Thầy giáo Nguyễn Đức Huấn trường THCS Phan Bội Châu huyện Tứ Kỳ, tỉnh Hải Dương xin giới thiệu tập tài liệu nâng cao hình học lớp 7 chương 3 tap 2 để các thầy cô và các em tham khảo trong quá trình ôn tập. Chúc các thầy cô và các em thành công
Trang 1TẬP 2
$4:TÍNH CHẤT BA ĐƯỜNG TRUNG TRỰC CỦA TAM GIÁC
Bài 1: Cho xOy = a (a<90°) và điểm M năm trong góc đó Ở ngoài góc góc
xOy lay hai điểm E và F sao cho Ox là đường trung trực của đoạn thăng ME, Oy là đường trung trực của đoạn MF a) Chứng minh OE = OF; b) Tính góc EOF theo a c) Nếu z=90° thì điểm O ở vị trí nào trên đoạn thắng EF? vì sao? HD: a) Theo tính chất đường trung trực ta có OE = OM; OM = OF > OE=OFE b) Gọi I là giao điểm của EM và Ox H là giao điểm của FM và Oy
AEOM cân có OI là đường trung trực
nên đồng thời là đường phân giác EOM =2Ó,
Chứng minh tương tự có FOM =2Ó,
=> EOF = BOM + FOM =2(0, +0,)=2a
c) Néu a=90° thi EOF =180° = E, O, F thang hang
lai cé OE = OF = O 1a trung điểm của EF
Trang 2Nguyễn Đức Huấn - THCS Phan Bội Châu — Tứ Kỳ - Hải Dương Lại có 4BC=70° > BAD=70° > CAD =BAD-BAC =70° —40° =30°
b) Tacé BAD=70° > MAB =110° ACB =70° => ACD =110° = MAB = ACD
= AAMB = ACDA (c.g.c) = MB=AD ma AD = BD
= MB=BD = ABMD can tai B
Bài 3: Cho AABC có A = 120” Đường trung trực của AB va AC cắt nhau tai I
cắt cạnh BC lần lượt tại D, E ù a) Các tam giác ABD, ACE là tam giác gì?
b) Tinh BIC
HD:
a) Theo t/c đường trung trực ta có: LA = IB = IC Vậy ALIAB, AIAC là các tam giác cân b) AIAB can tai I > BIA=180°-24 Tuong ty c6 CIA =180° -24, = BIC = BIA+CIA = 360° -2( 4, + 4,)=360° -2.120° =120°
Bài 4: Cho AABC cân tại A Trên tia đối của tia BC lay diém D sao cho BD = BA, trên tia đối của tia CB lây điểm E sao cho CE = CA Kẻ trung tuyến BM của AABD, trung tuyến CN của AACE BM và CN cắt nhau tạiO Chứng minh AO 1 DE
HD:
BD = BA = ABAD can tai B
có BM là đường trung tuyến D con = E
ứng với cạnh đáy thì đồng thời oA jo
Trang 3Từ (1) và (2) = OA là đường trung trực của DE = OA L DE
Bài 5: Cho AABC không vuông Các đường trung trực của AB và AC cắt nhau tại O, cắt đường thăng BC theo thứ tự tại M, N Chứng minh rằng tia AO là tia phân giác của góc MAN ˆ HD: 1\2 M, O thuộc trung trực của AB > B € N 1 MA = MB; OA = OB (1); OA = OC (2) M = AOAM = AOBM (c.c.c) > 4=, O Chứng minh tương tự có: 4 =€,
Từ (1), 2) = AOBC cân tại O => B =C, = 4=A, = AO la phan gidc cha MON
Bài 6: Cho AABC có Â = 110” Đường trung trực của AB và AC cắt cạnh BC
_— A
theo thứ tự tại E và E Tính E4F' HD:
Theo t/c đường trung trực ta có: Be h °C
EA =EB = AEAB can taiE=> 4 =B
Tuong tircé 4, =C
=> 4 +4, =B+C=180° — 4 =180° -110° =70°
= EAF = BAC-(4,+4,)=110" - 70° = 40°
Bài 7: Cho AABC cân (AB = AC) Trên cạnh AB và AC lần lượt lay hai điểm M va N sao cho AM = AN, gọi giao điểm của BN và CM là I Chứng minh: AI
là đường trung trực của BC HD:
Trang 4Nguyễn Đức Huấn - THCS Phan Bội Châu — Tứ Kỳ - Hải Dương
= IB =ÏIC lại có AB = AC = AI là đường trung trực của BC = AI 1 BC Bài 8: Cho AABC có A = 120°, B-C=30° Đường trung trực của BC cắt cạnh AC tại D, cắt tia đối của tia AB tại E 7 a) Tính các góc của AABC b) Ching minh EBD = ECD = ADB =30° HD: a) A= 120° > B+C=60° Lai cé B-C =30° (gt) > B=45°;C=15° b) D thuộc đường trung trực của BC > DB = DC = ADBC can tai D = DBC =DCB=15° => B,=B-DBC =45° -15° =30° D, =180° —B, — A =180° —30° -120° = 30°
AEDB = AEDC (c.c.c) > C, =B, =30° => dpem
Bai 9: Cho AABC cé AC > AB Trén canh CA lay diém E sao cho CE = AB
Các đường trung trực của BE va AC cắt nhau tại O Chứng minh rằng: a) AAOB = ACOE A b) AO là phân giác của góc  HD: a) Theo t/c duong trung truc ta co OA = OC ; OB = OE lai cé AB = CE (gt) B Lc => AAOB = ACOE (c.c.c) b) AAOB =ACOE = 4 =C (1) A Ta có OA=OC = AAOC can taiO = 4,=C, (2) Từ (1) và (2) = A; =A) = dpem
1) Bai todn tong quat:
Trang 5Các đường trung trực của DE và ÁC cắt nhau tại O Chứng minh rang: AO là phân giác của góc A
2) Bài toán này còn phát biểu dưới dạng:
Cho AABC, các điểm D, E thay đổi vị trí trên các cạnh AB, AC sao cho AD = CE Chứng mình rằng các đường trung trực của DE luôn luôn đi qua điểm cô định (đó là giao điểm của đường trung trực của ÁC và tia phân giác của góc Á)
Bài 10: Cho AABC cân tại A Trên cạnh Ab, AC lần lượt lấy hai điểm M và N
sao cho AM + AN = AB Đường trung trực của AB cắt
đường phân giác của góc A tại O Chứng minh: a) ABOM = AAON b) Khi M, N di động trên hai cạnh AB, AC nhưng vẫn có AM + AN = AB thì đường trung trực của MN luôn đi qua một điêm cô định HD: a) Ta có: AM + AN = AB (gt) AM + MB=AB
=> AN = BM O thuộc đường trung truc cua AB = OA = OB => AAOB can tai O
=> B=4=A4, = ABOM=AAON (c.g.c) > OM=ON
b) Đường trung trực của AB và phân giác của góc  là cố định nên giao điểm O của chúng là cô định
Ta có OM = ON (chứng minh trên) nên O thuộc trung trực của MN Vậy đường trung trực của MN luôn đi qua một điểm có định là O
Bài 11: Cho góc xOy cố định ( xy z 180°) Trên Ox lấy điểm M, trên Oy lấy
điểm N sao cho OM + ON = m không đổi Chứng minh rằng đường trung trực
của MN luôn luôn đi qua một điểm có định khi M, N thay đổi trên Ox, Oy
Trang 6Nguyễn Đức Huấn - THCS Phan Bội Châu — Tứ Kỳ - Hải Dương
Trên tia Oy lấy điểm P sao cho OP =m => NP=OM (1)
Vé phan gidc Oz cua géc xOy vẽ đường trung trực của OP cắt OZ tail => IO=IP (2) | => AIOP can tail > 7,=P ma 0,=6, (gt) 0, =P (3) 0 NT ——— Từ (1), (2), 3) = AIMO = AINP (c.g.c)
=> IM=IN = I thuộc đường trung trực của MN
Vì góc xOy cố định nên Oz cố định P e Oy mà OP = m không đổi nên điểm P
cố định, vì vậy đường trun trực của OP cỗ định => I cố định
Vậy đường trung trực của MN luôn luôn đi qua một điểm cô định khi M, N thay
đối trên Ox, Oy
Bài 12: Cho AABC đều Gọi D là điểm nằm giữa A và B, E là điểm nằm giữa A
và C sao cho BD = AE Chứng minh rằng khi D và E thay đổi trên các cạnh AB và AC thì đường trung trực của đoạn DE luôn luôn đi qua tâm O đường tròn A ngoại tiếp AABC HD: Gọi O là giao điểm của hai đường trung trực của AB và DE
=> OA=OB;OD=OE lạicó AE=BD (gt)
= ABDO = AAEO (c.c.c) = BDO = 4EO
= ADO=CEO (cing bu voi hai géc bang nhau)
Ta có AB= AC; AE=BD = AD=EC
= AODA = AOEC (c.g.c)
Trang 7Bài 13*: Cho AABC Tìm điểm E thuộc đường phân giác của góc ngoài tại đỉnh
A sao cho AEBC có chu vi nhỏ nhất HD: Chu vi AEBC = EB + EC + BC mà BC không đổi do đó chu vi AEBC nhỏ nhất khi EB + EC nhỏ nhất Vẽ BH L m, cắt CA tại D
AABD có AH là phân giác mà AH L BD => AABD can tai A
do đó AH cũng là đường trung trực cua BD => EB = ED Do đó
EB + EC = ED + EC > CD Dấu "=" xảy ra © E năm giữa C và D khi đó E = A
vậy chu vi AEBC nhỏ nhất © E = A
Bài 14*: Cho AABC nhọn Tìm điểm M trên cạnh BC sao cho nếu vẽ các điểm D, E trong đó AB là đường trung trực của MD, AC là đường trung trực của ME thì DE có độ dài nhỏ nhất ` E HD: Í D Kẻ AH 1 BC ` Theo t/c đường trung trực ta có: AD = AM= AE r “he ⁄ Chứng minh được
DAE =2BAC không đỗi
AADE cân có góc ở đỉnh không đổi nên cạnh đáy DE nhỏ nhất
nếu cạnh bên nhỏ nhất
Trang 8Nguyễn Đức Huấn - THCS Phan Bội Châu — Tứ Kỳ - Hải Dương
Bài 15*: Cho điểm A nằm trong góc nhọn xOy Tìm điểm B thuộc tia Ox, điểm
E
C thuộc tia Oy sao cho AABC có chu vi nhỏ nhất
HD: Dựng điểm D và E sao cho
Trang 9$4:TINH CHAT BA DUONG CAO CUA TAM GIAC
Bài 1: Cho AABC vuông tại A, đường cao AH Gọi D là trung điểm của HB, E là trung điểm của HC, F là trung điểm của AH Chứng minh răng CF L AD, BF L AE
HD: A
Ta cé AF = FH; DB = DH
— DF là đường trung bình của AAHB F => DEF //AB mà AB | AC = DF 1 AC
AADC cé DF 1 AC; AH | DC
nên F là trực tâm của AADC => CF 1 AD Chứng minh tương tự ta có BF L AE
Bài 2: Cho AABC cân tại A, đường cao AH Kẻ HE L AC Gọi I là trung điểm Ơi TỊ m a) OI | AH b) AI L BE HD: a) AEHC co IE = JH (gt), OE = OC (gt) = OI là đường trung bình của AEHC = OI//HC mà AH | HC > OI L AH b) AAHO co OI L AH, HI 1L AO = I là trực tâm của AAHO => AI I1 HO Chứng minh OH //BE => AI L BE
Trang 10Nguyễn Đức Huấn - THCS Phan Bội Châu — Tứ Kỳ - Hải Dương
= AABI = ACKA (c.g.c) > AI = AK
b) Vi AABI = ACKA
= 7,=A mà 7,+14D=90° = 4 +14D=90° hay 14K =901
ma AI = AK AAIK vuông cân
Bài 4: Cho AABC có cạnh BC lớn nhất Trên cạnh BC lấy điểm D va E sao cho BD = BA và CE = CA Tia phân giác của góc B cắt AE tại M, tia phân giác của góc C cắt AD tại N Chứng minh rằng phân giác của 54C vuông góc với MN
HD: Ị
BD =BA = ABAD cân tại B
có BM là phân giác thì đồng là đường cao
=> BM 1 AD M
Chứng minh tương tự có CN L AE AAMN có hai đường cao cắt nhau tại H
=> H là trực tâm của AAMN = AH 1 MN
Mặt khác H lại là giao điểm của phân giác góc B và góc C của AABC nên AH là phân giác của góc A
Vậy phân giác của góc A vuông góc với MN
Bài 5: Cho AABC vuông ở A, đường cao AH, phân giác AD Goi I, J lần lượt là giao điểm của các đường phân giác của các tam giác ABH, ACH, E là giao điểm của các đường thắng BI với A1
a) Chứng minh rằng AABE vuông b) Chimg minh rang IJ 1 AD
Trang 11b) Goi F là giao điểm của CJ với AI
Chứng minh tương tự câu a) ta có JC 1 Al
A AJI có hai đường cao cắt nhau tại P — P là trực tâm của AAIJ > AP 1 IJ AABC có hai phân giác BE và CF cắt nhau tại P > AP là phân giác của 84C hay AD 1 JJ
c) Gọi N là giao điểm của LJ với AC
AAMN có AP là đường phân giác mà AP L MN = AAMN cân tại A ma A = 90? > AAMN vuông cân => AMI =45° lai cé IHA=45° (gt) > AMI =IHA
lại có M41 =14H (gt) AAIM = AAIH (g.c.g) = AM=AH = AAMH can tai
A có AI là đường phân giác thì đồng thời là đường trung trực AI L MH Bài 6: Cho AABC vuông tại A Trên cạnh BC lấy hai điểm D và E sao cho BD = BA và CE=CA
a) Chứng minh rằng giao điểm I các phân giác của AABC là giao điểm các đường trung trực của AADE
b) Gọi m là khoảng cách từ I đến các cạnh của AABC Tính DE theo m
c) Tính EAD A
HD: N
a) AABD cân tại B có BIlà đường
phân giác thì đồng thừi là đường
trung trực của AD
Chứng minh tương tự có CIlà ““ —§ ME D °C
Trang 12Nguyễn Đức Huấn - THCS Phan Bội Châu — Tứ Kỳ - Hải Dương
=> DE = EM + MD =m +m = 2m
c) Ta có IM =MD = ME =IM= DE
AIDE cé IM 1a đường trung tuyến mà IM = 2 DE = FID =90°
Gọi giao điểm của AI với BC là F
Vì CI là đường trung trực của AE = IA = IE hay AIAE cân tại I => EIF =2EAI (Uc góc ngoài của AAIE) = E41 =2 BIP
Chứng minh tương tự có 14D= 271Ð
= EAD = EAI-+ TAD ==(BIF + FID) =— BID = +90° = 45'
Bài 7: Cho AABC Qua mỗi đỉnh A, B, C kẻ các đường song song với cạnh đối diện, chúng cắt nhau tạo thành ADEE Chứng minh rằng các đường cao của AABC là các đường trung trực của ADEE D A E HD: K | Ta có AD // BC (gt), DB // AC (gt) = AD = BC (tinh chất đoạn chắn) B H C Tương tự có AE = BC => AD = AE(1) Ta có AH 1 BC mà BC //DE = AH 1 DE(2) Từ (1) và (2) > AH là đường trung trực của DE
Chứng minh tương tự có BI, CK lần lượt là các đường
trung trực của DE, EF Vậy các đường cao của AABC là các đường trung trực của ADEF
Bai 8: Cho AABC can tại A, cạnh đáy nhỏ hơn cạnh bên Đường trung trực của AC cắt đường thắng BC tại M Trên tia đối của tia AM lấy điểm N sao cho AN = BM a) Chimg minh rang AMC = BAC
b) Chứng minh CM = CN
c) Muốn cho CM L CN thì AABC cân cho trước phải có điều kiện gì?
HD:
Trang 13a) M thuộc đường trung trực của AC > MA = MC = AMAC can tai M
Hai tam giac MAC và ABC là những tam giác cân lại có chung góc ở đấy nên góc ở đỉnh bằng nhau hay AMC = BAC
b) AMAC cân tại M => 4 =C,
lại có Œ =7 (AABC cân) > 4=, => NAC =MBA Xét AABM và ACAN có: MỸ MB = AN (gt); NAC = MBA (c/m trén) AB = AC (vi AABC can) => AABM = ACAN (c.g.c) => AM=CN ma AM=CM > CM=CN c) ACMN cân tại C do đó CM 1 CN © MCN =90° <> AMC =45° © BAC =45°
Bài 9: Cho AABC cân tại A, biết  = 30” Kẻ đường cao BD va trén tia BD lay
điểm K sao cho BK = AB a) Chứng minh AABK đều
b) Goi H là trực tâm của AABC Chứng mình CH = 2CD A HD:
a) AABD vuông tai D có Â = 30 > 4BD=60°
lại có BA = BK = AABK đều
Trang 14Nguyễn Đức Huấn - THCS Phan Bội Châu — Tứ Kỳ - Hải Dương
Bài 10: Cho AABC đều và điểm M năng giữa B và C Đường thăng kẻ qua M song song với AC cắt AB ở P, đường thắng qua M song song với AB cắt AC tại N
a) Chứng minh ABPM, AMCN là các tam giác đều
b) Gọi giao điểm của AM va PN là I, gọi O là trọng tâm của AABC Chứng minh AOAN = AOBP
c) Chứng minh OT là đường trung trực của NP HD: a) PM // AC > PMB=C =60° lai cé PBM =60° = APMB đều tương tự có A NMC đều b) AABC đều có O là trọng tâm thì đồng thời là giao điểm của ba đường phân giác > 4 =B, =30° Ta có BP = PM (vì ABPM đều) lại có PM = AN (t/c doan chan) = BP=AN Xét AOAN và AOBP có: AN = BP (chứng minh trên) 4 =8, =30° (chứng minh trên) OA = OB (vì AABC đều) = AOAN = AOBP (c.g.c) c) Xét AAIN va AMIP có
AN = PM (c/m trén); IAN = IMP; INA= IPM (so le trong)
= AAIN = AMIP (g.c.g) = IP = IN lai co OP = ON (vi AOAN = AOBP) = OI là đường trung trực của PN
Bài 11*: Cho AABC vuông tại A, đường cao AH, trung tuyến AM Trên tia đỗi của tia MA lay điểm D sao cho MD = MA trên tia đối của AH lấy điểm E sao cho AE = BC Tính số đo góc EDC
HD:
Trang 15Ké EI L DC; goia điểm của BA với EI là K E Ta có 4 =€, (cùng phụ với 74C) => AABC = AKEA (cạnh huyền góc nhọn) => AC=AK (1); Theo t/c đoạn chăn ta có: A AC =KI; AK=CT (2) / Từ (1) và (2) = KIE=CTI (3) B —k Cc HM AAMB = ADMC (c.g.c) => AB =CD \\/ D ma AB = EK (AABC = AKEA) > EK=CD (4) Từ @) và (4) = KI + EK = CI + CD
=> EI= ID = AEID vuông can tail > EDC =45°
Bài 12: Cho AABC M là một điểm nằm trong tam gidc sao cho ABM = ACM Gọi H và K tương ứng là hình chiếu của M trên AB và AC Chứng minh rang
trung trực của HK đi qua trung điểm của BC 2 HD: Goi Q, I lần lượt là trung điểm của BM va CM AHBM vuông tại H có HỌ là đường trung tuyến ứng với cạnh huyền = HQ=BQ=QM= -BM (1) P Chứng minh tương tự có KI=IM=IC= = MC (2)
Ta có PQ là đường trung binh cua AMBC = PQ // MC va PQ = 2MC (3)
Chứng minh tương tự có PI// BM va Pr=—BM (4)
Từ (1) và (4) = HQ = PI (5) Từ (2) và (3) = PQ = KI (6)
Trang 16Nguyễn Đức Huấn - THCS Phan Bội Châu — Tứ Kỳ - Hải Dương Từ HQ = BQ = A QBH cân tại Q => @ =2Z, (góc ngoài của AQBH) Tương tự có 7 =2Œ, mà 8 =€, (g1) = Ø =1, Ta có PQ // MI; PI//QM > MOP =MIP => Q+MQP=1,+MIP > HOP=KIP (7) Tir (5), (6), (7) > AQHP = AIPK (c.g.c) > PH = PK = P thuộc đường trung truc cua HK
Bài 13: Cho AABC nhọn Trên đường trung trực của AB, AC, BC kẻ từ các trung điểm L, K, H của các cạnh này và ở phía ngoài tam giác lẫy tương ứng các điểm M,N, P sao cho IM =| yp KN =14C - HP =-` BC 2 2 2 Chứng minh a) IN = IP b) MN = AP c) MN 1 AP HD: a) Ta có IK là đường trung bình của AABC = IK // BC va IK = = BC Tương tự có HI // AC va HI = = AC Do d6 K,=H,(=C) = IKN = PHI Xét AKIN va AHPI cé: IK = HP (= = BO); IKN = PHI (c/m trén); NK = HI = [=3.4c)
= AKIN = AHIP (c.g.c) > IN=IP
b)Tacé AKIN = AHIP = 1, =P laicé 7, =H, (so le trong)
=> [,+1,+HIP=P+H,+ HIP =90° (vi AHPI cé BHP =90°) hay MIP =90°
Trang 17= MIN = AIP(=90° + AIN]
— AAIP = AMIN (c.g.c) > MN = AP
c) Gọi giao điểm của AP với MN 1a Q, giao diém của AB với MN là E
Ta có AAIP=AMIN => QAE=IME ma 4EQ=IEM (đỗi đỉnh)
= QAE+QEA=IME+IEM =90° > AQE=90° Vay AP L MN
Bài : Cho AABC Vẽ ra phía ngoài tam giác đó hai tam giác đều là ABE và
ACE Gọi I là trung điểm của BC, H là trực tâm của AABE Trên tỉa đối của tia IH lay diém K sao cho HI = IK Chứng minh: F a) AAHF = ACKE F b) AKHF déu HD: a) ABIH = ACIK (c.g.c) => BH =CK (1) và 7787 = KCI K AABE đều có H là trực tâm thì đồng thời là trọng tâm và là giao điểm của ba đường phân giác
Do đó HB = HA (2) va B, = 4, =30°
Tu (1) va (2) = AH=CK va KCI = HBI = ABC +30°
Ta có KCF = 360° -(FCA+ ACB + KCI) = 360° -(60° + ACB +30° + ABC] = 270° -(ABC + ACB) =90° + BAC
Lai cé AHF = A, + BAC + A, =30° + BAC +60° =90° + BAC = HAF=KCF => AAHF =ACKF (c.g.c)
b) AAHF = ACKF = FH =FK (3) va AFH =CFK
ee cae eee _—
Từ (3) va (4) => dpcm
Trang 18Nguyễn Đức Huấn - THCS Phan Bội Châu — Tứ Kỳ - Hải Dương ON TAP CHUONG III
Bài 1: Cho AABC có ba góc nhọn, đường cao AH Vẽ điểm D sao cho AB là đường trung trực của HD, vẽ điểm E sao cho AC là đường trung trực của HE
DE cắt AB, AC theo thứ tự tại I và K Chứng minh rằng:
a) AADE cân 2
b) HA là phân giác của góc IHK c) IC là tia phân giác của góc HIK d) BK 1 AC
Chú ý: Câu d) có thể hỏi cách khác:
Chirng minh AH, BK, CI dong qui B Nc
HD:
a) Theo t/c đường trung trực ta có AD = AH; AH= AE => AD=AE = AADE cân tại A
D
b) Ta có ID = IH (tc đường trung trực) > AIHD cân tại I có IB là đường trung
trực thì đông thời là đường phân giác = IB là phân giác góc D/⁄
b) Chứng minh tương tự có KC là phân giác của góc EK/
AHIK có hai đường phân giác góc ngoài tại đỉnh I và K cắt nhau tại A > HA 1a đường phân giác góc JK
c) Vì HA là đường phân giác góc 7K mà HC L HA = HC là đường phân giác góc ngoài tại đỉnh H của AHIC
AHKC có hai đường phân giác góc ngoài tại đỉnh H và K cắt nhau tại C = IC 1a đường phân giác của góc HIK
d) Chứng minh tương tự câu c) có KB là đường phân giác cua trong cua AHIK còn K€ là đường phân giác ngoài > BK 1 AC
Chú ý: Chứng minh câu b) cách khác
AAID = AAIH (c.c.c) > IHA=IDA AKHA = AKEA (c.c.c) => KHA=KEA
Lai cé IDA=KEA (vì AADE cân tại A) = [HA=KHA hay HA là phân giác của IHK
Trang 19Bài 2: Cho nhọn AABC, đường cao AH Về phía ngoài của tam giác vẽ các tam
giác vuông cân ABE và ACF vuông ở B và C Trên tia đối của tia AH lây điểm ]
sao cho AI = BC Chimg minh: a) AABI = ABEC b) BI = EC và BI 1 CE c) Ba đường thẳng AH, CE, BF cắt nhau tại một điểm HD: a) IAB = 180° - BAH = 180° -(90° - ABC} — 90° + ABC = EBC A => AABI = ABEC (c.g.c) E b) AABI = ABEC => BI=EC
Gọi giao điểm của AB với EC là M x B H AABI= ABEC = ABM =BEM ma ABM +MEC =90° => BEM + MBE =90° => AMBE vuông tại M = BI 1 EC c) Chứng minh tương tự CI | BF
AIBC có IH, BN, CM là ba đường cao vậy chúng đồng qui
Bài 3: Cho AABC vuông ở A, có Ê=30°, đường cao AH Trên đoạn HC lẫy
điểm D sao cho HD = HB Từ C kẻ CE L AD Chứng minh răng: a) AABD đều A b) AH =CE c) EH// AC HD:
a)AABD có AH là đường cao đồng B é— 4 D C
thời là đường tung tuyến => AABD cân tại A SN Lai cé B=90° —C =90° -30° = 60° = AABD déu E
b) AABD déu > BAD =60° > DAC =30°=C
Trang 20Nguyễn Đức Huấn - THCS Phan Bội Châu — Tứ Kỳ - Hải Dương
= ADAC cân tại D > DA = DC
= AHAD = AECD (cạnh huyền góc nhọn) => AH = CE
c) AHAD = AECD = DH=DE = AHDE can tai D
ma AADC can tai D lai cé HDE = ADC (đối đỉnh)
=> C=DHE ma hai géc nay 6 vin tri so le trong => HE // AC
Bài 4: Cho AABC đều Trên tia đối của các tia CB, AC, BA lây các diém M, N,
P sao cho CM = AN = AB Chimg minh: N a) AMNP déu b) Hai tam giác MNP và ABC có chung trọng tâm HD: a) AABC đều > 2=8==601 LOSS = NAP =PBM =MCN =150° AABC déu = AB = BC =CN lai cod PB = CM = AN P => AP=BM=CN —> AANP = ABPM = ACMN (c.g.c) => NP=PM=MN = AMNP đều
b) Gọi O là trọng tâm của AABCVIì AABC đều nên O cũng là giao điểm của ba đường phân giác trong AABC
Vì AABC déu > OA = OB = OC
= AOAN = AOBP = AOCM (c.g.c) = ON = OP = OM
= O là giao điểm ba đường trung trực của AMNP mà AMNP đều nên O cũng là
trong tam cua AMNP
Bài 5: Cho AABC vuông tại A có AH là đường cao Gọi M,N lần lượt là trung điểm của AH, CH Chứng minh rằng BM L AN
HD:
Trang 21MA = MH; NH = NC (gt) A => MN la duong trung binh cua AAHC => MN// AC ma AC L AB => MN | AB AABN có AH 1 BN, MN 1 AB Bé b "QC => M là trực tâm cua AABN > BM AN
Bai 6: Cho AABC, trung tuyén AM Goi H 1a truc tam, O 1a giao điểm các đường trung trực của AABC a) Chứng minh rằng AH = 2.OM b) Gọi G là giao điểm của AM và HO Chứng minh rằng G là trọng tâm của AABC c) Chứng minh HG = 2GO HD:
a) Cách 1: Gọi N là trung điểm của AC Gọi I; K lần lượt là trung điểm của AH, BH = IK là đường trung bình của AAHB => IK= 5 AB va IK // AB (1) MN la duong trung binh cua AABC — MN = 5 AB va MN // AB (2) Tw (1) va (2) > IK = MN va IK // MN
mặt khác BH // OM (cùng vuông góc với AC) => /KH =ONM (hai góc có cạnh
tương ứng song song)
chứng minh tương tự có K1 =OMN
= AKIH = ANMO (g.c.g) => IH= OM mà AH =2IH = AH=2.OM
Cách 2:
Trên tia CH lay diém K sao cho OC = OK
Trang 22Nguyễn Đức Huấn - THCS Phan Bội Châu — Tứ Kỳ - Hải Dương
= ON// AK lại có BH//ON => AK/BH() a
OM là đường trung bình của ABCK = OM= -BK và OM// BK K mà OM // AH (cùng vuông góc với BC) => BK // AH (2) Tir (1) va (2) > BK = AH Bể TM ° mà OM = = BK = OM= 5 AH hay AH = 2.0M b) Gọi P; Q lần lượt là trung điểm của AG và HG —> PQ là đường trung bình cua AAHG = PQ// AH va AH =2.PQ Theo cau a) ta c6 OM // AH va AH = 2.0M
=> PQ//OM va PQ= OM => APQG = AMOG (g.c.g) = GM = GP ma GP = AP
=> GM= AM mà AM là đường trung tuyến => G là trọng tâm của AABC c) Từ APQG = AMOG > GQ = GO mà HG = 2QG > HG = 2.GO
Bài 7: Cho AABC Gọi H, G, O lần lượt là trực tâm, trong tam, giao điểm của ba
đường trung trực của AABC Gọi M là trung điểm của BC.Chứng minh rằng
A
a) AH = 2.0M
b) H, G, O thang hang HD:
a) Có hai cach làm tương tự bài trên
Trang 23PGO+OGM =180° > OGM +OGM =180° = O, G, H thang hang
Bai 8: Cho AABC có Â = 120” AD là phân giác Gọi H, K lần lượt là hình chiếu
của D trên AB và AC Qua B và C vẽ các đường thắng song song với AD lần lượt cắt AC và AB tại E và F Chứng minh răng:
a) Các tam giác ABE và ACF đều b) ADHK đều HD: a) BAC =120° > ¡ =„= 601 Ta có Ay = Ay = 2 B4c = 60° B=A, =60° (so le trong) = 4 =B=60° = AABE đều
Chứng minh tương tự có AACF đều b) Vì AD là phân giác của góc Â
= DH=DK > ADHK cân tại D (1)
ADHA vuông tại H => 77D4=90°- 4) =90°—60° =309 Chứng minh tương tự có KD4=30°
= HDK =60° (2)
Từ (1) và (2) > ADHK đều
Bài 9: Cho AABC đều, D là điểm tuỳ ý trên cạnh BC Đường thắng qua D song song với AB cắt AC tại E„ đường thăng qua D song song với AC cắt AB tại E
Gọi M, N tương ứng là trung điểm BE và CF Chứng minh: a) AD = BE=CF b) ADMN đều HD: a) AABC déu > 4=B=C=60° Ta có 5DF =€=ó60° (đồng vị)
ABDF có B = BDF =60° => ABDF déu = BD = BF = DF
Xét AABD va ACBF co
Trang 24Nguyễn Đức Huấn - THCS Phan Bội Châu — Tứ Kỳ - Hải Dương AB = BC ( vi AABC déu) A 4BD là góc chung BD = BF (vì ABDF đều) => AABD = ACBF (c.g.c) => AD=CF(1) Tương tự có AACD = ABCE (c.g.c) => AD = BE (2) Từ (1) và (2) = AD = BE = CF b) ABDF déu > BDF =60° > FDC =120° Tương tự có EDB =120° = FDC = EDB =120° Xét ABDE và AFDC có: BD = DF; FDC = EDB=120° ; DE=DC = ABDE = AFDC (c.g.c) > # =€, Ta có CN= CF: ME =~ BE ma CF = BE > CN=ME
Xét AMED va ANCD cé ME = NC; £,=C,; DE=DC = AMED = ANCD (c.g.c) = DM = DN (1) va MDE = NDC
= MDE+EDN = NDC+EDN =60° hay MDN =60° (2)
Tir (1) va (2) = ADMN déu
Bai 10: Cho AABC Trên tai đối Bx và Cy của các tia BA và CA lấy các điểm D và E sao cho BD = CE Gọi M và N theo thứ tự là trung điểm của DE và BC Đường thắng song song vẽ từ N với Cy và đường thắng song song vẽ từ E với BC cắt nhau ở G
a) Chứng minh ba điểm F, M, G thắng hàng
b) Chứng minh rằng NM là phân giác của FNG
c) Ba đường thắng AB, MN, AC cắt nhau ở các điểm A, P, Q Chứng minh răng
AAPQ cân
HD:
Trang 25a) Ta có BN // DF (gt); BD // NF (gt) > DF = BN (t/c đoạn chăn) Tương tự có EG = NC mà BN = NC (gt) > DF = EG DF // EG (cùng song song với BC) = FDM =GEM Xét ADMEF và AEMG có: DF = EG (c/m trén) ; FDM =GEM ; MD = ME
= ADMF = AEMG (c.g.c) = DMF =EMG => EMG+EMF = DMF + EMG =180° = ba diém F, M, G thang hang
b) Theo t/c đoạn chắn ta có NF = BD; NG = CE ma BD = CE (gt) = NF = NG => ANFG can tai N
Trang 26Nguyễn Đức Huấn - THCS Phan Bội Châu — Tứ Kỳ - Hải Dương
Bài 11: Cho AABC cân tại A, M là điểm bất kì chạy trên BC đường thẳng song song với AC vẽ từ M cắt AB ở E Đường thắng song song với AB vẽ từ M cắt
AC ở D Chứng minh ME + MD không đổi khi M thay đổi trên cạnh BC HD: M,=C; C=B => M,=B8 => AEBM cân tại E > ME = BE D Lại có MD = AE (t/c đoạn chắn) => ME + MD = BE + AE = AB không đổi Bài 12: Cho AABC cân tại A, M là điểm bất kì chạy trên BC Kẻ ME L AB; MD L AC Chứng minh rằng:
a) Nếu M ở trên đoạn BC thi MD + ME không đổi A
b) Néu M nam ngoai doan BC thi [MD - ME| khong đổi HD: a) Cach 1: Ké BH 1 AC; MK 1 BH = MK // AC (cùng vuông góc với BH) = BMK=C ma C=EBM B bc = EBM = Ku Nw
Trang 27Kẻ BN L AC; BF 1L MD Ta có BE // AC (cùng vuong góc với MD) A — => B,=C ma C=B =B, => B, =B, = ABME = ABMF (canh huyén géc nhon) = ME=MF = MD - ME=MD- MF = DF =BN (khong déi)
Tương tự nếu M nằm trên tia đối của tia CB ta có: ME - MD không đổi
Vậy |MD- ME| không đôi