Skkn phương pháp giải bất phương trình mũ và bất phương trình logarit

PHẦN I ĐẶT VẤN ĐỀ Lý chọn đề tài Bất phương trình mũ bất phương trình logrit dạng tốn quan trọng chương trình tốn học phổ thơng Đây dạng tốn thường xuất đề thi, đặc biệt đề thi tốt nghiệp đề thi vào trường cao đẳng, đại học Trong thời gian có hạn nên sách giáo khoa dừng lại tập bản, sách giáo khoa có phân loại dạng tập phương pháp giải song số lượng tập tự rèn luyện cịn chưa phong phú Vì vậy, để giúp học sinh có kỉ đỡ lúng túng gặp tốn bất phương trình mũ bất phương trình logarit, tơi lựa chọn đưa số tập phân loại với phương pháp giải loại tập Chính lý tơi chọn đề tài “Phương pháp giải bất phương trình mũ bất phương trình logarit ” Thơng qua hệ thống tập phân lọai với phương pháp giải tập đó, nhiệm vụ đề tài mong góp phần giúp học sinh hình thành, cố rèn luyện kỉ làm việc với bất phương trình mũ bất phương trình logarit Phạm vi mục đích đề tài Tuy nội dung đề cập rộng toán dạng phong phú song khn khổ thời gian có hạn tơi nêu số tốn điển hình xếp trình tự từ đơn giản đến phức tạp phương pháp giải Thông qua hệ thống tập phân loại phương pháp giải dạng tập đó, nhiệm vụ đề tài mong góp phần giúp học sinh hình thành, củng cố rèn luyện kỹ làm việc với bất phương trình mũ bất phương trình logarit Đối tượng áp dụng phương pháp tiến hành Nội dung đề tài chủ yếu tập trung cho học sinh 12 trường Để học sinh nắm kỹ giải bất phương trình mũ bất phương trình logarit, tiết học khóa giáo viên cần u cầu học sinh nắm phần sở lý thuyết liên quan, nắm phương pháp giải bất phương trình mũ bất phương trình logarit PHẦN II NỘI DUNG Lê Duy Huấn-THPT Lê Hồng Phong A Cơ sở lí thuyết liên quan đến đề tài I Lũy thừa: Với a , b  * ; m, n   ta có n • a m a n a m n n n a a •   n  b b n •  a m  a mn •  a.b  a n bn am • n a m n a • a x  0; x  R Với a  0; m, n  ; n  , ta có: • an n a m • a n n am • n a n 2k  a n  ;k    a n 2k Với a 0; n   ta có: 1 •a  • a 1 a -n • a  an Với a  m, n   ta có: • Khi a  : a m  a n  m  n • Khi  a  : a m  a n  m  n II Lôgarit: Với a , b  0; a 1 ta có • log a b c  a c b  a, b  • log a b      a, b  Với a , b  0; a 1 ta có • log a 0 • log a a 1 • a log a b b • log a a   Với a , b, c  0; a 1 ta có: • loga (b.c ) log a b  log a c • log a Lê Duy Huấn-THPT Lê Hồng Phong b log a b  log a c c • log a b  log a b • log a b  log a b  m n m • log a b  log a b n m m • log a n b  log a b n Với a , b, c  0; a, b 1 ta có: • log a b.logb c log a c log a b  • log b a log a c  • logb c logb a Với a , b, c  0; a 1 ta có: • Khi a  : log a b  log a c  b  c • Khi  a  : log a b  log a c  b  c Lôgarit số 10 gọi lôgarit thập phân, kí hiệu: log10 a log a lg a Lơgarit số e gọi lơgarit tự nhiên, kí hiệu: log e a ln a III Đạo hàm hàm số mũ hàm số lôgarit: x ' e  x ' e x • a  x •  loga x  - Với x ta có: • - Với x  ta có: •  ln x   ' u ' - Với u u  x  ta có: • a  u '.a u ln a • - Với u u  x  u  ta có: •  ln u  '  u' u a x ln a • '  x.ln a u ' e  u '.eu  loga u  '  u' u.ln a B Bất phương trình mũ, bất phương trình logarit I Bất phương trình mũ: Bất phương trình mũ x x x x có dạng: a  b  hay a b; a  b; a b  với a  0; a 1 Ta thường giải bất phương trình mũ cách lơgarit hóa sở sử dụng tính chất đơn điệu hàm số lơgarit Lơgarit hóa bất phương trình (mà hai vế dương) theo số lớn (nhỏ đổi chiều bất phương trình) ta bất phương trình tương đương (trường hợp vế âm, vế dương ta kết luận tập nghiệm) từ ta có trường hợp sau: Lê Duy Huấn-THPT Lê Hồng Phong Nếu b > a > • a b  x log a b • a x  b  x  log a b ; • a x  b  x  log a b • a x b  x log a b Nếu b > < a < • a x  b  x  log a b • a x b  x log a b • a x  b  x  log a b • a x b  x log a b Nếu b ≤ bất phương trình a x  b; a x b với x   Vậy tập nghiện  Nếu b ≤ bất phương trình a x  b; a x b vơ nghiệm Chú ý: Cách giải mở rộng với dạng bất phương trình a f  x   b hay a f  x  b; a f  x   b; a f  x  b với a  0; a 1   Ví dụ: Giải bất phương trình a x   x  log2 x b 1  x  0  x  x c   27  x log1/ 27  x   3 d x  3x  1  x  3x  log2  x  x   4  x  3x     x  2 Cách giải số bất phương trình mũ đơn giản a Đưa số: f x g x a    a   ;  a  0, a 1 Để giải bất phương trình ta thường áp dụng tính chất - Với a > thì: a f  x   a g  x   f  x   g  x  - Với < a • log a x  b  x  a b ; • log a x b  x a b • log a x  b   x  a b • log a x b   x a b Nếu < a < • log a x  b   x  a b ; • log a x b   x a b • log a x  b  x  a b • log a x b  x a b Chú ý: - Khi giải bất phương logarit phương trình ta cần ý đến điều kiện bất phương trình - Phương pháp giải mở rộng cho dạng bất phương trình log a f  x   b  hay log a f  x  b;log a f  x   b;log a f  x  b  với a  0; a 1 Ví dụ: Giải bpt Lê Duy Huấn-THPT Lê Hồng Phong 10 a log2 x   x   S  8;   4  x  x2  2    S  0;2  b log   x       1 x 0  x       2  Cách giải số bất phương trình logarit đơn giản a Đưa số: với a  0; a 1 : loga f  x   log a g  x  Để giải bpt ta áp dụng tính chất - Với a  log a f  x   log a g  x   f  x   g  x  - Với  a  log a f  x   log a g  x   f  x   g  x  Ví dụ Giải bất phương trình sau a/ log x  log x  log8 x  Phân tích: Ta nhận thấy 11 2  ;8 23 Vì thế, quy đồng số hàm logarit có mặt bất phương trình Hơn sau quy đồng số, dựa vào tính chất hàm logarit thu gọn biểu thức bất phương trình Với nhận xét đó, ta có lời giải sau: Giải Đk bpt x  Ta có bpt: log x  log x  log8 x  11 1 11  log x  log x  log x  6 1 11 11 11      log x   log x   log x   x  3 6  Kết hợp đk ta có tập nghiệm bpt S  0;2  b/ log x  2log  x   3 Lê Duy Huấn-THPT Lê Hồng Phong 11 Phân tích: Ta nhận thấy 3 Vì thế, quy đồng số hàm logarit có mặt bất phương trình Hơn sau quy đồng số, dựa vào tính chất hàm logarit thu gọn biểu thức bất phương trình Với nhận xét đó, ta có lời giải sau: Giải x  x    x  Đk  x   x   Ta có log x  2log  x   3  log x  log  x   3  log x  x   3  x 3  x  x   27  x  x  27 0    x  So sánh điều kiện suy nghiệm bpt x 3 Nhận xét: Khi giải bất phương trình logarit cần ý đến điều kiện bất phương trình trước biến đổi Nhiều học sinh hay mắc sai lầm quên điều kiện dẫn đến lấy nghiệm sai c log  x  5  log  x  1 5 Phân tích: Ta nhận thấy bpt dạng só sánh logarit có số 1 Khi ta có lời giải sau Giải 3x    x Đk  x 1  Ta có log  3x  5  log  x  1  3x   x   x  5 5  Kết hợp đk ta có tập nghiệm bpt S  ;3  3  Lê Duy Huấn-THPT Lê Hồng Phong 12 d log2  x  5  log   x  0 Ta nhận thấy 2  Vì thế, biến đổi bất phương trình đưa số dựa vào tính chất hàm logarit thu gọn biểu thức bất phương trình đưa dạng đơn giản Với nhận xét đó, ta có lời giải sau: Giải x    5 x 3 Đk  3  x  Ta có log  x  5  log   x  0  log  x   log   x   x  3  x  x  Kết hợp đk ta có tập nghiệm bpt S   5;  1 b Đặt ẩn phụ : Ta thường sử dùng phương pháp bất phương trình chứa nhiều logarit số biểu thức chứa tích thương Ví dụ : Giải bất phương trình a/ log 22 x  5log x   Phân tích: Ta nhận thấy bpt chứa hàm log x bậc hai, nên đặt log x t ta bpt bậc hai theo t Từ nhận xét ta có lời giải sau: Giải Đk x  Đặt t log x t   Ta bpt t  5t     t    log2 x   log x     x 8 x4  Kết hợp đk ta có tập nghiệm bpt S  0;4    8;   b/   log x    log x   Lê Duy Huấn-THPT Lê Hồng Phong 13 Phân tích: Ta nhận thấy hai nhân tử vế trái có chứa hàm log x bậc nhất, nên khai triển xuất dạng bất phương trình bậc hai log x Từ nhận xét ta có lời giải sau: Giải Đk x  Đặt t log x   Ta bpt   t    t    t  3t       log x    log x   t 1 t   x2 x 4  So sánh với điều kiện Vậy bpt có tập nghiệm S  0;2    4;   c Mũ hóa x Ví dụ: Giải bất phương trình: log   8 2  x Phân tích: Ta nhận thấy biểu thức logarit hàm mũ với số x logarit Do từ định nghĩa logarit ta có 3log3   8 32 x  3x  32 x , phép biến đổi thường gọi mũ hóa Từ ta có lời giải sau: Giải Đk 3x    x  log Theo định nghĩa, bất phương trình cho tương đương với bất phương trình log3 3x    32 x  3x  32 x  32 x  8.3x  0 x Đặt t 3  t   , ta có bpt bậc hai t  8t  0   t 9 với t    t 9  3x 9  x 2 Kết hợp với đk Vậy tập nghiệm bpt S  log 8;2 Lê Duy Huấn-THPT Lê Hồng Phong 14 Nhận xét: Phương trình cho thuộc lớp phương trình có dang tổng quát log a f  x   g  x  ;   , ,  a  0; a 1 , f  x  đa thức hàm số mũ Theo định nghĩa ta có g x + log a f  x   g  x   f  x   a với a  g x + log a f  x   g  x   f  x   a với  a  Bài tập tự luyện C (GV hướng dẫn: Dựa vào phương pháp giải qua ví dụ trên, học sinh áp dụng giải lớp tập tiết tập tự chọn, tập nâng cao giáo viên hướng dẫn hs nhà làm) 1/.Giải bất phương trình 0,2  x  25x x 0,04 a) Đáp số :  x  b) 32 x  2.3x  15  Đáp số : x < log35 c) 5x   53 x  26 0 Đáp số : x 3  x 1 d) 3.4 x  2.10 x  25 x 0 Đáp số : x 0 2/.Giải bất phương trình a) x    Hướng dẫn: b)  2    10  Hướng dẫn: c)    x  2 4  Đáp số : -2 < x <     1 , đặt t   x x 2    x x 1 10   10    2  x x 1 x   2  t Đáp số :   x 5 x  2  10  1  x2 x 1 Lê Duy Huấn-THPT Lê Hồng Phong Đáp số : S   2;0 \   1 15 Hướng dẫn:  (2  3) (2  3).(2  d 52 e x 55 x 5 x   x 1 Đáp số < x < x 5 3) 1 Đáp số: -2 < x < 10 3x 2 3/ Giải bất phương trình a) 25x  0,2 x  1.625x Đáp số : x > b) 0,14 x  x   0,12 x  Đáp số : x  Đáp số : x log 20 c) 3.7 x  37.140 x 26.202 x d) 107 x   6.101 x   e) 2 x  x 3  6x  x 1 32 x Đáp số :  x 3 log  log  x 7 Đáp số : 3 x  3 4/.Giải bất phương trình a) log  2log   log (1  3log x )    b) log ( x  1)  log ( x  1) Đáp số : x < 285 Đáp số : x  1 c) log x 1 (3 x  5)  x   ĐK:   x 0 Đáp số : x > d) log 10  x  log3  log( x  1) ĐK: x > Đáp số : Hướng dẫn: pt  log 10  x  log x  log  log10 5/ Giải bất phương trình a) log x 0 x Lê Duy Huấn-THPT Lê Hồng Phong Đáp số : x < 16 b) log  x  x  1  Đáp số : -1 < x < log x  3l ogx + 1 c) log x  Đáp số : < x < 10 Hướng dẫn: Đặt t = logx x d) log (3  1).log 3x   16 Đáp số : x   0;1   2;   Hướng dẫn: ĐK: x >0, đặt t = log (3x  1) , bpt trở thành: t(t - 2)  e) log x 64  log x 16 3 1  x  Đáp số :     x 4 x   Hướng dẫn: ĐK:  Đưa log2x đặt t = log2x x 1; x    f log 21/ x  4log x    log16 x  Lê Duy Huấn-THPT Lê Hồng Phong Đáp số : < x < 17 PHẦN III KẾT LUẬN Giải pháp Dạng tốn giải bất phương trình mũ bất phương trình logarit dạng tốn Nhưng lượng tập đa dạng nhiều làm học sinh bị rối, không nắm kĩ thực hành phương pháp giải, đặc biệt học sinh yếu khơng dễ chút Đề tài nhiều giáo viên viết trước với lựa chọn theo hướng đưa phương pháp, phân tích định hướng cách giải với hệ thống ví dụ, tập đơn giản phù hợp với đặc thù học sinh trường Vì học sinh nắm biết áp dụng Q trình ứng dụng Thơng qua q trình giảng dạy học sinh khối 12 trường ôn luyện cho đối tượng học sinh giỏi, áp dụng đề tài kết cho thấy: Học sinh có khả nhìn nhận đắn hiểu rõ chất tốn q trình giải tập Giúp học sinh tự tin phân tích để lựa chọn phương pháp hay, ngắn gọn cho dạng toán Hình thành tư logic, kỹ giải tốn bất phương trình mũ bất phương trình logarit Kết luận chung Việc tìm lời giải đúng, ngắn gọn độc đáo việc không dễ Giáo viên trước hết phải cung cấp cho học sinh nắm kiến thức sau phân tích cho học sinh cách nhận dạng tốn, thể tốn Từ học sinh vận dụng linh hoạt kiến thức bản, phân tích tìm hướng giải Trên số kinh nghiệm thân rút trình giảng dạy việc giải bất phương trình mũ bất phương trình logarit Mặc dù cố gắng nhiều, thời gian lực có hạn nên tài liệu cịn sơ sài, khơng tránh khỏi sai sót mong đóng góp đồng nghiệp để tài liệu đầy đủ hồn thiện Tơi xin chân thành cảm ơn! Đak Đoa, ngày 20 tháng năm 2016 Giáo viên thực Lê Duy Huấn-THPT Lê Hồng Phong 18 Lê Duy Huấn TÀI LIỆU THAM KHẢO Giải tích 12 (cơ bản); nhà xuất giáo dục Bài tập giải tích 12 (cơ bản); nhà xuất giáo dục Giải tích 12 (nâng cao); nhà xuất giáo dục Bài tập giải tích 12 (nâng cao); nhà xuất giáo dục Phương pháp giải toán đại số; nhà xuất đại học sư phạm Hướng dẫn ơn tập kì thi trung học phổ thơng quốc gia Lê Duy Huấn-THPT Lê Hồng Phong 19 MỤC LỤC PHẦN I ĐẶT VẤN ĐỀ Lý chọn đề tài …… ………………………………… Phạm vi mục đích đề tài ……………………… Đối tượng áp dụng phương pháp tiến hành…………… PHẦN II NỘI DUNG A Cơ sở lí thuyết liên quan đến đề tài nghiên cứu …… B Bất phương trình mũ bất phương trình logarit………… I Bất phương trình mũ………………………………… … II Bất phương trình logarit……………………………… …10 C Bài tập tự luyện…………………………………… 15 PHẦN III KẾT LUẬN …………………………………… 18 Tài liệu tham khảo ……………………………………………19 Mục lục ……………………………………………………… 20 Lê Duy Huấn-THPT Lê Hồng Phong 20 ... B Bất phương trình mũ, bất phương trình logarit I Bất phương trình mũ: Bất phương trình mũ x x x x có dạng: a  b  hay a b; a  b; a b  với a  0; a 1 Ta thường giải bất phương trình mũ. .. đưa bất phương trình đơn giản  Đặt t hàm số mũ , với điều kiện t   Thế t vào bpt cho, ta bpt đại số theo t , giải bất phương trình tìm t  Giải bpt mũ tìm x Ví dụ : Giải bất phương trình. .. số a b Lơgarit hóa phương pháp thơng dụng việc giải bất phương trình mũ Khi lơgarit hóa, ta cần khéo chọn số để lời giải gọn II Bất phương trình lơgarit: Bất phương trình logarit có dạng: log