Đáp án bồi dưỡng Toán 9 (đề 19)

ĐÁP ÁN ĐỀ 19 Bài 1: Chứng minh rằng trong 2008 số khác nhau tùy ý lấy ra từ tập hợp: A ={1, 2, 3, ,2007 2008 } có ít nhất 2 số x, y thỏa mãn: Lời giải: Chia tập hợp A thành 2007 tập hợp con A k ={k 2008 ,k 2008 +1 ,(k+1) 2008 –1} với và A 2006 ={2006 2008 , , 2007 2008 –2}, A 2007 ={2007 2008 –1, 2007 2008 } Bây giờ lấy 2008 số khác nhau từ tập hợp A, theo nguyên lý Derichle, tồn tại 2 số x < y cùng nằm trong 1 tập hợp con A p nào đó.Xét các trường hợp a) p = 2007. Khi đó x=2007 2008 –1 và y = 2007 2008 . Ta có: Và nên ĐPCM. b) p ≤ 2006. Khi đó p 2008 ≤ x < y≤ (p+1) 2008 –1 ( Đúng cho cả trường hợp p =2006) . ĐPCM. Bài 2: Chứng minh rằng: Với m, n nguyên dương thì | | ≥ Lời giải: Vì là số vô tỷ, là số hữu tỷ nên Mặt khác và nên: Do đó: . ĐPCM. Bài 3: Chứng minh bất đẳng thức n n+3 +(n+1) n+3 < (n+2) n+3 Bổ đề: Cho , ta có: Chứng minh bổ đề: Ta có: Dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi x = 0. Do đó: (1) (2) Từ (1) và (2) suy ra: .ĐPCM. Bài 4: Cho 3 số thực a, b, c thỏa mãn a ≥ b ≥ c; abc = 1 và Chứng minh rằng: a + b> ab +1 Lời giải: Trước hết, ta chứng minh c < 1.Thật vậy: Nếu c >1. Vì a ≥ b ≥ c nên a > 1, b > 1 abc > 1. Vô lý Nếu c = 1. Vì a ≥ b ≥ c và abc = 1 nên a = 1, b = 1 . Vô lý Vậy c < 1. Trở lại với bài toán ban đầu,ta có: (1 – c)(a + b – ab – 1) > 0 a + b – ab – 1 > 0 a + b > ab + 1.ĐPCM Bài 5: Cho tam giác cân ABC (AB = AC). M là điểm chuyển động trên cạnh đáy BC. Dựng đường tròn (O 1 ) qua M và tiếp xúc với AB tại B, đường tròn (O 2 ) qua M và tiếp xúc với AC tại C. Hai đường tròn (O 1 ), (O 2 ) cắt nhau tại D. a) Chứng minh đường thẳng DM luôn đi qua một điểm cố định b) Chứng minh tổng độ dài hai đường tròn trên không phụ thuộc vào vị trí của M Lời giải: a) Ta có: MBO 1 =90 0 – ABC = 90 0 – ACB = MCO 2 Hai tam giác cân MO 1 B và MO 2 C đồng dạng với nhau Kẻ O 2 K vuông góc với BC. Ta có: MDC = MO 2 C = KO 2 C (1) KO 2 C = ACB (Cùng phụ với KCO 2 ) (2) Từ (1) và (2) suy ra: MDC = ACB = C (3) Chứng minh tương tự, ta có: MDB = ABC = B (4) Từ (3) và (4) suy ra MDC = MDB Lại có: BAC + BDC = BAC + MDB + MDC = A + B + C =180 0 Tứ giác ABDC là tứ giác nội tiếp Vì MD là phân giác góc BDC nên MD đi qua điểm chính giữa cung BC không chứa D của đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC. Hay nói cách khác MD qua A là điểm cố định. ĐPCM. b) Kẻ AH vuông góc với BC. Gọi R 1 , R 2 lần lượt là bán kính của các đường tròn (O 1 ), (O 2 ). Dễ dàng chứng minh được: AHC CKO 2 (góc, góc) (5) Tương tự như vậy, ta chứng minh được: (6) Cộng vế theo vế hai đẳng thức (5) và (6) với chú ý rằng AB = AC, ta được: Độ dài của đường tròn (O 1 ) là Độ dài của đường tròn (O 2 ) là + = Tổng độ dài của hai đường tròn không phụ thuộc vào vị trí của M. ĐPCM. . ĐÁP ÁN ĐỀ 19 Bài 1: Chứng minh rằng trong 2008 số khác nhau tùy ý lấy ra từ tập hợp:. ≥ b ≥ c và abc = 1 nên a = 1, b = 1 . Vô lý Vậy c < 1. Trở lại với bài toán ban đầu,ta có: (1 – c)(a + b – ab – 1) > 0 a + b – ab – 1 > 0 a +