BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP HỒ CHÍ MINH BÙI PHÚC KIểN QUY HOẠCH ĐA MỤC TIÊU LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Thành phố Hồ Chí Minh - 2012 BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP HỒ CHÍ MINH Bùi Phúc Kiển QUY HOẠCH ĐA MỤC TIÊU Chuyên ngành: toán giải tích Mã số: 60.46.05 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC: Ts Trịnh công Diệu Thành phố Hồ Chí Minh - 2012 Lời cảm ơn Trước hết, xin gởi lời cám ơn đến Ts Trịnh Công Diệu, người dành nhiều thời gian công sức giúp hoàn thành luận văn Cám ơn ban giám hiệu trường đại học sư phạm Tp.HCM, phòng sau đại học thầy cô khoa toán – tin tạo nhiều điều kiện thuận lợi cho suốt thời gian học tập thực luận văn Cám ơn ba mẹ thành viên gia đình người động viên vượt qua lúc khó khăn Họ nguồn động lực giúp hoàn thành luận văn Cuối cùng, xin gởi lời cám ơn đến bạn tôi, giúp đỡ vật chất tinh thần bạn cho yên tâm để hoàn thành khóa học Tp Hồ Chí Minh, ngày 23 tháng năm 2012 Bùi Phúc Kiển Lời nói đầu Quy hoạch toán học ngành toán học có nhiều ứng dụng thực tế Quy hoạch tuyến tính, phận quy hoạch toán học, toán với hàm mục tiêu hàm mục tiêu ràng buộc hàm tuyến tính, đưa vào giảng dạy chương trình đại học Tuy nhiên, nhu cầu thực tế, phát sinh nhiều toán đòi hỏi phải tối ưu lúc nhiều hàm mục tiêu với hàm mục tiêu ràng buộc thường hàm phi tuyến Quy hoạch đa mục tiêu (QHĐMT) đời đáp ứng đòi hỏi nêu Từ tảng đặt Pareto (1848 – 1923 ), đến QHĐMT thu hút nhiều nhà nghiên cứu có nhiều ứng dụng rộng rãi lĩnh vực khác từ kinh tế, tài chính, tin học, nông nghiệp,… Luận văn trình bày kiến thức QHĐMT chia làm ba chương: Chương nhắc lại kiến thức giải tích lồi như: tập lồi, tập affine, hàm lồi, định lý tách tập lồi,… Chương trình bày kiến thức QHĐMT quan niệm tối ưu, khái niệm tối ưu, khó khăn toán tối ưu đa mục tiêu,… Chương nêu số phương pháp giải toán QHĐMT Các phương pháp trình bày chủ yếu phương pháp vô hướng, nghĩa chuyển toán QHĐMT toán quy hoạch đơn mục tiêu họ toán đơn mục tiêu để giải MỤC LỤC Chương Kiến thức chuẩn bị 1.1 Tập lồi 1.2 Hàm lồi định lý tách tập lồi Chương Quy hoạch đa mục tiêu: kiến thức 10 2.1 Tối ưu với nhiều mục tiêu 10 2.2 Mô hình tối ưu đa mục tiêu 12 2.3 Những khó khăn toán tối ưu đa mục tiêu 13 2.4 Các khái niệm tối ưu 15 2.5 Tối ưu đơn mục tiêu đa mục tiêu: khác biệt 19 Chương Quy hoạch đa mục tiêu: phương pháp giải 21 3.1 Phương pháp tổng trọng số ( the weighted sum method ) 21 3.2 Phương pháp ε - ràng buộc ( the ε - constraint method ) 26 3.3 Phương pháp lai ( The hybrid method ) 30 3.4 Phương pháp co giãn ràng buộc ( The elastic constraint method ) 31 3.5 Phương pháp Benson ( Benson’s method ) 34 3.6 Tối ưu hóa kiểu từ điển ( lexicographic optimality ) 37 3.7 Tối ưu theo thứ tự Max ( Max-Ordering optimality ) 39 Tài liệu tham khảo 43 Chương Kiến thức chuẩn bị 1.1 Tập lồi Định nghĩa 1.1.1 Cho X không gian tuyến tính Tập A ⊂ X gọi lồi ∀x1 , x ∈ A, ∀λ ∈ [ 0,1] ⇒ λ x1 + (1 − λ ) x ∈ A Theo định nghĩa, ∅ X xem tập lồi Mệnh đề 1.1.2 Giao tất tập lồi tập lồi Chứng minh: lấy Ai ⊂ X với i ∈ I họ tập lồi Đặt A = Ai Khi i∈I ∀x, y ∈ A , ta có x, y ∈ Ai với i ∈ I Do ∀i ∈ I , Ai lồi nên λ x + (1 − λ ) y ∈ Ai với λ ∈ [ 0,1] Suy λ x + (1 − λ ) y ∈ A với λ ∈ [ 0,1] Vậy A tập lồi Mệnh đề 1.1.3 ( Định lý Helly ) Cho p > n C1 , C2 , , C p ⊂ n tập lồi Khi p C i ≠∅ i =1 { } với tập gồm n + phần tử Ci1 , Ci2 , , Cin +1 ⊂ {C1 , C2 , , C p } ta có n +1 C k =1 ik ≠∅ Hoặc có phát biểu tương đương sau, p C i = ∅ có tập i =1 { } gồm n + phần tử Ci1 , Ci2 , , Cin +1 ⊂ {C1 , C2 , , C p } thỏa n +1 C k =1 ik = ∅ Chứng minh mệnh đề 1.1.3 tham khảo Đỗ Văn Lưu Phan Huy Khải (2000, trang 180-183) Định nghĩa 1.1.4 Vectơ x ∈ X gọi tổ hợp lồi vectơ n n i =1 i =1 1, 2, , n , ∑ λi = cho x = ∑ λi x i x1 , x , , x n ∈ X tồn λi ≥ 0, i = Định lý 1.1.5 Giả sử A ⊂ X tập lồi; x1 , x , , x n ∈ A Khi đó, A chứa tất tổ hợp lồi x1 , x , , x n Chứng minh: tham khảo Đỗ Văn Lưu Phan Huy Khải (2000, trang 5-6) Định nghĩa 1.1.6 Giả sử A ⊂ X Giao tất tập lồi trong X chứa A gọi bao lồi ( convex hull ) A ký hiệu coA Định nghĩa 1.1.7 Tập A ⊂ n gọi tập affine ∀x, y ∈ A, ∀λ ∈ ta có (1 − λ ) x + λ y ∈ A Định nghĩa 1.1.8 Giao tất tập affine chứa A ⊂ n gọi bao affine ( affine hull ) A ký hiệu affA Định nghĩa 1.1.9 Phần tương đối tập A ⊂ n phần A affA ký hiệu riA Các điểm thuộc riA gọi điểm tương đối A 1.2 Hàm lồi định lý tách tập lồi Giả sử X không gian lồi địa phương, D ⊂ X , f : D → ∪ {±∞} Định nghĩa 1.2.1 Trên đồ thị ( epigraph ) hàm f , ký hiệu epif , định nghĩa sau {( x, r ) ∈ D × : f ( x ) ≤ r} =: epif Định nghĩa 1.2.2 Hàm f gọi hàm lồi D epif tập lồi X × Hàm f gọi hàm lõm D − f hàm lồi D Định lý 1.2.3 Lấy X , Y ⊂ n tập lồi khác rỗng Khi đó, tồn y* ∈ n thỏa inf y∈Y Và y, y * ≥ sup x, y * sup y∈Y x∈X y, y * > inf x, y * x∈X riX ∩ riY = ∅ Định lý 1.2.4 Lấy Y ⊂ n tập lồi, đóng, khác rỗng y ∈ n \ Y Thì tồn y* ∈ n \ {0} α ∈ thỏa y*, y < α < y*, y với y ∈ Y Chứng minh định lý 1.2.3 định lý 1.2.4 tham khảo Đỗ Văn Lưu Phan Huy Khải (2000, trang 71-73) Định lý 1.2.5 Cho X ⊂ n tập lồi f k : n → , k = 1, 2, , p hàm lồi p Nếu hệ f k ( x ) < 0, k = 1, 2, , p lời giải tồn số λk ≥ 0, ∑ λk = k =1 thỏa p ∑ λ f ( x ) ≥ với x ∈ X k =1 k k Chứng minh định lý 1.2.5 tìm Mangasarian ( 1994, trang 63-65 ) Chương Quy hoạch đa mục tiêu: kiến thức 2.1 Tối ưu với nhiều mục tiêu Ta xét toán định sau: Một chủ trang trại có 10 hecta đất định đầu tư trồng ba loại công nghiệp gồm cao su, cà phê điều Các thông số giá giống, mật độ trồng, phân bón, giá bán sản phẩm, suất trung bình nhân công chăm sóc cho bảng sau: Loại Cao su Cà phê Điều Giá giống ( 1000đ/cây) 3,5 2,5 Mật độ (cây/ha ) 450 2000 200 Phân bón (tấn/ha) 0,215 0,5 0,3 Năng suất trung bình (tấn/ha) 2,3 2,526 Giá bán sản phẩm (triệu đ/ tấn) 8,8 43,1 18 Nhân công ( người/ha) 10 Người chủ trang trại đặt mục tiêu sau: • Vốn đầu tư, số lượng nhân công, khối lượng phân bón tối thiểu • Giá bán sản phẩm cao Nếu ta gọi số phải trồng cao su, cà phê, điều x1 , x2 , x3 vấn đề người chủ trang trại xem xét dạng mô hình toán tối ưu sau: • Vốn đầu tư: f1 ( x ) = x1 + 3x2 + 2,5 x3 → 10