Gọi E, F lần lượt là hình chiếu vuông góc của A lên các cạnh SB và SD.
Trang 1Đề số 9
ĐỀ THI THỬ HỌC KÌ 2 – Năm học 2010 – 2011
Môn TOÁN Lớp 11
Thời gian làm bài 90 phút
I Phần chung: (7,0 điểm)
Câu 1: (2,0 điểm) Tìm các giới hạn sau:
a)
x
2 2
lim
3 2
→+∞
+ −
x
x2
2
2 2 lim
4
→
+ −
−
Câu 2: (1,0 điểm) Xét tính liên tục của hàm số sau tại điểm x0 =1:
² 3
−
Câu 3: (1,0 điểm) Tính đạo hàm của các hàm số sau:
a) y=sin(cos )x b) y x x
x
2 2 3
2 1
=
+
Câu 4: (3,0 điểm) Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông ABCD cạnh a, tâm O Cạnh SA = a và
SA⊥(ABCD) Gọi E, F lần lượt là hình chiếu vuông góc của A lên các cạnh SB và SD
a) Chứng minh BC ⊥ (SAB), CD ⊥ (SAD)
b) Chứng minh (AEF) ⊥ (SAC)
c) Tính tan ϕ với ϕ là góc giữa cạnh SC với (ABCD)
II Phần riêng
1 Theo chương trình Chuẩn
Câu 5a: (1,0 điểm) Chứng minh rằng phương trình x5−3x− =1 0 có ít nhất hai nghiệm phân biệt thuộc (–1; 2)
Câu 6a: (2,0 điểm)
a) Cho hàm số y=cos3x Tính y
b) Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C) của hàm số y x
x
3 1 1
+
=
− tại giao điểm của (C) với trục
hoành
2 Theo chương trình Nâng cao
Câu 5b: (1,0 điểm) Chứng minh rằng phương trình x3+4x2− =2 0 có ít nhất hai nghiệm
Câu 6b: (2,0 điểm)
a) Cho hàm số y= 2x x− 2 Chứng minh rằng: y y3 ′′ + =1 0
b) Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C) của hàm số y x
x
2 1 2
−
=
− tại điểm có tung độ bằng 1.
-Hết -Họ và tên thí sinh: SBD :
Trang 2ĐÁP ÁN ĐỀ KIỂM TRA HỌC KÌ II – NĂM HỌC 2010 – 2011
MÔN TOÁN LỚP 11 – ĐỀ SỐ 9
2
1 1 2
2
x
+ − + − =
2 3
b)
2 2
1
( 2) 2 2
→+∞
² 3
−
( ) ( ) ( )
lim lim 1 1 2
lim lim
2 3
x f x x
+
f x ( ) không liên tục tại x =1 0,25
3 a) y=sin(cos )x ⇒ = −y' sin cos(cos )x x 0,50
2
2
2 2 1
0,25
=
( )2 2
8
x
−
4
a) Vì SA⊥(ABCD)⇒SA BC BC AB⊥ , ⊥ ⇒BC⊥(SAB) 0,50
SA⊥(ABCD)⇒SA CD CD AD⊥ , ⊥ ⇒CD⊥(SAD) 0,50 b) SA⊥(ABCD SA a), = , các tam giác SAB, SAD vuông cân ⇒FE là đường
trung bình tam giác SBD ⇒FE BD P 0,25
BD AC⊥ ⇒FE AC SA⊥ , ⊥(ABCD)⇒BD SA⊥ ⇒FE SA⊥ 0,50
FE⊥(SAC FE), ⊂(AEF)⇒(SAC) (⊥ AEF) 0,25
Trang 3c) SA⊥(ABCD) nên AC là hình chiếu của SC trên (ABCD) ⇒ =ϕ ·SCA 0,50
AC a
0
1
2 2
5a Gọi f x( )=x5−3x−1 ⇒ f x( ) liên tục trên R 0,25
f(0) = –1, f(2) = 25 ⇒ f(0) (2) 0f < nên PT có ít nhất một nghiệm c1∈( )0;2 0,25
f(–1) = 1, f(0) = –1 ⇒ f(–1).f(0) < 0 nên PT có ít nhất một nghiệm c2∈ −( 1;0) 0,25
1 2
c ≠ ⇒c PT có ít nhất hai nghiệm thực thuộc khoảng (–1; 2) 0,25
y cos3x y' 3cos sin2x x y' 3(sin3x sin )x
4
3
" 3cos3 cos 4
b)
Giao của (C) với Ox là 0; 1
3
A − ÷
( )2 ( )
4
1
x
Phương trình tiếp tuyến của (C) tại A là y 4x 1
3
5b Gọi f x( )=x3+4x2− ⇒2 f x( ) liên tục trên R 0,25
f(0) = –2, f(1) = 3 ⇒ f(0).f(1) < 0 ⇒ PT có ít nhất một nghiệm c1∈( )0;1 0,25
f(–1) = 1, f(0) = –2 ⇒ −f( 1) (0) 0f <
⇒ PT có ít nhất một nghiệm c2∈ −( 1;0) 0,25
Dễ thấy c1≠ ⇒c2 phương trình đã cho có ít nhất hai nghiệm thực 0,25
2
2
y
x x
y
3
1
" 1 1 1 1 0
y
−
b) y x
x
2 1 2
−
=
− ( C )
x
x
2 1
1
−
0,50
( )2 ( )
4 2
x
−
Vậy phương trình tiếp tuyến cần tìm là: y 3x 1
4