Bài tập nâng cao hình học lớp 8 chương 1 có lời giải

Thầy giáo Nguyễn Đức Huấn trường THCS Phan Bội Châu huyện Tứ Kỳ, tỉnh Hải Dương xin giới thiệu hệ thống bài tập ôn tập cơ bản và năng cao hình học lớp 8 được chọn lọc rất tiêu biểu để các thầy cô và các em tham khảo. Chúc các thầy cô và các em thành công. Chi tiet liên hệ. 0983.093.203

Trang 1

Nguyễn Đức Huấn - THCS Phan Bội Châu - Tứ Kỳ - Hải Dương

CHƯƠNG I

A: HINH THANG

Bai 1: Cho AABC (AB < AC), Đường cao AH Gọi M,N, P theo thứ tự là trung điểm của các cạnh BC, CA, AB Chứng minh: \

a) NP là đường trung trực của của AH

b) Tứ giác MNPH là hình thang cân

H M

Bài 2: Cho AABC vông tại B, Â = 58”, phân giác AD Goi M, N, I thứ tự là trung

a) Tứ giác MBNI là hình gì? Chứng minh

b) Tính các góc của hình thang BMNLI N

ABAD có BM là đường trung tuyến ứng với cạnh huyền > MB=MD= 5 AD

= AMBD can taiM > B =D, => B =i,

Hình thang BMNI có Z =7, nên là hình thang cân

Cách 2: MI là đường trung bình của AACD = MI= ;ÁC

AABC có BN là đường trung tuyến ứng với canh huyén > BN = 24C

= MI = AC Hình thang BMNI có MI = BN nên là hình thang cân

b) Ta có 54D = = BAC = 558" = 29°

ABAD có D, =90° - BAD = 90° -29° =61° => B =1,=61°; BMN = MNI =119°

Bài 3: Cho hinh thang ABCD (BC // AD), biét BC + AD = AB Chimg minh rằng Các tia phân giác của góc A và góc B cắt nhau tại trung điểm của CD

1

Trang 2

HD:

Cách 1:

Gọi E là trung điểm của CD,

giao điểm của AE với BC là E

ta co AECF = AEDA (g.c.g)

= AD=CF ma BC + AD= AB

=> BC+CF=AB => BF=AB

= ABAF can tai B

Ta co AE = EF (vi AECF = AEDA)

Gọi M là trung điểm của AB = ME là đường trung bình của hình thang ABCD

= ME// BC// AD và ME = 2(8C+ 4p) = 24B = MB =ME =MA hay AMBE

.~

cân tạ M > £=B, mà Z =8, => 8 =7, hay BE là phân giác của góc B

Chứng minh tương tự ta có AE là phân giác của góc A

Cách 3:

Phân giác góc A cắt CD tại E cắt BC tại F

Ta có F =EAD(so le trong) ma EAD =EAB => F =EAB => ABAF can tai B

=> AB=BF ma BC + AD = AB (gt) > BC+ AD=BF = AD=CF

— AADE = AFCE (g.c.g) = EC = ED = E là trung điểm của CD

Ta có AE = AF (vì AADE = AFCE) = BE là đường trung tuyến ứng với cạnh đáy của tam giác BAF cân nên đồng thời là đường phân giác > BE là phân giác của góc B Vậy phân giác của góc A và góc B cắt nhau tại trung điểm của CD

Bai 4: Cho hinh thang ABCD (BC // AD), biết AB = 3cm, CD = 7cm, AD = 10cm Goi M 1a trung diém của BC Chứng minh AM L DM

Bai 5: Cho hinh thang ABCD (AB // CD), tia phân giác của góc C đi qua trung điểm M của AD Chứng minh răng:

Trang 3

a) Goi N 1a trung diém của BC

= MN là đường trung bình cuar hình thang

Giả sử hình thang cần ABCD có AC 1 BD tại I

Đường cao EF qua I có độ dài 10cm (E e 48,F €CD )

AAIB vuông cân có IE là đường trung tuyến ứng với

cắt nhau ở I, cua góc B và C cắt nhau ở J Goi M, N lần lượt là trung điểm của

AD, BC Chứng minh bốn điểm M, N, L, J thang hang

Trang 4

Lại có IM là đường trung tuyên ứng với cạnh huyện sr MI = MD > AMID cân tại

Tu (gt) > E la trong tim cua AABC

— BE cat AC tai N 1a trung diém cua AC

AAEC co DN là đường trung bình nên

DN // EC (1)

AMDF co EC là đường trung bình

Từ (1) và (2) > D, N, F thắng hàng

Vậy AC, BE và DF đồng quy

Bài 9: Cho hình thang cân đáy nhỏ AB, đáy lớn CD Góc nhọn hợp bởi hai

đường chéo AC và BD bằng 60” Gọi M, N là hình chiếu của B, C lên AC và BD,

P là trung điểm của BC Chứng minh AMNP đều

HD:

ABCD là hình thang cân > AABO cân tại O \ 7

Lại có 40B =60°nên AAOB đều có BO là đường cớ

cao nên đông thời là đường trung tuyến = MA = MO

Trang 5

voi canh huyén => MP = 252C

tương tự có NP =-äC = MN =MP=NP = AMNP đều

Bài 10: Cho AABC, O là điểm cách đều ba cạnh Trên tia BC lay diém M sao cho BM = BA Trén tia CB lay điểm N sao cho CN = CA Gọi D, E, F lần lượt là hình chiếu của O trên BC, CA, AB Chứng minh rằng

a) NE= MF

b) AMON can

HD:

a) ABFO = ABDO (cạnh huyền cạnh góc vuông)

=> BF=BD = ABDF can tai B

——— 0_Đ

+ 5p - 189 B

—~ 180°-B

Ta co BA = BM (gt) = ABMA can taiB = BAM =BMA=

Nên AMDF là hình thang cần > ME = AD

Chứng minh tương tự có NE= AD

Vay NE = MF=AD

b) Theo cau a) AMDF 1a hinh thang can = DM = AF

Tương tự có DN = AE

Lại có AAEO = AAFO (cạnh huyền, cạnh góc vuông) = AE = AF

Do đó DM = DN ma OD L MN nên OD là đường trung trực của MN = OM =

ON Hay AOMN can

Bài 11: Cho AABC có các đường phân giác BD, CE cat nhau 6 O Qua A vẽ các đường vuông góc với BD và CE, chúng cắt BC theo thứ tự ở M vàN Gọi H là chân đường vuông góc kẻ từ O đến BC Chứng minh rằng:

a) M và A đối xứng nhau qua BD, N và A đối xứng nhau qua CE

b) HM = HN

HD:

Trang 6

A

a) AABM có BD là đường phân giác đồng thời

là đường cao => AABM cân tại B

va BD đồng thời là đường trung trực của AM

hay A, M đối xứng nhau qua BD

Tương tự có N và A đối xứng nhau qua CE

b) Theo t/c đường trung trực ta có N H M

OM = OA; ON = OA => OM=ON AOMN cân tạo O

Có OH là đường cao nên đồng thời là đường trung trực > HM = HN

Bài 12: Cho AABC vuông cân tại A lay diém D trén canh AB, diém E trén canh

AC sao cho AD = AE Qua D và qua A, kẻ các đường thăng vuông góc với BE, cắt BC theo thứ tự ở I và K Chứng minh rằng IK = KC 5

Bài 13: Cho A4ĐC ( AB = AC) Đường cao AH, ké HE vuong goc véi AC, goi O

là trung điểm của EH Chứng minh AO L BE

Gọi D là trung điểm của EC

Trang 7

Nguyễn Đức Huấn - THCS Phan Bội Châu - Tứ Kỳ - Hải Dương Bài 14: Cho hình thang vuông ABCD (2=? =90°) có các điểm E; F thuộc cạnh

AD sao cho AE = DF va BFC =90° Chimg minh BEC =90°

Goi H là trung diém cua AD, M la trung diém cua BC

Ta có MH là đường trung bình của hình thang ABCD Ey

=> MH// AB ma AB | AD => MH 1 AD (1)

Từ (1) và (2) > HM là đường trung trực của EF > ME = ME

ABFC có FM là đường trung tuyến ứng với cạnh huyền = EM =~BC mà FM = ME = ME= -äC D Nc

ABEC có EM là đường trung tuyến mà EM = = BC nên ABEC vuông tại E >

b) Gọi N là trung điểm của CD

EF là đường trung bình của ABCM => EE //MB

KT là đường trung bình của AADM > KI//AM

=> EF // KI = EFIK 1a hinh thang (1)

KN, EN thứ tự là đường trung bình của AACD, ACMD => KN // AC; EN // MD

ta có ⁄,= 4 => AC//MD = KN// AC vaEN// AC = E,E, N thang hang

— KE//AC ma KI// AM => EKI=4=60°

Trang 8

FI là đường trung bình của ABCM > FT //MC mà KT / AB > Z7K =CM4= 60”

= EKI =FIK =60° (2)

Từ (1) và (2) => EFIK 1a hình thang cân > KF = EI

Ta có EI là đường trung bình của AMCD > EI = CD => đpcm

Bài 16: Cho hình thang vuông ABCD (4 =D= 90°] Lấy một điểm M thuộc đáy nhỏ AB và kẻ đường thắng Mx L DM; Mx cắt BC tại N Chứng minh ADMN vuông cân

K là trung điểm của CD

K

ta suy ra được các điều sau

* AB= AD = AABD vuông cân > ABD =45°

* BK = DK = KC = ABCD vuông tại B DB L BC => DBC=90° =

ABC =135°

ADMN có MI là đường trung tuyến ứng với cạnh huyền = MI= 5 DN

tuong tu co BI =< DN

=> IM =IB=ID=IN = AMIB va ANIB can tai I > IMB = MIB; INB = NIB

MIB =180° —2MBI ; BIN =180° ~2IBN

MIN = MIB + BIN = 360° - 2( MBI + IBN) = 360° - 2.135" = 90°

ADMN vuông tại M có MI là đường trung tuyến mà MI L DN Vậy ADMN vuông

Trang 9

Nguyễn Đức Huấn - THCS l Phan Bội Châu - Tứ Kỳ-H Hải Dương

Chứng minh tương tự cách l, có 8N =135° = DỢM =MBN =135°

Vi AB= AD; AM=AQ = DQ=

Xét AQDM va ABMN cé: DOM = MBN =135°; DQ = MB; D, =M, (hai góc có cạnh tương ứng vuông góc) > AQDM = ABMN (g.c.g) > MD = MN > đpcm Cách 3: Gọi H là giao điểm của MN với BD

MH _ AB

Chứng minh được AMHDI ABHN => = AMHBI ADHN =>

HND=MBH mà AABD vuông cân > MBH =45" > HND=45° => đpem.

Trang 10

ĐÓI XỨNG TRỤC

Bài 1: Cho AABC vuông tại A, đường cao AH Gọi D và E lần lượt là các điểm

đối xứng của điểm H qua AB, AC Chứng minh:

a) D, H đối xứng nhau qua AB nên AB là đường trung trực cla DH = AD = AH

= AADH cân tại A, do đó AB đường trung trực thì đồng thời là đường phân giác

= DAH =2BAH

Chứng minh tương tự có EAH =2CAH

=> DAH + CAH = 2(BAH + CAH) = 2.90" =180° = D, A, E thang hang

b) AADB = AAHB (c.c.c) > ADB =AHB=90° > BD LDE

Chứng minh tương tự có CE L DE

= BD //CE (cùng vuông góc với DE) > BCED là hình thang vuông

c) Theo cau a) AADB = AAHB = BD=BH

Trang 11

Chứng minh tương tự có 4H =2C4H

= DAH +CAH =2(BAH + CAH |=2.90° =180° = D, A, E tháng hàng

AD = AH= AE = DE=2AH

b) D, H đối xứng nhau qua AB nên AB là đường trung trực của DH > BD = BH

= ABDH cân tại B, do đó BA đường trung trực thì đồng thời là đường phân giác

a) Chứng minh D đối xứng với E qua MI

b) Tinh IDM; IEM

=> DI= EI I thuộc đường trung trực của DE

Tương tự có M thuộc trung trực của DE

suy ra MI là đường trung trực của DE > đpcm

~_—

b) Tr ID =IH = AlDH can tai H = D, =H, =H,

Tương tự có D,=?, => D,+D,=B +H, =90° > IDM =90°

11

Trang 12

Nguyễn Đức Huắn - THCS Phan Bội Châu - Tứ Kỳ - Hải Dương

HINH BINH HANH Bài 1: Cho hình bình hành ABCD Trên đường chéo AC ta lấy hai điểm E, F sao

cho AE = EF = FC

a) Chứng minh tứ giác BFDE là hình bình hành

b) Tia DF cat canh CB tai diém M Chứng minh DF =2FM _

Cách 2: Gọi giao điểm của AC và BD là O

Theo t/c đường chéo hình bình hành ta có

OB = OD (3) va OA = OC mà AE = CF(gt) > OE = OF (4)

Từ (3) và (4) > đpcm

b) Theo câu a) từ giác BEDF là hình bình hành = BE // DF hay BE // FM

Xét ABCE có FE = FC; FM // BE > FM là đường trung bình của ABCE => BE = 2FM Mà BE = DF = DF = 2FM

Bai 2: Cho hinh binh hanh ABCD Goi O 1a giao điểm của hai đường chéo, E, F

thứ tự là trung điểm của OD và OB

a) Tương tự bài trên

b) Cách 1: Gọi H là trung điểm của KC

Ta có OH là đường trung bình của AAKC

Trang 13

Bài 3: Cho hình bình hành ABCD Trên đường chéo BD lấy các điêm M, N sao

Vay AMCN 1a hinh binh hanh

Cach 2: Theo t/c duong chéo hinh binh hanh ta c6 OA = OC; OB = OD

ma BM = DN => OM=ON

Tứ giác AMCN có OA = OC; OM=ON nên là hình bình hành

b) Ta có OE là đường trung bình của AACK => OE // CK

ABOE co KM // OE do d6 EK = KB MO = MB

Vay AE=EK=KB << MO =

Bài 4: Cho hình bình hành ABCD Gọi M, N thứ tự là trung điểm của BC, CD;

AM cắt DB ở K và AN cắt DB ở I Chứng minh rằng ; M c a) DI = IK = KB

Gọi O là giao điểm của AC va BD > OA = OC; OB = OD

a) AABC co K 1a trong tam => BK =5OB (1) ;OK =208 (2)

Tương tự có /D=SOD(3); ØI=OD=2OB (4)

Từ (2) và (4) > IK = 2OB (5)

Từ (1), (3) va (5) = dpcm

b) Ta có MN là đường trung binh cia ABCD = MN = 28D ma BD = 3IK

13

Trang 14

2

Bài 5: Cho hình bình hành ABCD Gọi E, F thứ tự là trung điểm của AD, BC Đường chéo AC cắt các đoạn BE và DF lần lượt tại P và Q Gọi K là trung điểm của BP Chứng minh

a) AP = PQ = ỌC

b) AKQE là hình bình hành

HD:

a) Cach 1: Tuong ty bai trén

Cách 2: Chứng minh dugc tt giac BEDF 1a hinh binh hanh => BE // DF

Bài 6: Cho hình bình hành ABCD Các điểm E, F thuộc đường chéo AC sao cho

AE = EF = FC Gọi M là giao điểm của BE và CD; N là giao điểm của DE và AB Chứng minh rằng

a) M, N thứ tự là trung điểm của CD, AB

AABD có AO là đường trung tuyến mà 4E = 20A => E là trọng tâm của AABD

= DE di qua trung điểm của AB Hay N là trung điểm của AB

Tương tự có M là trung điểm của CD

b) Chứng minh được OE = OF (1)

14

Trang 15

OM là đường trung bình của AACD = OM // AD va OM = SAD

Tương tự có ON // BC va ON = = BC

ma AD // BC va AD= BC

Từ đó suy ra M, O, N thăng hàng và OM = ON hay O là trung điểm của MN (2)

Từ (1) và (2) = EMEFN là hình bình hành

Bài 7: Cho AABC, trực tâm H Gọi M là trung điểm của BC Các đường trung

trực của BC và AC cắt nhau tại O Trên tia đối của tia OC lẫy điểm K sao cho OK

a) OM là đường T của ABKC

=> OM//BK màOM 1 BC = BK 1 BC = BK//AH

Tuong tu co AK // BH

= AHBK 1a hinh binh hanh

b) OM là đường TB của ABKC

xuống DC năm trên cạnh CD Chứng minh rằng: A B

AC’ + BD’ = AD” + BC” +2AB.CD

HD:

Áp dụng định lý Pitago vào các tam giác

Trang 16

Nguyén Đức Huắn - THCS Phan Bội Châu - Tứ Kỳ - Hải Dương AC’ = AH’? + HC

= AD’ + BC’ + 2CD.AB (chi y HK = AB)

Bài 9: Cho hình thang cân ABCD (AB // CD) có AB = a, CD =b, AC BD Tính độ dài đường cao BH của hình thang A B

Ta có AC = BD (t/c đường chéo hình thang cân)

ma AC = BE nên BD = BE = ABDE vuông cân, Do đó đường cao BH đồng thời

là đường trung tuyến — BH =—DE =~(DC+CE)=~(b+a)

Định dạng
Số trang	30
Dung lượng	6,63 MB