Đáp án bồi dưỡng Toán 9 đề 2

Bài 1: a) Giải phương trình căn thức: b) Chứng minh đẳng thức: Lời giải: a) Ta có: Kết luận, nghiệm của phương trình đã cho là hoặc b) Ta có: Suy ra: Tương tự như vậy, ta có: Từ đó, ta có: Và ta có đpcm. Bài 2: a) Khai triển biểu thức thành dạng 2k + 1 và phân tích k thành các thừa số. b) Cho số nguyên A là tổng binh phương của hai số nguyên dương liên tiếp. Hãy chứng minh rằng A không thể la tổng lũy thừa bậc 4 của hai số nguyên dương liên tiếp. Lời giải: a) Ta có: b) Giả sử tồn tại số nguyên A thỏa mãn điều bài toán, khi đó tồn tại 2 số nguyên dương p và q sao cho: Khi đó: (1) Vì phương trình (1) có nghiệm nguyên p nên: là số chính phương. Mặt khác: Hay là: (2) Lại có: Hay là (3) Từ (2) và (3) suy ra: Do đó không thể là số chính phương. Điều này cho thấy giả sử ban đầu về sự tồn tại A là sai. Từ đó ta có ĐPCM. Bài 3: Cho a, b, c là 3 số không âm thỏa mãn điều kiện: (1) a) Chứng minh bất đẳng thức : (2) Hỏi từ (2) có thể suy ra (1) được không? Vì sao? b)Cho p, q, r là 3 số thực thỏa mãn điều kiện . Chứng minh bất đẳng thức: Lời giải: a) Ta có: Vì Nên (*) Bây giờ, không mất tính tổng quát, ta giả sử a=max{a, b, c}. Khi đó: (*) Như vậy: Ngoài ra: và Suy ra: Hay là: .(đpcm.) b) Không thể được, chẳng hạn, với . Ta có (2) nhưng không có (1) c) Thay ta được: (**) Với (**) hiển nhiên đúng, và ta có (đpcm.) Với , ta có: (**) (***) (***) đúng theo như điều kiện ban đầu, suy ra (**) đúng, và ta cũng có (đpcm.) Bài 4: Gọi a,b là hai nghiệm của phương trình ; c,d là hai nghiệm của phương trình . Chứng minh hệ thức : Lời giải: Vì c, d là hai nghiệm của phương trình Nên: Suy ra: (a là nghiệm của phương trình nên ) Tương tự như vậy, ta có: Suy ra: Mặt khác, vì a, b là hai nghiệm của phương trình nên , từ đó ta có: . (đpcm) Bài 5: Cho hai đường tròn (O, R) , (I, r) (R>r) tiếp xúc ngoài với nhau với A là tiếp điểm. Gọi B, C là hai điểm di động lần lượt trên (O), (I) sao cho a) Chứng minh trung điểm M của BC nằm trên 1 đường tròn cố định khi B, C thay đổi. b)Kẻ AH vuông góc với BC. Chứng minh H cũng nằm trên một đường tròn cố định khi B, C thay đổi. c) Chứng minh rằng: Lời giải: a) Vì tam giác ABC vuông tại A và M là trung điểm của BC nên: MA=MB=MC Suy ra M nằm trên trung trực của các đoạn thẳng AB, AC Mặt khác, vì (O) qua A, B nên O nằm trên trung trực của AB. Suy ra MO AB Tương tự, vì (I) qua A, C nên I nằm trên trung trực của AC. Suy ra MI AC Gọi P, Q lần lượt là giao điểm của MO với AB, MI với AC. Dễ dàng nhận thấy tứ giác MPAQ là hình vuông, suy ra . Từ đó suy ra M nằm trên đường tròn đường kính OI là đường tròn cố định. ĐPCM. b) Nối OB, IC. Gọi J là giao điểm của BC với OI. Ta có: BOA=2 MOA=2(90 0 – BAO)=2 CAJ= CIJ Từ đó suy ra OB || IC (Đồng vị) Suy ra: Suy ra J là điểm cố định. Ta có: AH BC nên AHJ=90 0 . Suy ra H nằm trên đường tròn đường kính AJ là đường tròn cố định. ĐPCM c) Kẻ IK BC . Dễ thấy AH || IK (Vì cùng vuông góc với BC) Ta có: Suy ra (Vì ) Ta có (đpcm.) . với OI. Ta có: BOA =2 MOA =2 (90 0 – BAO) =2 CAJ= CIJ Từ đó suy ra OB || IC (Đồng vị) Suy ra: Suy ra J là điểm cố định. Ta có: AH BC nên AHJ =90 0 . Suy ra H nằm. toán, khi đó tồn tại 2 số nguyên dương p và q sao cho: Khi đó: (1) Vì phương trình (1) có nghiệm nguyên p nên: là số chính phương. Mặt khác: Hay là: (2)