Quy luật phân phối xác suất trong Y học

CÁC PHÂN PHỐI XÁC SUẤT THƯỜNG GẶP BÀI GIẢNG DÀNH CHO SINH VIÊN, HỌC VIÊN CÁC CHUYÊN NGÀNH Y DƯỢC ĐÀO HỒNG NAM GV ĐẠI HỌC Y DƯỢC TP.HCM ĐÀO HỒNG NAM - ĐẠI HỌC Y DƯỢC TP.HCM Phân phối nhị thức  Phép thử Bernoulli Xét thí nghiệm có hai khả xảy ra: “thành công” “thất bại” Thành công với xác suất p Thất bại với xác suất 1-p Thí nghiệm gọi phép thử Bernoulli, ký hiệu B(1,p) ĐÀO HỒNG NAM - ĐẠI HỌC Y DƯỢC TP.HCM Phân phối nhị thức  Phép thử Bernoulli – ví dụ Khám bệnh: Có bệnh / bệnh Điều trị bệnh: Khỏi / không khỏi Phẫu thuật: thành công / thất bại Kiểm tra thuốc: tốt / xấu ĐÀO HỒNG NAM - ĐẠI HỌC Y DƯỢC TP.HCM Phân phối nhị thức  Phân phối nhị thức Thực phép thử Bernoulli B(1,p) n lần độc lập Gọi X = “Số lần thành công n lần thí nghiệm” X = 0, 1, 2, …, n X có phân phối nhị thức với tham số p Ký hiệu: X ~ B(n,p) ĐÀO HỒNG NAM - ĐẠI HỌC Y DƯỢC TP.HCM Phân phối nhị thức  Công thức Xét X ~ B(n,p) P( X  x)  C p (1  p) x  0,1,, n x n x ĐÀO HỒNG NAM - ĐẠI HỌC Y DƯỢC TP.HCM n x Phân phối nhị thức Ví dụ: Bệnh B có tỷ lệ 10% dân số Khám ngẫu nhiên người Tính xs có người bị bệnh B Giải: Gọi X số người bị bệnh B người X ~ B(5,0.1) Tính P(X=1)  P(X  1)  C51(0.1)1(1 0.1)51  (5)(0.1)(0.9)4  0.32805 ĐÀO HỒNG NAM - ĐẠI HỌC Y DƯỢC TP.HCM Phân phối nhị thức Ví dụ : Một phương pháp điều trị có tỷ lệ khỏi bệnh 0,8 Điều trị ngẫu nhiên 50 người, tính xác suất có: a Có 40 người khỏi bệnh b Có 40 người Giải : Gọi X số người khỏi bệnh 40 người điều trị phương pháp Ta có X~B(50; 0,8) ĐÀO HỒNG NAM - ĐẠI HỌC Y DƯỢC TP.HCM Phân phối nhị thức  Hình dạng phân phối nhị thức phụ thuộc vào p n Mean  n = P = 0.1 P(x) x P(x)  n = P = 0.5 n = P = 0.1 2 n = P = 0.5 x ĐÀO HỒNG NAM - ĐẠI HỌC Y DƯỢC TP.HCM Phân phối nhị thức Nếu X ~ B(n,p): 1) Kỳ vọng   EX  np 2) Phương sai độ lệch chuẩn   np(1-p)   np(1-p) - n: số lần thực thí nghiệm - p: xác suất thành công lần thí nghiệm ĐÀO HỒNG NAM - ĐẠI HỌC Y DƯỢC TP.HCM Phân phối nhị thức Ví dụ μ  nP  (5)(0.1) 0.5 Mean σ  nP(1-P)  (5)(0.1)(1 0.1)  0.6708 P(x) x μ  nP  (5)(0.5) 2.5 σ  nP(1-P)  (5)(0.5)(1 0.5)  1.118 n = P = 0.1 P(x) 2 n = P = 0.5 x ĐÀO HỒNG NAM - ĐẠI HỌC Y DƯỢC TP.HCM Ví dụ P(X < 8,6) = P(Z < 0,12) Tra bảng chuẩn tắc z (z) 10 0398 11 0438 12 0478 0,5 + (0,12) = 0,5478 Z 13 0517 0,12 ĐÀO HỒNG NAM - ĐẠI HỌC Y DƯỢC TP.HCM Ví dụ Giả sử X có phân phối chuẩn với trung bình độ lệch chuẩn  Tìm P(X > 8.6)  X 8,6 ĐÀO HỒNG NAM - ĐẠI HỌC Y DƯỢC TP.HCM Ví dụ  Tìm P(X > 8,6) P(X > 8,6) = P(Z > 0,12) = 0,5 - (0,12) = 0,5 – 0,0478 = 0,4522 0,5478 0,5 – 0,0478 = 0,4522 Z Z 0 0,12 0,12 ĐÀO HỒNG NAM - ĐẠI HỌC Y DƯỢC TP.HCM Xấp xỉ phân phối nhị thức phân phối chuẩn Cho X ~ B(n,p) Khi n lớn p không gần  Tính P(X < c)?  Tính P(a < X < b)? Dùng phân phối chuẩn  ĐÀO HỒNG NAM - ĐẠI HỌC Y DƯỢC TP.HCM Xấp xỉ phân phối nhị thức phân phối chuẩn Đặt  = E(X) = np 2 = D(X) = np(1-p)  Tạo biến ngẫu nhiên Z có phân phối chuẩn tắc từ phân phối nhị thức  X  E( X ) X   Z  ~ N (0;1)  D( X ) ĐÀO HỒNG NAM - ĐẠI HỌC Y DƯỢC TP.HCM Xấp xỉ phân phối nhị thức phân phối chuẩn c   X  c   c  P( X  c)  P    P Z                 b  a P  a  X  b  P  Z       b  a              ĐÀO HỒNG NAM - ĐẠI HỌC Y DƯỢC TP.HCM Xấp xỉ phân phối nhị thức phân phối chuẩn  Ví dụ Tỷ lệ khỏi bệnh B điều trị 40% Chọn ngẫu nhiên 200 người điều trị bệnh B Tìm xác suất khỏi bệnh từ 76 đến 80 người? ĐÀO HỒNG NAM - ĐẠI HỌC Y DƯỢC TP.HCM Ví dụ   E(X) = µ = nP = 200(0,40) = 80 D(X) = σ2 = nP(1 – P) = 200(0,40)(1 – 0,40) = 48 80  80   76  80 P(76  X  80)  P Z  48   48  P(  0.58  Z  0) = P(0  Z  0,58)  (0,58) 0,219 ĐÀO HỒNG NAM - ĐẠI HỌC Y DƯỢC TP.HCM Các phân phối liên quan đến PPC ĐÀO HỒNG NAM - ĐẠI HỌC Y DƯỢC TP.HCM 5.1 Phân phối Chi bình phương ĐÀO HỒNG NAM - ĐẠI HỌC Y DƯỢC TP.HCM Phân phối Chi bình phương ĐÀO HỒNG NAM - ĐẠI HỌC Y DƯỢC TP.HCM 5.2 Phân phối Fisher ĐÀO HỒNG NAM - ĐẠI HỌC Y DƯỢC TP.HCM Phân phối Fisher ĐÀO HỒNG NAM - ĐẠI HỌC Y DƯỢC TP.HCM 5.3 Phân phối Student ĐÀO HỒNG NAM - ĐẠI HỌC Y DƯỢC TP.HCM Phân phối Student ĐÀO HỒNG NAM - ĐẠI HỌC Y DƯỢC TP.HCM [...]... HỒNG NAM - ĐẠI HỌC Y DƯỢC TP.HCM 4 Phân phối chuẩn Phân phối chuẩn là một trong những phân phối quan trọng nhất trong xác suất và thống kê Có thể nói rằng nếu không có phân phối chuẩn thì sẽ không có khoa học thống kê Abraham De Moivre là người đầu tiên đưa ra phân phối chuẩn trong một bài báo năm 1734 (được in lại trong ấn bản lần 2 The Doctrine of Chances, 1738) khi muốn xấp xỉ một phân phối nhị thức... chuẩn, σ  Xác định từ +  to    f(x) σ μ x Trung bình = Trung vị = Mode ĐÀO HỒNG NAM - ĐẠI HỌC Y DƯỢC TP.HCM Phân phối chuẩn Bằng việc thay đổi các tham số μ và σ, ta nhận được nhiều dạng phân phối chuẩn khác nhau ĐÀO HỒNG NAM - ĐẠI HỌC Y DƯỢC TP.HCM Phân phối chuẩn f(x) Thay đổi μ dịch chuyển phân phối qua trái hoặc phải σ Thay đổi σ làm tăng hoặc giảm độ phân tán μ ĐÀO HỒNG NAM - ĐẠI HỌC Y DƯỢC TP.HCM... tuân theo phân phối chuẩn nhưng thật ra còn có nhiều phân phối khác Tuy nhiên, hầu hết các lý thuyết thống kê đều được x y dựng trên nền tảng của phân phối chuẩn Phân phối n y có dạng hình chuông, tên gọi “đường cong chuông” do Jonffret, người đầu tiên dùng thuật ngữ “bề mặt hình chuông” năm 1872 cho phân phối chuẩn hai chiều với các thành phần độc lập ĐÀO HỒNG NAM - ĐẠI HỌC Y DƯỢC TP.HCM 4 Phân phối chuẩn... một phân phối nhị thức với n lớn Trong cuốn Thorie Analytique des Propabilities, 1809, Gauss đã phát triển các đặc điểm của luật phân phối chuẩn và chỉ ra rằng luật phân phối n y phù hợp với các hiện tượng tự nhiên Chính vì điều n y nên phân phối chuẩn còn được gọi là phân phối Gauss Theo từ điển bách khoa về khoa học thống kê, người đầu tiên dùng từ “normal” để chỉ phân phối chuẩn là ông C.S Pierce (1780)... 1, 2, … ĐÀO HỒNG NAM - ĐẠI HỌC Y DƯỢC TP.HCM Phân phối Poisson   Trung bình μ  E(X)  λ Phương sai và độ lệch chuẩn σ  E[( X  ) ]  λ 2 2 σ λ Với  = số biến cố x y ra trung bình trên 1 đơn vị ĐÀO HỒNG NAM - ĐẠI HỌC Y DƯỢC TP.HCM Phân phối Poisson  Ví dụ Trong một bệnh viện phụ sản, số sản phụ sinh trong 1 giờ có phân phối Poisson với trung bình là 4 Tính xác suất trong 1 giờ có a Đúng 3 sản... X có phân phối đều trong khoảng [a,b], ký hiệu X ~ U([a,b]) f(x) xmin xmax x ĐÀO HỒNG NAM - ĐẠI HỌC Y DƯỢC TP.HCM Tổng diện tích miền giới hạn bởi phân phối đều là 1.0 3 Phân phối đều  Hàm mật độ xác suất của phân phối đều trong đoạn [a,b] f(x) = 1 ; a x  b b a 0 x [ a; b] với f(x) = giá trị hàm mật độ tại điểm x a = giá trị nhỏ nhất của x b = giá trị lớn nhất của x ĐÀO HỒNG NAM - ĐẠI HỌC Y DƯỢC... DƯỢC TP.HCM x Hàm phân phối XS của PPC  Xét biến ngẫu nhiên X có phân phối chuẩn với trung bình μ và phương sai σ2 , X~N(μ, σ2), hàm phân phối của X là F(x0 )  P(X  x0 ) f(x) P(X  x0 ) 0 x0 x ĐÀO HỒNG NAM - ĐẠI HỌC Y DƯỢC TP.HCM Xác suất của PPC Xác suất X  (a,b) đo bởi diện tích giới hạn bởi đường cong chuẩn P(a  X  b)  F(b) F(a) x a μ b ĐÀO HỒNG NAM - ĐẠI HỌC Y DƯỢC TP.HCM Xác suất của PPC F(b)... nhận giá trị trong R gọi là có phân phối chuẩn với tham số  và 2 nếu hàm mật độ xác suất 2 x    1 f ( x)  e  2  2 2 ,   x   Với: E(X) =  và D(X) = 2 Ký hiệu: X ~ N(, 2) ĐÀO HỒNG NAM - ĐẠI HỌC Y DƯỢC TP.HCM Phân phối chuẩn Hình dạng như một cái chuông  Có tính đối xứng  Trung bình = Trung vị = Y u vị  Vị trí của phân phối được xác định bởi kỳ vọng,   Độ phân tán được xác định... - ĐẠI HỌC Y DƯỢC TP.HCM Phân phối Poisson Cách 2: Phân phối Poisson e   x   np  2; X ~ P(2)  P( X  x)  x! e2  2x P( X  5)    0,983 x! x 0 5 Chú ý: Chỉ nên dùng phân phối Poisson khi không thể tính được bằng PP nhị thức Chẳng hạn nếu chỉ cho giá trị trung bình mà không cho biết n và p thì không thể dùng PP nhị thức được ĐÀO HỒNG NAM - ĐẠI HỌC Y DƯỢC TP.HCM Phân phối đều   xác suất. .. TP.HCM Phân phối đều  Kỳ vọng a b   E( X )  2  Phương sai 2 (b-a)  2  D( X )  12 ĐÀO HỒNG NAM - ĐẠI HỌC Y DƯỢC TP.HCM Phân phối đều Ví dụ: Phân phối đều trên khoảng 2 ≤ x ≤ 6 1 f(x) = 6 - 2 =0,25 ; 2 ≤ x ≤ 6 a b 26 E( X )   4 2 2 f(x) 25 2 2 b  a   6  2 16  D( X )     1.333 2 6 x ĐÀO HỒNG NAM - ĐẠI HỌC Y DƯỢC TP.HCM 12 12 12 Phân phối mũ  Biến ngẫu nhiên T (t>0) gọi là có phân phối ... x y biến cố ĐÀO HỒNG NAM - ĐẠI HỌC Y DƯỢC TP.HCM Phân phối mũ  Hàm phân phối xác suất F(t)  1 e λ t  ; t>0 Kỳ vọng phương sai E(T )   D(T )   ĐÀO HỒNG NAM - ĐẠI HỌC Y DƯỢC TP.HCM Phân. .. V y có khoảng 52,76% khoảng thời gian bệnh nhân liên tiếp đến khám phút ĐÀO HỒNG NAM - ĐẠI HỌC Y DƯỢC TP.HCM Phân phối chuẩn Phân phối chuẩn phân phối quan trọng xác suất thống kê Có thể nói phân. .. ĐẠI HỌC Y DƯỢC TP.HCM Phân phối   xác suất tất biến cố X có phân phối khoảng [a,b], ký hiệu X ~ U([a,b]) f(x) xmin xmax x ĐÀO HỒNG NAM - ĐẠI HỌC Y DƯỢC TP.HCM Tổng diện tích miền giới hạn phân