Quy hoạch đa mục tiêu

Header Page of 258 BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP HỒ CHÍ MINH BÙI PHÚC KIểN QUY HOẠCH ĐA MỤC TIÊU LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Thành phố Hồ Chí Minh - 2012 Footer Page of 258 Header Page of 258 BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP HỒ CHÍ MINH Bùi Phúc Kiển QUY HOẠCH ĐA MỤC TIÊU Chuyên ngành: toán giải tích Mã số: 60.46.05 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC: Ts Trịnh công Diệu Thành phố Hồ Chí Minh - 2012 Footer Page of 258 Header Page of 258 Lời cảm ơn Trước hết, xin gởi lời cám ơn đến Ts Trịnh Công Diệu, người dành nhiều thời gian công sức giúp hoàn thành luận văn Cám ơn ban giám hiệu trường đại học sư phạm Tp.HCM, phòng sau đại học thầy cô khoa toán – tin tạo nhiều điều kiện thuận lợi cho suốt thời gian học tập thực luận văn Cám ơn ba mẹ thành viên gia đình người động viên vượt qua lúc khó khăn Họ nguồn động lực giúp hoàn thành luận văn Cuối cùng, xin gởi lời cám ơn đến bạn tôi, giúp đỡ vật chất tinh thần bạn cho yên tâm để hoàn thành khóa học Tp Hồ Chí Minh, ngày 23 tháng năm 2012 Bùi Phúc Kiển Footer Page of 258 Header Page of 258 Lời nói đầu Quy hoạch toán học ngành toán học có nhiều ứng dụng thực tế Quy hoạch tuyến tính, phận quy hoạch toán học, toán với hàm mục tiêu hàm mục tiêu ràng buộc hàm tuyến tính, đưa vào giảng dạy chương trình đại học Tuy nhiên, nhu cầu thực tế, phát sinh nhiều toán đòi hỏi phải tối ưu lúc nhiều hàm mục tiêu với hàm mục tiêu ràng buộc thường hàm phi tuyến Quy hoạch đa mục tiêu (QHĐMT) đời đáp ứng đòi hỏi nêu Từ tảng đặt Pareto (1848 – 1923 ), đến QHĐMT thu hút nhiều nhà nghiên cứu có nhiều ứng dụng rộng rãi lĩnh vực khác từ kinh tế, tài chính, tin học, nông nghiệp,… Luận văn trình bày kiến thức QHĐMT chia làm ba chương: Chương nhắc lại kiến thức giải tích lồi như: tập lồi, tập affine, hàm lồi, định lý tách tập lồi,… Chương trình bày kiến thức QHĐMT quan niệm tối ưu, khái niệm tối ưu, khó khăn toán tối ưu đa mục tiêu,… Chương nêu số phương pháp giải toán QHĐMT Các phương pháp trình bày chủ yếu phương pháp vô hướng, nghĩa chuyển toán QHĐMT toán quy hoạch đơn mục tiêu họ toán đơn mục tiêu để giải Footer Page of 258 Header Page of 258 MỤC LỤC Chương Kiến thức chuẩn bị 1.1 Tập lồi 1.2 Hàm lồi định lý tách tập lồi Chương Quy hoạch đa mục tiêu: kiến thức 10 2.1 Tối ưu với nhiều mục tiêu 10 2.2 Mô hình tối ưu đa mục tiêu 12 2.3 Những khó khăn toán tối ưu đa mục tiêu 13 2.4 Các khái niệm tối ưu 15 2.5 Tối ưu đơn mục tiêu đa mục tiêu: khác biệt 19 Chương Quy hoạch đa mục tiêu: phương pháp giải 21 3.1 Phương pháp tổng trọng số ( the weighted sum method ) 21 3.2 Phương pháp ε - ràng buộc ( the ε - constraint method ) 26 3.3 Phương pháp lai ( The hybrid method ) 30 3.4 Phương pháp co giãn ràng buộc ( The elastic constraint method ) 31 3.5 Phương pháp Benson ( Benson’s method ) 34 3.6 Tối ưu hóa kiểu từ điển ( lexicographic optimality ) 37 3.7 Tối ưu theo thứ tự Max ( Max-Ordering optimality ) 39 Tài liệu tham khảo Footer Page of 258 43 Header Page of 258 Chương Kiến thức chuẩn bị 1.1 Tập lồi Định nghĩa 1.1.1 Cho X không gian tuyến tính Tập A ⊂ X gọi lồi ∀x1 , x ∈ A, ∀λ ∈ [ 0,1] ⇒ λ x1 + (1 − λ ) x ∈ A Theo định nghĩa, ∅ X xem tập lồi Mệnh đề 1.1.2 Giao tất tập lồi tập lồi Chứng minh: lấy Ai ⊂ X với i ∈ I họ tập lồi Đặt A =  Ai Khi i∈I ∀x, y ∈ A , ta có x, y ∈ Ai với i ∈ I Do ∀i ∈ I , Ai lồi nên λ x + (1 − λ ) y ∈ Ai với λ ∈ [ 0,1] Suy λ x + (1 − λ ) y ∈ A với λ ∈ [ 0,1] Vậy A tập lồi  Mệnh đề 1.1.3 ( Định lý Helly ) Cho p > n C1 , C2 , , C p ⊂  n tập lồi Khi p C i ≠∅ i =1 { } với tập gồm n + phần tử Ci1 , Ci2 , , Cin +1 ⊂ {C1 , C2 , , C p } ta có n +1 C k =1 Footer Page of 258 ik ≠∅ Header Page of 258 Hoặc có phát biểu tương đương sau, p C i = ∅ có tập i =1 { } gồm n + phần tử Ci1 , Ci2 , , Cin +1 ⊂ {C1 , C2 , , C p } thỏa n +1 C k =1 ik = ∅ Chứng minh mệnh đề 1.1.3 tham khảo Đỗ Văn Lưu Phan Huy Khải (2000, trang 180-183) Định nghĩa 1.1.4 Vectơ x ∈ X gọi tổ hợp lồi vectơ n n i =1 i =1 1, 2, , n , ∑ λi = cho x = ∑ λi x i x1 , x , , x n ∈ X tồn λi ≥ 0, i = Định lý 1.1.5 Giả sử A ⊂ X tập lồi; x1 , x , , x n ∈ A Khi đó, A chứa tất tổ hợp lồi x1 , x , , x n Chứng minh: tham khảo Đỗ Văn Lưu Phan Huy Khải (2000, trang 5-6) Định nghĩa 1.1.6 Giả sử A ⊂ X Giao tất tập lồi trong X chứa A gọi bao lồi ( convex hull ) A ký hiệu coA Định nghĩa 1.1.7 Tập A ⊂  n gọi tập affine ∀x, y ∈ A, ∀λ ∈  ta có (1 − λ ) x + λ y ∈ A Định nghĩa 1.1.8 Giao tất tập affine chứa A ⊂  n gọi bao affine ( affine hull ) A ký hiệu affA Định nghĩa 1.1.9 Phần tương đối tập A ⊂  n phần A affA ký hiệu riA Các điểm thuộc riA gọi điểm tương đối A 1.2 Hàm lồi định lý tách tập lồi Footer Page of 258 Header Page of 258 Giả sử X không gian lồi địa phương, D ⊂ X , f : D →  ∪ {±∞} Định nghĩa 1.2.1 Trên đồ thị ( epigraph ) hàm f , ký hiệu epif , định nghĩa sau {( x, r ) ∈ D ×  : f ( x ) ≤ r} =: epif Định nghĩa 1.2.2 Hàm f gọi hàm lồi D epif tập lồi X ×  Hàm f gọi hàm lõm D − f hàm lồi D Định lý 1.2.3 Lấy X , Y ⊂  n tập lồi khác rỗng Khi đó, tồn y* ∈  n thỏa inf y∈Y Và y, y * ≥ sup x, y * sup y∈Y x∈X y, y * > inf x, y * x∈X riX ∩ riY = ∅ Định lý 1.2.4 Lấy Y ⊂  n tập lồi, đóng, khác rỗng y ∈  n \ Y Thì tồn y* ∈  n \ {0} α ∈  thỏa y*, y < α < y*, y với y ∈ Y Chứng minh định lý 1.2.3 định lý 1.2.4 tham khảo Đỗ Văn Lưu Phan Huy Khải (2000, trang 71-73) Định lý 1.2.5 Cho X ⊂  n tập lồi f k :  n → , k = 1, 2, , p hàm lồi p Nếu hệ f k ( x ) < 0, k = 1, 2, , p lời giải tồn số λk ≥ 0, ∑ λk = k =1 thỏa Footer Page of 258 Header Page of 258 p ∑ λ f ( x ) ≥ với x ∈ X k =1 k k Chứng minh định lý 1.2.5 tìm Mangasarian ( 1994, trang 63-65 ) Footer Page of 258 Header Page 10 of 258 Chương Quy hoạch đa mục tiêu: kiến thức 2.1 Tối ưu với nhiều mục tiêu Ta xét toán định sau: Một chủ trang trại có 10 hecta đất định đầu tư trồng ba loại công nghiệp gồm cao su, cà phê điều Các thông số giá giống, mật độ trồng, phân bón, giá bán sản phẩm, suất trung bình nhân công chăm sóc cho bảng sau: Loại Cao su Cà phê Điều Giá giống ( 1000đ/cây) 3,5 2,5 Mật độ (cây/ha ) 450 2000 200 Phân bón (tấn/ha) 0,215 0,5 0,3 Năng suất trung bình (tấn/ha) 2,3 2,526 Giá bán sản phẩm (triệu đ/ tấn) 8,8 43,1 18 Nhân công ( người/ha) 10 Người chủ trang trại đặt mục tiêu sau: • Vốn đầu tư, số lượng nhân công, khối lượng phân bón tối thiểu • Giá bán sản phẩm cao Nếu ta gọi số phải trồng cao su, cà phê, điều x1 , x2 , x3 vấn đề người chủ trang trại xem xét dạng mô hình toán tối ưu sau: • Vốn đầu tư: Footer Page 10 of 258 f1 ( x ) = x1 + 3x2 + 2,5 x3 → 10 Header Page 30 of 258 λˆ vectơ trọng số cần tìm  3.3 Phương pháp lai ( The hybrid method ) Ta kết hợp phương pháp tổng trọng số phương pháp ε - ràng buộc Trong trường hợp đó, toán vô hướng để giải có tổng trọng số mục tiêu ràng buộc tất mục tiêu Lấy x ∈ X điểm tùy ý Ta xét toán p ∑ λk f k ( x ) k =1 fk ( x ) ≤ fk ( x0 ) , k = 1, 2, , p (3.3.1) x∈ X λ ∈  ≥p Định lý 3.3.1 Lấy λ ∈  >p Điểm x ∈ X phương án tối ưu toán (3.3.1) x ∈ X E Chứng minh: ( ) " ⇐ " Lấy x ∈ X hữu hiệu Thì x ∈ X thỏa f ( x ) ≤ f x Vì vậy, phương án khả thi (3.3.1) thỏa f ( x ) = f ( x ) phương án tối ưu " ⇒ " Lấy x phương án tối ưu (3.3.1) Nếu có x ∈ X thỏa f ( x ) ≤ f ( x ) , trọng số dương p p ∑ λk f k ( x ) < ∑ λk f k ( xˆ ) = k 1= k Footer Page 30 of 258 30 Header Page 31 of 258 Vậy x hữu hiệu 3.4 Phương pháp co giản ràng buộc ( The elastic constraint method ) Đối với phương pháp ε - ràng buộc ta kết điểm hữu hiệu thường Thêm vào đó, toán Pj ( ε ) khó giải thực hành có thêm ràng buộc f k ( x ) ≤ ε k Với mục đích giải toán ta “nới lỏng” ràng buộc việc cho phép chúng vi phạm việc bị phạt vi phạm hàm mục tiêu Ehrgott Ryan sử dụng ý tưởng để pháp triển co giản ràng buộc vô hướng f j ( x ) + ∑ µk sk k≠ j f k ( x ) − sk ≤ ε k k ≠ j sk ≥ (3.4.1) k≠ j x∈ X µk ≥ 0, k ≠ j Nếu ( xˆ , sˆ ) phương án tối ưu (3.4.1), không tính tổng quát ta giả sử sˆk max {0, ε k − f k ( xˆ )} = Mệnh đề 3.4.1 Nếu ( xˆ, sˆ ) phương án tối ưu (3.4.1) với µ ≥ xˆ ∈ X wE Chứng minh: Giả sử xˆ không hữu hiệu yếu Thì có x ∈ X thỏa f k ( x ) < f k ( xˆ ) với k = 1, 2, , p Thì ( x, sˆ ) phương án khả thi (3.4.1) có giá trị mục tiêu bé ( xˆ , sˆ )  Mệnh đề 3.4.2 Nếu xˆ phương án tối ưu (3.4.1), xˆ ∈ X sE Footer Page 31 of 258 31 Header Page 32 of 258 Chứng minh: Giả sử có x ∈ X thỏa f k ( x ) ≤ f k ( xˆ ) , k = 1, 2, , p Thì ( x, sˆ ) phương án khả thi (3.4.1) Vì giá trị hàm mục tiêu ( x, sˆ ) không lớn ( xˆ , sˆ ) , tính xˆ x = xˆ Suy { x ∈ X : f ( x ) ≤ f ( xˆ )} = Vậy xˆ ∈ X sE  Hệ sau có từ mệnh đề 3.4.2 = với ε f= ( xˆ ) , sˆ µk = ∞ với k = 1, 2, , p Hệ 3.4.3 Lấy xˆ ∈ X E Thì tồn ε , µ ≥ sˆ thỏa ( xˆ , sˆ ) phương án tối ưu (3.4.1) với j ∈ {1, 2, , p} Định nghĩa 3.4.4 Tập không trội YN gọi ổn định ( externally stable) với y ∈ Y \ YN tồn yˆ ∈ YN thỏa y ∈ yˆ +  ≥p Định lý 3.4.5 Cho YN ổn định , xˆ ∈ X pE Thì với j ∈ {1, 2, , p} , có ε , sˆ, µ j với µkj < ∞ với k ≠ j thỏa ( xˆ , sˆ ) phương án tối ưu (3.4.1) với µ ∈  p −1 , µ ≥ µ j ˆ = ε k : f= Chứng minh: Ta chọn 1, 2, , p Vì ta chọn sˆ = Lấy k ( x), k j ∈ {1, 2, , p} Vì xˆ hữu hiệu thường nên có M > thỏa với x ∈ X mà f j ( x ) < f j ( xˆ ) tồn k ≠ j thỏa f k ( xˆ ) < f k ( x ) Ta xác định µ j µkj = max {M ,0} với k ≠ j Footer Page 32 of 258 32 f j ( xˆ ) − f j ( x ) f j ( xˆ ) += f j ( xˆ ) + ∑ µ k sˆk với µ ≥ k≠ j k≠ j Ta xét trường hợp f j ( x ) < f j ( xˆ ) lấy I ( x ) := {k ≠ j : f k ( x ) > f k ( xˆ )} Do xˆ x hữu hiệu, I ( x) ≠ ∅ Hơn nữa, với k ∉ I ( x), k ≠ j = sk max {0, f k ( x ) − f k = ( xˆ )} Lấy k ' ∈ I ( x ) f j ( x ) + ∑ µk sk ≥ f j ( x ) + ∑ µkj sk k≠ j k≠ j ≥ f j ( x) + ≥ f j ( x) + ∑ k∈I ( x ) f j ( xˆ ) − f j ( x ) sk f k ( x ) − f k ( xˆ ) f j ( xˆ ) − f j ( x ) sk ' f k ' ( x ) − f k ' ( xˆ ) f ( xˆ ) − f j ( x ) = f j ( x) + j ( f k ' ( x ) − f k ' ( xˆ ) ) f k ' ( x ) − f k ' ( xˆ ) ˆ = f= f j ( xˆ ) + ∑ µk sˆk j ( x) k≠ j Footer Page 33 of 258 33 ta có Header Page 34 of 258 Điều suy từ µk ≥ µkj , định nghĩa µkj , tính không âm tất phần tử = sk f k ( x ) − f k ( xˆ ) với k ∈ I ( x ) sˆ = 3.5 Phương pháp Benson ( Benson’s method ) Ý tưởng phương pháp đưa phương án ban đầu x0 ∈ X , chưa hữu hiệu, đưa lời giải khác trội Để làm thế, biến lệch không âm = lk f k ( x0 ) − f k ( x ) giới thiệu tổng cực đại chúng Kết thu x trội x0 tồn tại, mục tiêu đảm bảo hữu hiệu, đẩy x xa x0 đến mức p max ∑ lk k =1 f k ( x0 ) − lk − f k (= x) = k 1, 2, , p (3.5.1) l≥0 x∈ X Điều trước tiên việc giải (3.5.1) kiểm tra tính hữu hiệu x0 Định lý 3.5.1 Phương án khả thi x0 ∈ X hữu hiệu giá tri mục tiêu tối ưu (3.5.1) Chứng minh: 1, 2, , p đặt " ⇐ " Lấy ( x, l ) phương án tối ưu (3.5.1) Vì lk ≥ 0, k = = lk f k ( x0 ) − f k ( x ) ta có p ∑l k =1 Footer Page 34 of 258 k = ⇔ lk = k =1, 2, , p ⇔ f k ( x0 )= f k ( x ) k= 1, 2, , p 34 Header Page 35 of 258 Vì vậy, giá trị tối ưu 0, x ∈ X thỏa f ( x ) ≤ f ( x0 ) ta phải có f ( x ) = f ( x0 ) , nghĩa x0 điểm hữu hiệu " ⇒ " Ngược lại, x0 hữu hiệu tập khả thi (3.5.1) có phần tử ( x, l ) với x ∈ X f ( x ) = f ( x0 ) l =  ( ) Mệnh đề 3.5.2 Nếu toán (3.5.1) có phương án tối ưu xˆ , lˆ ( giá trị mục tiêu tối ưu hữu hạn ) xˆ ∈ X E Chứng minh: Giả sử x ∉ X E Thì có x ' ∈ X thỏa f k ( x ') ≤ f k ( xˆ ) với k = 1, 2, , p f j ( x ') < f j ( xˆ ) với j ∈ {1, 2, , p} Ta đặt = l ′ : f ( x ) − f ( x′ ) ( x′, l ′ ) khả thi (3.5.1) lk' = f k ( x ) − f k ( x′ ) ≥ f k ( x ) − f k ( xˆ ) = lˆk ≥ Hơn nữa, p ( ) p ∑ lk′ > ∑ lˆk l′j > lˆj Điều xˆ, lˆ phương án tối ưu k 1= k = (3.5.1)  Định lý 3.5.3 ( Benson ( 1978) ) Giả sử hàm f k , k = 1, 2, , p lồi X ⊂  n tập lồi Nếu (3.5.1) giá trị mục tiêu tối ưu hữu hạn X pE = ∅ Chứng minh: Vì (3.5.1) không bị chặn, với số thực M ≥ ta tìm x M ∈ X thỏa l = f ( x0 ) − f ( x M ) ≥ p ∑ lk = ∑ ( f ( x ) − f ( x )) > M p k 1= k = Footer Page 35 of 258 M k k 35 (3.5.2) Header Page 36 of 258 Giả sử xˆ hữu hiệu thường Theo định lý 3.1.6, λk > 0, k = 1, 2, , p thỏa xˆ phương án tối ưu có trọng số p min∑ λ f ( x ) Vì x∈X k =1 k k p ∑ λ ( f ( x ) − f ( xˆ ) ) ≥ với x ∈ X , đặc biệt k =1 k k k ∑ λ ( f ( x ) − f ( xˆ ) ) ≥ p k =1 k k k M' Ta đặt λˆ : {λ1 , λ2 , , λ p } > , cố định phần tử tùy ý M ' ≥ đặt M := = λˆ Từ (3.5.2) ta biết với M có x M ∈ X thỏa f k ( x ) − f k ( x M ) ≥ với k = 1, 2, , p ( ) ( ) λˆ ∑ f k ( x ) − f k ( x M ) > λˆ M = p k =1 M' ˆ λ= M' λˆ Điều ( M ' < ∑ λˆ f k ( x ) − f k ( x M ) ≤ ∑ λk f k ( x ) − f k ( x M ) p p = k 1= k ) với M ' ≥ định nghĩa λˆ M ' chọn tùy ý Lấy = M′ ∑ λ ( f ( x ) − f ( xˆ ) ) ta p k =1 k k k ( ) ( ∑ λk f k ( x0 ) − f k ( xˆ ) < ∑ λk f k ( x0 ) − f k ( x M ) p p = k 1= k Nghĩa là, ) ∑ λk f k ( x M ) < ∑ λk f k ( xˆ ) Điều tương phản với xˆ lời giải tối ưu p p k 1= k = toán tổng trọng số Footer Page 36 of 258  36 Header Page 37 of 258 3.6 Tối ưu hóa kiểu từ điển ( lexicographic optimality ) Trong tối ưu hóa kiểu từ điển ta so sánh vectơ hàm mục tiêu không gian mục tiêu theo thứ tự kiểu từ điển Ta viết toán tối ưu kiểu từ điển dạng lex ( f ( x ) , f ( x ) , , f ( x ) ) x∈X p (3.6.1) Định nghĩa 3.6.1 Một phương án khả thi xˆ ∈ X gọi tối ưu theo kiểu từ điển không tồn x ∈ X cho f ( x )