Thầy giáo Nguyễn Đức Huấn trường THCS Phan Bội Châu xin giới thiệu tập tài liệu về phương trình tham số lop 9 không mẫu mực trong các đề thi vào lớp 10 để các thầy cô và các em học sinh tham khảo. Chúc các thầy cô và các em thành công
Trang 1MỘT SỐ PHƯƠNG TRÌNH CÂN LƯU Ý
Bai 1:
1) Cho phuong trinh : 3x” - 5x +m=0
Xác định m để phương trình có hai nghiệm thoả mãn: x/ˆ— x,7 => HD: Ấ AC 25 Ta có A=25 - l2m >0 m <5 X, +x, = > (1) Theo Viets ta có 3 m Xi.*; =3 (2) 5 3_ 3 5 1 x) -Xx," = ©(xi+x,)(x ~%z)=0S©2(m~x#;)=g © xi, =3 (3) Từ (1) và (3) > x, =1 x, -+ thay vào (2) ta được m = 2
2) Cho phương trình x”+ 2x + m= 0 Tìm m để phương trình có hai nghiệm xị,
xa thoả mãn: x¡”- x;ˆ= 12
3) Cho phương trình an: x: 3x”- mx + 2 = 0
Xác định m để pt có hai nghiệm thoã mãn: 3x¡x¿ = 2x; - 2 HD: A =m -24 >0 © m>2V6; m<2v6 xX, +X, =| (1) Theo hệ thức vi ét và đề bài ta có 4 x,x, =5 (2) 3xx; =2x; —2 (3)
Từ (2) và (3) = xạ = 2 = xị = ; thế vào (1) = m=7 (thoa man DK)
4) (Tuyén sinh vao 10 Da Nang 2015 - 2016)
Cho phương trình xŸ - 2(m — 1)x — 2m = 0, với m 1a tham sé
a) Giải phương trình khi m = l1
Trang 2Gọi Xị và xạ là hai nghiệm của phương trình, tìm tât cả các giá trị của m sao cho
X+x¡-Xạ=5—-2m
HD:
a) Thay m = 1 được phương trình : x?— 2 = 0 © x?=2>x=+ V2
Vậy khi m = 1, phương trình có hai nghiệm x= 42 và x;ạ=- V2
b) C6 A= b” — ac = [-(m-1)]’-1.(-2m)= m’-2m+1+2m=m’+1> 0 với mọi m
nên phương trình đã cho luôn có 2 nghiệm phân biệt với mọi m Theo Vi-et ta có : xix==P = 2(m - ])=2m-2 q Theo bài ta có x; + x¡ - xạ= 5—- 2m (2) Từ (1) và (2) ta có x, + 2x, -3 =0 > x), =1 hode x, =-3 V XÃ Tà: , 3 + Với x= xị = 1, từ đề bài ta có m= —„ + Với x= xị = -3, từ để bài ta có m= -— Vậy khi m= + : thì PT có 2 nghiệm xạ, x; thỏa : x/ +x¡—-Xạ=5—-2m Bài 2:
1) (Vào lớp10 Hải Dương: 2009-2010)
Cho phương trình xỶ - 2x + (m - 3) = 0 (an x)
a) Giải phương trình khi m = 3
b) Tính giá trị của m, biết phương trình đã cho có hai nghiệm phân biệt X,, X;Và
Trang 3Vậy m = - 5
C) x7T—x;`=8 = (x+x;)(x—x;)=8<©2(xiT—x„)=8 © xi —x; =4
mà x;+x; =2 từ đó suy ra x¡ =3;x; =-—1 lại có x;x;ạ=m—3 = 3(-1)=m-3m=0
2) (Vào lớp10 Hải Dương: 2013-2014)
Tìm m để phương trình x? —2(2m+1)x+ 4m? +4m =0 có hai nghiệm phân biệt x,,x,
thoả mãn điều kiện |x, - x;|= x + x, HD: <> (2m +1) —(4m’ +4m) >0<>1>0 (ludn ding véi moi m) , | +x =4m4+2 Theo hệ thức vi ettacó:| ` ”„ xx¿ = 4mˆ + 4m xX, +x, >0 ae (|x, -x,|) =(x+x;} m>— 4m+2>0 2 > 4m’ +4m=0 m =0 "„=—Ì Co |x, -x,|=x, +x, =| x,x, =0 Suy ra | ©m=0
3) (Vào lớp10 Hải Dương: 2009-2010)
Cho phương trình (an x): x7 -2(m+1)x +m” —1=0 Tìm giá trị của m để
Trang 44) (Vào lớp10 Hải Dương : 2010-2011)
Cho phương trình x” —3x+ =0 (1) ( là ẩn)
a) Giải phương trình (1) khi m=1
b) Tìm các giá trị m đê phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt *,,x; thỏa mãn d?+1+ệ+1 =3 c) Tìm m thỏa mãn xj - x„” =27 HD: a) m=1 tacé phuong trinh x* —3x+1=0 A=9-4=5 34/5 3-./5 x, = , x, =——— 2 2
b) Pt (1) có hai nghiém phan biét © A=9-4m>0Qm < (1)
Theo dinh li Viet x, + x, =3,x,x, =m Binh phuong ta duge Xo + x5 +242 (x7 +1)(x5 +1) =27 > x tx? t Qfxt? tx? x2 4125 Tính được x/ + x; =(%x¡ + x;)” —2x,x, =9-—2m va dua hé thirc trên về dạng Vm? —2m +10 =m+8 (2) => mˆ —2m +10 =mˆ +16m + 64 ©> 18m =—54 © m =—3
Thử lại thấy m =—3 thoa mãn pt (2) và điều kiện (1)
5) Cho phương trình x”-2(m+1)x+2m=0_ (m là tham số) a) Giải phương trình với m=]
b) Tìm m đề phương trình có hai nghiệm x¡,x; thỏa mãn yx, +2Jx; =2 (Vào 10 Hưng Yên: 2015 - 2016)
HD:
Trang 5A'>0 m°+1>0 x¡+*; >0 ©+2(m+1)>0<>m>0 X,x, 20 2m =0 Theo hệ thức Vi-ét: x, + x; = 2m + l), x,x; =2m Ta có x, tx, =V2 © x, +X, +2,./x,x, =2 <©2m+2+2x2m =2 © m =0 (thoả mãn) Bài 3:
1) Cho phương trình (ấn x) : x? —3(m +1)x + 2m? +5m +2 =0_.Tìm giá trị m dé
phương trình có hai nghiệm phân biệt x, và x; thỏa mãn |x,+x;| = 2|x,—x;| (Chuyên Ngữ: 2014 -2015)
2) Tim m dé phuong trinh: x? — 5x + m — 3 = 0 có hai nghiệm phân biệt x,, x, thoả man x; —2x,x, +3x, =1 (1) (Vao lép 10 HD nam 2016 - 2017) HD: 1) A= (m-1) >0Vm |x, +x, | = 2|x:—| => (x, +X, ý = A(x, —x,) <> 3x7 +3x,’ -10x,x, =0 <> 3(x, +x,) —16x,x, =0 <> 27(m+1) -16(2m + 5m + 2) =0 -] —5 <©> 5m” +26m +5 = © m, =—; m„ =—— 15100 ”2”2
2) Có: A= 37 - 4m, phương trình có hai nghiệm phân biệt khi A > 0 © m< a
Theo VI-et có : xị + xa = 5 (2) và xịxa = m - 3 (3)
Từ (2) suy ra xạ = 5 - xị, thay vào (1) được 3x¡7 - 13x¡ + 14 = 0, giải phương trình tìm
được Xxị = 2 ; Xi = I
3
+) Voi x; = 2 tim dugc x, = 3, thay vao (3) được m = 9
+) Với xị = ; tim duge x2 = 3 thay vào (3) được m = =
Bai 4:
1) Cho phương trình : x”— 2mx + m” —m + 1=0
Trang 6(Quảng Ninh 2013-2014) HD: Phương trình có 2 nghiệm x¡, xạ © A' >0 © m_—l >0 m>1 theo hệ thức VI -ét ta có: {* ¬ om Ó *;x;¿=m —m + Ì (2)
Ma theo bai cho, thi x,7 +2mx, =9 (3)
Thay (1) vào (3) ta được: X/ +Œ, +X,)x;, =9 SX, +X)X, +X, =9 & (K+, y’ —x,x, =9(4) Thay(1), (2) vao (4) ta duge: 4m°—m*+m-1=9 <3m’+m-10=0 5
Giải phương trình ta được: mạ = - 2 (loại) ; mạ = 3 (TMDK)
vay m= 5 thì phương trình đã cho có 2 nghiệm x; x;: x; +2mx, =9
2) Cho phương trình x7 — 2(m + 1)x + mỸ + 4 = 0 (m là tham số)
a) Giải phương trình với m = 2
Trang 7Đối chiếu với điều kiện (*) suy ra 3 <m<2 thì pt (1) có hai nghiệm x,; x,
thoa man : x? + 2(m+1)x, < 3m? +16
3) Cho phương trinh: 2x? —4mx+2m’ -1=0 (1), v6i x la 4n, m 1a tham sé
a) Chứng minh với mọi gia tri cua m, phuong trinh (1) luôn có hai nghiệm phân biệt
b) Gọi hai nghiệm của phương trình (1) là x,,x, Tim m dé 2x? +4mx, +2m° =9 <0 (Chuyên Bắc Ninh: 2013 - 2014)
HD:
a) A'=4m? —2(2m? -1)=2>0 voi moi m
Vậy (1) luôn có hai nghiệm phân biệt với mọi 7
Trang 9d) Tim m để PT có hai nghiệm nghịch đảo nhau
e) Tìm m để PT có hai nghiệm thoả mãn x;”xạ + x¡xz” = 12
f) Tim m để PT có hai nghiệm cùng dấu Khi đó hai nghiệm mang dấu gì g) Tim m dé A=x,’+x,’ dat giá trị nhỏ nhất
h) Tim m dé x? +2mx, =15
i) Tim m dé |x, +x,|=|x, —x,|
Bai 6:
Cho phương trình: x”+ 2x + m- 1=0 ( m là tham số) a) Phương trình có hai nghiệm là nghịch đảo của nhau
b) Tìm m dé phương trình có hai nghiệm x;; x; thoả mãn 3x¡+2x¿ = Ì
c) Lập phương trình ân y thoả mãn y, = x, + + 5 Vy =X, +-ˆ với X¡; Xa là nghiệm Xo x; của phương trình ở trên đ) Tìm m thỏa mãn x7 +x,x, -3x, =7 (DS: m= -2) e) Tìm m để |x, —x,|=|x, +z;| Giải a) Ta có A = lˆ-(m-1)=2—m Phương trình có hai nghiệm là nghịch đảo của nhau A>0 2-m>0 m<2 << = <> <> m = 2 P-—I m-l1=1 m=2 Vậy m= 2 b) Ta có A = 1“-(m-1)=2—m Phương trình có nghiệm => A >0 ©2-m>0<m<2(*) Khi đó theo định lí Viet ta có: xị† x¿ = -2 (l); XiXxạ=m-— 1 (2) Theo bai: 3x;+2x, = 1 (3) ` ` r X, +X =-—2 2x +2x =—4 xX =5 xX, =
Từ (1) và (3)tacó: + ' 3x, + 2x, =1 ˆ eer 3x, +2x, =1 7 oi! x, +x, =-2 oe!
Thế vào (2) ta có: 5(-7)=m-1 & m=- 34 (thod man (*))
Vậy m = -34 là giá trị cần tìm
Trang 10Theo dinh li Viet ta cé: xj+ x2 =-2 (1); x)X =m-—-1 (2) ar + — Khi do: y,+y, =x, +x, 42+ <x,+x,¢ 0729427 = 2m (m#1) X, XX, XX, m—-l1 l—m 1 1 1 1 mỸ VV = (x, +—)(xX, +—) = Hx, + +2=m-1+——+2= (m#1) x, x, XX, m—] m—] 2
=> Yi; y; là nghiệm của phương trình: yˆ - xã yt ¬ =0 (ml) —?m m—
Phương trình ân y cần lập là: (m-1)yˆ+ 2my + mổ = 0
đd) x(x+x;)—3x¿ =7 © -2x,-3x,=7 © -2(x+x,)—xy=7 © 4-x,=7
© x,=-3 x¿=l mà x.x;=m—] > m=-2
Bài 7: Cho phương trình : x”— (3m-— 1)x + 2m’-m=0 (1)
a) Chứng minh rằng với mọi giá trị của m thì phương trình (1) luôn có nghiệm
b) Tìm m đề phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt x¡; xạ thỏa mãn |x,—x;|<10
c) |x, —x,|=|x, +x,|
Bai 8: Cho phương trinh x* —2(m—-1)x+2m—5=0
a) Chimg minh rang phương trình luôn có hai nghiệm x;; xạ với mọi m
b) Tìm các giá trị của m để phương trình có hai nghiệm x¡; x; thỏa mãn điều
Trang 111) Cho phương trình x?—2mx + m? -m—6 =0 (m là tham số)
Tìm ø để phương trình có hai nghiệm x, và x, thoả mãn a) 2418 b)l|ss|=8 ©ls+s|=ls=x| đìx+x=|x=3i 2 1 HD: a) Để phương trình x?—2mx+m? -m—6 =0 có hai nghiệm thì: A'=m° ~(mẺ —m—6) =m +6 > 0 © m > —6 (1) Với điều kiện (1), 2 Xi 18 xi+ x2 18 (44%) ~ 2m Tổ và „x0 xX, xX 7 XX, 7 XX» 7 4m” —2|m” —m—6 2 © ( } 18 m+m+6 9 (nyo: m3) m”—m—6 7 m-m-—6 7
©> m2 Đm 48 =0 â m, =—4; m, =12 (thỏa điều kiện (1) và đều khác -2 và khác 3) b) Với điều kiện (1),
lx,|+|x,|=8 <> x? +x,? +2|x,x,|=64 (x, +.x,) —2x,x, +2|x,x,|= 64 (2) * Néu x, va x, cling dau thi xx, >06 I m6 “tm+2)(m-3) >0
Khi đó (2) ©(x¡ +x;)” = 64 © 4mÊ = 64 © m = +4 (thỏa điều kiện (3))
* Nếu x, và x; trái dấu thì xx, <0 © m°~m—6=(m+2)(m—3)<0>~2<m<3 (4) Khi đó (2) © (x, +x;} — 4xx, = 64 © 4m2 —4(m? — m— 6) = 64 ©>m+6 =16 © m =10 (khơng thỏa điều kiện (4) ©-6<m<-2 hoặc m>3 (3) Vay, dé |x,|+|x,|=8 thi m=+4 c) |x, +x,|=|x,-x,| << |x, +x, =|x,-x,/) << xx, =0 © m°-m-6=0 © mm =3;m, =-2 (Thỏa mãn ĐK)
2) (Vào lớp10 Hải Dương : 2006-2007)
Gọi x¡; x là hai nghiệm của phương trình x” - 2(m - 1)x - 4 = 0 (m là tham số)
Tìm m để |x,|+|x,|=5
Trang 123) Cho phương trình bậc hai : x? + 2(m+1)x+m? +m+1=0(x 1a ân, m là tham số)
a) Tim tat cả các giá trị của tham số m để phương trình có 2 nghiệm phân biệt đều âm
b) Tim tat cả các giá trị của tham số m để phương trình có 2 nghiệm x,,x, thoả
mãn : |x|+|x;|=3
4) Cho phương trình x” - 2mx - 3 = 0
Tìm m để phương trình có hai nghiệm phân biệt x:, xạ thoả mãn \jx? +4jx; =6
5) Cho phương trình x” —2(—3m+1)x—3 =0 ( với m là tham số) Tìm m nguyên để phương trình có hai nghiệm phân biệt x,,x, thoả mãn HD: Ta có A'=(1—3m} +3>0, vw nên pt luôn có 2 nghiệm phân biệt X, +X = 2(1-3m) Theo Vi-— ét co: | XX, =—3 x? +x? =4 |x, |+]x,|=4 9 x,2 +x,? +2]x,x,] = 16 > (x, +X, y —2X;X; + 2|x,x,| =16 m= ôâ4(I-3m)}`+6+6=16â(1-3m) =1 ©1-3m=+l© m= ¿›|t) © Do m nguyên nên m = 0
6) Trong trường hợp phương trình có hai nghiệm phân biệt x; va x2 voi x; < X»,
tìm tất cả các giá trị của m sao cho |x|—|x;|= 6
HD:
A’ =(m-2) +m? = 2m’ -4m+4=2(m? -2m+1)+2=2(m-1) +2>0Vm
Trang 13Vậy phương trình luôn có hai nghiệm phân biệt với mọi m Ta có S=x,+x,=2(2—m), P=x,x, =-m’ <0
Ta có |x|—|x;|=6=— x; —2|x,x,|+ x; =36 > (x, +x,) —2xx, +2x,x, =36 4(2—m) =36S (m-2Ÿ =9 m =-—lhaym =5
Khi m= -1 tacé x, =3-V10,x, =3+V10 >|x,|-|x,|=—6 (loại)
Khi m= 5 tacé x, =-3-V34,x, =-3+34 —|x,|—|x;| =6(thỏa) Vậy m = 5 thỏa yêu cầu bài toán
Bài 10:
1) (Chuyên Lê Quý Đôn Đà nẵng: 2012 - 2013)
Cho PT: x’*-2(m-1)x-1=0 (m 1a tham số) Tìm tất cả các giá trị của m để PT có
Trang 142 |x, -x,| =2 <> (|x, -x,]) =40x7-2x,x, +x, =4 x7 +2xx, +4, —4x,x, =4 2 = (x +X, ) —4x,x, =4 © m2 —4(m—2) =4 © m? Am +4= 0 ©(m~—2)” =0 © m =2
Vậy với m = 2 thì phương trình đã cho có hai nghiệm thỏa man |x, -x,|=2
3) Cho phuong trinh x? + (4m +1)x +2(m—4) =0 (1), x là ân số, mm là tham số a) Chứng minh rằng phương trình (1) luôn có hai nghiệm phân biệt voi moi m
b) Gọi xị, x; là hai nghiệm của phương trình (1) Tim m dé |x, — x,|=17 (HSG Bắc Ninh: 2013 - 2014) HD: a) A =(4m+ 1)” —§(m—4) =16n” +§m+1—Đm+32 = 16m” +33 Vi A=16m’ +33>0, VmeR nén phuong trinh (1) luôn có hai nghiệm phân biệt VỚI mỌI m b) Phương trình (1) luôn có hai nghiệm phân biệt với mọi 7z nên theo định lý x, +x, =—-(4m +1) XX, =2(m—4) Viết ta có | Theo ycbt: |x, -x;|=17 © (x —x;)}” =289 © (x, +x;)}” —4x,x; = 289 © (4m +1)?—8(m—4) = 289 © 16m? +33 = 289 © 16m? = 256 © m = +4 Vậy m =+4 là giá trị cần tìm
4) Gọi xị, x; là hai nghiệm của phương trình x” + 4x — m” — 5m = 0 Tìm các giá
Trang 15Kết hợp với đk(*), ta có m = 0, m = — 5 là các giá trị cần tìm
5) Cho phương trình x?—4mx + 4m? -m+2=0 Tìm các giá trị của m để phương
trình có hai nghiệm phân biệt x,, x; sao cho |x,—x;|= 2 (Vào 10 Nam Định: 2014 - 2015) HD: Ta có A'= 4m? —(4m” -m+2) =m—2 Phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt xị, xa © A'>0 © m—2>0<>m >2 , |X +x,=4m Theo hệ thức Vi-et ta có x x,.x, = 4m” —m+2 Ta có Ix, -x,|=2< |x, -x,] =4ax/ -2x,x, +x; =4 = (x, + x,y —4x,x, =4 <> (4m) —4(4m? —m+2)=4 <> 4m-8 =4<> m=3(thda man m > 2) Vay gia tri can tim cua m 1a m=3
Bài 11: Cho phương trình 8x? -§x+zm”+1=0 (*) (x là ân số) a) Định m đề phương trình (*) có nghiệm x => b) Định m để phương trình (*) có hai nghiệm x,, x, thỏa mãn điều kiện: x'—x¿ =x —x, (Vào 10 TPHCM: 2013-2014) HD: a) Phương trình (*) có nghiệm x = — © 2-4+m +1=0<>m” =1 >m = +I A’ =16-8m’ -8 =8(1—-m’) Khi m= +1 thi ta cé A’ = 0 tite 1a x, =x, khid6 x4 -—x} =x? —x3 thoa man diéu kién
b) Diéu kién can dé phuong trình sau có 2 nghiệm phân biệt là:
Im|<1 hay —1<m <1 Khi Im|<1 hay —1<m <1 ta có
4 4 3 3 2 2 2 2\_ _ 2 2
Trang 16=> (x, +x;)(x + x2) = (x +32 + x,.x,)(Do X, khac x2) => (x, +x))] (x +X, y - 2x,%, | =(x,+x,)° —x,.x, <> S(S* —2P)=S’-—P © 1( -2P)=l —P (ViS=1) © P=0 em +1=0(vô nghiệm) Do đó yêu câu bài toán<> m = +] Cách khác Khi A>0ta có ` m +1 X, +X, =1 Va XX, = 3 x! —xp =x) -x > x} (x, -1)-35(x, -]) =0 <> —x?x, +x,x? =0(thé x, -1=-x, va x, 1= —x,) > x,x,(x7 — x7) =0 > (x, + x,)(x, —x,) =O(Vi X1X2 #0) O x, =x, (Wi X) +k) =1 #40)<> m = +1
Bài 12: Cho phl zng trmh: x” -4mx+m” -2m+1=0(1) vzim la+¢ham sog
a) Trm m sao cho phl zng trmh (1) co hai nghiem x,;x, phah bie} Chỉ ng
Trang 17Khi wo: x,.x, =m*-2m+1= (m-1) >0
Do wo x,;x, khohg theKrai dag
b) Phi zng trmh co hai nghiem khohg am x;,;x, 1 A'>0 mà hoag m < —1 (ap dung cah a) ; © )S=x, +x, 20444m20 ome, P=x,.x, 20 (m-1) >0 ` Ta co: |jx, —xjx;|=1© x,+x,—24|x,x;, =1e4m-24|(m—1} =1 © 4m~2|m —1|= 1> |m - || -.m-l ima} m>+ 2 4m >1 4 4m-1 1 1 Sj|m-l=——— © oe m=-> m= (thsch hzp) 1—4m 2m—2=l-4m 1 m—l=——— m=— ụ 2 L 2 Vay m = la-gia trxcaf trm Bai 13: 1) (Hai Phong 2011-2012)
Cho phương trình z” — 2ữ» + 2)z + 2m + 2 = 0(m 1a tham s6) Tim m để phương
trình có hai nghiệm 71: z2 là độ dài ha1 cạnh góc vuông của một tam giác vuông có
V6 duong cao img voi canh huyén co d6 dai 1a 3
2) (Vao 10 HD: 2011-2012)
Cho phuong trinh: x7-2(m+l)x+2m=0 (1) (vớiân là x)
a) Giai phuong trinh (1) khi m=1
b) Chứng minh phương trình (1) luôn có hai nghiệm phân biỆt voi moi m
Trang 18c) Gọi hai nghiệm của phương trình (1) là x,; x, Tim gid tri cua m dé x; x, là độ dài hai cạnh của một tam giác vuông có cạnh huyền bằng +12
3) Tìm m để pt: xŸ - (m + 1)x + 2m = 0 có hai nghiệm phân biệt x; , x; sao cho Xị, xạ là độ đài hai cạnh góc vuông của một tam giác vuông có cạnh huyền bằng 5 4) Cho phương trình: 2x? + (w — 1)xT—m—1=0 ( m tham số)
Tìm 7 để phương trình có 2 nghiệm là số đo hai cạnh của một tam giác vuông có độ dài đường cao kẻ từ đỉnh góc vuông là = (đơn vị độ dai) (HSG Quảng Bình: 2013 -2014) HD: Theo yêu cầu bài toán thì ta cần tìm m để phương trinh (*) phải có 2 nghiệm ¬ l 1 1 a oe dương x,,x, thỏa mãn :—— + —_- = — + >= —= x; x; 4 ° x; : xX, 5 Xét phuong trinh (*) tacé : 2+ (m—1)+(—m-—1)=0 suyra phuong trinh có hai nghiém x, =1 va x, ma) + Tacd x, =1>0, x, =——— >0 a m<-1 m=~ + Với m<-—] thay x, =l và x.=TÌ, l+— =Se© 3 2 (m+1) 16 _ 11 3 A re aca PA 1 1 x xự SA `
Kêt hợp với điêu kiện #< —] ta được 7 = —3 là giá trị cân tìm
5) Cho phương trình —x? + 2x+m+1=0 (mlathams6) (1) a) Giải phương trình (1) khi m = 2
b) Tìm các giá trị của tham số m để phương trình (1) có hai nghiệm x;; x; là độ
dai các cạnh góc vuông của một tam giác vuông có độ dài cạnh huyền bằng -/3
(đơn vị độ dài) Bài 14:
Trang 191) Cho phương trình bậc hai ân x, m là tham số: x” + mx + 2m— 4 = 0 (1) a) Chứng tỏ răng phương trình (1) luôn có nghiệm với mọi giá trị của m b) Gọi xị, xạ là hai nghiệm phân biệt của phương trình (1) Tìm các gia tri
x x 7 °F ° ^
—2_ co gia tri nguyen Xx, + X2
nguyên dương của m để biểu thức 4=
2) Cho f(x)=x? —(2m+1)x+m? +1 (x 1a bién, m 1a tham sé) a) Giai phuong trinh f(x)=0khi m=1
b) Tim tat cả các gia tri cua m để đẳng thức ƒ(z) =(ax+b}“ đúng với mọi số thực x; trong đó a, b là các hăng số
c) Tìm tất cả cdc gid tri meZ để phương trình /(œ)=0 có hai nghiệm x¡, x, (x¡ #x,) sao cho biểu thức P=-““— có giá trị là số nguyên xX, +X, HD: a) Thay m=1 vao PT f(x)=0 taco: x*-3x+2=0(1) PT(1) có: a+b+e=1-3+2=0 Vậy PT có hai nghiệm là: I và 2 2 2 b) Với mọi mm ta có: /@)=x°~2|m+2 ]xi[ m2] rể vI<[m+2) ©./0)=|x'~(s+2] thể #I<[m+2) ©./0)=|z'~[s+2] oom Suy ra: dé f(x) = (ax+b) m= - Vậy tồn tại duy nhất giá trị m == thỏa mãn yêu cầu
c) Z(z)=0 có 2 nghiệm phân biệt
S A=(2m+1Ÿ ~A@nÊ +1)>0 œ Am~3>0œ m>Š a, , |X, +x, =2m+1
Khi đ ta có: | — : wad
XxX, =m +1
Trang 202 — _?w# +Ì 2m-l 5 —>4P=2m-—1+ 5 (*) => P= = + 2m +] 4 4(2m+]) 2m +] Do m>=, nén 2m+1>1, dé PeZ phải có: (2+1) là ước của Š —> 2m +] =5 —> m = 2 5 2.2+1
Với m=2 thay vào (*) có: 4P=2.2-1+ =4>P=1 Vay gid tri m can tim bang 2 3) Cho PT: x’ - 2(m- 1)x+m-3=0 a) Chứng minh rằng PT luôn luôn có hai nghiệm phân biệt xạ, xạ với mọi m b) A= X, +X +6x,x, +12 = Hãy tính A theo m xí +x;ˆ +l4xx; +36
c) Tim tat cả các giá trị nguyên của m để A nhận giá trị nguyên
(Chuyên Lê Khiết Quảng Ngãi 2011-2012) HD: 2 a) A= [m= + >0 2) 4 2_ b) 4-m amt m”+m+l 2m €) A=l-————— ) m”+m+l Cách l: * Nếu m=0 => A=1
Trang 21Vay m=0,m=-1 Cach 2: A nguyén khi 2m :m’*+m+1 => 2m(m + 1): m+m+ 1 => 2(m + m) - 2(m + m+ 1): m+m+ 1 >2:m+m+l=>m+m+l c{+1L12} Mà m” + m+ 1 >0 nên m+ m+ ] c{1;2} *m°+m+lI=lcm=0;m=-l -1‡x5 (loại) 2 *mmẺ+m+1=2 m+m-1=06 m= Thử lại: Thấy m = 0; m = -1 thỏa mãn 4) Cho phương trình: x— mx — 7m + 2 = 0
a) Tìm m để phương trình có nghiệm x = 2 Tìm nghiệm còn lại
b) Tim m đề phương trình có hai nghiệm trái dau
c)Tìm m đề phương trình có hai nghiệm xị, x; thoả : 2xị + 3x; = Ö d) Tìm m nguyên để biểu thức 4 = —¬ nhận giá trỊ nguyên
xX, +x, -
5) Cho phương trình x”— mx + 2m -2 = 0 (1)
a) Chứng minh rằng (1) không thê có hai nghiệm đều âm;
b) Giả sử xị x; là hai nghiệm phân biệt của (1) Chứng minh răng biểu thức (x,’- 2x, +2)(x,? — 2x, + 2) KX +x," 6) (QH Hué 2011-2012) Cho PT: x*-2(m-1)x+2m-5=0 không phụ thuộc vào giá trị của m a) Tìm m để Pt có nghiệm dương 2 2
Trang 22& m<2im>> 2 2 2 (x—x;)`~2x, | -2(xx)} (4m? ~12m+14) 9 2 ) (xxz} (2m-5) m 2m —5 Để A nguyên thì 9:2m~—5 © 2m—5 e{+1,+3,+9} @ me{1;2;3;4;7} Bài 15: (Đà Nẵng 2011-2012)
Cho phương trình x” — 2x — 2m = 0 (m là tham số) a) Giải phương trình khi m = 0
b) Tìm m đề phương trình có hai nghiệm x¡ xạ khác 0 và thỏa điều kiện x? = 4+2 HD: a) x-2x-2m =0(1) m =0, (1) © x”- 2x= 0 ©x(x_— 2) =0 ©x=0 hay x= 2 b) A'=1+2m >0 với mọi m => phương trình (1) có nghiệm với mọi m Theo Viet, ta có: xX} +Xạ=2 => Xị=2—X¿ Ta có: x=4x) = (2—x;} =4x} ©2—x¿=2x, hay 2 — Xạ = -2x, & X2 = 2/3 hay x2 = -2 Với x¿ = 2/3 thi x; = 4/3, với xạ = -2 thì xị = 4 — -2nÏ = x¡.x¿ = 8/9 (loại) hay -2m” = x¡.x; = -8Đ © m = +2
Bài 16: Cho phương trình bậc hai, với tham số m: 2x” - (m + 3)x +m= 0 (1)
a) Giải phương trình (1) khi m = 2
Trang 23m+3 X, +X, = Theo Viết ta có: m XxX, == 12 2 Mà xị T Xạ= 3 XI => 2(m+3) = 5m<>m= 2 c) Ta có (Xị — xa)” = (xị + x¿) - 4xị.x¿ = (m + 3:4 — 2m = (m - 2m + 9):4 = (m—1)” +8 4 >2 ©lx,—x;|>2
Bài 17: Cho phương trình x? +x+m =0 với m là tham số Gọi x,;x, là hai
nghiệm của phương trình
a) Tìm m sao cho xỶ +x; = xƒx; + x2,
b) Tìm GTLN của biểu thức 4= x} +x) +xˆ+x?
Bài 18: Cho phương trình an x: x +(2m—5)x—n =0
a) Tìm mm và ø biết phương trình có hai nghiệm là -2 và 3
b) Cho m = 5 Tìm số nguyên dương ø nhỏ nhất để phương trình có nghiệm dương HD: a) Do -2 là nghiệm của phương trình x7 +(2m—5)x—n =0 nén ta cd: 4mt+n=14 (1) Do 3 là nghiệm của phương trình xŸ +(2m—5)x—n =0 nên ta có: 6m-n=6 (2) Óm —m = 6 n=6 Từ (1) và (2) ta có hệ phương trình nn = 14 (" =2 Vậy với ly thì phương trình đã cho có nghiệm là -2 và 3 b) Voi m= 5, phương trình đã cho trở thành: x” +5x—ø =0
Đề phương trình trên có nghiệm thì A =25+4ø >0 © n> = (*)
xX+x,=-5 „ 2 ` „ `
h3 , nên đê phương trình có nghiệm
*).X¿ =—H
Khi đó theo định lý Viết ta có |
dương thì x,+, =—n<0 suy ra ø >0 Kết hợp với điều kiện (*) suy ra ø >0
Trang 24Từ đó ta tìm được ø =1 là giá trị phải tìm
Bài 19: Cho phương trình x” + 2x — m = 0 (1) (x là ân, m là tham số) a) Giải phương trình với ? = - 1
b) Tìm tất cả các giá trị của m để phương trình (1) có nghiệm Gọi x;, x; là
hai nghiệm (có thể bằng nhau) của phương trình (1)
Tính biểu thức P = x," + x," theo m, tim m dé P dat giá trị nhỏ nhất
HD:
a) Với m = -1, phương trình có đạng: x” + 2x +1 =0
b) Phương trình (1) là phương trình bậc 2 (vì hệ số của x” là 1 z0) có
A'=l+m>0<© m>-Ì]
Vậy phương trình (1) có nghiệm = m > -1
Khi đó, áp dụng định lý Vi-ét, ta có: xị † xạ= -2; XIXạ= -m
Do đó, P = xy) +4 = (xi + xy —2xI.x;= [Œi + x0)" - 2 xX.xX2| 2 2(x1.%2)
= (4+ 2m) —2m* = 2m’ + 16m+ 16
Vìm > -Ïl © m+120 néntaco:
P= 2m + lóm+ 16 =2(m +2m+ 1) + 12m+ 14 = 2(m+ 1+ 12(m+1)+2 >2
Suy ra P đạt giá trị nhỏ nhất = 2 khi và chỉ khi m+ 1 =0 © m=-1
Bài 20: Cho phương trình x? -mx—1=0(1) (x là ấn số) a) Chứng minh phương trình (1) luôn có 2 nghiệm trai dau b) Gọi xạ, xạ là các nghiệm của phương trình (1): 2 2 x, +X 71 x, +x,- Tinh giá trị của biểu thức : P= : (Vào 10 TPHCM: 2014-2015) x, X; HD: a) Ta cé a.c =-1 <0, véi moi m nên phương trình (1) luôn có 2 nghiệm trái dẫu VỚI mỌI m
b) Gọi xị, x; là các nghiệm của phương trình (1): Tính giá trị của biểu thức :
x +xị—] x; +x, T—Ï A 2 À v2 3
= — Taco xj =mx,+1 và x2 =mx, +1 (do xị, xạ thỏa 1)
x) X;
Trang 25mx,+1+x,—-1 mx,+l+x,-l _ (m+1)x, (m+))x,
bể X¿ Xị X¿
Do đó P= =0 (VÌ x,x, z0)
Bài 21: Cho phương trình x?+2ø+1)x—2m'+m?=0_ (m là tham số) a) Giải phương trình khi m = 1
b) Chứng minh rằng phương trình luôn có hai nghiệm phân biệt với mọi m (Vào 10 Nghệ An: 2014 - 2015) HD: b) Ta có: a4 bora tsa? = 2[m =2] +2[m+2] A'=2m + 2m +1 = 2m" — 2mˆ +—+ 2mˆ + 2m + — = 2| mˆ -— | +2| m+— | >0,Vm 2 2 2 2 m—1=0 Mà A'=0< ? vô nghiệm mạ =0
Do đó A'>0,Vvm: Vậy phương trình luôn có hai nghiệm phân biệt với mọi m
Bài 21: Cho phương trình x?—zx+zm—2 =0 (1) (x là ấn số)
a) Chứng minh phương trình (1) luôn có 2 nghiệm phân biệt voi moi gia tri m 9 2 — 2 — b) Định m để hai nghiệm x,„x, của (1) thỏa mãn L ~ˆ = 2 : =4 x—Ì x,- (Vào 10 TPHCM: 2015-2016) HD: a) A=m’ —4(m—2) =m’? —4m+8=(m—-2) +4>4>0,Vm Vậy phương trình có 2 nghiệm phân biệt với mọi m
b) Via+b+c= I-m+m—2=-—1#0,Vm nên phương trình (1) có 2 nghiệm XX, L Vm Từ (1) suy ra : x*—2=mx—m X2 X2 _ „0M x,-l x,-1 x,-l —m mg, TH _„ „78 (DỤ —Ì) _ + mở — 4> x,-l (x¡ —1)(x; —]) y = 12 Bài 22: Trong mặt phắng tọa độ Oxy cho parabol (P): y = -x” và đường thắng
(đ): y = mx - 1 (m là tham số) Chứng minh rằng với mọi giá trị của m, (đ) luôn
cắt parabol (P) tại hai điểm phân biệt có hoành độ xạ, xạ thỏa mãn |x,—x; >21
(Vào lớp 10 chuyên Lê Khiết Quảng Ngãi: 2014 - 2015) HD:
Hoành độ giao điểm của cho parabol (P): y = -xˆ và đường thăng (đ): y= mx - l
là nghiệm của PT: xŸ + mx - 1 = 0 (*)