Quy hoạch đa mục tiêu

Lời nói đầu Quy hoạch toán học là một ngành toán học có nhiều ứng dụng trong thực tế Quy hoạch tuyến tính, một bộ phận của quy hoạch toán học, bài toán với một hàm mục tiêu trong đó hàm

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP HỒ CHÍ MINH

BÙI PHÚC KIểN

QUY HOẠCH ĐA MỤC TIÊU

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

Thành phố Hồ Chí Minh - 2012

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

TR ƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP HỒ CHÍ MINH

Bùi Phúc Kiển

QUY HOẠCH ĐA MỤC TIÊU

Chuyên ngành: toán giải tích

Lời cảm ơn

Trước hết, tôi xin gởi lời cám ơn đến Ts Trịnh Công Diệu, người đã dành nhiều thời gian và công sức giúp tôi hoàn thành luận văn này Cám ơn ban giám hiệu trường đại học sư phạm Tp.HCM, phòng sau đại học và các thầy cô khoa toán – tin đã tạo nhiều điều kiện thuận lợi cho tôi trong suốt thời gian học tập và thực hiện luận văn

Cám ơn ba mẹ tôi và các thành viên trong gia đình những người đã động viên tôi vượt qua những lúc khó khăn Họ là nguồn động lực giúp tôi hoàn thành luận văn này

Cuối cùng, tôi xin gởi lời cám ơn đến các bạn của tôi, những giúp đỡ về vật chất cũng như về tinh thần của các bạn đã cho tôi sự yên tâm để tôi có thể hoàn thành khóa học

Tp Hồ Chí Minh, ngày 23 tháng 9 năm 2012

Bùi Phúc Kiển

Lời nói đầu

Quy hoạch toán học là một ngành toán học có nhiều ứng dụng trong thực tế Quy hoạch tuyến tính, một bộ phận của quy hoạch toán học, bài toán với một hàm mục tiêu trong đó hàm mục tiêu và các ràng buộc là các hàm tuyến tính, đã được đưa vào giảng dạy ở chương trình đại học Tuy nhiên, do nhu cầu thực tế, phát

sinh nhiều bài toán đòi hỏi phải tối ưu cùng một lúc nhiều hàm mục tiêu với các hàm mục tiêu và các ràng buộc thường là những hàm phi tuyến

Quy hoạch đa mục tiêu (QHĐMT) ra đời đã đáp ứng những đòi hỏi nêu trên

Từ những nền tảng đầu tiên được đặt ra bởi Pareto (1848 – 1923 ), đến nay QHĐMT đã thu hút được nhiều nhà nghiên cứu và có nhiều ứng dụng rộng rãi trong các lĩnh vực khác nhau từ kinh tế, tài chính, tin học, nông nghiệp,…

Luận văn này trình bày những kiến thức cơ bản về QHĐMT và được chia làm ba chương:

Chương 1 nhắc lại các kiến thức cơ bản của giải tích lồi như: tập lồi, tập affine, hàm lồi, các định lý tách tập lồi,…

Chương 2 trình bày các kiến thức cơ bản về QHĐMT như các quan niệm về tối ưu, các khái niệm tối ưu, những khó khăn đối với bài toán tối ưu đa mục tiêu,…

Chương 3 nêu ra một số phương pháp giải bài toán QHĐMT Các phương pháp được trình bày chủ yếu là các phương pháp vô hướng, nghĩa là chuyển bài toán QHĐMT về bài toán quy hoạch đơn mục tiêu hoặc một họ các bài toán đơn mục tiêu để giải

MỤC LỤC

1.2 Hàm lồi và các định lý tách tập lồi 7

Chương 2 Quy hoạch đa mục tiêu: những kiến thức cơ bản 10

2.1 Tối ưu với nhiều mục tiêu 10 2.2 Mô hình tối ưu đa mục tiêu 12 2.3 Những khó khăn đối với bài toán tối ưu đa mục tiêu 13 2.4 Các khái niệm tối ưu 15 2.5 Tối ưu đơn mục tiêu và đa mục tiêu: những khác biệt 19

Chương 3 Quy hoạch đa mục tiêu: các phương pháp giải 21

3.1 Phương pháp tổng trọng số ( the weighted sum method ) 21 3.2 Phương pháp ε - ràng buộc ( theε- constraint method ) 26 3.3 Phương pháp lai ( The hybrid method ) 30 3.4 Phương pháp co giãn ràng buộc ( The elastic constraint method ) 31 3.5 Phương pháp Benson ( Benson’s method ) 34 3.6 Tối ưu hóa kiểu từ điển ( lexicographic optimality ) 37 3.7 Tối ưu theo thứ tự Max ( Max-Ordering optimality ) 39

Chương 1 Kiến thức chuẩn bị

Theo định nghĩa,∅ và X được xem là tập lồi

Mệnh đề 1.1.2 Giao của tất cả các tập lồi là một tập lồi

Chứng minh: lấy A i ⊂ X với i I∈ là một họ các tập lồi Đặt i

i I

∈

= Khi đó ,

Mệnh đề 1.1.3 ( Định lý Helly ) Cho p n> và C C1, 2, ,C p ⊂  là các tập lồi nKhi đó

1

p

i i

Hoặc có phát biểu tương đương như sau,

1

p

i i

x x x ∈ X nếu tồn tại các λi ≥0,i =1, 2, ,n,

11

n

i i

Chứng minh: tham khảo Đỗ Văn Lưu và Phan Huy Khải (2000, trang 5-6)

Định nghĩa 1.1.6 Giả sử A X⊂ Giao của tất cả các tập lồi trong trong X chứa A được gọi là bao lồi ( convex hull ) của A ký hiệu coA

Định nghĩa 1.1.7 Tập n

A ⊂  được gọi là tập affine nếu ,∀x y∈ ∀ ∈ A, λ ta có

(1−λ)x+λy∈ A

Định nghĩa 1.1.8 Giao của tất cả các tập affine chứa n

A ⊂  được gọi là bao affine ( affine hull ) của A ký hiệu affA

Định nghĩa 1.1.9 Phần trong tương đối của tập n

A ⊂  là phần trong của A trong affA và ký hiệu bởi riA Các điểm thuộc riA được gọi là điểm trong tương đối của

A

1.2 Hàm lồi và các định lý tách tập lồi

Giả sử X là không gian lồi địa phương, D X⊂ , f D: → ∪ ±∞ { }

Định nghĩa 1.2.1 Trên đồ thị ( epigraph ) của hàm f , ký hiệu epif , được định

nghĩa như sau

: , :

epif = x r ∈ ×D  f x ≤r

Định nghĩa 1.2.2 Hàm f được gọi là hàm lồi trên D nếu epif là tập lồi trong

X ×  Hàm f được gọi là hàm lõm trên D nếu f− là hàm lồi trên D

( )1

0

p

k k k

C hương 2 Quy hoạch đa mục tiêu: những kiến thức cơ bản

2.1 Tối ưu với nhiều mục tiêu

Ta xét bài toán ra quyết định như sau:

Một chủ trang trại có 10 hecta đất và quyết định đầu tư trồng ba loại cây công nghiệp gồm cao su, cà phê và điều Các thông số về giá cây giống, mật độ trồng, phân bón, giá bán sản phẩm, năng suất trung bình và nhân công chăm sóc được cho trong bảng sau:

Loại cây Cao su Cà phê Điều Giá cây giống ( 1000đ/cây) 5 3,5 2,5 Mật độ (cây/ha ) 450 2000 200 Phân bón (tấn/ha) 0,215 0,5 0,3 Năng suất trung bình (tấn/ha) 2,3 2,526 2 Giá bán sản phẩm (triệu đ/ tấn) 8,8 43,1 18 Nhân công ( người/ha) 10 5 4 Người chủ trang trại đặt ra các mục tiêu như sau:

• Vốn đầu tư, số lượng nhân công, khối lượng phân bón là tối thiểu

• Giá bán sản phẩm là cao nhất có thể Nếu ta gọi số cây phải trồng của cao su, cà phê, điều lần lượt là x x1, 2, và x 3 thì vấn

đề của người chủ trang trại được xem xét dưới dạng mô hình của bài toán tối ưu như sau:

• Vốn đầu tư: f x1( )=5x1+3x2+2,5x3 →min

• Số lượng nhân công: ( ) 1 2 3

Trong ví dụ nêu trên, có thể số tiền thu được khi bán sản phẩm là mục tiêu quan trọng nhất đối với chủ trang trại, tiếp đến là vốn đầu tư, kém quan trọng hơn nữa là nhân công và cuối cùng là mục tiêu phân bón Như vậy, trong bài toán trên, có một thứ tự ưu tiên giữa các mục tiêu Khi đó, trong việc giải bài toán, mục tiêu kém ưu tiên hơn chỉ được xem xét ở mức tốt nhất có thể khi mục tiêu ưu tiên trước nó đã đạt được Tối ưu đa mục tiêu có sự ưu tiên giữa các mục tiêu như vậy được gọi là tối ưu theo kiểu từ điển

Cũng trong ví dụ trên, trường hợp các mục tiêu có tầm quan trọng như nhau đối với chủ trang trại Anh ta xem một phương án là tối ưu khi không thể cải thiện bất kỳ

mục tiêu nào nữa mà không làm ảnh hưởng đến mục tiêu khác Điều này dẫn ta đến khái niệm điểm hữu hiệu hay còn gọi là phương án tối ưu Pareto

Đôi khi xảy ra trường hợp một mục tiêu đạt giá trị quá cao trong khi mục tiêu khác lại nhận được giá trị quá thấp Trường hợp này đối với người chủ trang trại cũng là

một điều không mong muốn Và tối ưu theo thứ tự max sẽ được sử dụng nhằm tránh

những trường hợp như thế này

Các khái niệm về tối ưu trên ( tối ưu theo kiểu từ điển, tối ưu Pareto, tối ưu theo thứ

tự max ) sẽ được trình bày rõ hơn về mặt toán học ở các mục sau

2.2 Mô hình tối ưu đa mục tiêu

Về mặt toán học, một bài toán quy hoạch đa mục tiêu (QHĐMT) có dạng:

Từ “min” ở đây được hiểu theo nghĩa chúng ta muốn tối ưu tất cả các mục tiêu cùng một lúc Thực tế là các hàm mục tiêu có ràng buộc chặt chẽ nhau, một phương án để các mục tiêu đều đạt được giá trị tốt nhất hầu như không thể tìm được Điều này sẽ được phân tích kỹ hơn trong mục tiếp theo

Hình 2.2.1 Không gian quyết định và không gian mục tiêu

Căn cứ vào các hàm mục tiêu, các hàm ràng buộc, tập khả thi, ta có những loại bài toán QHĐMT như sau:

Định nghĩa 2.2.1 Khi tất cả các hàm mục tiêu và các hàm ràng buộc của tập khả thi

là tuyến tính thì bài toán QHĐMT được gọi là bài toán quy hoạch tuyến tính đa mục tiêu (QHTTĐMT)

Nếu có ít nhất một trong các hàm mục tiêu hoặc các hàm ràng buộc là phi tuyến, bài toán QHĐMT được gọi là bài toán quy hoạch phi tuyến đa mục tiêu (QHPTĐMT)

Định nghĩa 2.2.2 Bài toán QHĐMT được gọi là bài toán QHĐMT lồi nếu tất cả

các hàm mục tiêu là hàm lồi và tập khả thi là tập lồi

2.3 Những khó khăn đối với bài toán tối ưu đa mục tiêu

Để làm rõ vấn đề, ta xét bài toán tối ưu với hai mục tiêu sau:

Tuy nhiên, không có bất kỳ phương án *

x nào thuộc X thỏa

( )* ( ) ( )* ( )

f x ≤ f x f x ≤ f x với mọi x X∈ Như vậy, câu hỏi đặt ra ở đây là như thế nào là một phương án tối ưu của một bài toán QHĐMT?

Hình 2.3.1 Đồ thị của các hàm số 2

y= và x y= − 1 x

Để trả lời cho câu hỏi trên, ta trở lại với bài toán QHĐMT trong trường hợp tổng

quát Với x X∈ , ta có f x ( ) là một vectơ trong  Do đó, để chỉ ra như thế nào là p

một phương án tối ưu của bài toán QHĐMT ta cần một công cụ để so sánh các vectơ với nhau Thứ tự từng phần thường được sử dụng trong trường hợp này Tuy nhiên, đây là thứ tự không toàn phần, hai vectơ bất kỳ không phải lúc nào cũng có thể so sánh được

2.4 Các khái niệm tối ưu

Trước khi trình bày các khái niệm về tối ưu trong tối ưu đa mục tiêu ta nêu ra một

số thứ tự trong không gian Euclide p

Ký hiệu Định nghĩa Tên

max k max k

k p y k n y

= ≤ =

Thứ tự từng phần yếu Thứ tự từng phần Thứ tự từng phần chặt Thứ tự kiểu từ điển Thứ tự Max

Với các thứ tự theo từng phần ( chặt, yếu ), ta định nghĩa các tập con của p

 như sau :

Ta đi vào định nghĩa các phương án tối ưu trong bài toán QHĐMT

Định nghĩa 2.4.1 Điểm khả thi ˆx∈X được gọi là điểm hữu hiệu (efficient solution)

nếu không tồn tại x∈X thỏa f x( )≤ f x( )ˆ Nếu ˆx hữu hiệu thì f x( )ˆ được gọi là

điểm không trội (nondominated point) Tập tất cả các điểm hữu hiệu ˆx∈X ký hiệu

ˆx∈X là hữu hiệu nếu

1 Không tồn tại x X∈ thỏa f k( )x ≤ f k( )xˆ ,k =1, 2, ,p và f x i( )≤ f x i( )ˆ với i

Hình 2.4.1 Sự mô tả về mặt hình học của điểm không trội

Hình 2.4.2 Đồ thị mô tả sự biểu diễn của f qua 1 f 2

Như vậy, trong bài toán này ta có X E =[ ]0,1 và { ( 2 ) 2 [ ] }

,1 , 0,1

N

Y = x − ∈x  x∈

Định nghĩa 2.4.2 Điểm ˆx ∈ X được gọi là hữu hiệu yếu ( weakly efficient ) nếu

không tồn tại x ∈ X thỏa f x ( ) < f x ( ) ˆ , nghĩa là fk( ) x < fk( ) x ˆ với mọi k =1,p Khi đó, điểm y ˆ = f x ( ) ˆ được gọi là điểm không trội yếu ( weakly nondominated )

Điểm ˆx∈X được gọi là hữu hiệu chặt ( strictly efficient ) nếu không có

ˆ ,

x ∈ X x ≠ x thỏa f x ( ) ≤ f x ( ) ˆ Điểm không trội yếu, điểm hữu hiệu yếu và điểm hữu hiệu chặt lần lượt được ký hiệu Y wN,X wE,X sE

Theo định nghĩa, một điểm hữu hiệu không cho phép ta giảm giá trị của một mục tiêu trong khi giữ lại các giá trị tương tự của các mục tiêu khác Như vậy, giá trị của một hoặc một vài mục tiêu giảm xuống chỉ có thể đạt được khi giá trị của ít nhất một mục tiêu khác tăng lên Điều này gọi là sự thỏa hiệp Những thỏa hiệp giữa các mục tiêu có thể được đo lường bằng việc tính toán sự tăng lên của mục tiêu f i nói lên phần đơn vị giảm xuống trong mục tiêu fj Điều này đưa đến khái niệm về điểm hữu hiệu chính thường

Định nghĩa 2.4.3 Điểm ˆx∈X được gọi là hữu hiệu chính thường ( properly efficient ) nếu nó hữu hiệu và tồn tại một số thực M > 0 sao cho với mọi cặp i và

x ∈ X thỏa f xi( ) < f xi( ) ˆ thì tồn tại một chỉ số j thỏa f j( )xˆ < f j( )x và

Nếu ˆx∈X là điểm hữu hiệu chính thường thì y ˆ = f x ( ) ˆ được gọi là điểm không

trội chính thường ( properly nondominated point ) Tập các điểm hữu hiệu chính

thường và tập các điểm không trội chính thường lần lượt được ký hiệu là X pE và

pE

Y

2.5 Tối ưu đơn mục tiêu và đa mục tiêu: những khác biệt

Trong bài toán tối ưu đơn mục tiêu, công việc chỉ là tìm một phương án tốt nhất cho mục tiêu đó Do đó, trong các thuật toán của bài toán tối ưu đơn mục tiêu, một phương án mới sẽ được chấp nhận nếu nó có giá trị mục tiêu tốt hơn phương án cũ Đối với bài toán tối ưu đa mục tiêu, việc giải bài toán thường hướng đến tìm tập hữu hiệu Tuy nhiên, chúng ta chỉ cần một phương án cuối cùng cho bài toán nên sẽ

có sự chọn lựa từ những phương án nằm trong tập hữu hiệu và ở đây có sự thỏa hiệp giữa các mục tiêu Do đó, quá trình giải bài toán tối ưu đa mục tiêu có sự phối hợp

giữa nhà phân tích ( một người hoặc một chương trình máy tính chịu trách nhiệm về mặt toán học của bài toán ) và người ra quyết định ( một người hoặc một nhóm người cung cấp thông tin cho bài toán và lựa chọn phương án sau cùng ) Đó là sự khác biệt cơ bản của tối ưu đơn mục tiêu và đa mục tiêu.

Chương 3 Quy hoạch đa mục tiêu: các phương pháp giải

3.1 P hương pháp tổng trọng số ( the weighted sum method )

Ý tưởng của phương pháp là mỗi mục tiêu được nhân với một trọng số

, 0

λ ∈ λ ≥ với mọi i∈{1, 2, ,p} sau đó cực tiểu hóa tổng của các hàm mục tiêu

đã nhân với từng trọng số Nghĩa là, việc giải bài toán QHĐMT

11

p

k k

λ

=

=

Định lý 3.1.1 Nếu ˆx là phương án tối ưu của bài toán (3.1.1) thì ˆ x∈X wE

Chứng minh: Ta chứng minh bằng phản chứng Lấy ˆx là một phương án tối ưu của

bài toán (3.1.1) Giả sử ˆx không hữu hiệu yếu Khi đó tồn tại x X∈ thỏa ( ) ( )ˆ

Chứng minh: Lấy ˆx X∈ là một phương án tối ưu của bài toán (3.1.1) với các trọng

số dương Giả sử ˆx không hữu hiệu Nghĩa là tồn tại x X∈ sao cho f x i( )≤ f x i( )ˆvới mọi i=1, 2, ,p và có ít nhất một bất đẳng thức là chặt Vì

∑ ∑ Điều này trái với giả thiết

ˆx∈ X là một phương án tối ưu của bài toán (3.1.1) Vậy ˆx là hữu hiệu 

Định lý 3.1.3 Nếu ˆx là phương án tối ưu duy nhất của bài toán (3.1.1) thì ˆ x∈X E

Chứng minh: Lấy ˆx là phương án tối ưu duy nhất của bài toán (3.1.1) Giả sử ˆx không hữu hiệu Khi đó tồn tại x X∈ sao cho f x i( )≤ f x i( )ˆ với mọi i =1, 2, ,p

và có ít nhất một bất đẳng thức là chặt Do các trọng số là không âm nên ta có

là mâu thuẩn nhau Vậy ˆx∈X E 

Định lý 3.1.4 Cho X là tập lồi, , f k k =1, 2, ,p là các hàm lồi Nếu ˆx∈X E thì tồn

tại

1, 1

p p k k

Sau đây ta đưa ra mối liên hệ giữa phương án tối ưu của bài toán (3.1.1) và điểm hữu hiệu chính thường

Hình 3.1.1 Phương pháp tổng trọng số với bài toán lồi

Định lý 3.1.5 ( Geoffrion (1968) ) Lấy λk >0,k =1, 2, ,p với

11

p

k k

Giả sử ˆx không hữu hiệu chính thường Thì có i∈{1, 2, ,p} và x∈X thỏa ( ) ( )ˆ

phương án tối ưu của (3.1.1) với các trọng số λk >0,k =1, 2, ,p

Chứng minh: Do định lý 3.1.5 ta chỉ phải chứng minh điều kiện cần Lấy ˆx X∈ là

hữu hiệu chính thường Theo định nghĩa, tồn tại số dương M thỏa với mọi

1, 2, ,

i = p hệ

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

ˆ

p i k k

Ta có thể chuẩn hóa các giá trị 1 k i , 1, 2, ,

3.2 Phương pháp ε - ràng buộc ( theε- constraint method )

Bên cạnh phương pháp tổng trọng số, phương pháp ε- ràng buộc được biết đến như một phương pháp nổi tiếng giải các bài toán QHĐMT Không có sự tổng hợp các mục tiêu, mà chỉ một trong các mục tiêu gốc được cực tiểu hóa, trong khi các mục tiêu khác được chuyển thành các ràng buộc

Thay cho vệc xét bài toán

Với εk∈, 1, 2, , , k = p k ≠ j Thành phần εj không liên quan đến P j( )ε

Hình 2.3.1 mô tả phương pháp ε −ràng buộc cho bài toán hai mục tiêu,mục tiêu f 2được giữ lại để cực tiểu hóa, f 1 được chuyển thành ràng buộc Trường hợp cận trên đặt ra cho f là 1 ε1a, bài toán P2( )ε không có phương án tối ưu Trường hợp các cận trên đặt ra cho f là 1 ε ε ε1b, 1c, 1d phương án tối ưu của các bài toán tương ứng lần lượt

là B, C, D

Mệnh đề 3.2.1 Nếu ˆx là một phương án tối ưu của P ( )ε , thì ˆx là hữu hiệu yếu