Dành cho các bạn sinh viên các trường đại học cao đẳng trên toàn quốc.Bài giảng là tâm huyết cả đời của quý thầy cô được biên soạn tỉ mĩ, chọn lọc giúp sinh viên hoàn thành môn học cũng như vận dụng kiến thức vào thực tiễn ngành học của mình.Nguồn: Trường Đại học Bách KhoaĐHQG TP HCM
Trang 1Điện thế
Lê Quang Nguyên www4.hcmut.edu.vn/~leqnguyen
nguyenquangle59@yahoo.com
Nội dung
1 Thế năng tĩnh điện
2 Điện thế
3 Lưỡng cực điện
4 Lưu số của trường tĩnh điện
1 Thế năng tĩnh điện - 1
• Lực tĩnh điện là lực thế:
• U là thế năng tĩnh điện của
hệ điện trường E và điện
tích điểm q
• Dạng vi phân:
• U còn gọi là năng lượng
tĩnh điện
A
B
q
F = qE
I
WI = WII
dW = −dU
II
F
1 Thế năng tĩnh điện - 2
• Của hệ điện trường E và điện tích qtại M:
• Của hệ hai điện tích điểm (gốc ở ∞):
P
M
U =q E dr∫ ⋅
P là gốc thế năng
1 2
q q
U k
r
=
U > 0: hệ đẩy nhau
U < 0 : hệ hút nhau
Trang 21 Thế năng tĩnh điện - 3
• Của hệ điện tích điểm (gốc ở ∞):
( , )
i j
i j ij
q q
r
=∑
Tổng theo các cặp điện tích
Bài tập 1 Điện tích q được đặt trong điện trường đều E Chọn gốc thế năng tại gốc tọa
độ Tìm thế năng của q theo vị trí x
E
q
Bài tập 2
Ba điện tích điểm q được đặt tại ba đỉnh của
một hình vuông cạnh a Năng lượng tĩnh điện
của hệ điện tích bằng:
(4 2) e
q
a
2 e
q
a
(4 2)
2
e
q
a
q
a
Trả lời BT2
a
2 1
q
a
=
2 2
q
a
=
2 3
2
q
a
=
1
2 2
e
Câu trả lời đúng là (b)
Trang 32 Điện thế - 1
• Điện thế do điện trường E tạo ra tại M:
• U là thế năng của hệ E + q
• Điện thế do điện tích điểm tạo ra ở khoảng
cách r (gốc ở ∞):
P M
M
U
q
= =∫ ⋅
J/C hay Volt (V)
q
V k
r
=
2 Điện thế - 2
• Hiệu điện thế giữa hai vị trí:
• Dạng vi phân:
M
N
V −V =−∫E dr⋅
dV =−E dr⋅
2 Điện thế - 3
• Điện thế tạo bởi một hệ điện tích điểm =
• tổng điện thế của từng điện tích điểm
• Nếu là một phân bố điện tích liên tục:
Chia làm nhiều phần nhỏ vi phân,
Coi mỗi phần là một điện tích điểm
Tổng được thay thế bằng tích phân
2 Biểu thức khác của thế năng tĩnh điện
• Hệ điện trường E và điện tích qtại M:
• Hệ N điện tích điểm:
• Vi là điện thế tại vị trí đặt qi, do các điện tích còn lại tạo nên
1
1 2
N
i i i
=
M
U =qV VM: điện thế do E tạo ra ở M
Trang 4Bài tập 3 Một dây dẫn mảnh, tích điện đều với mật độ
điện dài λ, được uốn thành một nửa vòng tròn
tâm O, bán kính R Biểu thức nào sau đây cho
biết thế năng của một điện tích điểm q0 đặt ở
tâm O:
0
0
2
q
ε
=
0 0 4
q U
R
λ ε
=
0
0 4
q
ε
=
0 0 2
q U
R
λ ε
=
Trả lời BT3 Thế năng tĩnh điện của
q0: U = q0V
V là điện thế do dây tích điện tạo ra ở O:
Câu trả lời đúng là (c)
dq
q 0
R
O
0 0
4
q
ε
1
R
λ
λ π
dq
R
=∫ = kqR
2 Tìm điện trường từ điện thế
dV = − ⋅E dr = − E dx E dy E dz+ +
E = −gradV
Bài tập 4 Một điện trường có điện thế xác định trong không gian theo biểu thức ܸ = 3ݔݕ2− ݖ Vectơ điện trường là:
(c) (d)
0
E =
(3 2, 6 , 1)
E = y xy −
( 3 2, 6 , 1)
E = − y − xy
( 3 2 , 6 , 3 2 1)
E = − y +z − xy+z xy +
Trang 5
2 Mặt đẳng thế – Định nghĩa
• Mặt đẳng thế là tập hợp các điểm có cùng
một điện thế trong điện trường
• Ví dụ: điện trường của điện tích điểm q có
mặt đẳng thế là các mặt cầu có tâm đặt tại q
( , , )
V x y z =const
q
V k const r const
r
2 Mặt đẳng thế – Tính chất
• Điện trường luôn vuông góc với mặt đẳng thế,
• và hướng theo chiều giảm của điện thế
• Khi điện tích dịch chuyển trên một mặt đẳng thế thì công của lực tĩnh điện bằng không
Bài tập 5 Điện trường
có mặt đẳng thế là:
(a) Mặt nón tròn xoay
(b) Mặt trụ tròn xoay
(c) Mặt cầu
(d) Mặt phẳng
2 2
+
+
Trả lời BT5
• Điện trường có phương vuông góc với trục z
• Trong mỗi mặt phẳng ⊥ trục z, đường sức là những đường xuyên tâm
• Mặt đẳng thế ⊥ với điện trường, là các mặt trụ tròn xoay
• Câu trả lời đúng là (b)
E
z
O
r
E
xi+ yj
Trang 63a Lưỡng cực điện Lưỡng cực điện là hệ hai điện
tích điểm +q và −q, cách nhau
một khoảng d
Ԧ = ݍ݀Ԧ, ݀Ԧ hướng từ −q đến +q
Tìm:
(a) Điện thế do lưỡng cực điện
tạo ra ở khoảng cách r ≫ d
(b) Điện trường từ biểu thức
của điện thế
+q
–q
݀Ԧ
z
O
3a Lưỡng cực điện – 1
M
r
r+
r–
θ +q
–q
d
x
z
q
r +
+
=
q
r
−
−
= −
3a Lưỡng cực điện – 2
Khi r >> d ta có gần đúng:
Suy ra:
− +
cos
− − + ≈
2
cos p
V k
r
θ
=
d
r+
r–
θ dcosθ
2
+ − ≈
x
z
r
θ
3a Lưỡng cực điện – 3
, cos z
r
θ
5
3 x
∂
= − =
∂
3
2 2
+
2 2 5
3
z
∂
Trang 73a Lưỡng cực điện – 4
Độ lớn điện trường:
E = E +E
2
3 1 3cos
kp
E
r
θ
kp
r
Bài tập 6 Một dipole điện có momen p = qd được đặt trong chân không Điện trường do dipole tạo
ra tại điểm M nằm trên đường trung trực của lưỡng cực và cách trục một đoạn r >> d là:
3
p
r
= −
3
p
E k
r
=
3 2
p
E k
r
=
3 2
p
r
= −
Trả lời BT6
• Điện trường của dipole:
• Trên trung trực θ = ±90°:
• E hướng ngược chiều p:
2
3 1 3cos
p
E k
r
θ
3
p
E k
r
=
3
p
r
= −
݀Ԧ trung trực
3b Lưỡng cực điện trong điện trường Đặt một lưỡng cực điện có momen lưỡng cực
p trong một điện trường đều E Hãy tìm:
(a) Thế năng tĩnh điện của lưỡng cực điện (b) Momen lực tĩnh điện tác động lên lưỡng cực điện
Trang 83b – 1
N
M
E
d
Thế năng tĩnh điện:
U=qV −qV =q V −V
M
N
U= −qE dr ∫ = −qE d⋅
U= − ⋅p E
M
N
q E dr
= − ∫ ⋅
U cực tiểu khi p //
cùng chiều với điện trường ngoài
• Momen lực:
• Momen toàn phần:
3b – 2
d
N
M
E
+qE
rM
rN
M
r qE τ
+ = ×
N
τ
− = × −
( M N)
p E
τ = ×
Momen lực sẽ quay dipole sao cho p song song với E
qd E
3b Lò vi sóng
• Các phân tử nước là những
lưỡng cực điện
• Trong một điện trường
xoay chiều (tần số radio),
các phân tử nước dao động
để momen lưỡng cực luôn
cùng chiều điện trường
• Ma sát giữa chúng với môi
trường chung quanh tạo
nên nhiệt
p
p
H + H +
O
E
E
(C)
4a Lưu số của trường tĩnh điện - 1
• Lưu số của E trên (C) là:
( )
C C
E dr
Γ = ∫ ⋅
dr
E
Trang 94a Lưu số của trường tĩnh điện - 2
• Công thực hiện khi điện
tích di chuyển trên một
đường kín = không
• Lưu số điện trường theo
một đường kín = 0
• Trường tĩnh điện có đường
sức không khép kín: trường
không có xoáy
• Dòng nước không có xoáy
trên (C):
( )
0 C
E dr⋅ =
( )
0 C
q E dr∫ ⋅ =
( )
C
v dr =
4b Rotation – Định nghĩa
• ΔΓ là lưu số của E trên chu tuyến nhỏ (C)
• Định nghĩa rot ở M:
• Giới hạn này thay đổi khi quay (C),
0
lim S
n S
rotE
∆ →
∆Γ
∆
Chiều của n và dr liên hệ với nhau theo quy tắc bàn tay phải
(C)
n
dr
M
ΔS rotE
cực đại khi ↗↗
4b Rotation – Tính chất
• Lưu số của E theo một đường kín = 0:
0 rotE =
rotE
=
( )x Ez Ey
∂
∂
4c rot của dòng chảy xoáy
• Quay (C) sao cho n cùng chiều rotv → lưu số cực đại
• Đặt một chong chóng nhỏ vào dòng nước xoáy
• Khi chong chóng quay nhanh nhất thì trục quay chỉ chiều của rotv
rotv
n
v
(C)
n
0 limS S rotv n
∆ → ∆Γ ∆ = ⋅
Trang 10Tóm tắt: Năng lượng tĩnh điện
Hệ E và điện tích q đặt tại M:
P
M
U =q E dr∫ ⋅
Hệ N điện tích = tổng năng lượng của các cặp
hay:
1 2
q q
U k
r
=
1
1
2
N
i i i
=
Cặp điện tích:
P: gốc thế năng
M
U =qV VM: điện thế do
E tạo ra ở M
Tóm tắt: Điện thế của E tại M:
P M M
V =∫E dr⋅
M
U V
q
=
q
V k
r
= của điện tích q: goc the năng ở ∞ Hiệu thế:
M
N
V −V =−∫E dr⋅
dV =−E dr⋅
Liên hệ giữa E và V: E =−gradV
E ⊥ mặt đẳng thế, hướng từ V cao đến V thấp
Tóm tắt: Dipole điện
Momen dipole: p qd =
2
cos p
V k
r
θ
= Điện thế:
Điện trường: 3 2
1 3cos kp
r
Thế năng trong điện trường: U = − ⋅p E
Momen lực trong điện trường: τ =p E×
M
r
θ +q
–q
݀Ԧ
x
z