượng thấp

Xác suất chiếm một lỗ ở lớp K, L,… làm phát tia X và không phát electrôn Auger

được gọi là hiệu suất phát huỳnh quang ωK, ωL,…

Trong đó N(XK) là số tia XK phát ra, N0 là số lỗ trống trong lớp K Các giá trị thựcnghiệm tính toán giá trị ωK đã được Bambynek (1972), Krause (1979) và Bambynek(1984a) đánh giá Các giá trị của Bambynek được trình bày trong phần 6.2, các giá trị nàytăng theo số Z (0.05 với Z = 14, 0.70 với Z = 38, 0.93 với Z = 63 và 0,98 với Z = 92)

Hiệu suất phát huỳnh quang ở các lớp dưới L là rất bé (khoảng 0,18 với Z = 63)

Quá trình Auger luôn kèm theo phát tia X Trường hợp này một lỗ trống được lấp và

cả electrôn lẫn tia X được phát ra Vì vậy, trong phổ đo bằng đầu dò bán dẫn, ta thu được

các đỉnh phụ ở phía năng lượng thấp của tia X (Espen 1979, Marageter 1984 và Campbell

1986a) Nếu không chú ý đến các đỉnh phụ sẽ dẫn đến sự sai lệch giữa đo đạc và tính toán

tỉ lệ cường độ của các tia Kαvà Kβ(xem 6.2)

Hình 1.7 Sự phụ thuộc năng lượng tia X phát ra từ các lớp K, L và M vào Z (Sevier

1979)

Electrôn từ một lớp phụ có thể di chuyển về một lớp phụ thấp hơn trong cùng một lớpchính mà không phát tia X Dịch chuyển này được gọi là dịch chuyển Coster Kronig Ví

dụ, một electrôn ở L3có thể chiếm một lỗ trên L2 Quá trình này làm phức tạp thêm việc

xác định hiệu suất phát huỳnh quang trong các lớp con của L và sử dụng sử dụng tốc độ

phát tia XL để xác định tính chất của nguyên tử hoặc hạt nhân Dịch chuyển Coster

Kronig chỉ xảy ra trong một lớp vỏ chính nên nó không ảnh hưởng đến hiệu suất pháthuỳnh quang của toàn bộ lớp

Mỗi mức năng lượng trong nguyên tử có một độ rộng nhất định Sự phân bố năng

lượng trong một mức tuân theo khai triển Lorentzian

2

2 ( / 2 ) )

(

2 / )

Trong đó E0là năng lượng trung bình của mức, Г là độ rộng của vạch (FWHM) Độ

rộng vạch của tia X thu được bằng khai triển Lorentzian giữa mức đầu và mức cuối củadịch chuyển Sau khai triển ta thu được độ rộng w của tia X, đó là tổng độ rộng của cácmức khác nhau, ví dụ:

Một số giá trị độ rộng mức của nguyên tử và các tia XKcủa Krause và Oliver (1979)

được trình bày trong 6.2 Độ rộng các vạch XKtăng theo số Z và đạt tới 100 eV khi Z=92

Giá trị này là nhỏ, nhưng cũng đủ lớn để phải quan tâm trong đo phổ tia X (xem 3.34)

1.3.2 Tia gamma

Tia gamma được sinh ra do sự dịch chuyển giữa các trạng thái khi hạt nhân khử kíchthích Trạng thái kích thích có thể tạo ra từ phản ứng hạt nhân hoặc do phân rã của hạtnhân

1.3.2.1 Một số quá trình làm hạt nhân bị kích thích

Hình 1.8 đến 1.12 minh họa một số kiểu phân rã làm hạt nhân bị kích thích Bốn

trường hợp đầu tiên, dịch chuyển gamma được tạo ra từ các phân rã β hoặc α Phân rã β

hoặc α là các phân rã có sự thay đổi về nguyên tố hoá học Hạt nhân trước phân rã đượcgọi là hạt nhân mẹ và hạt nhân sau phân rã được gọi là hạt nhân con Nguồn phóng xạgamma được ký hiệu bằng tên của hạt nhân mẹ nhưng tia gamma thu được thì phát ra từhạt nhân con

a Phân rã β:

Trong các hạt nhân thừa nơtrôn, một nơtron sẽ biến thành một prôtôn và hạt nhân phát

ra một hạt β Mặc dù hạt được phát là electrôn nhưng kí hiệu là “tia β” để phân biệt vớicác electrôn có nguồn gốc bên ngoài hạt nhân Năng lượng cực đại của các tia β phát rabằng tổng năng lượng phân rã trừ năng lượng kích thích của hạt nhân con sau phân rã.Trong quá trình này còn có một phản nơtrino được phát ra Năng lượng phân rã được chiacho β và phản nơtrino, nên về mặt thống kê phổ năng lượng của β và phản nơtrino là liêntục và có phân bố từ không đến năng lượng cực đại Xác xuất phân rã β ở một trạng tháibất kì của hạt nhân con phụ thuộc vào các trạng thái riêng của hàm sóng Phân rã β

thường tạo ra một số trạng thái kích thích đặc trưng riêng trong các hạt nhân con

Hình 1.8 Sơ đồ phân rãβ

-của60Co

Hình 1.9 Sơ đồ biến hoán trong của57Co

b Electrôn biến hoán trong (EC):

Trong kiểu phân rã này, một electrôn của nguyên tử bị chiếm bởi hạt nhân và mộtprôtôn bị biến đổi thành một nơtron Nếu không tính đến năng lượng liên kết của electrôn

bị bắt thì năng của phân rã được nơtrinô phát ra mang đi Khi năng lượng phân rã lớn hơnhai lần năng lượng liên kết của electrôn trong lớp K thì khoảng 90% electrôn bị bắt là từlớp K, 10% còn lại là từ lớp L và các lớp cao hơn Khi năng lượng phân rã bé hơn hai lần

năng lượng liên kết của electrôn trong lớp K, xác suất bắt electrôn sẽ dịch chuyển đến các

lớp cao hơn Quá trình chiếm electrôn làm để lại một lỗ trống, sự dịch chuyển củaelectrôn từ các lớp ngoài về lấp lỗ trống làm phát tia X và electrôn Auger Quá trình biếnhoán trong làm điện tích của hạt nhân giảm đi một đơn vị nên nguyên tử vẫn trung hoà về

lượng phân rã phải lớn hơn 2m0c2(1022 keV) do đó phân rã pôsitrôn chỉ xảy ra khi năng

lượng phân rã lớn Trong phân rã pôsitrôn luôn có một nơtrinô phát ra vì vậy phổ của các

pôsitrôn và nơtrinô là phổ liên tục Khi pôsitrôn phát ra bị làm chậm đến năng lượngkhông, nó tương tác với một electrôn và huỷ cặp tạo ra các photon 511 keV Hai photonnày có thể được sử dụng như dấu hiệu của quá trình phân rã pôsitrôn và dùng để đo tốc

độ phân rã trung bình Phân rã pôsitrôn làm nguyên tử thừa một electrôn và nó sẽ thoát

khỏi nguyên tử

Một phần nhỏ các pôsitrôn huỷ cặp với các electrôn khi chúng vẫn còn năng lượng(huỷ trong khi đang bay) Trong trường hợp này, hai photon sinh ra có phổ năng lượng làliên tục do đó nó không nằm trong các sự kiện tạo ra đỉnh 511 keV Hiệu chỉnh (Kantele

và Vanlkonen 1973) hiện tượng này là cần thiết khi sử dụng đỉnh 511 keV để xác định

cường độ phân rã β+

d Phân rã α:

Trong phân rã anpha, hạt nhân mẹ phát ra một hạt α (2He4), hạt nhân con sẽ có số Z bé

hơn 2 và khối lượng bé hơn 4 so với hạt nhân mẹ Đặc điểm nổi bật dễ thấy của phân rã

là thường xảy ra ở một vài trạng thái năng lượng thấp Trong quá trình phân rã chỉ có một

hạt anpha phát ra nên phổ năng lượng của hạt anpha là rời rạc

Hình 1.11 Sơ đồ phân rã anpha của228Th.

Khối lượng hạt alpha là đáng kể so với khối lượng của hạt nhân mẹ nên năng lượngcòn lại của hạt nhân giật lùi cần phải được trừ khỏi năng lượng phân rã để xác định năng

lượng của hạt alpha

e Phân rã đồng phân:

Trong các ví dụ phân rã β và alpha ở trên, đồng vị phóng xạ mẹ ở trạng cơ bản Có một

số trạng thái kích thích có chu kì phân rã tương đối dài và phân rã theo một trong bốncách này Tuy nhiên, trong thực tế một trạng thái kích thích như vậy thường phân rã bằngcách phát gamma; kiểu phân rã như vậy được gọi là phân rã đồng phân (hình 1.12) Phân

rã đồng phân chỉ phát gamma nên không có sự thay đổi về Z hay A Thuật ngữ “đồng

phân” để chỉ thời gian sống của mức là dài so với thời gian sống của các mức khác Thuật

ngữ này không phải là duy nhất

Hình 1.12 Phân rã đồng phân của123Tem

Hình 1.13 Phân rã của15N từ mức 10833 keV trong phản ứng14N(n,γ)15N.Các phản ứng hạt nhân cũng tạo ra các hạt nhân kích thích phát gamma Các phân rãgamma nối tầng thường được đo để thu thông tin về quá trình phản ứng hoặc về cấu trúccủa hạt nhân Sơ đồ phân rã từ mức kích thích cao của 15N trong phản ứng với cácneutron nhiệt 14N(n,γ)15N được minh họa trong hình 1.13 Ban đầu hạt nhân bắt neutron

và ở trạng thái kích thích sau đó phát gamma để về các trạng thái kích thích thấp hơn của15

N Với các các hạt nhân trung bình và nặng một phản ứng (n,γ) có thể tạo ra hàng trămtia gamma khác nhau Trong các phản ứng (p,γ), bằng cách lựa chọn năng lượng prôtônthích hợp, có thể tạo ra một trạng thái riêng trong hạt nhân sản phẩm, do đó phổ gamma

đơn giản và có thể cung cấp được các thông tin chi tiết về tính chất của trạng thái đặctrưng

1.3.2.2 Phân rã của hạt nhân kích thích

Hạt nhân bị kích thích bằng các quá trình trên thường phân rã bằng cách chuyển về cáctrạng thái có năng lượng thấp hơn Chúng phát tia gamma hoặc truyền năng lượng chomột electrôn của nguyên tử Quá trình phân rã sau gọi là biến hoán trong Sau khi phátgamma hoặc biến hoán trong, hạt nhân có thể ở trạng thái bền hoặc tiếp tục phân rã

Hình 1.14 minh hoạ các đặc trưng của hạt nhân và tia gamma trong quá trình phân rã.

Các đặc trưng của hạt nhân là mức năng lượng, thời gian sống (hoặc chu kỳ phân rã),spin và độ chẵn lẻ Các đặc trưng của tia gamma là năng lượng, xác suất phát và bậc đa

cực Các đặc điểm này phụ thuộc vào các đặc trưng cụ thể của hàm sóng mô tả trạng thái

và các toán tử dịch chuyển điện từ Để tìm hiểu sâu hơn có thể tham khảo các tài liệu củaMoszkowski (1965) hoặc Blatt và Weisskopf (1952)

Thứ nhất, cần quan tâm đến năng lượng của tia gamma, lưu ý rằng các trạng thái hạt

nhân là rời rạc và có năng lượng xác định Do sự bảo toàn năng lượng và xung lượngtrong quá trình phát gamma, hạt nhân phải giật lùi theo hướng đối diện với tia gamma

phát ra và có xung lượng bằng với xung lượng của tia gamma phát ra Vì “khối lượng”

của photon là rất nhỏ nên xung lượng giật lùi của hạt nhân là không đáng kể Nhưng năng

lượng này cần được chú ý khi tính năng lượng của trạng thái kích thích từ năng lượng tiagamma đo được Theo định luật bảo toàn:

Trong đó Arlà khối lượng nguyên tử, năng lượng của tia gamma được tính bằng keV

Thứ hai, cần quan tâm đến độ chẵn lẻ, xung lượng góc (angular momentum) hoặc spin

của trạng thái và đặc điểm nối tầng của tia gamma Spin hạt nhân và xung lượng góc của

Hình 1.14 Năng lượng, spin, độ chẵn lẻ, thời gian sống của các mức, cường

độ và bậc đa cực của các dịch chuyển.

tia gamma bay ra được biểu diễn bằng các véctơ J

và L Độ lớn (hình chiếu cực đại theo

một hướng) củaJ

vàL

là [J(J+1)]1/2.ћ và [L(L+1)]1/2.ћ; ћ=h/2π (h là hằng số Plank), đểđơn giản độ lớn củaJ

vàLđược ký hiệu là J và L Mỗi trạng thái có một giá trị spin giánđoạn J (là số nguyên nếu A chẵn, bán nguyên nếu A lẻ) và một độ chẵn lẻ π có giá trị +

Về mặt lý thuyết, một dịch chuyển gamma có thể có nhiều hơn một giá trị L, trừ một

số trường hợp đặc biệt chỉ có một giá trị được phép Nếu một trong các trạng thái có J=0,

từ phương trình (1.8) mỗi tia gamma vào hay ra khỏi trạng thái đó sẽ có giá trị L bằng vớigiá trị J của trạng thái khác Nếu Ji= Jf= 1/2 thì L = 1, còn Ji= Jf= 0 thì dịch chuyểngamma bị cấm vì một tia gamma phải có ít nhất một đơn vị xung lượng góc Từ phươngtrình (1.7), nếu hai trạng thái có cùng độ chẵn lẻ thì πγ= +, và πγ= - nếu chúng khác nhau.Theo lí thuyết điện từ, tốc độ dịch chuyển điện từ được tính dưới dạng khai triển đacực, trong đó các hệ số bậc thấp có xác suất dịch chuyển lớn hơn Các hệ số này đượcphân biệt bằng ba đặc điểm: (1) dịch chuyển “điện” E và “từ” M; (2) dịch chuyển có thay

đổi hoặc không thay đổi độ chẵn lẻ; (3) xung lượng góc L của tia gamma phát ra Dịch

chuyển có L = 1 là dịch chuyển lưỡng cực ký hiệu là E1 hay M1, L=2 là dịch chuyển tứcực ký hiệu là E2 hay M2, L = 3 là dịch chuyển bát cực ký hiệu E3 hay M3, v.v Các dịchchuyển E1, M2, E3,…tương ứng với sự thay đổi độ chẵn lẻ còn M1, E2, M3, không

thay đổi độ chẵn lẻ

Thứ ba, quan tâm đến thời gian sống hoặc chu kì bán rã của trạng thái hạt nhân Mỗi

dịch chuyển từ một mức có một xác suất dịch chuyển λi Nếu một trạng thái kích thíchphân rã về nhiều trạng thái năng lượng thấp hơn, các xác suất dịch chuyển là hoàn toàn

độc lập Xác suất dịch chuyển toàn phần λ là tổng của các xác suất dịch chuyển riêng:

thời gian sống của trạng thái kích thích được tính:

Xác suất dịch chuyển của một tia gamma đặc trưng sẽ phụ thuộc vào hàm sóng đặc

trưng của hai trạng thái hạt nhân, nếu biết được chính xác các hàm sóng này sẽ dự đoánđược xác suất dịch chuyển Trong trường hợp lý tưởng, tính toán đã được thực hiện với

các giá trị riêng của hàm sóng (tham khảo Moszkowski 1965, Blatt và Wesskopf 1952).Với hạt nhân hình cầu khi xét biểu thức chỉ gồm bậc đa cực, khối lượng và năng lượng tiagamma, Weisskopf ước tính thời gian sống riêng của mức cho các dịch chuyển E1, E2 và

M1 như sau:

3 / 2 3 6 1

2 /

1 (E ) 6 , 764 10 /E .A

3 / 4 5 6 2

2 /

1 (E ) 9 , 527 10 /E .A

3 5 1

2 /

1 (M ) 2 , 202 10 /E

Trong đó thời gian sống được tính bằng giây, năng lượng tính bằng keV và A là số

khối Theo cách tương tự, thời gian sống cho các chuyển dời bậc cao hơn cũng đã đượctính Các giá trị tính với A=100 của một số năng lượng từ 10 keV đến 10 MeV được trìnhbày trong bảng 1.3.

Bảng 1.3 Giá trị tính thời gian sống của các mức với A=100 của Weisskopf.Bậc đa

cực

Thời gian sống (giây)

Eγ= 10 keV 100 keV 1000 keV 10 000 keVE1

3,1 10-131,9.10-62,0.10+13,0.10+82,2.10-111,4.10-41,4.10+32,1.10+10

3,1 10-161,9.10-112,0.10-63,0.10-12,2.10-141,4.10-91,4.10-42,1.10+1

3,1 10-191,9.10-162,0.10-133,0.10-102,2.10-171,4.10-141,4.10-112,1.10-8Với các hạt nhân biến dạng, do chuyển động tập thể của các nucleon trong hạt nhânnên các công thức (1.11) không còn phù hợp cho tính thời gian sống Ví dụ dịch chuyển

E2có thể nhanh hơn giá trị ước lượng cỡ 2 bậc Các giá trị trong bảng 1.3 chỉ ra rằng thờigian sống của các dịch chuyển E2 có thể so sánh được với các dịch chuyển M1, thực tếcho thấy các dịch chuyển hỗn hợp M1+E2 là rất phổ biến Trong các hạt nhân trung bình

và nặng, các dịch chuyển E1thường chậm hơn giá trị tính toán cỡ 5 bậc Vì vậy gần như

không thể tính thời gian sống theo lý thuyết để suy ra cường độ tương đối của các tiagamma mà phải xác định chúng bằng thực nghiệm

Các trạng thái kích thích của hạt nhân có thể khử kích thích bằng biến hoán trong màkhông phát ra tia gamma Trong quá trình này năng lượng phân rã được truyền cho cácelectrôn của nguyên tử và làm bật electrôn này ra khỏi nguyên tử Theo định luật bảotoàn, động năng của electrôn phát ra bằng năng lượng kích thích của trạng thái trừ đi

năng lượng liên kết của electrôn và năng lượng giật lùi của nguyên tử

Cả hai quá trình phân rã gamma và biến hoán trong đều có thể xảy ra, xác suất dịchchuyển toàn phần là tổng của xác suất dịch chuyển gamma và xác suất biến hoán trong

Vì vậy khi đo thời gian sống của trạng thái cần chú ý đến hiện tượng biến hoán trong

Tỉ số giữa số electrôn phát ra Ne và số tia gamma phát ra Nγ được gọi là hệ số biến

hoán trongα:

Tương tự ta định nghĩa các hệ số αK= NeK/Nγ αL= NeL/Nγ, …, là các hệ số biến hoán

riêng trên từng lớp; NeK, NeL, … là số electrôn biến hoán trên các lớp K, L,… Giá trị α

phụ thuộc vào năng lượng và bậc đa cực của chuyển dời Hệ số biến hoán trong có thểtính theo lý thuyết với độ chính xác cao (Hager và Seltzer 1968, Band và Trzhaskovskaya

1978, Rosel và cộng sự 1978) Các số liệu trong bảng 1.4 cho thấy hệ số biến hoán toànphần α thay đổi và phụ thuộc mạnh vào bậc đa cực, do đó phép đo α là một công cụmạnh để xác định bậc đa cực Có thể xác định bậc đa cực từ các tỉ số cường độ biến hoántrong trên các lớp (αL1/αL2/αL3) mà không cần tham khảo cường độ bức xạγ

Ngoài các mô tả trên, có thể mô tả dịch chuyển γ như tương tác xảy ra giữa hai trạng

thái hạt nhân có năng lượng xác định Thực tế, các mức hạt nhân và các tia γ có một độrộng xác định Nguyên lý bất định cho biết mối quan hệ giữa thời gian sống của mộttrạng thái và độ rộng của mức Do nguyên lý bất định nên xác định chính xác độ rộng củamột mức là rất khó Độ rộng của một mức phản ánh sự trải rộng về mặt năng lượng của

các tia gamma phân rã Giá trị độ rộng thường phổ biến trong khoảng từ neV đến meV, vìvậy độ phân giải của các thiết bị đo là cực kỳ quan trọng, đặc biệt trong các thực nghiệm

liên quan đến tán xạ cộng hưởng và hiệu ứng Mossbauer

Các trình bày ở trên liên quan đến cường độ tia gamma và phân rã của trạng thái hạtnhân trong khuôn khổ mẫu đơn hạt Hầu hết các ứng dụng đều cần giá trị xác suất phát pγcủa tia gamma trong phân rã của hạt nhân mẹ Giá trị này cho biết xác suất phân rã củahạt nhân mẹ về mức của hạt nhân con và xác suất phát của tia gamma đặc trưng khi mứcnày phân rã Giá trị pγ có thể tính được từ lý thuyết với một số sơ đồ đơn giản Trong

trường hợp sơ đồ phân rã phức tạp, giá trị này được xác định từ thực nghiệm đo hoạt độ

và tốc độ phát gamma của nguồn

Bảng 1.4 Các hệ số biến hoán trong tính theo lí thuyết cho một số giá trị năng lượng,bậc đa cực, số nguyên tử và các lớp con (Rosel và các cộng sự 1978)

220 E1 0.0051 0.00048 0.00001 0.00002 0.0056

E2 0.0303 0.00286 0.00018 0.00025 0.0341E3 0.154 0.0144 0.00260 0.00268 0.177M1 0.0071 0.00070 0.00002 0.00001 0.0080M2 0.0390 0.00402 0.00020 0.00011 0.0440M3 0.203 0.0218 0.00173 0.00175 0.232

680 E1 0.0017 0.00020 0.00001 0.00001 0.0020

E2 0.0045 0.00054 0.00009 0.00005 0.0054E3 0.0106 0.00132 0.00054 0.00020 0.0133M1 0.0075 0.00094 0.00004 0.00001 0.0088M2 0.0208 0.00277 0.00021 0.00005 0.0247M3 0.0490 0.00698 0.00079 0.00040 0.0594

1.4 Tương tác của photon với vật chất

Tia X và tia gamma tương tác với nguyên tử của vật chất bằng nhiều quá trình khác

nhau Ba quá trình tương tác cơ bản là hấp thụ quang điện, tán xạ compton và hiệu ứngtạo cặp

Trong cả ba trường hợp, các electrôn tự do được sinh ra và bị làm chậm, trong quátrình di chuyển chúng gây ion hoá tạo ra các cặp electrôn-ion và electrôn-lỗ trống Trong

đầu dò photon, các cặp mang điện tạo ra do quá trình ion hoá được sử dụng để đo nănglượng của photon bằng cách xác định lượng điện tích do quá trình tương tác tạo ra

1.4.1 Hấp thụ quang điện

Trong quá trình hấp thụ quang điện, một photon tương tác và bị hấp thụ hoàn toàn

năng lượng bởi electrôn ở lớp ngoài của nguyên tử Electrôn thoát ra khỏi nguyên tử vớinăng lượng Eexấp xỉ bằng:

bộ năng lượng của photon bị hấp thụ trong vật liệu ở xung quanh khu vực tương tác Tiếtdiện tương tác phụ thuộc số Z của vật liệu và năng lượng của photon Một cách gần đúng

có thể mô tả tiết diện theo công thức:

3 5 4

lượng của hai vật liệu được sử dụng phổ biến làm đầu dò là Ge và Si

Hình 1.15 Hệ số suy giảm tuyến tính trong vật liệu Ge do hiệu ứng quang điện, tán xạcompton và tạo cặp (số liệu của Stom và Israel 1970).

Hình 1.16 Hệ số suy giảm tuyến tính trong vật liệu Si do hiệu ứng quang điện, tán xạcompton và tạo cặp (số liệu của Stom và Israel 1970)

Trong hình 1.15 và 1.16, trục trung biểu diễn hệ số suy giảm tuyến tính μτ μτ =

τ.ρ.NA/M, ρ là mật độ, NA là số Avogadro và M là khối lượng phân tử gam Các điểm

gián đoạn tương ứng với năng lượng liên kết của electrôn trên các lớp vỏ nguyên tử (với

Ge lớp K là 11.1 keV và Si là 1.84 keV) Mép hấp thụ sinh ra do các photon có năng

lượng ở dưới mép không thể tương tác với các electrôn ở lớp K Các điểm gián đoạntương tự khác có thể xảy ra ở vùng thấp hơn tương ứng với năng lượng liên kết của

electrôn ở các lớp cao hơn trong nguyên tử

1.4.2 Tán xạ compton

Trong quá trình tán xạ compton, photon truyền một phần năng lượng cho electrôn,phần năng lượng còn lại sẽ do photon thứ cấp mang đi Mối liên hệ giữa năng lượng vàgóc tán xạ được minh hoạ trong hình 1.17 Trong đó E là năng lượng của photon tới, E’

và Eelà năng lượng của photon sau tán xạ và của electrôn, hệ số α = E/m0c2, m0c2là nănglượng tương ứng với khối lượng nghỉ của electrôn (511 keV)

Giá trị năng lượng của photon thứ cấp:

Năng lượng của electrôn sau tán xạ:

Ee= E.{1 - 1/ [1+ α(1 – cos θ)]} (1.16)Mối liên hệ giữa các góc tán xạ:

Đối với các góc tán xạ rất nhỏ, năng lượng electrôn gần như bằng 0, khi đó photon thứ

cấp có năng lượng gần bằng với năng lượng của photon ban đầu Đối với góc tán xạ bằng

1800, photon thứ cấp có năng lượng khá lớn và bằng E/(1+2α)

Hình 1.17 Ký hiệu các góc trong tán xạ compton

Bảng 1.5 Một số giá trị năng lượng của photon tới, photon thứ cấp và góc tán xạ

10010099.999.798.594.689.283.678.774.972.671.8

300300299297287256220189166150141138

1000999993971871636453338270230210204

300029892934275420741103649437329272244235

Trên đây là quá trình tán xạ của một photon trong tương tác đầu tiên Để theo dõi toàn

bộ quá trình mất năng lượng của photon, phải theo dõi photon thứ cấp và tương tác củachúng Một photon năng lượng cao cỡ 1 MeV, có thể có một chuỗi các quá trình tán xạcompton, mỗi lần tán xạ đều làm giảm năng lượng của photon thứ cấp, trước khi quátrình kết thúc, sẽ có một sự hấp thụ quang điện ở cuối của quá trình Vì vậy, năng lượngcủa photon tới có thể phân bố trong một thể tích vật chất đáng kể

Hình 1.18 Đồ thị tiết diện tán xạ compton với một số năng lượng từ 1 keV đến 10

MeV trong hệ toạ độ cực (Davisson và Evan 1952).

Hình 1.19 Phân bố năng lượng của các electrôn trong tán xạ compton của các photon

511, 1200, và 2760 keV (Davisson và Evans 1952)

Nếu biết được năng lượng của một chùm photon, ta có thể biết được phân bố góc tán

xạ θ của các photon Biểu thức giải tích của phân bố này là công thức Klein - Nishina(Davisson 1995) Sự phụ thuộc của tiết diện tán xạ compton vào Z và E được tính gần

đúng theo công thức:

Hệ số suy giảm tuyến tính μσ = σ.ρ.NA/M minh hoạ trong hình 1.15 và hình 1.16 chothấy: Tiết diện tán xạ compton có thể so sánh được với tiết diện hấp thụ quang điện trongkhoảng năng lượng 150 keV với Ge và 60 keV với Si Tiết diện này sẽ tăng nhanh vàchiếm ưu thế trong tiết diện toàn phần ở năng lượng cao hơn

1.4.3 Tạo cặp

Trong vùng năng lượng cao (vài MeV), tạo cặp là tương tác chủ yếu của các tia

gamma Trong quá trình này, năng lượng của một photon trong trường coulomb bị biến

đổi thành một cặp electrôn-pôsitrôn Vì thế năng lượng photon phải lớn hơn hai lần nănglượng tương ứng với khối lượng nghỉ của electrôn (1022 keV) Năng lượng còn lại Eγ-2.m0c2 được chia cho hai hạt dưới dạng động năng Hai hạt pôsitrôn và electrôn chuyểnđộng chậm dần trong vật liệu sau đó sẽ tương tác với một electrôn và hủy cặp Nếu quá

trình diễn ra sau khi pôsitrôn hầu như đã mất hết toàn bộ động năng thì hai photon sinh ra

có năng lượng cỡ m0c2= 511 keV Để bảo toàn xung lượng, hai photon này sẽ phát ra gầnnhư ngược chiều nhau Do electrôn liên kết chặt với nguyên tử nên một lượng nhỏ nănglượng được truyền cho nguyên tử tương ứng với xung lượng Do sự mất năng lượng nàynên năng lượng của hai photon sẽ nhỏ hơn m0c2 một chút So sánh với giá trị m0c2 =511.0034 keV, Shizuma và cộng sự (1976) đã tính và đưa ra giá trị trung bình năng lượngbức xạ huỷ của nhôm là 510.9957 keV Yoshizawa và các cộng sự (1984) đã đo giá trị

năng lượng trung bình của photon huỷ cặp đối với một số vật liệu Do hiệu ứng Doppler

sinh ra trong chuyển động của các electrôn tại điểm huỷ cặp, độ rộng tự nhiên của vạchphoton huỷ vào khoảng 2 keV

Như trong quá trình tán xạ compton, năng lượng ban đầu của photon không bị mất hết

ở vị trí trương tác trong lần tương tác đầu tiên Động năng của cặp pôsitrôn-electrôn sẽ bị

hấp thụ ở vị trí tương tác nhưng các photon 511 keV sẽ mang năng lượng của chúng đến

vị trí khác và tiếp tục tương tác bằng tán xạ compton hoặc hấp thụ quang điện

Các tính toán tiết diện của quá trình tạo cặp cho thấy nó thay đổi theo Z và tỉ lệ với Z2

Sự phụ thuộc của hệ số suy giảm tuyến tính vào quá trình tạo cặp, μK= K.ρ.NA/M, được

minh họa trên hình 1.15 (với Ge) và hình 1.16 (với Si) Có thể thấy rằng nó chiếm ưu thếtrong tiết diện toàn phần ở năng lượng trên 10 MeV Với các vật liệu có Z cao hơn sựchiếm ưu thế này sẽ xảy ra ở năng lượng thấp hơn

1.4.4 Các quá trình tương tác khác

Ngoài ba tương tác trên, photon còn có các quá trình tương tác khác, nó ít xảy ra hơn

và không quan trọng lắm trong dải năng lượng được đề cập ở đây Có hai quá trình làm

thay đổi hướng của photon mà không làm mất năng lượng Tán xạ Rayleigh xảy ra với

các electrôn ở lớp ngoài và tán xạ Thompson xảy ra với các electrôn tự do Hai tán xạ này

thường bị bỏ qua trong rất nhiều trường hợp

Tất cả các quá trình vừa đề cập đều thuộc về tương tác của photon với electrôn Rấthiếm trường hợp photon tương tác với hạt nhân Trong tán xạ cộng hưởng hạt nhân, năng

lượng của photon được truyền cho hạt nhân và hạt nhân bị dịch lên trạng thái kích thích

Hạt nhân sẽ phân rã bằng cách phát ra một hay nhiều tia gamma Năng lượng toàn phầnphát ra sẽ bằng năng lượng của photon ban đầu (ngoại trừ các photon bị tán xạ ngược).Photon cũng có thể tương tác với thế coulomb của hạt nhân (tán xạ Delbruck) Các quátrình này có thể được chú ý và giữ vai trò quan trọng trong những trường hợp rất đặc biệt

nhưng chúng không thật sự quan trọng lắm trong các phép đo được đề cập ở đây

1.4.5 Sự suy giảm của số photon

Các tương tác đã đề cập là tương tác của từng photon riêng lẻ Bây giờ ta sẽ đề cập đếncác hiệu ứng suy giảm của một chùm photon đơn năng khi đi qua một lớp vật liệu Nếu

chùm này đập vào một lớp vật liệu mỏng (hình 1.20), phía sau lớp sẽ xuất hiện một số

photon và electrôn có năng lượng khác nhau Một sự mô tả đầy đủ quá trình suy giảm sẽgồm có phân bố góc, năng lượng của các photon và electrôn sinh ra, mô tả này là rất phứctạp và chỉ có thể hoàn thiện bằng các tính toán Monte Carlo Trong đo phổ gamma,

thường chỉ chú ý đến phần các photon đơn năng đã truyền qua lớp mà không xảy ratương tác Thuật ngữ “suy giảm” biểu thị các photon còn lại sau khi đã bị hấp thụ hoặc

tán xạ trong lớp vật liệu Hệ số suy giảm tuyến tính toàn phần μ là tổng của ba hệ số suygiảm riêng phần,

Hình 1.20 Tương tác của tia gamma trong một tấm mỏng (1) tán xạ compton, photonsau tán xạ γ’ thoát ra khỏi tấm, e- tán xạ bị hấp thụ; (2) không tương tác; (3) tán xạcompton sau đó xảy ra hấp thụ quang điện phát tia X; (4) không tương tác; (5) tạo cặp (e-,e+) và huỷ cặp γa; (6) hiệu ứng quang điện phát eletron.

Giá trị μ/ρ của hỗn hợp hoặc hợp chất được tính từ các thành phần theo công thức:

i i

i

w.( )



trong đó wi là tỉ lệ khối lượng, (μ/ρ)i là hệ số suy giảm khối lượng của nguyên tố thứ i

Sự thay đổi của các tiết diện (τ, σ, К) đã được tính (Storm và Israel 1970, Veigele 1973)

và được thực nghiệm xác nhận là chính xác Bảng 6.1 trình bày giá trị μ/ρ của một số vật

liệu Nếu biết được độ dày của thiết bị hấp thụ, thành phần các nguyên tố và giá trị N, thì

có thể tính được N0 theo công thức (1.20) Tuy nhiên cũng cần phải chú ý khi photon điqua vật chất ở những góc khác nhau Khi đó cần sử dụng quãng chạy trung bình để tínhtoán và hiệu chỉnh sự suy giảm (xem 4.7)

Trong thực nghiệm cần lưu ý các trường hợp photon bị tán xạ nhưng năng lượngkhông bị suy giảm nhiều Thực tế không thể phân biệt được các photon này với cácphoton không tán xạ Vì vậy trong đo đạc cần phải chuẩn trực và bố trí tốt thí nghiệm,trong tính toán cần phải chú ý đến hiện tượng này để hiệu chỉnh

1.5 Xử lý số liệu thống kê

Mục đích của hầu hết các phép đo là tìm ra giá trị của các đại lượng vật lý Giá trị này

có thể đo trực tiếp hoặc tính từ các đại lượng đo Trong cả hai trường hợp, ta đều phải xử

lý thống kê số liệu để thu được giá trị cuối cùng và sai số của nó Thông thường, các phép

đo được lặp lại và giá trị mong đợi được suy ra từ xử lý thống kê phân bố của các kết quả

đo Trong điều kiện đặc biệt, một số phép đo chỉ thực hiện được một lần và giá trị cần tìm

phải suy ra từ lần đo duy nhất này Trong đo phổ gamma và tia X, các đại lượng như

năng lượng, hoạt độ thường được suy ra từ các giá trị đo khác

1.5.1 Xác suất phân bố

Nếu một đại lượng được đo nhiều lần bằng một hay nhiều phương pháp khác nhau ởmột hay nhiều phòng thí nghiệm thì các giá trị thu được sẽ có sự khác nhau Chúng có sự

thăng giáng và do đó không biết được giá trị đúng của đại lượng cần đo Độ lệch của giá

trị đo được so với giá trị thực thường được gọi là sai số của phép đo Độ lệch mang tínhthống kê do sự thay đổi ngẫu nhiên của một hay nhiều yếu tố thực nghiệm, ví dụ của thiết

bị đo, quan sát của người đo, của môi trường hoặc do bản chất của đại lượng đo (thăng

giáng trong tốc độ phân rã của chất phóng xạ).

Trong đo ghi bức xạ, phân bố Gauss và phân bố Poisson thường hay được sử dụng

Phân Gauss hoặc phân bố chuẩn được áp dụng để tìm giá trị thực của đại lượng đo Trong

các phép đo mà kết quả chỉ có các giá trị nguyên dương thì các độ lệch ngẫu nhiên được

mô tả bằng phân bố Poisson Hai phân bố này là hoàn toàn khác nhau nhưng khi số đếmthống kê lớn hai phân bố này sẽ có giá trị gần nhau Dưới đây là một số đặc điểm của cácphân bố này

1 )

Hình 1.21 Hàm mật độ xác suất của phân bố Gauss f(x) và phân bố poisson F(x), m =

12 vàσ2

= 12

Độ rộng và độ lệch của phân bố có giá trị khác nhau, w = 2.355σ

Xác suất p(xa, xb) để một giá trị rơi vào khoảng [xa, xb] là

Các giá trị đo là không chính xác như giá trị lý thuyết hoặc giá trị thực vì vậy phân bố

là khả năng có thể có của tất cả các giá trị đo Một tập hợp các giá trị xi là một mẫu củaphân bố Với một số lớn các giá trị xi, phân bố sẽ tập trung quanh một giá trị và có dạngcủa phân bố lý thuyết

Phân bố biên độ của các xung bức xạ trong đầu dò bán dẫn của một tia gamma đơn

năng bị hấp thụ hoàn toàn năng lượng trong thể tích của đầu dò có dạng phân bố Gauss

Khi những biên độ xung này được số hoá bằng bộ đổi tương tự số, ta sẽ thu được mộtbiểu đồ các độ cao có giá trị p(xj, xj +∆x) Trong đó j là số kênh và ∆x là độ rộng kênh

Nếu đỉnh phân bố đủ rộng trên một số lớn kênh (cỡ 15 kênh) thì biểu đồ sẽ có dạng giốngphân bố Gauss

1.5.1.2 Phân bố Poisson

Phân bố Poisson được mô tả bằng hàm mật độ xác suất:

! )

(

x

e m

Hình 1.22 Hàm mật độ xác suất của phân bố Poisson với m = 2.5

Trong đó x là một số nguyên dương và m>0 Tham số m sẽ qui định dạng của phân bố

Hình 1.22 minh hoạ phân bố Poisson với m = 2.5 Khi m bé, F(x) rất bất đối xứng (hình1.22) Hàm F(x) là chuẩn hoá nên tổng các F(x) trên đoạn từ x = 0 đến +∞là xác định

Giá trị mong đợi của x được xác định từ trọng tâm thứ nhất của phân bố:

∑∞=

=

0

) (

x

x xF

) ( ) (

x

x F m x

Đặc điểm quan trọng của phân bố Poisson là phương sai bằng với giá trị trung bình, vì

vậy độ rộng của phân bố không phụ thuộc biến số như trong phân bố Gauss Nếu biết một

đại lượng nào đó tuân theo phân bố Poisson thì có thể dự đoán về sự phân bố của các kết

quả trước khi đo Điều này không áp dụng được với phân bố Gauss

Khi m tăng, độ lệch của phân bố Poisson sẽ giảm dần và bé hơn so với phân bố Gaussvới cùng giá trị m (Hình 1.21 minh họa hai phân bố với m = 12 vàσ2

= 12)

1.5.2 Giá trị trung bình và độ lệch chuẩn

Trong thực nghiệm hoặc tính toán nếu thu được một tập hợp các giá trị xi(i=1, 2, …,n)của một đại lượng X, giá trị trung bình số học x được tính:

w

x w

x

1

wilà trọng số của các giá trị xi

Nếu một đại lượng có phân bố Gauss hoặc Poisson và x1, x2, …xn là các giá trị thu

được bằng cách lặp lại phép đo trong cùng một điều kiện (các xi có độ tin cậy giốngnhau), trung bình số học theo phương trình (1.29) là cách tốt nhất để ước lượng giá trị mcủa phân bố Khi tăng số lần đo (n tăng), trung bình số học sẽ dần đến giá trị m

Độ lệch chuẩn tương đối

x

s(x)

được gọi là hệ số phương sai v.

Phương sai thực nghiệm của giá trị trung bình s2 (x) thường ký hiệu bằng var(x), giátrị này bé hơn n lần so với s2(x), do đó:

) 1 (

) ( ) ( )

2 2

x x n

x s

x

s

n i i

s lệch so với x một hệ số bằng hoặc lớn hơn 2 lần là dấu hiệu chứng tỏ phân bố thu

được khác với phân bố Poisson

Sự khác nhau giữas2(x)vàxlà dấu hiệu để quyết định kiểm tra sự phù hợp bằng khibình phương Khi bình phương χ2

và khi bình phương rút gọn 2

R

 cho phân bố Poisson

được xác định như sau:

x s n

1

2 2

2

) ( 1 ) ( ) 1 (

x

x s n

R

) ( ) 1 (

2 2

và giá trị N được dùng như độ

lệch chuẩn s(N) của thực nghiệm

Khi mỗi giá trị của tập số liệu xi có phương sai si2 và không bằng nhau thì trung bình

trọng số theo công thức (1.30) sẽ là ước lượng tốt hơn so với trung bình số học cho giá trị

m Giá trị trọng số thường được sử dụng là nghịch đảo của các phương sai, wi = 1/si2

Phương sai củaxcó thể suy luận theo hai cách Phương sai “ngoại” thu được từ biểu thức(1.32) với các hệ số trọng số

n

i i i

w n

x x w x

) ( )

Phương sai nội không phụ thuộc còn phương sai ngoại phụ thuộc vào sự phù hợp của số

liệu thực nghiệm Trong hai phương sai, phương sai nào lớn hơn sẽ được dùng làmphương sai củax

Với phân bố Gauss, nếu s ibằng với độ lệch chuẩnσ, mối liên hệ giữa khi bình phương

và phương sai như sau:

Một kết quả đo thường được trình bày ở dạng x±u Giá trị xcủa đại lượng X có thể

thu được từ một loạt các phép đo đại lượng X, hoặc suy ra từ các giá trị z1, z2, … của cácđại lượng Z1, Z2, … có mối quan hệ với X theo một hàm X = F(Z1, Z2, …) Giá

trịx±usẽ dao động quanh giá trị thực, do đó u thường được gọi là sai số Cách gọi này cóthể dẫn đến sự nhầm lẫn Theo ISO 1984, sai số của phép đo là giá trị đo được trừ cho giátrị thực của đại lượng đo Giá trị thực và sai số thường không được biết do đó ta chỉ biếtrằng giá trị đo thu được là có chút ít sai lệch và tìm xác suất đóng góp của sai số vào kếtquả đo Để đánh giá mức độ sai lệch và sai số ta thường đánh giá độ tin cậy và khoảng tincậy

Bảng 1.6 Một số hệ số Student

34568102050

1.321.201.151.111.081.061.031.01

4.33.22.82.62.42.32.12.0

19.29.26.65.54.54.13.43.16

100 1.00 2.0 3.1

Để thuận tiện người ta định nghĩa khoảng giá trị từ x−u đến x+ubao bọc giá trị thực

m là khoảng tin cậy Trong trường hợp đại lượng X có một số các giá trị đo xi, độ lệch

chuẩn của giá trị trung bình là giá trị gần đúng của độ tin cậy Kết quả của một chuỗi cácphép đo có thể biểu diễn dưới dạngx+s (x) Với phân bố Gauss khi số lần lặp lại phép đo

n đủ lớn (n>20) trong cùng một điều kiện (trọng số bằng nhau với tất cả xi), xác suất đểgiá trị thực m rơi vào khoảng x+s (x)vào cỡ 68% Nếu khoảng tin cậy được lên gấp đôihoặc gấp ba thì xác suất để giá trị thực rơi vào sẽ tăng lên 95% và 99.7% Để đảm bảo giátrị của phân bố ở mức “1σ” (68%), “2σ” (95%) hoặc “3σ” (99.7%), giá trị s (x) được

nhân với hệ số Student t phụ thuộc n và mức tin cậy (bảng 1.6)

Trong đo đạc thực nghiệm, khi áp dụng phân bố Poisson, kết quả của mỗi phép đođược đánh giá là N ± N Từ đặc điểm của phân bố Poisson, nếu N không quá nhỏ(N>100), khoảng giữa N - N và N + N là xấp xỉ bằng khoảng tin cậy ứng với mức tincậy 68%

Các trình bày về độ tin cậy của giá trị đo ở trên có liên quan đến bản chất thống kê của

đại lượng đo Trong thực nghiệm còn cần phải tính đến độ tin cậy của hệ thống Độ tin

cậy này đánh giá mức độ hoàn hảo của thực nghiệm, ví dụ một thiết bị chuẩn sai, chỉnhsai khi bố trí thí nghiệm hoặc đánh giá sai khi quan sát Như vậy trong một kết quả đo sẽ

có đóng góp của hai loại sai số: sai số thống kê và sai số hệ thống

Sự khác nhau giữa sai số thống kê và sai số hệ thống là không rõ ràng Một chuỗi các

phép đo lặp lại luôn tạo ra sai số thống kê Nếu kết quả đo được sử dụng như một tham sốtrong phép đo khác, sai số thống kê trong thực nghiệm đầu tiên sẽ trở thành sai số hệ

thống khi sử dụng trong tính toán kết quả của thực nghiệm thứ hai

Để phân biệt giữa sai số thống kê và sai số hệ thống, Văn phòng đo lường quốc tế

-Bureau International des Poids et Mesures (BIPM) đã đưa ra khái niệm “sai số loại A” và

“sai số loại B” “sai số loại A” là sai số đánh giá được bằng phương pháp thống kê qua một chuỗi các phép đo lặp lại “Sai số loại B” là sai số có thể đánh giá được bằng các công cụ khác (Giacomo 1981) Sai số loại A được đánh giá bằng độ lệch chuẩn sAvà sai

số loại B đánh giá bằng độ lệch sB Sai số hệ thống có thể đánh giá và loại trừ được bằngcác mẫu chuẩn Trong thực nghiệm nếu “nghi ngờ” có sai số hệ thống, cần phải đánh giá

“độ lệch chuẩn” Sai số của cả hai thành phần là

2 2

B

A s

s

Cách viết kết quả đo và sai số: Sai số của một giá trị đo, ví dụ hoạt độ của một nguồn

có thể biểu diễn ở một trong hai dạng sau: A = (75.5±0.8)Bq hoặc A = 75.5(8)Bq

Giá trị 36.2(14) được qui đổi thành (36.2±1.4) và 7.125(5).10-3 thành (7.125 ±

0.005).10-3

1.5.3.2 Truyền sai số

Trong hầu hết các thực nghiệm, giá trị của đại lượng quan tâm thường không đo được

trực tiếp mà phải suy ra từ giá trị của các đại lượng khác Ví dụ hoạt độ A của nguồn

gamma được tính từ tốc độ đếm n của một đầu dò có hiệu suất є, xác suất phát gamma p

và hệ số hiệu chỉnh C (hoặc C = C1C2…) theo công thức

X = F(Z 1 , Z 2 , Z n ) (1.41)

trong đó mỗi giá trị Z kcó một giá trị sai số tương ứng

Theo quy tắc truyền sai số, phương sai s 2 (X) được xác định theo biểu thức

) ( )

1

2

k Z

k k

Z s Z

F x

x

s

Trong trường hợp mức tin cậy lớn hơn 68% (Muller 1979) không được phép thay thế

độ lệch chuẩn s(Z k ) trong phương trình (1.42) bằng các đại lượng u k liên quan đến mức

tin cậy

1.5.3.3 Tương quan giữa các đại lượng

Khi một giá trị x được tính theo phương trình X = F(Z 1 , Z 2 , ), để đánh giá mức độ tương quan giữa các giá trị Z, ta đánh giá phương sai s(z k ,z l ) và được ký hiệu là covar (z k ,

z l ) Covar là thước đo sự tương quan giữa Z k và Z l Từ qui tắc truyền sai số:

) , ( 2

) ( )

(

1 2

2

1

2

l k z l k v

k v

k

l k k

v

k k z

z z s Z

F z Z

F z

s Z

F x

s

l k

k z z z z

n z

z

s

1

) )(

( 1

1 )

,

z ki và z li là các giá trị của Z k và Z l thu được đồng thời trong phép đo thứ i, n là số phép

đo, z kvà z llà các giá trị trung bình tương ứng Các độ lệch và phương sai có dạng ma

trận với các phần tử trên đường chéo là s 2 (z k ) = s(z k ,z k ).

Tỉ số

) ( ) (

) , ( ) ,

(

l k

l k l

k

z s z s

z z s z z

được gọi là hệ số tương quan Nó có giá trị bằng 0 nếu z k và z lkhông tương quan, bằng

1 nếu hoàn toàn tương quan với nhau

Nếu biểu diễn X dưới dạng một tỉ số của các đại lượng riêng Z k , ví dụ X =

k l

l k l k kl

k q c z z v z v z z

v x

v

2 2

) ( ) ( ) , ( 2

) ( )

Thay s(z k ,z l ) trong phương trình (1.44) bằng c(z k ,z l )s(z k )s(z l ) như trong phương trình (1.46), hệ số q kl bằng 1 nếu cả Z k và Z lcùng ở tử hoặc mẫu số; bằng -1 khi không cùng tửhoặc mẫu số

Thông thường ta chỉ đo một vài giá trị z k với sai số s(z k ) (dưới dạng độ lệch chuẩn) cho

mỗi đại lượng Zk Nếu Z k và Z l là tương quan, chúng sẽ phụ thuộc chung vào một đại

lượng bên ngoài Y với một ước số nhỏ nhất chung cho cả hai Phương sai (độ lệch chung)

trong trường hợp này được tính:

) ( )

,

Y

Z ZY

Z z

z

s

y l y

k l

Ví dụ đường chuẩn hiệu suất của đầu dò đo với nguồn hoạt độ A, có hai năng lượng E 1

và E 2 Để đơn giản, ta giả thuyết p 1 = p 2 = 0 và C 1 = C 2 = 1.0 Từ phương trình (1.40) ta

có ε 1 = n 1 /A và ε 2 = n 2 /A Giả thuyết thêm rằng các độ lệch chuẩn tương đối là v(n 1 ) =

v(n 2 ) = 1% và v(A) = 3%, theo phương trình (1.43) ta có v(ε 1 ) = v(ε 2 ) = 2 2

1

3 + % = 3,16%.

Sau đó sử dụng đầu dò này xác định tỉ số tốc độ phát gamma B 1 và B 2của một nguồnkhác có các năng lượng giống như chuẩn trên Các tốc độ đếm thu được là '

1

n và ' 2

n , sai số

v(n 1 ) = v(n 2 ) = 1%.

1 '

2

2 '

% 1 ) 16 , 3 ( 1 )

là hệ số tương quan của ε 1 và ε 2 Các giá trị tương quan của n 1 và n 2 , n i và ε i là bằngkhông Từ phương trình (1.46) ta có:

90 , 0 16 , 3

3 ) ( ) (

) ( )

( ) (

) ( )

,

2

2 1 2

2 1

2 2 1 2

A s s

s

A s A A

Ứng dụng phương trình (1.47) ta có:

)()(),(2)()()()

Như vậy hiệu ứng tương quan đã làm giảm sai số từ 4,96% xuống 2% Mối tương

quan giữa các hệ số là một đặc trưng quan trọng trong hàm khớp số liệu và tính sai số

1.5.4 Giới hạn phát hiện

Trong các ứng dụng như đánh giá độ tinh khiết của nguồn bức xạ, giới hạn phát hiện

đối với chất phóng xạ là vô cùng quan trọng Giới hạn này được biết như là tốc độ phát

thấp nhất mà thiết bị hoặc phương pháp có thể phát hiện được Nó phụ thuộc vào thànhphần mẫu, năng lượng của bức xạ, khoảng cách giữa nguồn và đầu dò, hiệu suất của đầu

dò, phông bức xạ và thời gian đo

Trong đo tổng tích phân, ta thu được hai giá trị N và Nbtương ứng với trường hợp có

mẫu và không mẫu, thời gian của hai phép đo là như nhau Nếu độ lệch chuẩn của phông

là s(Nb) = N b và số đếm do các photon phát ra từ mẫu là N s = N - N bnằm trong khoảng

thăng giáng của số đếm phông s(Nb) thì không có dấu hiệu rõ rệt sự tồn tại hiệu ứng củamẫu Nếu Nslớn hơn 3s(Nb), xác suất xuất hiện hiệu ứng mẫu là khá cao Do đó, có thểtrình bày đánh giá đầu tiên của giới hạn phát hiện là:

b

N

Để chính xác hơn, hai khái niệm là giới hạn quyết định (decision limit) và giới hạn đo

(detection limit) đã được đưa ra Currie (1968) đã chỉ ra sự khác nhau giữa hai kiểu giới

hạn này

Giới hạn quyết định Lc muốn nói rằng các kết quả đo N và Nbcung cấp một khả năng

cho phép đánh giá kết quả Giới hạn này được xác định theo công thức:

b

c k N

Với phân bố Gauss, m + kασ là khoảng mà giá trị phân tích vượt ra với xác suất bằng

α Từ phương trình (1.23) ta có thể viết p(m + kασ, ∞) = α Với α = 5%, kα= 1,65; α =1%, kα= 2,33 (p(-∞, m + 1,65σ) = 0,95 và p(m-2σ, m + 2σ) = 0,95) Như vậy xác suất

phân bố của kết quả N - Nb= Lc là (1 - α) Nói cách khác, kết quả N - Nb= Lc có xác

suất bị sai là α (sai số thuộc loại đầu tiên).

Giới hạn quyết định (decision limit) thường chỉ áp dụng sau khi đo Nếu trước khi đo

câu hỏi đặt ra là: tốc độ phát của nguồn tối thiểu là bao nhiêu để kết quả có xác suất cần

thiết? Vấn đề này giải quyết bằng giới hạn đo “detection limit” LD

là 5% thì kα= kβ= 1.65

Phương trình (1.53) và (1.54) chỉ áp dụng khi Nb> 5 với điều kiện thời gian đo Nbvà

N bằng hoặc xấp xỉ bằng nhau Công thức chính xác hơn cho Lc và LD được trình bày

trong German standard DIN 1987

Thông thường tốc độ đếm phông nb được xác định từ phép đo có thời gian đo Tblớn

hơn thời gian đo mẫu T, do đó độ lệch chuẩn của Nb= nbT là bé hơn N b Nếu Tb>> Tthì s(Nb) << N b và đóng góp vào sai số của số đếm phông có thể bỏ qua

Các trình bày ở trên đều tập trung vào trường hợp số đếm tích phân thấp Trong trườnghợp các đỉnh trong phổ bị ảnh hưởng bởi phân bố liên tục do tán xạ compton, giới hạnxác định của một đỉnh có cường độ bé phụ thuộc vào thiết bị đo và toàn bộ phổ Trongminh họa ở hình 1.23, các xung tạo ra từ tia gamma quan tâm được tích lũy vào một đỉnh

ở kênh k có độ phân giải W kênh Câu hỏi đặt ra là các đóng góp xung quanh kênh k là

của tia gamma quan tâm hay chỉ là thăng giáng của phông?

Hình 1.23 Phân bố số đếm của một đỉnh có cường độ bé trong phổ, k và W là vị trí vàFWHM; I là khoảng tính diện tích đỉnh; Nb,l+ Nb,r= Nb là số đếm phông; N là số đếmtrong khoảng I

Trong trường hợp này ta không thể đánh giá bằng hai phép đo riêng (có mẫu và không

có mẫu) vì phông hầu như là do các bức xạ năng lượng cao của mẫu tạo ra Giả sử phân

bố của phông trong khu vực lân cận đỉnh là tuyến tính, số đếm phông Nbcủa đỉnh có thể

tính từ số đếm phông ở vùng bên trái và vùng bên phải của đỉnh Từ các giá trị của N và

Nb, giới hạn quyết định và giới hạn đo được tính theo phương trình (1.53) và (1.54) Vấn

đề còn lại là chọn khoảng tính diện tích I như thế nào cho phù hợp? Nếu chọn I quá nhỏ

sẽ mất nhiều sự kiện thực, nếu chọn I quá lớn sai số phông Nbsẽ tăng Về mặt toán họcchọn I = 1,2W là đủ độ chính xác cần thiết Trong trường hợp trọng tâm của đỉnh khôngtrùng với kênh trung tâm, số kênh I sẽ được làm tròn với giá trị lớn hơn Trường hợp trênhình 1.23, W = 3,8 kênh và I = (1,2).(3,8) + 1 = 5,56 được làm tròn là 6 kênh

1.6 Các phương pháp khớp

Nếu một tập hợp các điểm thực nghiệm được mô tả bằng các tọa độ (xi,yi), i = 1,…, n,

để xác định được giá trị tốt nhất của y tại giá trị x bất kỳ, cần phải tìm một hàm f(x) liên

tục và đi qua các điểm thực nghiệm yi Trước hết cần phải xác định dạng của f (x) sau đó

xác định các tham số bằng phương pháp khớp bình phương tối thiểu

Để đơn giản, ta giả thuyết rằng:

- f(x) và đạo hàm bậc nhất của nó theo x là liên tục;

- Các giá trị xiđược biết chính xác;

- Số m tham số trong hàm f(x) cần xác định là ít hơn số điểm thực nghiệm n;

- Các giá trị yilà không tương quan với nhau và

- Độ tin cậy (uncertainties) sicủa các giá trị yilà đã biết

Dưới đây ta sẽ trình bày trường hợp biểu thức giải tích là tuyến tính sau đó mở rộngcho trường hợp phi tuyến

1.6.1 Khớp bình phương tối thiểu tuyến tính

Nếu ajlà các tham số của hàm f(x), j = 1, 2, …, m, thì f (x) có thể được viết dướidạng:

) ( )

(

1

x g a x

Về mặt toán học các hàm gj(x) có thể có dạng bất kỳ nhưng ở đây ta sẽ giới hạn các

gj(x) là độc lập tuyến tính Ví dụ điển hình của loại hàm này là đa thức của x trong đó

g1(x) = 1, g2(x) = x, g3(x) = x2,… gm(x) = xm-1hoặc gj(x) = sin(jx) và gj(x) = e-λjxtrong đó

λjlà các hằng số đã biết

Hai câu hỏi được đặt ra là: Xác định các giá trị tốt nhất của aj bằng tiêu chuẩn nào?

Phải sử dụng phương pháp toán học nào để tính các giá trị ‘tốt nhất’ này? Thông thường,

về mặt toán học ta tìm các dạng hàm gần đúng với các tham số aj sao cho bình phươngphần dư là cực tiểu

) ( 

i j j i n

i

n i i

i w y a g x r

không có lời giải riêng Trường hợp này ta có thể giảm bớt các hệ số của f(x) hoặc bằngcách tạo thêm nhiều điểm số liệu Nếu m = n, hệ phương trình sẽ cho lời giải phù hợp với

các điểm số liệu, có nghĩa là cực tiểu của R2 bằng 0 Nếu n > m, các tham số aj là thừa

điều kiện để xác định và giải pháp đưa ra có thể là một đường trung bình đi qua các điểm

i k k i

j i k i

k w g x g x w y g x

a

) ( )

( )

Các phương trình này được biết như các phương trình chuẩn và có thể giải được bằng

một chuỗi các phép biến đổi toán học Dưới đây là một ví dụ đơn giản cho trường hợpmột đường thẳng Lời giải tổng quát được viết dưới dạng ma trận, các véc tơ A và V có

i y g x w

có thể sử dụng một số phương pháp biến đổi phức tạp để làm giảm sai số

Giả sử hàm khớp có dạng đường thẳng f(x) = a1+ a2.x Hai giá trị cần tìm là a1 và a2,

từ (1.60b) ta có hai phương trình:

a1∑ + ∑ =∑

i i i

i i

i x a w x w x y

Theo phương pháp số học, nhân phương trình thứ nhất với -∑

i i

i w x y w x w x y

tương tự như với a2, ta có:

i i

x w

i

i

i

x w x w w x

i

i i

x w w

x w x w

2

1 -

Ma trận M và M-1là độc lập với các giá trị yi và phụ thuộc vào dạng hàm của gj do đó

phụ thuộc vào giá trị xi Đây là một điểm quan trọng khi thảo luận về độ tin cậy của giá

trị aj Độ chính xác của các giá trị ajphụ thuộc vào việc làm tròn trong quá trình tính Nếusai số của việc làm tròn là không lớn thì độ chính xác của kết quả phụ thuộc vào cáchthực hiện phép tính

Khi đã xác định được các tham số aj thì giá trị và đạo hàm của f(x) có thể tính đượcvới mọi giá trị của x Tuy nhiên trong một số trường hợp ta sẽ cần ước lượng phương saicủa các tham số và của giá trị tính

Với khớp đường thẳng, phương sai nội của các tham số được xác định như sau (Beers1957):

∑

=

i i

w

D )

(a

Các ajđược tính từ cùng một tập số liệu nên có tương quan với nhau, sự tương quan

trở nên quan trọng trong tính toán độ tin cậy của các đại lượng phụ thuộc vào nhiều hơnmột số hạng aj Tương quan này được gọi là hiệp phương sai - covar Trường hợp đườngthẳng:

i x

So sánh với phương trình (1.67c) có thể thấy rằng ba giá trị của các phương trình(1.68a-c) cũng là các phần tử của ma trận nghịch đảo M-1, các phần tử trên đường chéo làcác phương sai nội và các hệ số ngoài đường chéo là phương sai Mối liên hệ này đúng

trong trường hợp tổng quát Ma trận nghịch đảo và các phương sai nội phụ thuộc vào vị

trí của các điểm số liệu (ví dụ các xi) nhưng không phụ thuộc vào các giá trị yi.

Như đã đề cập trong phần 1.5.2, có thể tính hai phương sai cho mỗi tham số: phương

sai nội s(aj,2) và phương sai ngoại s(aj,1) Hai phương sai này liên hệ với nhau theo côngthức:

) ( 1

1

i i i i

m n m

 được sử dụng nhiều hơn giá

trị phương sai nội và phương sai ngoại vì 2

R

 phụ thuộc vào yicòn phương sai ngoại phụthuộc vào các điểm số liệu được khớp

Độ tin cậy của các đại lượng được suy ra từ các tham số aj được tính theo qui tắc

truyền sai số (công thức 1.44) Ví dụ độ tin cậy của hàm f(x)= a1+a2x được tính đơn giản

là căn bậc hai của:

var[f(x)] = var(a1) + x2.var(a2) + 2.x.covar(a1, a2) (1.70)Một cách trực quan, trong trường hợp khớp đường thẳng hệ số covar sẽ âm nên làmgiảm phương sai của hàm f(x) Cũng có thể chỉ ra rằng phương sai là cực tiểu tại “tâm”của các điểm số liệu và tăng đều theo mỗi hướng

Nếu các giả thuyết toán học đã đề cập ở đầu phần không đúng với các số liệu đang

được xem xét thì cần sử dụng các phương pháp khác để xử lý Hiệu ứng tương quan giữa

các giá trị yisẽ được thảo luận trong phần 4.2.1.3 Nếu một kết quả thực nghiệm có sai sốtrong cả yivà xithì có thể tham khảo các nghiên cứu của Riggs và cộng sự (1978)

1.6.2 Khớp bình phương tối thiểu phi tuyến

Phần trên đã trình bày cách xác định các tham số của một hàm tuyến tính, bây giờ ta sẽtrình bày tóm tắt về một số phương pháp được sử dụng để xác định các tham số của hàmphi tuyến Các phương pháp phi tuyến được sử dụng trong hầu hết các quá trình xác định

vị trí và diện tích đỉnh phổ Ví dụ trường hợp f(x) là một hàm Gauss có dạng:

2 2 2 ) (

1)

a x

e a

a

=

trong đó a1và a3là các giá trị hoạt độ, a2và a4là các hằng số phân rã

Giống như trong trường hợp tuyến tính, giá trị “tốt nhất” của các tham số ajđược xácđịnh bằng cách cực tiểu hoá R2 theo phương trình (1.58) Tại R2 đạt cực tiểu, đạo hàm

riêng theo các aj có giá trị bằng không Khác với trường hợp tuyến tính là các đạo hàmnày tạo ra một hệ các phương trình phức tạp không thể giải một cách đơn giản và đơn trị.Cách giải gần đúng và đơn giản là tìm một cách ngẫu nhiên trong khoảng không giantham số các giá trị mà R2 là nhỏ nhất Phương pháp tìm kiếm sẽ hiệu quả hơn khi f(x) làmột hàm giải tích và có các đạo hàm xác định Đơn giản nhất, có thể khai triển Taylorhàm f(x) trong khoảng không gian tham số, xác định điểm ban đầu a0trong không giantham số và tính sự thay đổi của hàm f(x) tại điểm a0+δa Khi đó:

k j k j

j j

a a da

df da

df a

da

df

) a f(x,

a)

Nếu rút gọn chuỗi này ở gần đúng bậc nhất, biểu thức mới của f(x) là tuyến tính vớicác tham số δaj Thay thế biểu thức rút gọn này cho R2(phương trình 1.58) bài toán trở vềtrường hợp bình phương tối thiểu tuyến tính Khi đó:

a da

df ) a

; x ( y w