Định dạng và giảng dạy loại toán tìm điều kiện trong hình học

ĐỊNH DẠNG VÀ GIẢNG DẠY LOẠI TOÁN TÌM ĐIỀU KIỆN TRONGHÌNH HỌC ---A/Phần thứ nhât : I- LỜI NÓI ĐẦU I- lý do chọn đề tài : Trong trình trực tiếp giảng dạy bộ môn toán ổ trường T H C S Tôi

ĐỊNH DẠNG VÀ GIẢNG DẠY LOẠI TOÁN TÌM ĐIỀU KIỆN TRONG

HÌNH HỌC

-A/Phần thứ nhât :

I- LỜI NÓI ĐẦU

I- lý do chọn đề tài :

Trong trình trực tiếp giảng dạy bộ môn toán ổ trường T H C S Tôi nhận thấy hình học là phân cơ bản của môn toán đóng vai trò quan trọng trong việc phát triển tư duy ,khả năng suy luận lô rích giáo dục thẩm mỹ và dục nhân sinh quan ,thế giới quan duy vật biện chứng Trong các bài toán hình học ở trường p.t.c.s thì loại toán tìm điều kiện của một hình thường là các câu nhỏ ë cuối mổi bài còng là các câu khó gi¶i nó được vận dụng kiến thức sau mổi bài học mới hay sau phần ôn tập chương

1- Loại toán này vì vậy không được đưa ra thành một bài riêng biệt và nó không được định dạng một cách tường minh trong suốt quá tr×nh học môn hình học trong trường THCS

2- Học sinh thường ngại ,thậm trí nhiều học sinh bất lực đối với loại toán này vì:

-Chưa hiểu được cách thức làm loại toán này

- Việc định dạng chưa tốt

- Loại toán này ít được đưa vào chương trình sách giáo khoa

3-Vì vậy để chỉ ra thế nào là dạng toán tìm điều kiện trong hình học Cách giải thế nào ? gồm các dạng nào? kiến thức nào phục cho nó và cách giải từng dạng thế nào? góp phần tích cực giảng dạy học tạp bồi dưỡng học sinh khá giỏi môn toán ở cấp họcT.H.C.S

- X uất phát từ ba lý do trên đay tôi chọn đề tài “ĐỊNH DẠNG VÀ GIẢNG DẠY LOẠI

TOÁN TÌM ĐIỀU KIỆN TRONG HÌNH HỌC ”

phạm vi nhiên cứu :

Nghiên cứu các bài toán trong đó có các câu về loại toán tìm điều kiện của một hình ,định dạng và phương pháp giải ở (sgk) hình học cấp PTCS và tài liệu tham khảo II

- nhiệm vụ nghiên cứu đề tài :

Nêu được khái niệm chung nhất của dạng toán tìm điều kiện trong hình học

đọc tập hợp chọn lọc và phân dạng chỉ ra phương pháp chung nhất để giải

từng loại bài tập này

-Đánh giá được thực tế của việc phân dạng và giải loại bài tập này

phương pháp nghiên cứu

-Tôi đã nghiên cứu đề tài và thực hiện trong quá trình :

1-Được học tập bộ môn :hình ơcil ở trong các trường sư phạm mà tôi đã được học tập, được trang bị kiến thưc về hình học

2-Thông qua 26 năm làm quản lý giáo dục và làm công tác giảng dạy môn toán ở trường :ptcs nhất là qua các kỳ bồi dưỡng học sinh giỏi các tuyến

3-Nghiên cứu qua trao đổi với bạn bè đồng nghiệp ,nhằm bổ xung ,phân dạng ,phân mạch kiến thức ,tham khảo các bài tập ,hoàn chỉnh các phương pháp giải cơ bản nhất -tham khảo các bài toán tìm đièu kiện của môt hình mà bạn bè đồng nghiệp tìm tòi được 4-thông qua thực nhiệm giảng dạy rút ra được các tham số ,các cứ liệu để đi đến kết luận về tính khả thi của đè tài

5-thông qua các tài liệu tham khảo -

-Tuy nhiên do khả năng có hạn và thời gian nghiên cứu chưa nhiều đặc biệt do đặc thù của đề tài :thuộc loại toán khó giành cho học sinh khá giỏi nên thời gian và kinh nghệm chưa nhiều:vìvậy khả năngđịnh dạng và phương pháp giải có thể :chưa đủ chưa hết và

có thể chưa chuẩn mực ,rất mong bạn bèđồng góp ý giúp đỡ để đề tài này hoàn thiện hơn

V-Tóm tắt nội dung đề tài :(nội dung đề tài gồm 3phần )

A -Phần thứ nhất :

I -lời nói đầu

1- cơ sở chọn đề tài

2- phạm vi nghiên cứu đề tài

3- nhiệm vụ nghiên cứu

4- phương pháp nghiên cứu đề tài

II-Tóm tắt nội dung đề tài

B- Phần thứ hai

1-chương1:N hững mạch kiến thức cơ bản

1- Dạng toán tìm điều kiện của một hình là gì

2- cách giải loại toán tìm điều kiện trong hình học

3- các mạch kiến thức cơ bản

2-chương2 :các dạng toán cơ bản tìm điều kiện trong hình học

(Đ ây là nội chính của đề tài- gồm các dạng sau ) :

1- dạng1 : Tìm điều kiện của một hình để hình tạo thành là một tam giác đặc biệt

2- dạng2: tìm điều kiện của một hình để hình tạo thành là một tứ giác đặc biệt ,hoặc có tinh chất đặc biệt

dạng 3:Các dạng khác tìm điều kiện của một hình

3-Chương3 :Hướng dẫn hoặc lời giải bài tập

: nêu lời giải

- hoặc nêu hướng giải

- hoặc đưa đáp số của bài toán

4-Chương4:Một số kết quả và ứng dụng cua đề tài :

B PHẦN THỨ HAI : NỘI DUNG ĐỀ TÀI

Chương 1:N hững mạch kiến thức cơ bản

1, D ạng toán tìm kiều kiện của một hình là gì ?

Trong giaỉ bài tập hình học thường gặp các câu dạng toán tìm điều kiện trong hình học

mà học sinh tỏ ra khá lúng túng khi trình bày lời giải đó là

(Tìm điều kiện của hình H để xảy ra tinh chất T) điều kiện ở đâycó thể là :vị trỉ ,hình dạng , điều kiện ràng buộc giữa các yếu tố ……

2,C ách giải một bài toán tìm điều kiện trong hình học :

-C ơ bản để giải loại toán này lời giải phải có hai phần sau :

-Điều kiện cần :giả sử có tính chất T ta suy ra hình H có điều kiện K

-Đ iều kiện đủ : khi hình H thoã mãn điều kiện K ta suy ra có tính chất T

Thông thường ta sử dụng phép suy luận tương đương giữa tinh chất T

và hình H thoã mãn điều kiện K thay cho trình bày hai phần trên vẫn đảm bảo tính lô rích ,hợp lý của lời giải

3- Các mạch kiến thức cơ bản thường dùng phục vụ cho đề tài :

-Vì theo quan điểm phân dạng loại hình H cần tìm nên để nó là hình H ,ta cần quan tâm đến các kiến thức sau :

a-T am giác là tam giác vuông khi :

-có một góc vuông

-tổng hai ,trong ba góc bằng 90 độ

b-Tam giác là tam giác cân khi : -có hai cạnh bên bằng nhau

-có hai góc bằng nhau

-có trung tuyến thuộc đỉnh vừa là đường cao

c-tam giác đều : -là tam giác cân có một góc 60độ

-có ba cạnh hoặc ba góc bằng nhau

d- tam giác vuông cân : -vừa vuông và vừa cân

e- hình thang :là tứ giác có một cặp cạnh song song

g- một hình là hình thang cân khi :là hình thang có hai góc ở cùng một đáy bằng nhau -là hình thang có hai đường chéo bằng nhau

-là hình thang có một trục đối xứng đi qua giao điểm của hai đườngchéo

và vuông góc với cạnh đáy

h- hình bình hành :-tứ giác là hình hình bình hành khi :

- có các cạnh đối song song

- -bằng nhau

- có hai cạnh đối song song và bằng nhau

- có các góc đối bằng nhau

- có hai đườn cheo cắt nhau tại trung điểm của mổi đường

k dấu hiệu nhận ra hình thoi

n -hình chử nhật

m -vuông

CHƯƠNG II : CÁC DẠNG TOÁN CƠ BẢN TÌM ĐIỀU KIỆN TRONG HÌNH HỌC -Dạng 1:T ìm điều kiện của một hình để hình tạo thành là tam giác đặc biệt hoặc có tính chất đặc biệt :

1-Phương pháp giải : Đ ưa vào tính chất T của hình H cần tìm để tìm điều kiện K của

hình ban đầu dựa trên cơ sở phân tích thuận nghịch ( tương đương )

2- ví dụ :cho tam giác ABC lấy M là trung điểm của BC kẻ ME vuông gócvới AB ,kẻ

MF vuông góc với AC

a-T ìm điều kiện của tam giác ABC để tam giác MFElà tam giác vuông

b- -MFElà tam giác vuông cân

c -ABC -MFElà tam giác đều

GIẢI

a- tam giác MFE là tam giác vuông khi và chỉ khi :

M1 + M2 =900 mà M2 +  C = 900

 M1 =C , M1 +B 90 0

 B2 = M2

Vậy tam giác MEF là tam giác vuông mà B+C  90

suy raA  IV hay tam giac ABC vuong tai A

b- Để M FE vuông cân  EMF=IV A  IV (caua)

ME=MF kÕt hîp MB=MC(gt)

MCF MBE 

 



Đ· cóE  F  ABCvuông cân (B C)

c, Để MFEđều  MFEcân có M =6o0  ABCcan taiA vaM  6O

Theocâu a,thì:M1  C ,vaM2  BmaM  180  (M1 M2 )

Hay600=1800-(M1+M 2)  M  2 M1=12O0 kết hợp với chứng minh trên

60









 B C hay A 60.Vậy đẻ MEFđều  ABC đều

bài tập :

bài1:C hotam giác DFE nội tiếp ABC N ếu ba đỉnh của tam giác DFE nằm trên ba cạnh của tam giác ABC T ìm tam giác nội tiếp tam giác nhọn ABC cho trước sao cho

nó có chu vi nhỏ nhất

bài2:C ho tam giác ABC có các góc nhỏ hơn 120độ T ìm điểm M nằm bên trong góc sao cho MA+MB +MC có giá trị nhỏ nhất

bài3:T rong tất cả các tam có chung một cạnh và có chu vi bằng nhau thì tam giác nào

có diện tích lớn nhất H ãy chứng minh

Dạng toán 2:T ìm điều điện của một hình để hình tạo thành là tứ giác đặc biẹt

1,

P hương pháp giải : H ình H đã được cho biết trước,dựa vào tính chất của hình H cần

tìm để tìm điều kiện của hình ban đầu hoặc các yếu tố của hình ban đầu dựa trên bài toán ngược (phân tích ngược )

Ví dụ :Cho tam giác ABC có M là trung điểm của BC từ M kẻ ME song song với

AC ,MF song song với AB

a, Tìm điều kiện của tam giác ABC để tứ giác FMAE là hình chử nhật

b, - - - - là hình vuông

G iải

a, X ét tứ giác FAEM có MB=MC(gt) vàME song song với AC (gt)  ME là đường trung bình của tam giác ABC  MEsong song và bằng một nữa AC mà FAAC  ME

song song với FA (1) T ương tự FM là đường trung bình của tam giác ABC  FM

song song và bằng một nữa AB ;AEAB  FMsongsongvớiAE (2) Tứ (1) và (2)  tứ giác FAEM là hình bình hành Đ ể tứ giác FEAM là hình chử nhật  A  IV hay

ABC

 vuông ở A

b, Để tứ giácFEAM là hình vuông  FME  IV và EM=FM  FAE  IVvàAB=AC

ABC



 vuông cân tại A

Bài tập ;

Bài1:ChoABCDgọi M.N.P.Q lần lượt là trung điểm của các cạnh AB ,BC CD và AD Tìm điều kiện của ABCD để :

a, MNPQ là hình chử nhật

b,MNPQ là hình vuông

Bài2 :C ho ABC..gọi P,Q là chân đường vuông góc kẻ tứ A đến đường phân giác trong và phân giác ngoài của góc B có R và S làn lượt là các đường vuông góc kẻ từ A đến các đường phân giác trong và ngoài đỉnh C tìm điều kiện của  ABCđể :

a, APBQlà hình vuông

b, -và SRAClà các hình chử nhật bằng nhau

c, - - đều là các hình vuông

B ài 3:cho các đường cao của tam giác ABC gặp nhau ở O các điểm M,N,P lần lượt là trung điểm của AB, BC, CA các điểm R,S.T thứ tự là trung điểm của các đoạn

OA ,OB ,OC

a,C hứng minh các đoạn thẳng RN, MT ,PS bằng nhau và cắt nhau tại trung điểm của mổi đường

b, với điều kiện nào của  ABC thì các đoạn MR ,RP ,MS bằng nhau

nhận xét : Hai dạng toán nói trên để giải nó đều phải theo con duong suy luan

-Để có hình H có tính chất T  hình ban đầu mà hình H phải phụ thuộc nó phải có điều kiện K

-Trong quá trình giảng dạy T ôi cho học sinh ôn kỹ các đấu hiệu nhận biết các hình đặc biệt (ở đây là hình H )từ đó dựa các dấu hiệu đó để phân tích sự phự thuộc giữa chúng

để tìm ra điều kiện K của hình ban đầu bằng phép biến đổi tương đương theo mô hình sau :

Hình H có tính chất P  Hình ban đầu co điều kiện K  Định dạng hình ban đầu -B an đầu chưa áp dụng đề tài còn lúng túng ,mò mẩm tim lời giải và chưa biết được cách giải

-Khi áp dụng đề tài :học sinh giải các bài toán của tìm điều kiện của một hình, một cách thành thạo với tốc độ cao

Dạngtoán3: Các dạng khác của tìm điều kiện của một hình

(Thông thường là loại toán tìm cực trị của một hình ):

Gồm hai loại :-loại toán tìm cực trị

-loại toán chứng minh cực trị của một hình

*N goài ra còn có :loại toán tìm điều kiện của một hình để :

-Ba điểm thẳng hàng -Ba đường đồng quy -Hai đường song song , -Hai đường uông góc -Đướng thẳng đi qua điểm cố định ……

Phưong pháp :

1,loại toán tìm cực trị của một hình :Vẽ hình có chứa các đại lượng hình học mà ta phải tìm cực trị thay vào các điều kiện bằng các đại lượng tương đương Đôi khi phải một đại lượng nào đó làm ẩn số và dựa một quan hệ của nó với đại luong cho sẳn hoặc có thể làm suất hiện trong quá trình đi tìm lời giải của bài toán Tìm mối quan hệ của các đại l ưọng

hình học ,cần tìm cực trị theo các đại lượng không đổi rồi dùng phương pháp suy luận tương đương để đua ra m ối li ên hệ giửa chúng ,

t ừ đ ó xác đ ịnh được các giá trị của các đại lượng cần tìm từ đó suy ra v ị trí của hình

để đạt cưctrị

2,.Lo ại to án ch ứng minh c ực tr ị c ủa m ột h ình :

- Đ ưa ra m ột h ình theo y êu c ầu c ủa đ ề b ài r ồi ch ứng minh cho m ọi

- hình khác có chứa yếu mà ta phải tìm cực trị ,lớn hơn hoặc bé hơn yếu tố tương ứng trong h inh đưa ra (áp dụng chứng minh khi

hình dạng của hình có cực trị đã nói rỏ trong đề bài )

3,các loại toán tìm điều kiện của một hình để:

-Hai đường thẳng song song

-Hai đường thẳng vuông góc

-Bađường thẳng đồng quy

-Ba điểm trhẳng hàng

-Đi qua một điểm cố định

- Phương pháp chung:Giải loại toán này là dùng phương pháp suy luận tương đương

để tìm điều kiện K của hình H thoã mãn tính chất T

Tuỳ từng bài toán và yêu cầu cụ thể đẻ dùng phép biến đổi phù hợp để giải bài toán

4Các ví dụ :

a,ví dụ 1:Cho nữa đường tròn tâm 0 đường kính AB từ Avà B kẻ hai tiếp tuyến

Ax,By,Qua điểm M thuộc nữa đường tròn đã cho kẻ tuyến thứ ba cắt các tuyến Ax và

By lần lượt ở Cvà D xác định điều ki ện c ủa đi ểm M

trên nữa đường tròn đã cho sao cho tổng AC +BD cógiá trị nhỏ nhất

(phát triển bài 30 trang 116 s.g.k toán 9 tập 1)

Gi ải:

C ách1: V ì CM;CA là hai tiếp tuyến kẻ từ C đến (O;AB)

 CM=AM ( tính chất tiếp tuyến ).Tương tự ta có DM=DB

DC=CM+MD=AC+BD t ừ C k ẻ CD/ AC(v ì AC//BD cùng 

AB)theo t/chât về khoảng cách của hai đương

thăng song song thì CD CD’ màCD’=AB

(ABCD’là hìnhchử nhật )

AC//BDvì cùng vuông góc

AB BD

CA 

 Tứ giác ABCD là hình thang

(CA//BD vì cùng vuông góc AB )

trong đó AB là bên vuông góc

- - - CD - - - - xiên Để CD=CM+MD=AB

ABCD AB

CD  

Mặt khác CDlà tiếp tuyến của (o) tại M

AB OM OM

CD  

vậy M là điểm chính giữa của cung AB

Cách 2:Vì CM và CA là hai tiếp tuyến của (O) AOC COM  AOM/ 2(tính chất tiếp tuyến )

tương tự MOD DOB MOB/ 2( DMvà DB là hai tiếp tuyến của (0)

tại điểm D  COM  MOD AOM/ 2+ MOB/ 2=AOB/  2 90 0

90





 COD 0  ΔCODvuông tại Ocó OMCD(CDlà tiếp tuyến của(o) tại M ) OM

là đường cao.Ap dụng hệ thức lượmg trong tam giác vuông ta có

OM2=CM.DM mà CM=ACvà MD=BD (tính chất của tiếp tuyến ) AC BD=R2không đổi  AC  BD bé nhất  AC=BD (he qua bat dang thuc co si )

Vay tứ giác CABDlà hình chử nhật  CD // ABvà MOCD MOBAtại O M là điểm chính giữa của cungAB

b, ví dụ 2:Chođường tròn tâm O và 1điểm P ở trong đường tròn C hứng minh rằng tromg tất cả các dây cung đi qua P thì dây vuông góc là dây ngắn nhất

giải:

PAB;E(O);EOABtại P lấy dây CDbất kỳ đi qua P và không vuông góc với EO tại P ta chứng minh cho CDAB thật vậy OP là khoảng cách từ O đến AB.và OTlà khoảng cách từ O đến CD ta có OTCD OT là đường vuông góc từ O đến CD , P

CD

 vậy OP là đường xiên kẻ từ Ođến CD OPOT  ABCD.Vì CD là dây bất kỳ qua P và CD AB.Vậy AB ngắn hơn mọi dây đi qua P không vu«ng góc với OP  AB

là dây ngắn nhất di quaP

-ví dụ 3:Cho tam giác nhọn ABC   B,   C.Trên tia đối của CA lấy D sao cho CD=CB Tren nữa mặt phẳng bờ là AB không chứa C ,vẻ tia Ax tạo với AB ,

BCA

BAx 

 Trên tia Ax lấy E sao cho AE=AB

a, Tính EBD , EADtheo 

b, Với giá trị nào của  thì E,B.Dthẳng hàng

c, với giá trị nào của : ,.thì AB là trung tuyến của EDA

giải:

A, Theo bài ra ta có EA=BA ABE cân

tại A  AEB =ABE 









2

180 0



 .Theo bài ra ta có

BC =CD BCD cân tại C CBD CDB1800 2BCD=1800  (18020  ACB)

ACB CDB

CBD  



Mà EBD EBA ABC CBD18020   + 2=9O0-2 + 2=9O0+





    



EAB BAD







     





 EAD 18O0 18O0

b, Để E,B,D thẳng hàng  EBD18O0 900  18O0    900

c, Từ A kẻ ATED,CKBDvìAE=AB(gt) AEBcân tại A mà ATBE  ATvừa là đường cao vừa là phân giáclà trung tuyến của AEBđỉnhA ATB ATEIV

2 2















BAT

TB=TE= BE2 Tương tự CBDcó CB=CD ĐBCcân tại C,CKMD  CKlà trung tuyến  BK  KD=BD2 Xét BCK và ABT có CBK=TAB(=2 )



K T =IV BCK  ABT (g.g) BK AT CK BT (*) màBE BT

2 ,BK= 

2

BD

BE

KC

AT

BD 2

2   BD BE=4.CK.AT=22 CK.AT

ĐểAB là trung tuyến củaEAD BEDB BE2 =22 AT.CK CK=AT BE2=(2AT)

2 

   900vô lý vì     180 0Không có giá trị nào của vàchọn

để E,B;D thẳng hàng

bài tập :

1,Chohình thang ABCD (AB//CD) và ABCDphân giác của góc Avà gócB cắt nhau tại

P T ìm điều kiện của hình thang ABCD để điểm P thuộc dây CD

2,Từ điểm A ở ngoài đường tròn (O;R)vẽ hai tiếp tuyến AB;AC tối đường tròn qua B kẻ dây BD//AC ;ADcắt (O) tại K (khác P) BKcắt AC tại I T ìm điều kiện của A đểCK

AB

3,N gười ta dùng một đoạn dây căng thành ba đoạn thẳng tạo với bức tường thành một hình chữ nhật H ãy chỉ ra cách căng dây để hình chữ nhật có diện tích lớn nhất

chương III: HƯỚNG DẪN LỜI GIẢI BÀI TẬP

(Nêu hướng dẫn giải hoặc đáp số của bài toán )

Dạng 1:

bài 1: Tam giác ABC có các tam giác nội tiếp

thì tam giác có ba đỉnh là chân ba dường cao

có chu vi nhỏ nhất

bài 2;dùng phép quay tâm A góc quay 600ngược chiều kim đồng hồ biến

M M/ C C/  MA+MB +MC=MM/+MB+M/C / bằng độ dài đường gấp khúc bài3:Tam giác cân có diện tích lớn nhất

Dạng 2: bài1:xét cho MQ//= AC

2

1 //=NP MN//=PQ( //= BD2 )  MNPQ là h.b.h

Để nó là h.c.n MAQ=IV ACBD đểMNPQ là hình vuông  ACBD và AC=BD

Bài 2:a, Tacó APBCcó Q B P  APBQ là hình chử nhật để là hình vuông

 AB là phângiác PBQ

0

45









 ABQ APB  ABC  90 0

Vậy điều kiện để ABPQlà hình vuông  ABC

vuông tại B

b, diều kiện ABCcân tại A

c, không tồn tại ABC

Bài3: a,chứng minh MPTS và MRTN là hình chử nhật

suy ra các đoạn RN; MT; SP.bầng nhau và cắt nhau

tại trung điểm của mổi đường

b,Ta có MR= OB; MS

2

1

= AO

2

1

;RP= OC

2

1 để

Để MR=MS=RP thì OA=OB=OC

vậy O vừa là giao điểm của ba đường cao của ABC

vừa là giao điểm của ba đường cao của ABC vừa là giao điểm của các đường trung trực của tam giác đó   ABC phải là tam giác đều

DẠNG3: bài1:

điều kiệncần :Gĩa sử PCD suy ra :

PC+PD=CD (1) do AB//CD nên:

BAC=APD mặt khác

BAP=DAP suy ra APD DAP

ADPcân tại D  AD=DP (2)

Tương tự ta có CB =CP (3) từ (3),(2) ,(1) CD=AD+BC

Điều kiện đủ : N ếu hình thang ABCD có CD=AD+BC thì P thuộc CD

Thật vậy :giả sử phân giác của BAD cắt CDtại P/ tương tự như điều kiện cần ta chứng minh được AD=DP/mặt khác DP/+P /C=CD suy ra CP /=CD-DP/ =CD-AD=CB  CBP/cân tại C CBP/=CP /B ta có

ABP/  CP/B (so le trong ) suy ra CBP/=ABP/  BP/là phân giác

ABC

  P trùng với P/  P thuộc CD

Bài2: Dễ thấy nếu A cách O một khoảng

bằng hai lần bán kính lúc bấy giờ

thì D trùng với E  ABC đều

 cung KC bằng cung KB  CK

vừa là phân giác vừa là đường cao

Bài 3: Gọi a là chiều dài của dây

gọi x là chiều dài của hình chử nhật vuông góc với tường thì

diện tích của hình chử nhật là