ĐỂ LÀM TỐT NGUYÊN HÀM CÁC EM CẦN NẮM Bảng nguyên hàm thường dùng: ∫ 0dx = ∫ dx = ∫x ∫ a dx ∫ cos dx = ∫ sin xdx x = ∫ f ( x)dx = Nếu ∫ (ax + b) α ∫a αx + β F(x) +C Thì = dx dx = x dx ∫ cos x ∫ e dx x = = dx ∫ sin = = x a ≠ Suy công thức sau: ∫e = ∫ cos(ax + b)dx dx = ∫ dx = ∫ f (ax + b)dx = a F(ax+b) + C , ∫ ax + b dx = α ax + b dx = ∫ sin(ax + b)dx = dx dx = = ∫ ( ax + b) sin (ax + b) Với u hàm số theo x du = u'.dx dx VD: d(tanx) = (tanx)'dx = (1+tan2x)dx; d(lnx) = ; d(sinx) = cosxdx; x Nếu thấy biểu thức A có đạo hàm biểu thức B (hoặc sai khác k.B) thường đặt t = A ∫ cos VD: I = ∫ Đặt t = x I= x 2004 + 1.x 2003dx 2004 2004 ∫ NX: (x2004 + 1)' = x 2003 dt Từ ta được: 2004 1 1 23 t3 + C = tdt = t dt = t +C = ∫ 3006 3006 2004 2004 + ⇒ dt = 2004 x 2003dx ⇒ x 2003dx = (x 2004 Hoặc trình bày nhanh sau : 1 2004 2004 2004 = I = x 2004 + 1.x 2003dx = + C ( x + ) d ( x + ) ( x + ) 2004 ∫ 2004 Đổi biến Chứa (biểu thức)n Đặt u = biểu thức dx Chứa Đặt u = Đặt x = a.sint , ∫ a − x , a>0 Chứa mẫu Đặt u = mẫu Chứa sinx.dx Đặt u = cosx Chứa cosx.dx Đặt u = sinx dx Đặt x = a.tant , ∫ a + x , a>0 dx Chứa Đặt u = lnx x Từng phần P(x).ex dx P(x).sinx dx P(x).cosx dx P(x).lnx.dx ex.sinx.dx dx u = P(x) ⇒ u = P(x) ⇒ u = P(x) ⇒ u= e x ⇒ u = lnx ⇒ du= du=P'(x)dx du=P'(x)dx du=P'(x)dx x du = exdx dv = P(x)dx dv = e x dx dv = sinxdx dv = cosxdx dv = sinxdx x ⇒ v = -cosx ⇒ v = sinx ⇒ v = ∫ P ( x)dx ⇒ v = -cosx ⇒ v=e + 1) + C ∫ π π t ∈ − ; 2 π π t ∈− ; 2 ex.cosx.dx u= e x ⇒ du = exdx dv = cosxdx ⇒ v = sinx HCT-GV THPT Hoài Ân, Bình Định Luyện tập Dạng 1: Biến đổi, áp dụng công thức tìm nguyên hàm hàm số sau: 1 2x3; x + ; 3 x ; ; sin2x; 1− x cos2x; 2x ; cos x x x + 2x2 − + ; 11 ; 12 (x-1)(x3 - 3x); 13 2x.3x; x x 1 + cos x 3x − 14 ; 15 ; 16 sin2xcosx; 17 ; 18 ; 19 - cot2x; x (2 x − 1)( x + 1) x −1 e 3x 2 e −1 20 x - tan2x; 21 ; 22 ; 24 x ; 25 sin4x.cos22x.; ; 23 (sin x + cos x) 2+ x + x sin x cos x e −1 1 26 5x - 27 28 − x 29 30 tan3x (3 − x ) 2x − sin(3x-1); (3 x + 1) ( x − 2) 10 Dạng 2: Đổi biến ∫ (2 x + 1) xdx 3x ∫ ∫ sin + 2x3 dx x cos xdx dx ∫ sin x 13 e x dx ∫ 17 e −3 x 21 ∫ x − x dx ∫ cos 25 ∫ (x dx ∫ + 5) x dx x (1 + x ) sin x dx 10 ∫ cos x dx 14 ∫ cos x 18 e tgx ∫ cos x dx dx 22 ∫ 1+ x2 x sin xdx 26 ∫x ∫ ln x ∫ x dx 11 ∫ cot xdx 15 ∫ tan xdx 19 ∫ − x dx ∫ x dx 23 ∫x ∫ x.e ∫ cos 24 ∫x 28 ∫x 10 ∫ x ln xdx 11 ∫ ln xdx ∫ x.e dx ln xdx 12 ∫ x ∫ x tan xdx ∫ x e dx 16 ∫ sin x dx 17 ∫ ln( x + 1)dx 18 ∫ x ln(1 + x)dx 19 x 22 ∫ xdx 23 ∫ x lg xdx x2 21 ∫ x ln(1 + x )dx x dx dx + x−2 x + 1.dx ∫ ( x + x + 3) cos xdx x +1 12 ∫ x sin xdx ∫ x cos xdx ∫ ( x + 5) sin xdx x dx +5 tan xdx x x e dx 16 ∫ x dx 20 ∫ − x2 1− x2 dx 27 ∫ x e +1 x − 1.dx Phương pháp nguyên hàm phần ∫ x sin xdx ∫ x cos xdx x + 1.xdx ∫ ln xdx 13 ∫e x dx ∫ x cos xdx 14 24 ∫ x ∫ cos x dx ∫ e cos xdx x 15 20 ln(1 + x) dx x2 = Good luck = HCT-GV THPT Hoài Ân, Bình Định