Phương pháp tính ( Nội suy )

Định nghĩanút x0 của hàm số f x và Rnx được gọi là sai sốcủa đa thức nội suyNewton... Việc xây dựng một đa thức đi qua các điểm nội suy cho trước trong trường hợp n lớn là rất khó khăn

Ngày 14 tháng 10 năm 2016

Để làm được điều đó, ta phải xây dựng một đa thức

Pn(x ) = anxn+ an−1xn−1+ + a1x + a0thỏa mãn

Pn(xi) = yi, i = 0, 1, 2, , n

Định nghĩa

Pn(x ) được gọi là đa thức nội suycủa hàm f (x ), còn các điểm

xi, i = 0, 1, 2, , n được gọi làcác nút nội suy

Về mặt hình học, có nghĩa là tìm đường cong

y = Pn(x ) = anxn+ an−1xn−1+ + a1x + a0 đi qua các điểm

Mi(xi, yi), i = 0, 1, 2, , n đã biết trước của đường cong y = f (x )

(xi, yi)(i = 1, 2, 3) vào đa thức này ta được hệ

x x0 x1 x2 xn

Ta sẽ xây dựng đa thức nội suy của hàm f (x ) trên đoạn [x0, xn], n > 1.

Đa thức nội suy Lagrange có dạng sau

Ln(x ) =

nX

k=0

pnk(x ).yk,

trong đó

(x − x )(x − x ) (x − x )(x − x ) (x − x )

x (x −12)1

Đặt ω(x ) = (x − x0)(x − x1) (x − xk−1)(x − xk)(x − xk+1) (x − xn).Khi đó

k=0

yk

ω0(xk)(x − xk) = ω(x ).

nX

k=0

yk

Dk,với Dk = ω0(xk)(x − xk)

Cho hàm số f (x ) xác định như sau

Tương tự ta có tỉ sai phân cấp 2của hàm trên đoạn [xk, xk+2] là

f [xk, xk+1, xk+2] = f [xk+1, xk+2] − f [xk, xk+1]

xk+2− xkQuy nạp ta có tỉ sai phân cấp p của hàm trên đoạn [xk, xk+p] là

f [xk, xk+1, , xk+p] =

f [xk+1, xk+2, , xk+p] − f [xk, xk+1, , xk+p−1]

xk+p− xk

-0.57=0.45−0.621.6−1.31.6 0.45 -0.00==−0.57−(−0.57)1.9−1.3

-0.57=0.28−0.451.9−1.61.9 0.28

Quá trình trên tiếp diễn đến bước thứ n ta được

Định nghĩa

nút x0 của hàm số f (x ) và Rn(x ) được gọi là sai sốcủa đa thức nội suyNewton Nn(1)(x ) = y0+ f [x0, x1](x − x0) + f [x0, x1, x2](x − x0)(x − x1) + + f [x0, x1, , xn](x − x0)(x − x1) (x − xn−1)

Tương tự, ta có thể xây dựngcông thức Newton lùixuất phát từ điểm nút

xn của hàm số f (x ) như sau

Nn(2)(x ) = yn+ f [xn−1, xn](x − xn) + f [xn−2, xn−1, xn](x − xn−1)(x − xn) + + f [x0, x1, , xn](x − x1)(x − x2) (x − xn)

Do tính duy nhất của đa thức nội suy, ta có với cùng 1 bảng số thì

Ln(x ) = N n(1)(x ) = Nn(2)(x )

x k f (x k ) Tỉ sai phân I Tỉ sai phân II Tỉ sai phân III Tỉ sai phân IV

1= 3−1 2−0

Như vậy công thức nội suy Newton tiến là

Việc xây dựng một đa thức đi qua các điểm nội suy cho trước trong trường hợp n lớn là rất khó khăn Biện pháp khắc phục là trên từng đoạn liên tiếp của các cặp điểm nút nội suy ta nối chúng bởi các đường cong đơn giản như đoạn thẳng Tuy nhiên, khi đó tại các điểm nút hàm sẽ

cách nối các đoạn cong nhỏ lại với nhau sao cho vẫn bảo

là đường spline (đường ghép trơn) Các hàm trên các đoạn nhỏ này thường là các đa thức và bậc cao nhất của các đa thức đó gọi là bậc của spline

Cho f (x) xác định trên đoạn [a, b] và một phép phân hoạch của nó: a = x0 < x1 < x2 = b Đặt

Xét đoạn [x1, x2] Đặt h1= x2− x1 Vì g1(x ) làđa thức bậc ba nên

Do tính khả vi của hàm g (x ) đến cấp 2 tại x1 nên g00(x1) = g10(x1) và

Do tính khả vi của hàm g (x ) đến cấp 2 tại x2 nên g100(x2) = g200(x2)

Từ điều kiện g00(x1) = g10(x1) ta được

Định nghĩa

Cho f (x) xác định trên đoạn [a, b] và một phép phân hoạch của nó: a = x0 < x1 < x2 < < xn = b Đặt

yk = f (xk), k = 0 n Một spline bậc ba nội suy hàm

f (x ) trên [a, b] là hàm g (x ) thỏa các điều kiện sau:

1 g (x ) có đạo hàm đến cấp 2 liên tục trên [a, b]

2 Trên mỗi đoạn [xk, xk+1], k = 0 n − 1, g (x ) = gk(x )

3 g (xk) = f (xk) = yk, ∀k = 0 n

Xét tại điểm xk, k = 1 n − 1 Dotính khả vi của hàm g (x ) đến cấp 2 tại

Từ điều kiện gk−10 (xk) = gk0(xk) ta được

các điều kiện biên

Sau khi tìm được c0, c1, , cn−1, cn thì các hệ số của gk(x ) được xácđịnh bởi

10

20,Khi k = 1 ta có

1

30,

Vậy spline bậc ba tự nhiên cần tìm là

Ví dụ

Hệ số c1, c2 được xác định bởi AC = B với

3y3− y2

y2− y1

h10

15,Khi k = 1 ta có

15,Vậy spline bậc ba tự nhiên cần tìm là

Điều kiện để xác định 1 spline bậc ba ràng buộc là

Khi đó ta có thêm 2 phương trình

3yn− yn−1

yn−1− yn−2hn−23β − 3yn− yn−1

Sau khi tìm được c0, c1, , cn−1, cn thì các hệ số của gk(x ) được xácđịnh bởi

c0= −3

c1 = 3

Vậy spline bậc ba ràng buộc cần tìm là

g (x ) =



1 + 3x2− 2x3, x ∈ [0, 1]

2 − 3(x − 1)2+ 2(x − 1)3, x ∈ [1, 2]

Bài toán xấp xỉ hàm thực nghiệm

Trong mặt phẳng xOy cho tập hợp điểm Mk(xk, yk), k = 1, 2, , n, trong

đó có ít nhất 2 điểm nút xi, xj khác nhau với i 6= j và n rất lớn Khi đóviệc xây dựng một đường cong đi qua tất cả những điểm này không có ýnghĩa thực tế

Chúng ta sẽ đi tìm hàm f (x ) đơn giản hơn sao cho nó thể hiện tốt nhấtdáng điệu của tập hợp điểm Mk(xk, yk), k = 1, 2, , n, và không nhấtthiết đi qua tất cả các điểm đó

Phương pháp bình phương bé nhất giúp ta giải quyết vấn đề này Nộidung của phương pháp là tìm cực tiểu của phiếm hàm

g (f ) =

nX

k=1(f (xk) − yk)2 → min

Dạng đơn giản thường gặp trong thực tế của f (x ) là

f (x ) = A + Bx

f (x ) = A + Bx + Cx2,

f (x ) = Ap(x ) + Bq(x ),

Trường hợp f (x ) = A + Bx Khi đó

g (A, B) =

nX

k=1(A + Bxk− yk)2

Bài toán quy về việc tìm cực tiểu của hàm 2 biến g (A, B) Tọa độ điểmdừng của hàm được xác định bởi hệ phương trình



nPk=1

xk2



nPk=1

xkyk

xk = 29,

nPk=1

yk = 39,

nPk=1

xk2 = 109,n

Bấm máy Bấm Mode 3 - STAT Chọn 3- A + Bx

Nhập dữ liệu của 2 cột x , y

AC - Thoát ra

Chọn Shift 1 - chọn 7 - Reg - chọn 1- A =

Chọn Shift 1 - chọn 7 - Reg - chọn 2- B =

Trường hợp f (x ) = A + Bx + Cx2 Khi đó

g (A, B, C ) =

nX

k=1(A + Bxk + Cxk2− yk)2

Bài toán quy về việc tìm cực tiểu của hàm 3 biến g (A, B, C ) Tọa độ điểmdừng của hàm được xác định bởi hệ phương trình

Bấm máy Bấm Mode 3 - STAT.

Trường hợp f (x ) = Ap(x ) + Bq(x ) Khi đó

g (A, B) =

nX

k=1(Ap(xk) + Bq(xk) − yk)2

Bài toán quy về việc tìm cực tiểu của hàm 2 biến g (A, B) Tọa độ điểmdừng của hàm được xác định bởi hệ phương trình

√

Bấm máy Shift-Mode-STAT-Frequency-ON

Mode 3-STAT - 2: A+BX Nhập vào cột X là√X , nhập vào cột Y là cos(X ) AC-thoát ra.

Shift - 1 - 4: Sum - 1:P x 2 = Shift-STO-A

Shift - 1 - 4: Sum - 5:P xy = Shift-STO-B

Shift - 1 - 4: Sum - 3:P y 2 = Shift-STO-D

Shift - 1 - 2: Data

Nhập giá trị của cột FREQ là giá trị y AC-thoát ra

Shift - 1 - 5: Var - 2:x × Shift - 1 - 5: Var -1:n = Shift-STO-C

Shift - 1 - 5: Var - 5:y × Shift - 1 - 5: Var -1:n = Shift-STO-M

THANK YOU FOR ATTENTION